专题01 二次函数与一元二次方程、不等式-高中数学新教材变化解读（Word版，含解析）

专题01二次函数与一元二次方程 不等式
[新教材的新增内容]
背景分析：在旧教材中没有单独把三个内容有机的联系到一起，而新教材把该内容进行了整合放到了第一册的第二章的位置，作为必备的工具出现，彰显其重要作用.
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根 有两相异 实数根x1， x2（x1ax2+bx+c>0 （a>0）的解集 {x|xx2} {x|x≠x1} {x|x∈R}
ax2+bx+c<0 （a>0）的解集 {x|x1[新增内容的考查分析]
1.二次方程的根与一元二次不等式的联系
转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质 图象 公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.
【考法示例1】不等式ax2+x+1>0的解集为（m，1），则m+a=________.
解析：由不等式ax2+x+1>0的解集为（m，1），得x=1是方程ax2+x+1=0的根，即a+1+1=0，解得a=-2，则不等式为-2x2+x+1>0，解得-【考法示例2】已知关于x的不等式-x2+ax+b>0.
（1）若该不等式的解集为（-4，2）.求a，b的值；
（2）若b=a+1，求此不等式的解集.
解：（1）根据题意得
解得a=-2，b=8.
（2）当b=a+1时，-x2+ax+b>0 x2-ax-（a+1）<0，即[x-（a+1）]（x+1）<0.
当a+1=-1，即a=-2时，原不等式的解集为 ；
当a+1<-1，即a<-2时，原不等式的解集为（a+1，-1）；
当a+1>-1，即a>-2时，原不等式的解集为（-1，a+1）.
综上，当a<-2时，不等式的解集为（a+1，-1）；当a=-2时，不等式的解集为 ；当a>-2时，不等式的解集为（-1，a+1）.
2.一元二次不等式与二次函数联系
【考法示例1】若不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.（-∞，2] B.[-2，2]
C.（-2，2] D.（-∞，-2）
[解析]当a-2=0，即a=2时，不等式为-4<0，对一切x∈R恒成立.
当a≠2时，则
即解得-2∴实数a的取值范围是（-2，2].
[答案]C
【考法示例2】若对任意的x∈[-1，2]，都有x2-2x+a≤0（a为常数），则a的取值范围是（ ）
A.（-∞，-3] B.（-∞，0]
C.[1，+∞） D.（-∞，1]
[解析]法一：令f（x）=x2-2x+a，则由题意，
得
解得a≤-3，故选A.
法二：当x∈[-1，2]时，不等式x2-2x+a≤0恒成立等价于a≤-x2+2x恒成立，则由题意，得a≤（-x2+2x）min（x∈[-1，2]）.而-x2+2x=-（x-1）2+1，则当x=-1时，（-x2+2x）min=-3，所以a≤-3，故选A.
[答案]A
3.给定参数范围求x范围的恒成立问题的解法
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.
【考法示例1】若不等式x2+px>4x+p-3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是（ ）
A.[-1，3] B.（-∞，-1]
C.[3，+∞） D.（-∞，-1）∪（3，+∞）
[解析]法一（特殊值法）：当x=-1时，由x2+px>4x+p-3，得p<4，故x=-1不符合条件，排除A B；
当x=3时，由x2+px>4x+p-3，得p>0，故x=3不符合条件，排除C.
法二（转换变元法）：不等式变为（x-1）p+x2-4x+3>0，当0≤p≤4时恒成立，
所以
即
解得x<-1或x>3.
[答案]D
[新增内容的针对训练]
1. 下列四个解不等式，正确的有（ ）
A. 不等式2x2-x-1>0的解集是{x|x>2或x<1}
B. 不等式-6x2-x+2≤0的解集是或
C. 若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|-7D. 关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q，1)，则p+q的值为-1
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，B直接解一元二次不等式，对C，D根据一元二次不等式的与对应方程根的关系判断即可．
【详解】解：对于A：，由得，
解得或，不等式的解集为．故A错误；
对于B，，，
，或．故B正确；
对于C：由题意可知和为方程的两个根．
，．故C正确；
对于D：依题意得，1是方程的两根，，即，故D正确．
故选：BCD．
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法和不等式的解集与方程之间的关系，考查了计算能力，属基础题．
2. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ）
A. 或 B. 或
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分和两种情况讨论，结合题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】由于不等式对一切实数都成立.
当时，可得，解得，不合乎题意；
当时，则，解得.
因此，实数的取值范围为.
故选：C．
【点睛】本题考查利用一元二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查计算能力，属于中等题.
3. 在上定义运算，若存在使不等式成立，则实数的取值范围为　 　
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将原式进行化简，然后参变分离，转化为求最值，最后变换成关于m的不等式求解即可.
【详解】令
因为
即
也就是
在时，，取最大值为6
所以
解得
故选C
【点睛】本题考查了不等式的解法，转化思想非常重要，是解题的关键，属于中档题.
4. 若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是
A. [2，＋∞) B. (－∞，－6] C. [－6,2] D. (－∞，－6]∪[2，＋∞)
【答案】D
【解析】
【详解】由已知得方程x2－ax－a＋3＝0有实数根，即Δ＝a2＋4(a－3)≥0，
故a≥2或a≤－6.
5. 已知，不等式的解集是，则b=________；若对于任意，不等式恒成立，则实数t的取值范围是________.
【答案】 ①. ②. t≤-2
【解析】
【分析】由不等式的解集是结合一元二次不等式的解集与对应的一元二次方程的解集的关系可得是的两根，由此可求，再由在上恒成立可得，由此可得t的范围.
【详解】由不等式的解集是，可知和是方程的根，即解得，
所以，
所以不等式可化为，
令 ，由二次函数的性质可知在上单调递减，则的最小值为，所以，
故答案为：4，.
6. 已知函数．
（1）若对于任意的x∈[m，m＋1]，都有＜0成立，求实数m的取值范围；
（2）如果关于x的不等式有解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）（，0）．（2）{m|m≤﹣4，或m≥﹣1}．
【解析】
【详解】分析：（1）由题意可得，由此求得实数m的取值范围；
（2）由题意可得：﹣1，由此求得实数m的取值范围；
详解：（1）由题意可得：
，求得，
即实数m的取值范围为（，0）．
（2）由题意可得：﹣1，求得m≤﹣4，或m≥﹣1，
即实数m的取值范围为{m|m≤﹣4，或m≥﹣1}．
点睛：本题主要考查二次函数的图象和性质应用，体现了转化的数学思想.