4.4探索三角形相似的条件同步练习-2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》同步练习（附答案）
1．如图，D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中的（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（　　）
A．∠2＝∠B B．∠1＝∠C C． D．
3．下列各组图形一定相似的是（　　）
A．有一个角相等的等腰三角形
B．有一个角相等的直角三角形
C．有一个角是100°的等腰三角形
D．有一个角是对顶角的两个三角形
4．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
5．如图，下列条件不能判定△ACD与△ABC相似的是（　　）
A． B． C．∠ADC＝∠ACB D．∠ACD＝∠B
6．如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（　　）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
7．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数为（　　）
A．100° B．120° C．115° D．135°
8．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　　）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D．
9．如图1，能保证使△ACD与△ABC相似的条件是（　　）
A．AC2＝AD AB B．CD：AD＝BC：AC
C．AC：CD＝AB：BC D．CD2＝AD DB
10．下列正方形方格中四个三角形中，与甲图中的三角形相似的是（　　）
A．B．C．D．
11．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝105°，AC＝4cm，AB＝6cm，DE＝3cm，则DF＝　 　时，△ABC与△DEF相似．
12．如图，已知∠1＝∠2＝∠3，图中有　 　对相似三角形．
13．如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为　 　．
14．如图，已知，请添加一个条件，使△ADE∽△ABC，这个条件可以是　 　．（写出一个条件即可）
15．已知：△ABC，P是边AB上的一点，连接CP．
（1）当∠ACP＝　 　时，△ACP∽△ABC．
（2）当AC：AP＝　 　时，△ACP∽△ABC．
16．如图，AB AE＝AD AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．
17．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠APB＝120°，△APC与△BPD相似吗？为什么？
18．如图，在△ABC和△ADE中，＝＝，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．
19．如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝，AB＝3，BC＝2
（1）△BCD与△BAC相似吗？请说明理由．
（2）若CD＝，求AC的长．
20．如图所示，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
21．在△ABC中，CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1＝∠2，求证：△AFG∽△ABC．
22．已知：如图，AB＝AC，∠DAE＝∠B，求证：△ABE∽△DCA．
23．如图，BD，CE是△ACB的高，求证：△ADE∽△ABC．
24．已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上高，找出图中的相似三角形．并说明理由．
25．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠EDF＝∠B．求证：△BED∽△CDF．
26．如图，点D为△ABC边AB上一点，AD＝2，BD＝6，AC＝4．找出两个相似的三角形并证明．
27．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：△ADE∽△ABC．
28．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，F为AB的中点，EF⊥AB，求证：△CDF∽△ECF．
29．如图所示，若＝，找出与△ADE相似的三角形．
30．如图所示，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE是两条高，求证：△ADE∽△ABC．
参考答案
1．解：当＝时，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA．
故选：C．
2．解：∠A＝∠A，
A、若添加∠2＝∠B，可利用两角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；
B、若添加∠1＝∠C，可利用两角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；
C、若添加＝，可利用两边及其夹角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；
D、若添加＝，不能判定△AED∽△ABC，故本选项正确；
故选：D．
3．解：A．若一个等腰三角形的底角和一个等腰三角形的顶角相等，无法判定两三角形相似，故本选项错误；
B．两个直角三角形中直角相等，则两锐角的大小无法确定，无法判定两三角形相似，故本选项错误；
C．一个角为100°，则这个角必须是顶角，且两底角度数为40°，故两个三角形三内角均相等，即可判定两三角形相似，故本选项正确；
D．对顶角相等的三角形中，其他两个角的度数不确定，故无法判定两三角形相似，故本选项错误，
故选：C．
4．解：①和③相似，
∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；
由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，
∴＝，
＝，
即＝＝，
∴两三角形的三边对应成比例，
∴①③相似．
故选：C．
5．解：由图可得：∠A＝∠A，
∴当或∠ADC＝∠ACB或∠ACD＝∠B时，△ACD与△ABC相似，也可以；
A选项中角A不是成比例的两边的夹角．
故选：A．
6．解：（1）∵∠E＝∠E，∠FCE＝∠D，
∴△CEF∽△DAF．
（2）∵∠E是公共角，∠B＝∠FCE，
∴△ABE∽△FCE，
（3）∴△ABE∽△FDA．
故有3对．
故选：B．
7．解：∵△ACP∽△PDB，
∴∠A＝∠BPD，
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠CPD＝60°，
∴∠PCD＝∠A+∠APC＝60°，
∴∠APC+∠BPD＝60°，
∴∠APB＝∠APC+∠CPD+∠BPD＝120°．
故选：B．
8．解：A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
C、∵，
当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；
D、∵，
又∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，
本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，
故选：C．
9．解：∵在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，
∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：＝，
∴AC2＝AD AB．
故选：A．
10．解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，2，，所以三边之比为1：2：；
A、三角形的三边分别为2、、3，三边之比为：：：3，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为2、4、2，三边之比为：1：2：，故本选项正确；
C、三角形的三边分别为2、3、，三边之比为：2：3：，故本选项错误；
D、三角形的三边分别为、、4，三边之比为：：：4，故本选项错误．
故选：B．
11．解：∵∠A＝∠D，AB＝6cm，AC＝4cm，DE＝3cm，
∴当△ABC∽△DEF时，＝，即＝，
解得：DF＝2；
当△ABC∽△DFE时，＝，
即＝，
解得：DF＝4.5．
综上所述，当DF＝2cm或4.5cm时，△ABC和△DEF相似．
故答案为：2cm或4.5cm．
12．解：∵∠A＝∠A，∠1＝∠2，
∴∠ADE∽△ABC，
∵∠A＝∠A，
∠1＝∠3，
∴△ADE∽△ACD，
∴△ABC∽△ACD，
∵∠1＝∠2，
∴DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∴DE∥CB，
∴∠DCB＝∠CDE，
∵∠2＝∠3，
∴△BDC∽△CED，
故答案为4
13．解：∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
故添加条件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED．
同理可得：∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B或＝可以得出△ABC∽△AED；
故答案为：∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B或＝．
14．解：∠D＝∠B，
证明：∵，∠D＝∠B，
∴△ADE∽△ABC．
故答案为：∠D＝∠B．
15．解：∵∠A是公共角，
（1）当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC；
（2）当AC：AP＝AB：AC时，△ACP∽△ABC．
故答案为：（1）∠B，（2）AB：AC．
16．证明：如图，∵AB AE＝AD AC，
∴＝．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
17．解：△APC与△BPD相似．理由如下：
如图，
∵PC＝PD＝CD，
∴△PCD为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，
∴∠3＝∠4＝120°，
∵∠APB＝120°，
∴∠1+∠2＝120°﹣60°＝60°，
∵∠PCD＝∠A+∠2＝60°，
∴∠1＝∠A，
∴△PAC∽△BPD．
18．证明：∵在△ABC和△ADE中，＝＝，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵，
∴，
∴△ABD∽△ACE．
19．解：（1）△BCD∽△BAC．理由如下：
∵BD＝，AB＝3，BC＝2，
∴＝＝，＝，
∴＝，
而∠DBC＝∠CBA，
∴△BCD∽△BAC；
（2）∵△BCD∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴AC＝．
20．解：△ABC和△DEF相似；
理由如下：根据勾股定理，得AB＝2，BC＝5，AC＝；DF＝2，DE＝4，EF＝2，
∵＝，
∴△ABC∽△DEF．
21．证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB，
∴∠EDB＝∠CFA＝90°，
∴∠1+∠B＝∠2+∠AFG＝90°，且∠1＝∠2，
∴∠AFG＝∠B，且∠FAG＝∠GAB，
∴△AFG∽△ABC．
22．证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠CDA＝∠BAD+∠B，
又∵∠DAE＝∠B，
∴∠BAE＝∠CDA，
∴△ABE∽△DCA．
23．证明：∵∠A＝∠A，∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴△ABD∽△ACE．
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC．
24．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB
∴△ABC∽△ACD
△ACD∽△CBD
△ABC∽△CBD．
25．解：∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B，
∴∠FDC＝∠BED，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△BED∽△CDF．
26．解：∵AD＝2，BD＝6，AC＝4，＝，即＝＝，
∴△ACD∽△ABC．
27．证明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∴点D、E在以BC为直径的圆上，
∴∠AED＝∠ACB，
而∠EAD＝∠CAB，
∴△ADE∽△ABC．
28．证明：∵△ABC中，∠ACB＝90°，F为AB的中点，
∴AF＝CF，∠A+∠B＝90°．
∴∠A＝∠DCF．
∵EF⊥AB，
∴∠B+∠E＝90°，
∴∠A＝∠E，
∴∠E＝∠DCF，
∴△CDF∽△ECF．
29．解：∵＝，
∴＝．
∵∠A是公共角，
∴△ADE∽△ACB．
30．解：∵BD，CE是两条高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴，
∴△ADE∽△ABC．