1.4.2充要条件 同步练习-2021-2022学年高一数学上学期人教A版（2019）必修第一册（含答案）

充要条件--夯实基础
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合，的关系如图所示，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．四边形的对角线相等是四边形是平行四边形的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．“”是 “”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A B”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设x∈R，则x>2的一个必要条件是（ ）
A．x>1 B．x<1 C．x>3 D．x<3
7．函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是（ ）
A．m=-2 B．m=1 C．m=-1 D．m=0
8．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形
C．对任意实数、，“是无理数”是“为无理数”的充分条件
D．“”是“”的充分不必要条件
二、多选题
9．已知，使得成立的充分不必要条件可为（ ）
A． B． C． D．
10．下面命题为真命题的是（ ）
A．设，则“”是“”的既不充分也不必要条件
B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件
C．“”是“为单元素集”的充分而不必要条件
D．“”是“”的充分不必要条件
11．下列各命题中，是充要条件的有（ ）
A．，为二次函数 B．，，
C．四边形是正方形，四边形对角线互相平分 D．或，
12．下列说法中正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“”的必要不充分条件是“”
C．
D．“”是“”的充分条件
三、填空题
13．已知p：，q：，那么p是q的__________条件.
14．若为实数，则“”是“”的________条件．
15．若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件.
16．是的______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
四、解答题
17．已知，都是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，那么：
（1）是的什么条件？
（2）是的什么条件？
（3）是的什么条件？
18．已知，求证：的充要条件是.
19．求证：一次函数的图象经过坐标原点的充要条件是.
20．求证：关于的方程有一个根为的充要条件是．
21．设集合，
（1）请写出一个集合，使“”是“”的充分条件，但“”不是“”的必要条件；
（2）请写出一个集合，使“”是“”的必要条件，但“”不是“”的充分条件．
22．已知方程,求使方程有两个大于的实数根的充要条件．
试卷第4页，共4页
参考答案
1．A
【分析】
根据韦恩图判断集合间的包含关系，进而判断题设条件的充分、必要关系.
【详解】
由韦恩图知：，
∴是的充分不必要条件.
故选：A
2．D
【分析】
结合平行四边形的定义，利用充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】
四边形的对角线相等推不出四边形是平行四边形，举反例：等腰梯形的对角线相等，但它不是平行四边形；
由平行四边形的知识可知，不是矩形的平行四边形的对角线是不相等的．
所以四边形的对角线相等是四边形是平行四边形的既不充分也不必要条件，
故选：D．
3．B
【分析】
根据不等式的范围可得所对应集合的关系，然根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．
【详解】
∵“”不能推出“”， “”能推出“”，
∴“”是“”的必要不充分条件
故选：B
4．A
【分析】
利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】
因为，因此，“”是 “”的充分不必要条件.
故选：A.
5．A
【分析】
根据充分条件、必要条件的概念结合集合间的关系可得结果.
【详解】
a＝3时，A＝{1，3}，A B，即充分性成立；
当A B时，a＝2或3，即必要性不成立；
故选：A.
6．A
【分析】
根据必要条件的概念即可判断．
【详解】
因为，一定有；而，不一定有，
故是的必要不充分条件．
故选：A．
7．A
【分析】
根据二次函数的对称轴的求法，利用充要条件的定义判断即可.
【详解】
当m=-2时，f(x)=x2-2x+1，其图象关于直线x=1对称，反之，若函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则，即.
所以f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.
故选：A.
8．D
【分析】
利用充分条件，必要条件的定义，结合举反例即可判断选项.
【详解】
对于A，由不能推出，例：，但，充分性不成立，故A错误；
对于B，因为平行四边形不一定是矩形，四边形是平行四边形不能推出其是矩形，四边形是平行四边形不是它是矩形的充分条件，故B错误；
对于C，对任意实数，是无理数不能推出为无理数，例如：，是无理数，但是有理数，充分性不成立，故C错误；
对于D， 若，则，充分性成立，由不能推出，例如：，满足，但，必要性不成立，是的充分不必要条件，故D正确；
故选：D
9．CD
【分析】
根据题意，结合充分必要条件的定义依次分析选项即可得出选项.
【详解】
根据题意，依次分析选项：
A，若，不一定有，如，
不是的充分条件，A错误；
B，当，时， ，但是不成立，
则不是充分条件，B错误；
C，若，必有，反之若，则，
则不是成立的充分不必要条件，C正确；
D，若，而，必有，
反之若，不一定有，则是成立的充分不必要条件，D正确.
故选：CD
10．BCD
【分析】
A 由，则都不为0则可判断命题；B结合韦达定理即可判断命题；C根据方程根的个数求出参数即可判断；D结合不等式的性质以及解分式不等式即可判断.
【详解】
A若，，则；若，则都不为0，则“”是“”的必要不充分条件；故A为假命题；
B若二次方程有一正根一负根，则两根之积为负，即，从而，故“”是“二次方程有一正根一负根”的必要条件，
若，则，即方程有两根且两根之积为负，所以二次方程有一正根一负根，故“”是“二次方程有一正根一负根”的充分条件，综上“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件，故B为真命题；
C因为为单元素集，若，则符合题意；若，则，则，则符合题意；综上：为单元素集，则或2，因此“”是“为单元素集”的充分而不必要条件，故C是真命题；
D因为，所以，但是若，则或，则“”是“”的充分不必要条件，故D是真命题，
故选：BCD.
11．AD
【分析】
根据充要条件依次判断选项即可得到答案.
【详解】
对选项A，若，为二次函数，满足充分性，
若为二次函数，则，满足必要性，故A选项为充要条件.
对选项B，若，时，则，满足充分性，
若时，则，或，，不满足必要性，故B不符合充要条件.
对选项C，若四边形是正方形，则四边形对角线互相平分，满足充分性，
若四边形对角线互相平分，则四边形为平行四边形，不一定是正方形，
不满足必要性，故C不符合充要条件.
对选项D，若或，则，满足充分性，
若，则，解得或，满足必要性，
故D选项为充要条件.
故选：AD
12．AB
【分析】
根据充分、必要条件的定义，解一元二次方程并结合解集的包含关系判断A、B、D的正误；C注意集合元素是点.
【详解】
A：可知：，而时有，而不一定有，则“”是“”的必要不充分条件，正确；
B：，解得或，则“”的必要不充分条件是“”，正确；
C：，故错误；
D：有，则“”是“”的必要条件，故错误.
故选：AB
13．充分不必要
【分析】
利用充分条件与必要条件的定义判断即可得到答案.
【详解】
由是的真子集，故“”是“”的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
14．充分不必要
【分析】
根据“”与“”的互相推出情况判断属于何种条件即可.
【详解】
当时，显然成立，充分性满足；
当时，令则，故，必要性不满足．
所以“”是“”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要.
15．必要不充分
【分析】
根据三角形相似与全等的概念，结合充分、必要条件的概念判断得到结论.
【详解】
当两个三角形全等时，这两个三角形相似，但两三角形相似时不一定全等，
即，，所以p是q的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
16．充分不必要
【分析】
解一元二次方程求的解集，再判断题设条件间的充分、必要关系即可.
【详解】
由题设，可得或，
∴是的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
17．（1）是的充要条件；（2）是的充要条件；（3）是的必要不充分条件．
【分析】
按，，，的关系画出用“”与“”表示的关系图，并根据推出符号的流向判断关系．
【详解】
解：，，，的关系如图所示:
（1）由关系图，知，且，所以是的充要条件．
（2）因为，，所以是的充要条件．
（3）由关系图，知，但推不出，所以是的必要不充分条件．
18．证明见解析
【分析】
先证明必要性，再证明充分性，即得证.
【详解】
（1）证明必要性：
因为，
所以.
所以
.
所以必要性成立.
（2）证明充分性：
因为，
即，
又，
所以且.
因为，
所以，
即.
所以充分性成立.
综上可得当时，的充要条件是.
【点睛】
本题主要考查充分必要条件的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．证明见解析
【分析】
根据充要条件的定义证明．证明必要性和充分性．
【详解】
证明①充分性：如果，那么.当时，，
所以一次函数的图象经过坐标原点.
②必要性：因为一次函数的图象经过坐标原点，
所以当时，，即，所以.
综上，一次函数的图象经过坐标原点的充要条件是.
【点睛】
本题考查充要条件，掌握充要条件的定义是解题关键．证明时需证充分性和必要性．
20．证明见解析
【分析】
由可得，将方程因式分解后求出方程的根，可知充分性成立，将代入方程可得知必要性成立，由此得出证明.
【详解】
充分性：，，
代入方程得，即．
关于的方程有一个根为；
必要性：方程有一个根为，满足方程，
，即．
故关于的方程有一个根为的充要条件是．
【点睛】
本题考查充要条件的证明，要从充分性和必要性两方面来进行证明，考查推理论证能力，属于中等题.
21．（1）（答案不唯一）；（2）（答案不唯一）
【分析】
根据充分必要性判断集合与集合之间的包含关系，从而写出符合题意的集合.
【详解】
（1）由于“”是“”的充分条件，但“”不是“”的必要条件，所以集合是集合的真子集，由此可得符合题意.
（2）由于于“”是“”的必要条件，但“”不是“”的充分条件，所以集合是集合的真子集，由此可知符合题意.
22．
【详解】
令，方程有两个大于的实数根
，
解得
所以，方程,求使方程有两个大于的实数根的充要条件为
答案第2页，共9页
答案第1页，共9页