2.1等式性质与不等式性质课时作业-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

课时作业2.1 等式性质与不等式性质
题型一 比较大小
1．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（ ）
A．a>b B．aC．a≥b D．a≤b
2．已知，下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知为不全相等的实数，，那么与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型二 由完全平方公式得到的不等式及其性质
6．下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>xy.其中恒成立的不等式的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型三 不等式的简单应用
7．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm，人跑开的速度为每秒4 m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．某人月收入x元不高于2 000元可表示为“”
B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“”
C．变量x不小于a可表示为“”
D．变量y不超过a可表示为“”
9．下列选项正确的是（ ）
A．a与b的差不是正数用不等式表示为a-b<0
B．a的绝对值不超过3用不等式表示为a≤3
C．(x-3)2<(x-2)(x-4)
D．x2+y2+1>2(x+y-1)
题型四 不等式的基本性质
10．给出下列四个关于实数的不等关系的推理：
①，
②，
③，
④.
其中推理正确的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
11．下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，，则
12．下列命题是真命题的是（ ）
A．若.则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
13．，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
题型五 利用不等式的性质求取值范围
15．已知实数满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
16．若满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．若，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．若实数、满足，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
19．若，，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型六 不等式的证明
20．（1）若，，求证：；
（2），，，求证：
21．若，，求证：．
22．设，求证：.
23．设，求证：.
试卷第4页，共4页
参考答案
1．C
【分析】
作差比较可得答案.
【详解】
a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
所以a≥b.
故选：C.
2．D
【分析】
运用作差法比较代数式的大小，最后运用配方法化简代数式即可得出结果.
【详解】
根据题意，
选项D正确，选项ABC错误.
故选：D.
3．C
【分析】
作差，配方后可得结论．
【详解】
，则.
故选：C．
4．A
【分析】
利用作差法可得出、、的大小关系.
【详解】
因为，所以，所以，
因为，所以，
故.
故选：A.
5．A
【分析】
利用作差比较法，结合配方法进行判断即可.
【详解】
因为，
所以当为不全相等的实数，有，即，
故选：A
6．B
【分析】
利用作差法进行比较即可得解.
【详解】
∵a2+3-2a=(a-1)2+2>0，∴a2+3>2a，即①正确；
∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，
∴②错误；
∵x2+y2-xy=y2≥0，
∴③错误.
故选：B.
7．C
【分析】
为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间.
【详解】
导火索燃烧的时间秒，人在此时间内跑的路程为m．
由题意可得．
故选：C.
8．C
【分析】
对于A，应满足；对于B，应满足；对于D，应表示为，从而可得结果.
【详解】
对于A，应满足，故A错误；
对于B，应满足，故B错误；
对于C，不小于可表示为“”，C中说法正确；
对于D，与的关系可表示为“”，故D错误．
故选：C.
9．D
【分析】
用做差法比较大小，即可做出判断.
【详解】
A.a与b的差不是正数用不等式表示为a-b≤0，故A错误；
B.a的绝对值不超过3用不等式表示为|a|≤3，故B错误；
C.(x-3)2-(x-2)(x-4)=1>0，所以(x-3)2>(x-2)(x-4)，故C错误；
D.x2+y2+1-2(x+y-1)=(x-1)2+(y-1)2+1>0，所以x2+y2+1>2(x+y-1)，故D正确.
故选：D
10．B
【分析】
根据不等式的性质，逐项检验即可.
【详解】
根据不等式的可加性，可知正确，故①正确；
若，故②错误；
因为，所以，又，所以，故③正确；
若，则④错误；
故选:B.
11．D
【分析】
根据不等式的性质可判断ABC的正误，举反例可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：若，则，故选项A正确；
对于B：若，，则，所以，故选项B正确；
对于C：将两边同时乘以可得：，
将两边同时乘以可得，所以，故选项C正确；
对于D：取，，，，满足，，但，，不满足，故选项D不正确；
所以选项D是假命题，
故选：D.
12．D
【分析】
根据不等式的性质可判断选项A，D；通过举反例可判断选项B，C.
【详解】
当时，若，则，故选项A错误；
当时，满足，但，故选项B错误；
当时，满足，但，故选项C错误；
若，，则由不等式的可加性得，即，选项D正确.
故选：D.
13．D
【分析】
根据不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
由，根据不等式的基本性质，可得成立，所以A不正确；
由，只有当时，根据不等式的性质，可得，所以B不正确；
由，因为，可得，但的符号不确定，所以C不正确；
由，
因为，可得且，
所以，即，所以D正确；
故选：D.
14．D
【分析】
通过举反列即可得ABC错误．
【详解】
A.当时，，故A错；
B.当时，，故B错；
C. 当时，，故C错；
D. 若，则，D正确．
故选：D．
15．B
【分析】
令求出，再由不等式的性质求解即可.
【详解】
令，即
故，解得
因为，，所以
故选：B
16．A
【分析】
根据不等式的性质，求得，且，即可求解.
【详解】
由，可得，
又由，可得，
因为，可得，
所以，即的取值范围是.
故选：A.
17．A
【分析】
由不等式的性质求解即可
【详解】
,
，
，
，
，
又可得，
所以，
所以的取值范围是
故选：A
18．D
【分析】
利用不等式的性质即可求解.
【详解】
解：，
，，
又，
.
故选：D.
19．B
【分析】
利用不等式的基本性质即可得出．
【详解】
解：因为，，
所以，
所以，
故选：B
20．（1）证明见解析，（2）证明见解析
【分析】
（1）利用作差法证明即可，
（2）利用不等式的性质证明即可
【详解】
（1）因为，，
所以
，
所以
（2）因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
即
21．证明见解析
【分析】
要证，只要证即可，所以利用作差法证明即可
【详解】
解：因为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以
【点睛】
此题考查利用不等式的性质证明不等式，属于基础题
22．证明见解析
【分析】
首先判断，，然后将作商的化简结果与1比大小即可.
【详解】
，，.
【点睛】
本小题主要考查不等式的证明，属于中档题.
23．详见解析
【分析】
采用作差法进行求证
【详解】
∵，
∴
【点睛】
对于作差法处理多项式的题型，如遇证明受阻，则应考虑是否涉及拼凑关系，添项补项，放大缩小问题
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答案第9页，共9页