苏科版八年级数学上册 第3章 勾股定理 复习（课件）(共35张PPT)

(共35张PPT)
第3章 勾股定理 复习课件
一、勾股定理及其逆定理
1.勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2。
2.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
二、勾股定理及其逆定理的比较
名称 项目 勾股定理 勾股定理逆定理
定理题设 三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c 三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2
定理结论 a2+b2=c2 三角形为直角三角形
名称 项目 勾股定理 勾股定理逆定理
几何语言 因为∠C=90°， 所以a2+b2=c2 因为a2+b2=c2，
所以∠C=90°
定理作用 （1）已知直角三角形的两边求第三边（2）作出面积为n（n为自然数）的正方体的边长（3）应用勾股定理求相应线段的长或面积 判定三角形为直角三角形或判定直线的位置关系
【特别提醒】
1.勾股定理使用的条件必须是在直角三角形中。
2.注意“直角三角形斜边上的高”的图形结构中勾股定理及面积法的应用。
3.若已知三角形的三条边应验证三角形是否为直角三角形。
三、勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理揭示了直角三角形三边长的内在联系，反映了三边之间特殊的平方关系，它为我们利用代数方法来研究几何图形提供了新的途径和方法，在应用时，还经常用到全等变换，把某些线段、角都集中到一个三角形中来解决，即化归数学思想方法的应用，并且常结合方程的思想，因此应用十分广泛、灵活。勾股定理及其逆定理在实际生活中有广泛的应用，解题的关键是准确地从实际问题的背景中抽象出直角三角形，进而应用性质或判定解题。
热点考向1：勾股定理的应用
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　　勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，是用来解决直角三角形中边长问题的常用手段，运用勾股定理解决实际问题的基本步骤如下：
1.判定：确定三角形是直角三角形
2.定边：确定直角边和斜边
3.应用：根据勾股定理列式计算
【例1】（2011·衡阳中考）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________
【思路点拨】
【自主解答】因为在△ABC中，∠B=90°，
所以由勾股定理得BC2=AC2-AB2=42，即BC=4
因为点C与A关于DE对称，
所以EC=EA，
所以△ABE的周长=AB+BE+AE
=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7
答案：7
热点考向2：由三边长判定直角三角形及其应用
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　　由三边关系判断三角形为直角三角形，这是典型的数形结合，即由“数量关系”得“形状”。在解决实际问题时，关键在于将实际问题转化为数学问题，并结合图形构建数学模型。
【例2】如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（　　）
（A）90° 　　　　（B）60°
（C）45° 　　　　（D）30°
【自主解答】选C；根据勾股定理可知AC2=12+22=5，BC2=12+22=5，AB2=12+32=10，所以AC=BC，AC2+BC2=5+5=10=AB2，
所以△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，
所以∠ABC=∠BAC=45°
【思路点拨】
热点考向3：勾股定理运用中的方程思想
【相关链接】
　　在许多问题中都需要利用勾股定理来求一些线段的长度，如果线段关系比较复杂，往往把所求线段设为未知数，根据勾股定理列方程，通过解方程来求得线段的长度。
【例3】（2011·綦江中考）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示。正方形DEFH的边长为2米，∠B=90°，BC=6米，AC=12米。当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE=________米时，有DC2=AE2+BC2
【教你解题】
答案：
【命题揭秘】
结合近几年的中考试题分析，勾股定理是中考重点考查的内容之一，它要求考生能根据勾股定理进行相关线段及图形面积的计算；根据其逆定理，判断三角形的形状等；以及结合其他相关知识综合考查。常见题型主要以解答题为主，选择题、填空题也有考查。
1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
（A）1，2，3 （B）3，5，8
（C）12，16，20 　 （D）4，5，6
【解析】选C；只有C才符合a2+b2=c2的形式。
2.如图，△ABC中，有一点P在AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（　　）
（A）8 （B）8.8 （C）9.8 　（D）10
【解析】选C；从B向AC作垂线段BP，交AC于P，设AP=x，则CP=5-x，在Rt△ABP中，BP2=AB2-AP2，在Rt△BCP中，BP2=BC2-CP2，所以AB2-AP2=BC2-CP2，所以52-x2=62-（5-x）2，解得x=1.4，在Rt△ABP中，BP2=52-1.42=23.04=4.82，BP=4.8所以AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8
3.（2012·吉林中考）如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，
AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=________
【解析】因为AC=3，BC=4，
所以AB2=AC2+BC2=9+16=25，所以AB=5，
因为以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，
所以AD=AC，所以AD=3，所以BD=AB-AD=5-3=2
答案：2
4.如图是一个长方体，其长、宽、高分别为3，1，3，则PA+PB的最小值为______
【解析】把前侧面与右侧面放在同一个平面内，如图所示，
则AC=4，BC=3，由勾股定理可得：AB2=AC2+BC2=42+32=52，所以AB=5，即PA+PB的最小值为5
答案：5
5.（2010·德州中考）如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m
【解析】设树高为xm，根据勾股定理，得
EF2=x2+22，CE2=x2+82
又因为△EFC为直角三角形，则EF2+CE2=CF2，
即x2+22+x2+82=102，解得x=4
答案：4
6.矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2.将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为__________
【解析】由折叠可知，∠AEF=∠CEF，
又因为CD∥AB，∠AEF=∠CFE，
所以∠CEF=∠CFE，易证△CEF是等腰三角形，
CE=CF；设AE=CE=x，则BE=4-x，
在Rt△BCE中，根据勾股定理可列出方程：
x2=（4-x）2+22，解方程得x= ；因此，着色部分的面积等于
△BCE的面积加上梯形ECGF的面积，即
答案：5.5
7.（2011·随州中考）如图，在等腰三角
形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，
过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，
若AE=4，FC=3，求EF的长。
【解析】连接BD，因为在等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，所以BD⊥AC，BD=CD=AD，∠ABD=45°，所以∠C=45°，又DE⊥DF，所以∠FDC=∠EDB，所以△EDB≌△FDC，所以BE=FC=3，所以AB=7，则BC=7，所以BF=4，在直角△EBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，所以EF=5
8.如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是多少米？
【解析】三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x米，由勾股定理得：x2=22+[（0.2+0.3）×3]2=2.52，因此x=2.5
答：蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是2.5米。
9.如图所示，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段AB和CD分别是图中1×3两个矩形的对角线，显然AB∥CD，请你用类似的方法画出过E点且垂直于AB的直线，并说明理由。
【解析】答案不惟一，作直线AE，则AE⊥AB
理由：如图，连接BE
由网格的特性，得∠F=∠G=∠BCE=90°，
由勾股定理，得AE2=10，AB2=10，BE2=20，
所以AE2+AB2=BE2
所以∠BAE=90°，所以EA⊥AB
【归纳整合】判别两直线是否垂直是生产、生活中常遇到的问题，要根据实际问题的具体情况，选择合适的方法进行判别。根据已知条件，合理构造三角形，并以此为基础，找出三边关系，根据勾股定理的逆定理判断能否构成一个直角三角形，进而判断是否存在垂直关系。
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