新疆柯坪县柯坪湖州国庆中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版含答案解析）

国庆中学2021-2022学年第一学期第一次月考试卷
高二数学
（考试时间120分钟 满分150分）
注意：1.答题前在试卷和答题卡上填写好自己的姓名、班级、考场、座位号等信息。
2.请按照要求将正确答案填写在答题卡内。
3.试卷整洁，字迹清晰。
一，单选题（共12题，每题5分，共60分）
1.已知集合则 ( )
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形 D．平面和平面有不同在一条直线上的三个公共点
3．设，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则边长等于（ ）
A． B． C．2 D．
5．若函数为幂函数，且在单调递减，则实数的值为（ ）
A．0 B．或 C．1 D．2
6．在中，，a边的长度为1，则该三角形外接圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
7．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．设为平面，，为两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，且，则
9．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是(　　)
A．DD1 B．A1D1 C．C1D1 D．A1D
10．已知m，n是两条不同的直线，a，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是（ ）
A．若，，，则； (第9题)
B．若平面α内存在一条直线n不垂直于m，则直线m不垂直于平面a；
C．若平面α内存在一条直线n不平行于β，则α与β不平行；
D．若m，n是异面直线，点Р为空间任意一点，则存在唯一平面α，，，.
11．已知棱长均为为的正三棱柱ABC－A1B1C1．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)
A. B. C. D.
12．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1－BD－C的大小为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、填空题（共4题，每题5分，共20分）
13．已知向量，，若向量，则实数=_____________
14．正方体，若过、、三点的平面与底面的交线为，则与的关系是______．
15．下图是无盖正方体纸盒的展开图，在原正方体中直线AB，CD所成角的大小为________．
16．若平面，，满足，，，，有下列四个判断：
① ②当时， ③ ④当时，
其中，正确的是______．（填写所有正确判断的序号）
三、解答题（共6题，共70分，要求写出必要的文字说明和解题过程）
17．如图，在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为5，G、H分别为PB、PC的中点.
（1）求证：平面ABC；
（2）求正三棱锥的表面积.
18．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
19．如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)求证：AC⊥平面B1D1DB；
(2)求三棱锥B-ACB1体积．
20．已知的内角的对边分别为，且．
（1），，求的值；
（2）若，，求的面积．
21.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为点N.
（1）求证：AN⊥平面PBM.
（2）若圆O的半径为2，PA=，,求二面角P-BM-A的大小。
22．（12分）已知直线过点且与直线垂直
（1）求直线的方程；
（2）求圆心在上并且过点，的圆的方程。
2021-2022学年第一学期第一次月考答案
高一数学
1．B
2．C
【详解】
A，不在同一直线上的三个点，确定一个平面，所以A错误.
B，四边形可能是空间四边形，不一定是平面图形，所以B错误.
C，梯形有一组对边平行，所以是平面图形，所以C正确.
D，当时，两个平面没有公共点.
故选：C
3．A
【详解】
，，
，且，即.
故选：A
4．B
【详解】
解：中，∵，，，
∴由正弦定理得：.
故选：B
5．C
【详解】
由于函数为幂函数，
所以，解得或，
时，，在上递减，符合题意.
时，，在上递增，不符合题意.
故选：C
6．A
【详解】
由正弦定理：，其中为三角形外接圆的半径
故：
故选：A
7．B
【详解】
.
故选：B
8．C
【详解】
对于A，当，时，与可能平行，可能相交，可能异面，所以A错误，
对于B，当，时，与平面可能平行，可能相交，也可能在平面内，所以B错误，
对于C，当，时，，则C正确，
对于D，当， 时，与平面可能平行，也可能在平面内，所以D错误，
故选：C
9．D
10．D
【详解】
对于A，如图，设，
在平面内取一点，且，过作，垂足为，，垂足为.
因为，，，故，而，故，
同理，而，故，故A正确.
对于B，如果直线m垂直于平面a，则它垂直于平面内的任何一条直线，与前提矛盾，故B正确.
对于C，若两个平面平行，则一个平面内的任何一条直线都平行于另外一个平面，故C正确.
对于D，如图，在正方体中，为异面直线，在平面，
此时不存在过的平面，满足与都平行，故D不正确.
故选：D.
11．B
12．A
13．
【详解】
向量，，且向量，
，解得=.
故答案为：.
14．平行
【详解】
根据正方体的几何性质可知，
由于平面,平面,所以平面，
由于平面，平面平面，所以.
故答案为：平行
15．60°．
解析：将展开图恢复为正方体时，点B，D重合，∴ AB，CD，AC三条面对角线构成等边三角形，∴ 直线AB，CD所成角的大小为60°．
16．②④
【详解】
垂直于同一平面的两平面相互平行，则其交线也平行；垂直于同一平面的两平面相交于同一条直线，则该直线与平面也垂直，故正确的为②④.
故答案为：②④.
17．（1）证明见解析；（2）.
【详解】
解：（1）证明：因为G、H分别为PB、PC的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面ABC.
（2）设BC中点为D，连接PD，
因为三棱锥P-ABC是正三棱锥，所以是等腰三角形，
所以，
在Rt中
又 ，PB=5 ，PD=，
所以正三棱锥侧面积为，底面积为，
所以正三棱锥P-ABC的表面积为
18．（1）；（2）
【详解】
（1）由题意，，，即，联立解得，所以数列的通项公式为；
（2）由（1）得，，所以
19．(1)证明：∵ AC⊥BD，又BB1⊥平面ABCD，且AC 平面ABCD，
∴ BB1⊥AC. BD∩BB1＝B，∴ AC⊥平面B1 D1DB．
(2)解：(方法1)＝×1×(×1×1)＝．
(方法2)＝(V正方体)＝．
20．（1）；（2）.
【详解】
解：（1）由正弦定理得.
（2）由余弦定理得，
所以，
得. 所以.
21．（1）证明　因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BM.
因为M是圆周上一点，
所以BM⊥AM.
又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.所以BM⊥AN.
又因为AN⊥PM，PM∩BM＝M，所以AN⊥平面PBM.
（2）
22．（1）；（2）.
【详解】
（1）因为直线与直线垂直，则直线的方程可设为，
又因为直线过点，所以，即，
所以直线的方程为；
（2）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，
又因为该圆过点、，
所以有，解得，
所以圆心坐标为，半径，
故圆的方程为.