第2章一元二次方程 期中复习测评 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》期中复习测评（附答案）
一．选择题（共9小题，满分27分）
1．已知关于x的方程（a+1）x|a|+1﹣2x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣1或1
2．若x＝m是方程x2+x﹣1＝0的根，则m2+m+2020的值为（　　）
A．2022 B．2021 C．2019 D．2018
3．用配方法解方程x2﹣6x﹣5＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝4 B．（x﹣6）2＝41 C．（x+3）2＝14 D．（x﹣3）2＝14
4．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+3）2+b＝0的解是（　　）
A．﹣1或﹣4 B．﹣2或1 C．1或3 D．﹣5或﹣2
5．一元二次方程x2+3x＝0的根是（　　）
A．x1＝x2＝3 B．x1＝x2＝﹣3 C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝0
6．已知a、b实数且满足（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6＝0，则a2+b2的值为（　　）
A．3 B．﹣2 C．3或﹣2 D．﹣3或2
7．对于任意实数x，多项式x2﹣2x+3的值是一个（　　）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．不能确定
8．从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽米，竖着比城门高米，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，求竹竿的长度．若设竹竿长x米，则根据题意，可列方程（　　）
A．
B．
C．
D．
9．从正方形铁片，截去2cm宽的一个长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（　　）
A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2
二．填空题（共12小题，满分36分）
10．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x+a2﹣9＝0的常数项是0，则a＝　 　．
11．关于x的方程x2﹣2mx+m＝0的一个根为1，则m的值为　 　．
12．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*3＝0的解为　 　．
13．已知一个三角形的两边长是3和4，第三边的长是方程x2﹣6x+5＝0的一个根，则该三角形的周长是　 　．
14．关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0总有两个实数根，则常数k的取值范围是　 　．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　．
16．近期随着国家抑制房价新政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米10000元降至每平方米8100元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为　 　．
17．若a是方程x2﹣3x+1＝0的根，计算：a2﹣3a+＝　 　．
18．已知a2﹣2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且ab≠1，则的值为　 　．
19．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室总占地面积是75m2时，垂直于现有墙的墙体长是 　 　米．
20．已知x＝2是关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为 　 　．
21．若等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2﹣22x+120＝0的两个解，则等腰△ABC底边上的高为 　 　．
三．解答题（共6小题，满分57分）
22．按要求解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）；
（2）5x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
23．观察下列一组方程：①x2﹣x＝0；②x2﹣3x+2＝0；③x2﹣5x+6＝0；④x2﹣7x+12＝0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．
（1）若x2+kx+56＝0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；
（2）请写出第n个方程和它的根．
24．【阅读材料】
解方程：x4﹣3x2+2＝0
解：设x2＝m，则原方程变为m2﹣3m+2＝0
解得，m1＝1，m2＝2．
当m1＝1时，x2＝1，解得x＝±1．
当m2＝2，x2＝2，解得x＝±．
所以，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝．
【问题解决】
利用上述方法，解方程：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0．
25．已知关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0．
（1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）如果方程有两个实数根x1，x2，当|x1﹣x2|＝时，求出a的值．
26．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？
27．世界上最长的跨海大桥﹣﹣杭州湾跨海大桥通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．
（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．
（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？
（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？
参考答案
一．选择题（共9小题，满分27分）
1．解：∵方程（a+1）x|a|+1﹣2x﹣1＝0是一元二次方程，
∴|a|+1＝2且a+1≠0，
∴a＝±1且a≠﹣1，
∴a＝1，
故选：B．
2．解：∵x＝m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m﹣1＝0，
∴m2+m＝1，
∴m2+m+2020＝1+2020＝2021．
故选：B．
3．解：∵x2﹣6x﹣5＝0，
∴x2﹣6x＝5，
则x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14，
故选：D．
4．解：把方程a（x+m+3）2+b＝0看作关于（x+3）的一元二次方程，
∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，
∴x+3＝﹣2或x+3＝1，
∴x1＝﹣5，x2＝﹣2，
∴方程a（x+m+3）2+b＝0的解为﹣5和﹣2．
故选：D．
5．解：x2+3x＝0，
x（x+3）＝0，
x+3＝0或x＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝0，
故选：D．
6．解：设a2+b2＝t，
原方程化为t2﹣t﹣6＝0，解得t1＝3，t2＝﹣2，
即a2+b2＝3或a2+b2＝﹣2，
而a2+b2≥0，
所以a2+b2的值为3．
故选：A．
7．解：多项式x2﹣2x+3变形得x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，
任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，
所以（x﹣1）2+2的最小值是2，
故多项式x2﹣2x+3的值是一个正数，
故选：A．
8．解：设竹竿的长为x米．
由题意得．
故选：B．
9．解：设原来正方形铁皮的边长为xcm，则剩余部分为长xcm、宽（x﹣2）cm的长方形，
根据题意得：x（x﹣2）＝48，
解得：x＝8或x＝﹣6（不合题意，舍去），
∴x2＝8×8＝64．
答：原来的正方形铁片的面积为64cm2．
故选：D．
二．填空题（共12小题，满分36分）
10．解：∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x+a2﹣9＝0的常数项是0，
∴a2﹣9＝0，即a＝3或a＝﹣3，
当a＝3时，方程为﹣2x＝0，不符合题意，
则a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
11．解：把x＝1代入方程x2﹣2mx+m＝0，
得：1﹣2m+m＝0，
解方程得：m＝1．
故答案为：1．
12．解：∵（x+1）*3＝0，
∴（x+1）2﹣32＝0，
∴（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
所以x1＝2，x2＝﹣4．
故答案为x1＝2，x2＝﹣4．
13．解：解方程x2﹣6x+5＝0得：
x1＝1，x2＝5，
∵1＜第三边的边长＜7，
∴第三边的边长为5．
∴这个三角形的周长是3+4+5＝12．
故答案为：12．
14．解：∵Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣（2k+1）]2﹣4k×k≥0，
解得k≥﹣，
∵二次项系数k≠0，
∴k≥﹣且k≠0．
故答案为：k≥﹣且k≠0．
15．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤，
由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1 x2＝﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．
∴k＝﹣3，
故答案为﹣3．
16．解：设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
10000×（1﹣x）2＝8100，
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
则降价百分率为10%．
故答案为：10%．
17．解：∵a是方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴a2﹣3a+1＝0，
则a2﹣3a＝﹣1，a2+1＝3a，
所以原式＝﹣1+1＝0，
故答案为：0．
18．解：∵b2+2b﹣1＝0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b2，再乘﹣1变形为（）2﹣2 ﹣1＝0，
∵ab≠1，
∴a和可看作方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴a+＝2，
∴＝a+1+＝2+1＝3．
故答案为：3．
19．解：设垂直于墙的材料长为xm，则平行于墙的材料长为（27+3﹣3x）m，
根据题意，得x（30﹣3x）＝75．
解得x1＝x2＝5，
故答案是：5．
20．解：把x＝2代入方程x2﹣（m+4）x+4m＝0得4﹣2（m+4）+4m＝0，解得m＝2，
方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，
∵2+2＝4，
∴三角形三边为4、4、2，
∴△ABC的周长为10，
故答案为：10．
21．解：∵x2﹣22x+120＝0，
∴（x﹣10）（x﹣12）＝0，
则x﹣10＝0或x﹣12＝0，
解得x＝10或x＝12，
①若等腰三角形的腰长为10，则底边长度为12，此时底边上的高为＝8；
②若等腰三角形的腰长为12，则底边长度为10，此时底边上的高为＝；
综上，等腰△ABC底边上的高为8或，
故答案为：8或．
三．解答题（共6小题，满分57分）
22．解：（1）∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
则x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴△＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，
则x＝＝，
即x1＝1，x2＝﹣．
23．解：（1）由题意可得：k＝﹣15，
则原方程为：x2﹣15x+56＝0，
则（x﹣7）（x﹣8）＝0，
解得：x1＝7，x2＝8；
（2）第n个方程为：x2﹣（2n﹣1）x+n（n﹣1）＝0，
（x﹣n）（x﹣n+1）＝0，
解得：x1＝n﹣1，x2＝n．
24．解：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0，
（x2﹣2x）2﹣5（x2﹣2x）+6＝0，
设x2﹣2x＝m，则原方程变为m2﹣5m+6＝0，
解得，m1＝3，m2＝2，
当m1＝3时，x2﹣2x＝3，解得x＝3或﹣1，
当m2＝2，x2﹣2x＝2解得x＝1，
所以，原方程的解为x1＝3，x2＝﹣1，x3＝1+，x4＝1﹣．
25．（1）证明：①当a＝0时，方程为3x﹣3＝0，是一元一次方程，有实数根；
②当a≠0时，方程是一元二次方程，
∵关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0中，Δ＝（3﹣2a）2﹣4a（a﹣3）＝9＞0，
∴无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）解：如果方程的两个实数根x1，x2，则x1+x2＝，x1 x2＝，
∵|x1﹣x2|＝，
∴＝，
解得a＝±2．
故a的值是﹣2或2．
26．解：设每件衬衫应降价x元，
由题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
即2x2﹣60x+400＝0，
∴x2﹣30x+200＝0，
∴（x﹣10）（x﹣20）＝0，
解得：x＝10或x＝20
为了减少库存，所以x＝20．
故每件衬衫应降价20元．
27．解：（1）设A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为x千米，
由题意得，
解得x＝180．
∴A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米．
（2）1.8×180+28×2＝380（元），
∴该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元．
（3）设这批货物有y车，
由题意得y[800﹣20×（y﹣1）]+380y＝8320，
整理得y2﹣60y+416＝0，
解得y1＝8，y2＝52（不合题意，舍去），
∴这批货物有8车．