2021-2022学年北师大版九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件 解答题专题训练（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》
解答题专题训练（附答案）
1．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝12，CD＝8，BD＝28，点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长．
2．如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，求证：△ABC∽△AED．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．
（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
4．如图，在△ABC中，四边形DBFE是平行四边形．求证：△ADE∽△EFC．
5．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．
6．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：△ABF∽△ECA．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．求证：△ABF∽△EAD．
8．已知：如图在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．求证：△BEC∽△BCH．
9．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6，CE＝3．
（1）求CD的长；
（2）求证：△CDE∽△BDC．
10．如图，在正方形ABCD中，P是AB边上的一个动点（P与A，B均不重合），将线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于点M，过点E作EF⊥AB的延长线于点F，连接DM，CF．
（1）求证：CF＝PE且CF⊥PE；
（2）当点P在何处时，△MDP∽△MPB？请说明理由．
11．如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，＝，当＝＝时，求证△ABC∽△A'B'C'．
12．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
13．已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．
14．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC．
15．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝9，CD＝1，BD＝6，点E在BD上移动，当以E，C，D为顶点的三角形与△ABE相似时，求DE的长．
16．如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF∽△DCE．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？
（2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
18．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE BF＝EF BC．
19．已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4．求证：△ACP∽△PDB．
20．如图，AB AE＝AD AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．
21．已知如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝5，AB＝8，AE＝4，AC＝10．求证：△ADE∽△ACB．
22．如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）连接BF，若△ABE∽△EBF，试确定点E的位置并说明理由．
23．如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．
24．阅读下面材料：
小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，
∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长．
小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长．
请回答：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠PCB＝∠PBA，
∴∠PCA＝　 　．
∵∠PAC＝∠PCB，
∴△ACP∽△CBP．
∴．
∵∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝90°．
∴＝　 　．
∵AP＝1，
∴PC＝．
∴PB＝　 　．
参考小军的思路，解决问题：
如图2，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值；
25．如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，＝，且∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证：△AEF∽△BCF．
参考答案
1．解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴当＝时，△ABP∽△CDP，即＝，
解得x＝，
经检验x＝是分式方程的解，
BP＝28﹣＝16.8；
当＝时，△ABP∽△PDC，即＝，
解得x1＝4，x2＝24，
经检验，x＝4或24是分式方程的解，
BP＝28﹣4＝24，BP＝28﹣24＝4，
∴当BP为16.8或4或24时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
2．证明：∵AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，
∴＝＝，
∴＝，
∵∠BAC＝∠EAD，
∴△BAC∽△EAD．
3．解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的．
×2x（8﹣x）＝×8×10×．
解得x1＝x2＝4．
答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似．
∵∠C＝∠C，
∴可分为两种情况：
①＝，即＝，
解得t＝；
②＝，即＝．
解得t＝．
答：经过或秒，△MCN与△ABC相似．
4．证明：∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴∠CEF＝∠A，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△EFC．
5．证明：∵PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC，
∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，
又∵∠A＝∠BPD，
∴∠B＝∠APC，
∴△APC∽△PBD．
6．证明：∵∠AEC＝∠B+∠BAE，∠BAF＝∠EAF+∠BAE，∠EAF＝∠B，
∴∠AEC＝∠BAF，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△ABF∽△ECA．
7．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAF＝∠AED，且∠C+∠D＝180°，
又∵∠BFE+∠BFA＝180°，
∵∠BFE＝∠C，
∴∠BFA＝∠D，
∴△ABF∽△EAD．
8．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B，
∵DF＝BE，
∴△CDF≌△CBE（SAS），
∴∠DCF＝∠BCE，
∵CD∥BH，
∴∠H＝∠DCF，
∴∠H＝∠BCE，
∵∠B＝∠B，
∴△BEC∽△BCH．
9．（1）解：∵∠ACB＝90°AB＝6，BC＝6，
∴AC＝＝12；
∴AE＝AC﹣CE＝9，
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE；
∴，
∴CD＝＝＝2，
（2）证明：∵∠ACB＝90°，CE＝3，BC＝6，
∴BE＝＝3，
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∴DE＝，
∴BD＝4，
∵，，
∴，
∵∠D＝∠D，
∴△CDE∽△BDC．
10．解：（1）证明：在正方形ABCD中，P在边AB上，且∠DPE＝∠A＝90°，
∴∠APD+∠ADP＝∠APD+∠FPE＝90°，
∴∠ADP＝∠FPE，
∵EF⊥AB，
∴∠PFE＝∠A＝90°，
在△PEF和△DPA中，
，
∴△PEF≌△DPA（AAS），
∴PF＝AD＝AB＝DC，
又AF∥CD，
∴四边形PFCD是平行四边形，
∴CF＝PD＝PE，CF∥PD，
∵DP⊥PE，
∴CF⊥PE．
（2）当点P是AB的中点时，△MDP∽△MPB．
理由：∵△MDP∽△MPB，
∴，
∵∠ADP＝∠BPM，∠A＝∠PBM，
∴△PDA∽△MPB，
∴，
∴，
∴PA＝PB，
即点P是边AB的中点，
∴当点P恰好是AB边的中点时，△MDP∽△MPB．
11．证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴△ADC∽△A'D'C'，
∴∠A＝∠A'，
∵，
∴△ABC∽△A'B'C．
12．解：△ABC和△DEF相似；
理由如下：由图形可知AB＝2，根据勾股定理得，BC＝2，AC＝2；DE＝，DF＝，EF＝2，
∵，
∴△ABC∽△DEF．
13．证明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，
∴．
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA．
14．证明：∵AB＝6，BD＝2，
∴AD＝4，
∵AC＝8，CE＝5，
∴AE＝3，
∴，，
∴，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴△AED∽△ABC．
15．解：设DE＝x，则BE＝BD﹣x＝6﹣x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴当时，△ABE∽△CDE，即，
解得x＝，
当时，△ABE∽△EDC，即，
整理得x2﹣6x+9＝0，
解得x1＝x2＝3，
∴当DE为或3时，以C、D、E为顶点的三角形与以E、B、A为顶点的三角形相似．
16．证明：∵∠FEC＝90°，
∴∠AEF+∠DEC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°，
∴∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠DEC＝∠AFE，
又∵∠A＝∠D，
∴△AEF∽△DCE．
17．解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．
由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，
则（6﹣x） 2x＝8，
整理得x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2．
（2）设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm．
当△PCQ∽△ACB时，＝，即＝，
解得：t＝．
当△PCQ∽△BCA时，＝，即＝，
解得：t＝．
综上所述，经过秒或秒时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
18．证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEF＝∠CDF＝90°，且∠EFB＝∠DFC，
∴△BEF∽△CDF；
（2）如图，连接DE，
∵∠BEF＝∠CDF＝90°，
∴点B，点C，点D，点E四点共圆，
∴∠DEF＝∠DBC，∠BFC＝∠DFE，
∴△DEF∽△CBF，
∴，
∴DE BF＝EF BC
19．证明：∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2，
∴∠PCA＝∠PDB＝120°，
∵AC＝1，BD＝4，
∴，＝，
∴＝，
∴△ACP∽△PDB．
20．证明：如图，∵AB AE＝AD AC，
∴＝．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
21．证明：∵AD＝5，AB＝8，AE＝4，AC＝10，
∴，
又∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB．
22．（1）证明∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°．
∴∠AEB+∠ABE＝90°．
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF＝90°．
∴∠ABE＝∠DEF．
在△ABE和△DEF中，∠ABE＝∠DEF，∠A＝∠D，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：点E为AD的中点时，△ABE∽△EBF，理由如下：
∵△ABE∽△DEF，
∴．
∵△ABE∽△EBF，
∴．
∴．
∴DE＝AE．
∴点E为AD的中点．
23．证明：∵∠1＝∠2，∠DPA＝∠CPB，
∴△ADP∽△BCP．
24．阅读材料：
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠PCB＝∠PBA，
∴∠PCA＝∠PBC．
∵∠PAC＝∠PCB，
∴△ACP∽△CBP．
∴．
∵∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝90°．
∴CB＝AC，
∴＝．
∵AP＝1，
∴PC＝AP＝．
∴PB＝PC＝2．
故答案为：∠PBC；；2；
解决问题：
解：过点A作AD⊥BC于D，如图2所示：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°．BD＝CD＝BC，
∴AD＝AC，CD＝AD，
∴AC＝2AD，BC＝2CD＝2AD，
∵∠PCB＝∠PBA，
∴∠PCA＝∠PBC．
∵∠PAC＝∠PCB，
∴△ACP∽△CBP．
∴＝＝，
设AP＝a，则PC＝，
∴PB＝3a．
∴．
25．（1）∵∠BAD＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD
即∠BAC＝∠DAE
在△ABC和△ADE中
＝，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴∠C＝∠E、
在△AEF和△BFC中，∠C＝∠E，∠AFE＝∠BFC，
∴△AEF∽△BCF．