2.2基本不等式 同步练习-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册第二章（含答案）

基本不等式同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一 基本不等式的识别
1．三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（ ）
A．如果，那么；
B．如果，那么；
C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立；
D．如果，，那么．
2．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
3．数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
题型二 直接使用基本不等式求最值
4．已知a+2b=2(a>0，b>0)，则ab的最大值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
5．已知x，y均为正数，且满足，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
6．已知正数，，满足，则有（ ）
A．最小值1 B．最小值 C．最大值 D．最大值1
7．已知两个正数满足，则的最小值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
题型三 直接使用乘“1”法
8．已知正数a，b满足3a+4b＝1，则的最小值为（ ）
A．48 B．36 C．24 D．12
9．若正数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C． D．
11．已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则的最小值为（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
13．当0A．0 B．9 C．10 D．12
14．若，，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
题型四 使用乘“1”求参数的值或取值范围
15．已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．已知，且，若不等式恒成立，．则m的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
17．若，且恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型五 倒数关系与相反关系
18．下列不等式的最小值是的是（ ）
A． B． C． D．
19．若，则有（ ）
A．最小值 B．最小值
C．最大值 D．最大值
20．已知，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．6
21．已知，当取最小值时，则a等于（ ）
A． B．6 C．9 D．12
22．已知，则的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
23．设则的最大值是（ ）
A．3 B． C． D．
24．已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不存在
25．若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
26．若，则当取得最大值时，x的值为（ ）
A．1 B． C． D．
题型六 构造倒数关系求最值
27．已知，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
28．已知，且的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
29．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
30．已知，则函数的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
31．已知且，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型七 构造倒数关系求参数
32．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
33．,不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型八 分式型求最值
34．若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
35．若 ，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
36．已知x≥，则y＝有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1
37．函数（）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
38．已知，则 的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．7
39．若，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
40．设，则函数的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
41．已知，函数的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
42．若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
试卷第6页，共6页
参考答案
1．C
【分析】
设图中直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为，进而可表示出阴影面积以及外围正方形的面积，由图可得结果.
【详解】
设图中全等的直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为.
图中四个直角三角形的面积和为，外围正方形的面积为.
由图可知，四个直角三角形的面积之和不超过外围正方形的面积，所以，当且仅当时，等号成立.
故选：C.
2．D
【分析】
设，得到，，在直角中，利用勾股定理，求得，结合，即可求解.
【详解】
设，可得圆的半径为，
又由，
在直角中，可得，
因为，所以，当且仅当时取等号．
故选：D.
3．B
【分析】
根据等腰直角三角形的性质，分别表示和，根据长度关系，判断选项．
【详解】
由图可知，，，
在中，，显然，
即．
故选：B.
4．A
【分析】
根据求解即可．
【详解】
因为则，当且仅当时取等号，
所以
所以的最大值为，
故选：A
5．B
【分析】
直接根据基本不等式即可求出的最大值.
【详解】
∵，，∴，
即，∴，即.
当且仅当且，即，时取等号，∴的最大值为2.
故选：B.
6．D
【分析】
利用基本不等式的性质即可得出结果.
【详解】
∵正数、满足，
∴，当且仅当时取等号，即有最大值，
故选：D
7．B
【分析】
直接由基本不等式可得．
【详解】
，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，故选：
8．A
【分析】
利用基本不等式“1”的代换，求和的最小值即可.
【详解】
正数a，b满足3a+4b＝1，则
当且仅当时等号成立．
故选：A．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
9．B
【分析】
本题考查了基本不等式中的乘“1”法，将乘以，计算以后利用基本不等式的公式运算最小值即可.
【详解】
正数，满足，
则，当且仅当时取等号．
∴的最小值为：．
故选：B.
【点睛】
关于基本不等式的计算需要注意“一正二定三相等”的步骤：
（1）一正：都必须是正实数，如果不满足，需要提负号变为正数才能运用公式；
（2）二定：需要注意是乘积确定还是和确定，然后套用公式求解；
（3）三相等：当且仅当相等时，才能取到最值.
10．C
【分析】
根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
因为，，，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
11．C
【分析】
根据，，且，结合“1”的代换，利用基本不等式求解.
【详解】
因为，，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为4
故选：C
12．A
【分析】
利用“乘1法”即得.
【详解】
∵，
∴，
当且仅当，即时等号成立．
故选：A.
13．B
【分析】
利用基本不等式求解.
【详解】
因为0所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9，
故选：B.
14．B
【分析】
根据，可将化为，结合结合基本不等式即可得出答案.
【详解】
解：若，，且，
则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：B．
15．C
【分析】
不等式恒成立，转化为，利用基本不等式求实数的取值范围.
【详解】
因为，所以不等式恒成立，
即
，
当时，即时，等号成立，所以.
故选：C
16．A
【分析】
利用基本不等式求的最小值，由此可得m的范围.
【详解】
∵ 不等式恒成立
∴
又，，
∴ ，
当且仅当时等号成立，
∴ ，
∴ ，又，
∴ ，
故选：A.
17．D
【分析】
结合“1”的代换，利用基本不等式求得的最小值后可得的范围．
【详解】
因为，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以．即的范围是．
故选：D．
18．C
【分析】
利用基本不等式求解判断.
【详解】
A.当时，，当且仅当时，等号成立；当时，，当且仅当时，等号成立，故错误；
B.当时，，当且仅当时，等号成立；当时，，当且仅当时，等号成立，故错误；
C. 当时，，当且仅当时，等号成立；
D. 当时，，当且仅当时，等号成立；当时，，当且仅当时，等号成立，故错误；
故选：C
19．B
【分析】
利用基本不等式可得结论.
【详解】
因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，所以，当时，则有最小值.
故选：B.
20．C
【分析】
利用基本不等式求得最小值.
【详解】
由于，所以，
当且仅当时等号成立.
故选：C
21．A
【分析】
直接利用基本不等式即可得出答案.
【详解】
解：∵，当且仅当，即或（舍去）时，
∴当取最小值时，．
故选：A.
22．B
【分析】
利用均值不等式，即得解
【详解】
由题意，，根据均值不等式
当且仅当，即时等号成立
故选：B
23．D
【分析】
利用基本不等式求解.
【详解】
因为
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：D
24．D
【分析】
将已知转化为对，不等式恒成立，利用基本不等式可知恒成立，即可得到答案.
【详解】
对，不等式恒成立，可化为恒成立，
利用基本不等式知，当且仅当，即时等号成立
，即恒成立，即实数m的最大值不存在.
故选：D
25．C
【分析】
利用基本不等式求解.
【详解】
因为，当且仅当，即时成立，
所以的最大值是1，
故选：C.
26．D
【分析】
根据基本不等式即可得到答案.
【详解】
因为，所以，则，
当且仅当时取“=”.
故选：D.
27．C
【分析】
利用基本不等式求的最小值.
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ (当且仅当时等号成立)，
∴ (当且仅当时等号成立)，
∴的最小值为3，
故选：C.
28．D
【分析】
构造基本不等式求最小值.
【详解】
因为，所以，
所以，当且仅当，即时取等号.
故选:D.
29．B
【分析】
由于，可得，再将化为，然后利用基本不等式可求出其最小值
【详解】
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故选：B
30．A
【分析】
由题意，，则，利用基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意，，则，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最大值为1，
故选：A
31．A
【分析】
根据题意，只需求的最小值，再根据基本不等式求解即可.
【详解】
∵且，
∴.
当且仅当即时取等号，此时取得最小值小3.
故选:A.
32．D
【分析】
利用基本不等式可求得的最小值，由此可得的范围.
【详解】
当时，（当且仅当时取等号），，即的取值范围为.
故选：D.
33．D
【分析】
不等式化为：，利用基本不等式的性质可得的最小值，即可得出．
【详解】
不等式化为：，
，，当且仅当时取等号．
不等式对一切恒成立，
，
解得，
故选：．
34．B
【分析】
将所求的代数式整理为，再利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为，所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：B.
35．A
【分析】
将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.
【详解】
因，则，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以当时，有最大值.
故选：A
36．D
【分析】
化简得y＝，再利用基本不等式求解.
【详解】
y＝＝＝，
因为x≥，所以x－2＞0，
所以
当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．
故y的最小值为1，没有最大值.
故选：D
37．B
【分析】
将函数化简变形为，然后利用基本不等式求解即可
【详解】
解：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数（）的最小值为，
故选：B
38．A
【分析】
化简 为，利用均值不等式求解即可.
【详解】
，
，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以 的最大值为
故选：A
39．D
【分析】
将解析式化简凑出积为常数，再由基本不等式求出函数的最小值．
【详解】
解：由题意得，，
，
∴，当且仅当时取等号，即，
则函数的最小值是4，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，关键是对解析式化简凑出定值，注意三个条件的验证，属于基础题．
40．B
【分析】
利用换元法令，可将整个式子化简成关于t的函数，分子分母再分别除以t，得到关于t的一个对勾函数，再利用对勾函数的性质求解.
【详解】
令，则，因为，所以.
所以，当且仅当时，有最小值9.
故选：B.
41．B
【分析】
先换元，再运用基本不等式求解.
【详解】
令，则，
所以，
当且仅当等号成立.
故选：B.
42．A
【分析】
利用基本不等式求得的最大值，再根据恒成立，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，对任意，则有，
当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，
又由对任意时，恒成立，所以，
即的取值范围为.
故选：A.
答案第14页，共16页
答案第15页，共16页