新必修四完全同步测试

任意角和弧度制
1.圆弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是（ ）
A． B．1 C． D．
2．设集合，则M与N的关系是（ ）
A. B. C. D.
3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A.2 B. C.2sin1 D.sin2
4.在“①160°②480°③④”这四个角中，属于第二象限的角是( )
A. ① B. ① ② C. ① ② ③ D. ① ② ③ ④
5.若是钝角，则是（ ）
A. 第二象限角 B. 第三象限角
C. 第二象限角或第三象限角 D. 第二象限角或第四象限角
6.设，下列终边相同的角是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
7.若角是第二象限的角，则是（ ）
（A）第一象限或第二象限的角 （B）第一象限或第三象限的角
（C）第二象限或第四象限的角 （D）第一象限或第四象限的角
8.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（ ）弧度
A． 1 B． 2 C．3 D． 4
9. 的弧度数是（ ）
A. B. C. D.
10．下列命题中，命题正确的是（ ）
A．终边相同的角一定相等 B．第一象限的角是锐角
C．若，则角的三角函数值等于角的同名三角函数值
D．半径为，的圆心角所对的弧长为
11.扇形的中心角为，弧长为，则其半径______．
12．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 弧度．
13.终边在y轴上的角的集合是（用弧度制表示）________________.
14.点从圆心在原点的单位圆上点出发，沿逆时针方向运动弧长，到达点，则点的坐标是_______________. 15.将rad化为角度是 ．
16.已知扇形的周长为,其半径为,则该扇形的圆心角的弧度数为 .
17. 求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：
（1）； （2）．
18. 已知角是第二象限角，求：（1）角是第几象限的角；（2）角终边的位置。
19. 如图,一条弦AB的长等于它所在的圆的半径R,求弦AB和劣弧AB所组成的弓形的面积.
A B
R
R
O
20. 已知角的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴.若角的终边过点P（－，y），且sin=y（y≠0），判断角所在的象限，并求cos和tan的值.
选A。设圆的半径为R，则圆弧长为。∴圆心角为。
选C。集合M表示终边落在坐标轴上的角的集合，N表示终边落在y轴上角的集合。
选B.圆弧的半径为，所以圆心角为。
选C。是第二象限角，是第二象限角，是第二象限角，是第三象限角。
选D。 6.选A。终边相同角相差的整数倍。
7.选B。∵，∴，∴是第一象限或第三象限角。
8.选B。利用扇形面积公式即可。 9.C
10.选C。∵，∴的终边相同，∴的同一三角函数值相等。
11.由得，，所以。 12. 13.
14.角的终边与单位圆交点的坐标为。 15. 16.
17. 1、（1）∵，∴与终边相同的角的集合为。 其中最小正角为，最大负角为。
（2）∵，∴与终边相同的角的集合为，其中最小正角为，最大负角为。
18. ∵， ∴；
当为偶数时，在第一象限，当为奇数时，在第三象限；即：为第一或第三象限角。
∵， ∴的终边在下半平面。
19. 扇形=
S弓形=扇形—.
20. 解：依题意，点P到原点O的距离为|OP|=，∴sinα==y.
∵y≠0，∴9+3y2=16.∴y2=，y=±. ∴点P在第二或第三象限.
当点P在第二象限时，y=，cosα==－，tanα=－；
当点P在第三象限时，y=－，cosα==－，tanα=.1.3 三角函数的诱导公式
一、选择题
1．如果|cosx|=cos（x+π），则x的取值集合是（ ）
A．－+2kπ≤x≤+2kπ B．－+2kπ≤x≤+2kπ
C． +2kπ≤x≤+2kπ D．（2k+1）π≤x≤2（k+1）π（以上k∈Z）
2．sin（－）的值是（ ）
A． B．－ C． D．－
3．下列三角函数：
①sin（nπ+）；②cos（2nπ+）；③sin（2nπ+）；④cos［（2n+1）π－］；
⑤sin［（2n+1）π－］（n∈Z）．其中函数值与sin的值相同的是（ ）
A．①② B．①③④ C．②③⑤ D．①③⑤
4．若cos（π+α）=－，且α∈（－，0），则tan（+α）的值为（ ）
A．－ B． C．－ D．
5．设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）
A．cos（A+B）=cosC B．sin（A+B）=sinC
C．tan（A+B）=tanC D．sin=sin
6．函数f（x）=cos（x∈Z）的值域为（ ）
A．{－1，－，0，，1} B．{－1，－，，1}
C．{－1，－，0，，1} D．{－1，－，，1}
二、填空题
7．sin2（－x）+sin2（+x）=_________．
8．若α是第三象限角，则=_________．
9．sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=_________．
三、解答题
10．求值：sin（－660°）cos420°－tan330°cot（－690°）．
11．证明：．
12．已知cosα=，cos（α+β）=1，求证：cos（2α+β）=．
13． 化简：．
14、求证：=tanθ．
15． 求证：（1）sin（－α）=－cosα；
（2）cos（+α）=sinα．
参考答案
一、选择题
1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B
二、填空题
7．1 8．－sinα－cosα 9．
三、解答题
10．+1．
11．证明：左边=
=－，
右边=，
左边=右边，∴原等式成立．
12．证明：∵cos（α+β）=1，∴α+β=2kπ．
∴cos（2α+β）=cos（α+α+β）=cos（α+2kπ）=cosα=．
13．解：
=
=
=
==－1．
14．证明：左边==tanθ=右边，
∴原等式成立．
15．证明：（1）sin（－α）=sin［π+（－α）］=－sin（－α）=－cosα．
（2）cos（+α）=cos［π+（+α）］=－cos（+α）=sinα．第二十三讲 三角函数的图象与性质
一、复习目标要求
1．能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图像，了解三角函数的周期性；
2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；
3．结合具体实例，了解y=Asin（wx+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（wx+φ）的图像，观察参数A，w，φ对函数图像变化的影响。
二、2010年命题预测
近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。
预测2010年高考对本讲内容的考察为：
1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；
2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=Asin（wx+φ）的图象及其变换；
三、知识精点讲解
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
2．三角函数的单调区间：
的递增区间是，
递减区间是；
的递增区间是，
递减区间是，
的递增区间是，
3．函数
最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。
5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：
给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。
6．对称轴与对称中心：
的对称轴为，对称中心为；
的对称轴为，对称中心为；
对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。
7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负 ( http: / / www. / wxc / )利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；
8．求三角函数的周期的常用方法：
经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。
9．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：
五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。
四．典例解析
题型1：三角函数的图象
例1．（2000全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（ ）
解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，）时，y＝－xcosx＜0。答案为D。
例2．（2002上海，15）函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是（ ）
解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］为非奇非偶函数。选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数。
点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。
题型2：三角函数图象的变换
例3．试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象。
解析：y=sin（2x+）
另法答案：
（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；
（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象；
（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。
例4．（2003上海春，15）把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）
A．（1－y）sinx+2y－3=0 B．（y－1）sinx+2y－3=0
C．（y+1）sinx+2y+1=0 D．－(y+1)sinx+2y+1=0
解析：将原方程整理为：y=，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位，因此可得y=－1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.
点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x－）+2（y+1）－1=0，即得C选项。
题型3：三角函数图象的应用
例5．已知电流I与时间t的关系式为。
（１）右图是（ω＞0，）
在一个周期内的图象，根据图中数据求
的解析式；
（２）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．
（１）由图可知 A＝300。
设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝。
∴ ω＝＝150π。
又当t＝时，I＝0，即sin（150π·＋）＝0，
而， ∴ ＝。
故所求的解析式为。
（２）依题意，周期T≤，即≤，（ω>0）
∴ ω≥300π＞942，又ω∈N*，
故最小正整数ω＝943。
点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。
例6．（1）（2003上海春，18）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=与函数f（x）图象的所有交点的坐标。
解析：根据图象得A=2，T=π－（－）=4π，
∴ω=，∴y=2sin（+），
又由图象可得相位移为－，∴－=－，∴=.即y=2sin（x+）。
根据条件=2sin（），∴=2kπ+(k∈Z)或=2kπ+π（k∈Z），
∴x=4kπ+（k∈Z）或x=4kπ+π（k∈Z）。
∴所有交点坐标为（4kπ+）或（4kπ+）（k∈Z）。
点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。
（2）（2002全国文5，理4）在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为（ ）
A．（，）∪（π，） B．（，π）
C．（，） D．（，π）∪（，）
解析：C；
解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图1可得C答案。
图1 图2
解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C。（如图2）
题型4：三角函数的定义域、值域
例7．（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；
（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；
分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。
解析：（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）。
∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。
（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。
又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。
故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－，2kπ+），k∈Z}。
点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。
例8．（2003京春，18）已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。
解析：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠，k∈Z，所以f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠，k∈Z}，
因为f（x）的定义域关于原点对称，
且f（－x）==f（x）。
所以f（x）是偶函数。
又当x≠（k∈Z）时，
f（x）=。
所以f（x）的值域为{y|－1≤y<或点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。
题型5：三角函数的单调性
例9．求下列函数的单调区间：
（1）y=sin（－）；（2）y=－｜sin（x+）｜。
分析：（1）要将原函数化为y=－sin（x－）再求之。
（2）可画出y=－|sin（x+）|的图象。
解：（1）y=sin（－）=－sin（－）。
故由2kπ－≤－≤2kπ+。
3kπ－≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调减区间；
由2kπ+≤－≤2kπ+。
3kπ+≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调增区间。
∴递减区间为［3kπ－，3kπ+］，
递增区间为［3kπ+，3kπ+］（k∈Z）。
（2）y=－|sin（x+）|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，减区间为［kπ－，kπ+］。
例10．（2002京皖春文，9）函数y=2sinx的单调增区间是（ ）
A．［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）
B．［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）
C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）
D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）
解析：A；函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间。
题型6：三角函数的奇偶性
例11．判断下面函数的奇偶性：f（x）=lg（sinx+）。
分析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f（x）与f（－x）的关系。
解析：定义域为R，又f（x）+f（－x）=lg1=0，
即f（－x）=－f（x），∴f（x）为奇函数。
点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件。
例12．（2001上海春）关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题：
①对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；
②不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；
③存在，使f（x）是奇函数；
④对任意的，f（x）都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立。
答案：①，kπ（k∈Z）；或者①，+kπ（k∈Z）；或者④，+kπ（k∈Z）
解析：当=2kπ，k∈Z时，f（x）=sinx是奇函数。当=2（k+1）π，k∈Z时f（x）=－sinx仍是奇函数。当=2kπ+，k∈Z时，f（x）=cosx，或当=2kπ－，k∈Z时，f（x）=－cosx，f（x）都是偶函数.所以②和③都是正确的。无论为何值都不能使f（x）恒等于零。所以f（x）不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。
点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k∈Z不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。
题型7：三角函数的周期性
例13．求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x为何值时，y有最大值。
分析：将原函数化成y=Asin（ωx+）+B的形式，即可求解。
解析：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x－sin2xcos2x+cos4x）
=1－3sin2xcos2x=1－sin22x=cos4x+。
∴T=。
当cos4x=1，即x=（k∈Z）时，ymax=1。
例14．设的周期，最大值，
（1）求、、的值；
（2）。
解析：(1) ， ， ，
又 的最大值。
， ① ，且 ②，
由 ①、②解出 a=2 , b=3.
(2) ， ，
，
， 或 ，
即 ( 共线，故舍去) ， 或 ，
。
点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。
题型8：三角函数的最值
例15．（2003京春文，2）设M和m分别表示函数y=cosx－1的最大值和最小值，则M+m等于（ ）
A． B．－ C．－ D．－2
解析：D；因为函数g（x）=cosx的最大值、最小值分别为1和－1。所以y=cosx－1的最大值、最小值为－和－。因此M+m=－2。
例16．（2000京、皖春理，10）函数y＝的最大值是（ ）
A．－1 B．＋1 C．1－ D．－1－
解析：B；。
五．思维总结
1．数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的。
2．作函数的图象时，首先要确定函数的定义域 ( http: / / www. / wxc / )。
3．对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象。
4．求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化。
5．求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误。
6．函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小。
7．判断y=－Asin（ωx+）（ω＞0）的单调区间，只需求y=Asin（ωx+）的相反区间即可，一般常用数形结合而求y=Asin（－ωx+）（－ω＜0＝单调区间时，则需要先将x的系数变为正的，再设法求之。
图高一必修4三角函数部分测试卷
一、选择题：
若， 则点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若，则的值是 （ ）
A． B． C． D．
3．下面说法正确的是 （ ）
A．第一象限的角是锐角
B．如果，则是第二象限角
C．是第三象限角
D．若，则=（）
4．函数的最小正周期是 （ ）
A． B． C． D．
5．函数和都是增函数的区间是 （ ）
A． , B．,
C．, D．
6．要得到函数的图象，只需将y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
7．函数的图象的一条对称轴方程是 （ ）
A． B． C． D．
8．函数y=cos2x –3cosx+2的最小值是 （ ）
A．2 B．0 C． D．6
9．如果在第三象限，则必定在 （ ）
A．第一或第二象限B．第一或第三象限C．第三或第四象限D．第二或第四象限
10．如果，,则x的值为 （ ）
A． B． C． D．
11．函数的值域是 （ ）
A．[-1，1] B．[-2，2] C． D．
12．已知函数在同一周期内，当时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数的解析式为 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：
13．终边落在y轴上的角的集合是___________________．
14．，则x=___________________．
15．函数的单调递减区间是___________________．
16．函数的定义域是___________________．
17．=___________________．
18．已知，x是第二、三象限角，则a的取值范围是___________________．
三、解答题：
19．设是角终边上不同与原点O的一点，根据三角函数定义求角的四个三角函数值．
20．已知，
求：．
21．已知函数．
（1）求该函数的最小正周期；
（2）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（3）该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
22．已知，且为锐角，为钝角，求的值．
高一必修4三角函数部分测试卷答案
选择题：
BACCD DABDC DC
填空题：
13． 14．
15．
16．
17．2 18．
三、解答题：
19．解：设P(x,y)，
（1）当t>0时，r=5t， （2）当t<0时，r= - 5t
，
，
，
，
20．
解：∵
∴
∴
21．
解：（1）
∴最小正周期是T=2π
（2）y取最大值只需
即
∴函数y取得最大值时自变量x的集合为
（3）①把函数y=sinx的图象向右平移，得到函数的图象
②再把所得图象上的点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象。
经过这样的变换得到的图象。
22．
解：∵为钝角，
∴
∵为锐角，为钝角
∴
∵
∴
∴
∴内容：两角和与差的正弦、余弦、正切
【典型例题分析】
思路分析：角度变换是三角恒等变换的首选方法，解答本例要注意对题中角间的关系进行分析，如（1）中有2A＋B＝（A＋B）＋A，（2）中有β＝α－（α－β），抓住了这些关系后，再恰当地运用公式，问题便不难解决了．
（2）解法一：
又∵β是锐角，
点评：对角间的关系进行分析，主要是分析它们之间的和、差、倍、分关系，以便通过角度变换，减少不同角的个数．它实际上是一种基本量方法，即把题中某些角作为基本量，其他角用基本量表示出来，达到变形的目的．
例2 （1）如果方程的两根为tanα、tanβ，求
的值；
（2）在非直角△ABC中，求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC．
思路分析：观察（1）中待求式特点，须先求出α＋β的一个三角函数值，由韦达定理和和角正切公式特点，可先求tan（α＋β）．根据（2）中恒等式的结构特点，可利用和角正切公式的变形tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ）将左边的正切和转化为右边的正切积．
解：（1）由韦达定理，得
（2）∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
点评：含α、β两角的正切和与正切积的式子，用和、差角正切公式的变形比较容易处理．
例3 化简
思路分析：对于（1），三个角的关系非常明显，结合和、差角三角函数公式的特点，易进行角度变换7°＝15°－8°．对于（2），一方面应由诱导公式将80°角变换成10°的角，另一方面应将切化成弦．
点评：数值角三角式的化简，在变形过程中应注意产生特殊角，并设法将非特殊的三角函数值约掉或消掉．
例4 已知△ABC中的三内角A、B、C成等差数列，且，求的值．
思路分析：本题中角间关系较为隐蔽，注意到，而，．取作为基本量，就找到了解决本题的突破口．
解：由已知，B＝60°，A＋C＝120°
点评：本题实际上是把题设等式看成一个方程，上述解法体现了方程思想的应用．
例5 已知，α、β都是锐角，求tan（α－β）的值．
点评：上述错解未挖掘出角的隐含条件．事实上，由于α、β为锐角，且，可知α－β＜0，于是有．
【同步达纲练习】
1．选择题
(A) (B)
(C) (D)
(A) (B)
(D)
(A) (B)
(C) (D)
2．填空题
3．解答题
参考答案
【同步达纲练习】
1．（1）B；（2）C；（3）A．
2．
3．（7）．提示：变形使用和角的正切公式
（10）§1.1 任意角和弧度制
班级 姓名 学号 得分
一、选择题
1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( )
(A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α
2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( )
(A){α|α=k·360°，k∈Z} (B){α|α=k·180°+90°，k∈Z}
(C){α|α=k·180°，k∈Z} (D){α|α=k·90°，k∈Z}
3.若角α、β的终边关于y轴对称，则α、β的关系一定是（其中k∈Z） ( )
(A) α+β=π （B) α-β= (C) α-β=(2k+1)π (D) α+β=(2k+1)π
4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( )
(A) (B) (C) (D)2
5.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ( )
(A) (B)－ (C) (D)－
*6.已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，下列四个命题：
①A=B=C ②AC ③CA ④A∩C=B,其中正确的命题个数为 ( )
(A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
二.填空题
7.终边落在x轴负半轴的角α的集合为 ，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 .
8. -πrad化为角度应为 .
9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.
*10.若角α是第三象限角，则角的终边在 ，2α角的终边在 .
三.解答题
11.试写出所有终边在直线上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.
12.已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.
13.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
*14.如下图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.
参考答案
§1.1任意角和弧度制
一、CDDCBA
二、7.{x|x=k·3600+1800, k∈Z}, {x|x=k·1800+450,k∈Z} ; 8.-345°; 9. ;
10.第二或第四象限, 第一或第二象限或终边在y轴的正半轴上
三、11.{ α|α=k·3600+1200或α=k·3600+3000, k∈Z } -60° 120°
12.由7θ=θ+k·360°，得θ=k·60°（k∈Z）∴θ=60°，120°，180°，240°，300°
13.∵l=20－2r,∴S=lr=(20-2r)·r=－r2+10r=-(r-5)2+25
∴当半径r=5 cm时，扇形的面积最大为25 cm2,此时，α===2(rad)
14.A点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜π,14分钟后回到原位，∴14θ=2kπ,
θ=，且<θ<π，∴ θ=π或π
x
y
O
A一、两角和与差的余弦
求值：（1） （2）
（3） （4）cos105°
（5）sin75° （6）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°
（7）cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB． （8）
2. （1）求证：cos（－α） ＝sinα．
（2）已知sinθ＝，且θ为第二象限角，求cos（θ－）的值．
（3）已知sin（30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cosα．
3. 化简cos（36°＋α）cos（α－54°）＋sin（36°＋α）sin（α－54°）．
4. 已知，，，，求的值.
5.已知，，求的值。
6. 已知，都是锐角，，，求的值。
7：如何求 的最大值和最小值？
8.在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，求cosC的值.?
二、两角和与差的正弦
1利用和差角公式计算下列各式的值
（1） （2）
（3） （4）
?
二、证明：
3（1）已知，是第四象限角，求的值。
（2）已知
三、两角和与差的正切
1、求tan105，tan15的值：
2.求值：（1）；（2）．
3：求值。
4：求值。
5．已知，且是方程的两个根，求．
6 求下列各式的值：1 2tan17+tan28+tan17tan28高中数学必修4测试试卷
一.选择题：（共.40分）
1.的正弦值等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．215°是 （ 　 ）
（A）第一象限角 （B）第二象限角
（C）第三象限角 （D）第四象限角
3．角的终边过点P（4，－3），则的值为 （ 　 　）
（A）4 （B）－3 （C） （D）　
4．若sin<0，则角的终边在 （　 ）
（A）第一、二象限 （B）第二、三象限
（C）第二、四象限 （D）第三、四象限
5．函数y=cos2x的最小正周期是 （ 　 ）
（A） （B） （C） （D）
6．给出下面四个命题：①；②；③；
④。其中正确的个数为 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
7．向量，，则 （ ）
（A）∥ （B）⊥
（C）与的夹角为60° （D）与的夹角为30°
8. 化简的结果是 ( )
（A） （B） 　（C） （D）
9． 函数是 （ ）
（A） 周期为的奇函数 （B） 周期为的偶函数
（C） 周期为的奇函数 （D） 周期为的偶函数
10．函数在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
二.填空题：（共20分，请将答案直接填在题后的横线上。）
11．已知点A（2，－4），B（－6,2），则AB的中点M的坐标为 ；
12．若与共线，则＝ ；
13．若，则= ；
14．已知，与的夹角为，那么= 。
15．函数的值域是　 ；
三．解答题（共.40分，解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）
16． 用五点作图法画出函数 的简图.
17．求值：（1）；　　　　　　（2）
18. 已知为锐角，且cos=,cos=，求的值.
19．设，，，∥，试求满足
的的坐标（O为坐标原点）。
20.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P.
(1)已知平面内点A（2，1），点B（，）.把点B绕点A沿逆时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标；
(2)设平面内曲线C上的每一点绕坐标原点O沿顺时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线，求原来曲线C的方程.
参考答案
一．选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D A B B B C A
二．填空题：
11. （－2，－1） 12. _ －6 __ 13._ －3 14. 15____[－1,3] ___
三.解答题:
16.略
17.解：（1）
（2）原式=
=
18.
19. 解：设，由题意得：
20. 解:(1) 设P(x,y), 则，
，
由题意，得：
∴ x-2=6，y-1=2， ∴x=8，y=3.
（2）设P（x，y）是曲线C上任意一点，绕绕坐标原点O沿顺时针方向旋转后，点P的坐标为（x’，y’），则：
即
又因为所以
化简得： .§1．2．2 同角三角函数的基本关系
【学习目标、细解考纲】
灵活运用同角三角函数的两个基本关系解决求值、化简、证明等问题。
【知识梳理、双基再现】
1、同一个角的正弦、余弦的平方和等于 ，
商等于 。
即 ; 。
【小试身手、轻松过关】
2、，则的值等于 （ ）
A． B． C． D．
3、若，则 ； ．
4、化简sin2＋sin2β－sin2sin2β＋cos2cos2β= ．
5、已知，求的值．
【基础训练、锋芒初显】
6、已知A是三角形的一个内角，sinA＋cosA = ,则这个三角形是 （ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不等腰直角三角形 D．等腰直角三角形
7、已知sinαcosα = ,则cosα－sinα的值等于 （ ）
A．± B．± C． D．－
8、已知是第三象限角，且，则 （ ）
A． B． C． D．
9、如果角满足,那么的值是 （ ）
A． B． C． D．
10、若 = －2 tan，则角的取值范围是 ．
11、已知，则的值是
A． B． C．2 D．－2
12、若是方程的两根，则的值为
A． B． C． D．
13、若，则的值为________________．
14、已知，则的值为 ．
15、已知，则m=_________； ．
16、若为二象限角，且，那么是
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【举一反三、能力拓展】
17、求证：．
练习、已知，且．
（1）求、的值；（2）求、、的值．
（3）求sin3β – cos3β的值（4）
（5） ，（6） ，
19、化简：tanα（cosα－sinα）＋
【名师小结、感悟反思】
由已知一个三角函数值，根据基本关系式求其它三角函数值，首先要注意判定角所在的象限，进而判断所求的三角函数值的正负，以免出错。
化简三角式的目的是为了简化运算，化简的一般要求是：
⑴能求出值的要求出值来，函数种类尽量少；
⑵化简后式子项数最少，次数最低；
⑶尽量化去含根式的式子，尽可能不含分母。
3、证明三角恒等式实质是消除等式两端的差异，根据不同题型，可采用：
⑴左边右边 ⑵右边左边 ⑶左边、右边中间。这是就证明的“方向”而言，从“繁、简”角度讲一般由繁到简。
§1．2．2 同角三角函数的基本关系
【小试身手、轻松过关】
2、B
3、；(在一象限时取正号，在三象限时取负号)．
4、1；
5、；(在一象限时取正号，在二象限时取负号)．
【基础训练、锋芒初显】
6、B 7、B 8、A 9、D 10、
11、A 12、B
13、 14、 15、或；或
16、C
【举一反三、能力拓展】
17、左边
右边．
18、（1）由可得：
；
于是：，；
∵且，∴，．
于是：．
（2）；；．
19、提能拔高限时训练20 y=Asin(ωx+φ)的图象
一、选择题
1.把函数y=f(x)的图象沿直线x+y=0的方向向右下方平移个单位,得到函数y=sin3x的图象,则( )
A.f(x)=sin(3x+6)+2 B.f(x)=sin(3x-6)-2
C.f(x)=sin(3x+2)+2 D.f(x)=sin(3x-2)-2
2.把函数y=sin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜)的图象向左平移个单位,所得曲线的一部分如图所示,则ω、φ的值分别为( )
A.1, B.1, C.2, D.2,
3.已知函数f(x)=sinωx在［0,］上单调递增且在这个区间上的最大值为,则实数ω的一个值可以是( )
A. B. C. D.
4.已知函数f(x)=sinx,g(x)=cosx,则下列结论中正确的是( )
A.函数y=f(x)·g(x)是偶函数
B.函数y=f(x)·g(x)的最大值为1
C.将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象
D.将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象
5.函数y=Asin(ωx+φ)图象的一部分如图所示,则此函数的解析式可以写成( )
A. B.
C. D.
6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的图象如图,则f(x)的解析式及S=f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 006)的值分别为( )
A.,S=2 006
B.,
C.,
D.,S=2 007
7. 为了得到函数,x∈R的图象,只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
B.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
8.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线是其图象的一条对称轴,则下列各式中符合条件的解析式是( )
A. B.
C. D.
9.把函数的图象沿向量a=(-m,m)(m＞0)的方向平移后,所得的图象关于y轴对称,则m的最小值是( )
A. B. C. D.
10.如果f(x)=sin(πx+θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么( )
A.T=2, B.T=1,θ=π C.T=2,θ=π D.T=1,
二、填空题
11.曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1,P2,P3,…,则|P2P4|=____________.
12.要得到的图象,且使平移的距离最短,则需将y=sin2x的图象向_______平移____________个单位,即可得到.
13.函数的单调递增区间为___________.若将函数的图象向左平移a(a＞0)个单位,得到的图象关于原点对称,则a的最小值为______________.
14.函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈［0,2π］的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是_____________.
三、解答题
15.已知函数.
(1)用“五点法”画出函数f(x)在［0,］上的简图;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,f(A)=1,,b+c=3(b＞c),求b,c的长.
16.已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A＞0,0＜φ＜π)(x∈R)的最大值是1,其图象经过点M(,).
(1)求f(x)的解析式;
(2)已知α,β∈(0,),且,,求f(α-β)的值.
【例1】如图,某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.
(1)求这段时间的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
【例2】作出函数y=|sinx|+|cosx|,x∈［0,π］的图象,并写出函数的值域.
提能拔高限时训练20 y=Asin(ωx+φ)的图象
1.解析:实质上是将y=f(x)向右平移2个单位,向下平移2个单位,得到y=sin3x,逆向思维即得y=f(x)=sin［3(x+2)］+2=sin(3x+6)+2.故选A.
答案:A
2.解析:将y=sin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜)的图象向左平移个单位,得到.
∴
解得故选D.
答案:D
3.解析:∵f(x)=sinωx在［0,］上单调递增,∴当时,.检验,当时,有,符合题意.故选C.
答案:C
4.解析:∵f(x)=sinx是奇函数,g(x)=cosx是偶函数,∴y=f(x)·g(x)是奇函数.故A错;
∵y=f(x)·g(x)=sinx·cosx=·sin2x,
∴y=f(x)·g(x)的最大值为.故B错;
∵,
∴将f(x)=sinx的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象.故选D.
答案:D
5. 解析:由图象可知周期是,所以周期是π,再根据原点向左平移了,可知.故选C.
答案:C
6. 解析:观察题中图象可知,
,
f(0)=1,,f(2)=1,,f(4)=1,∴f(x)以4为周期.
f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=4,
2 006=4×501+2,
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 006)=4×501+f(2 004)+f(2 005)+f(2 006)
.故选B.
答案:B
7.解析:2sinx2sin(x+)
.故选C.
答案:C
8.解析:由最大值为4,最小值为0,得A=2,m=2.
由,得ω=4.
由是一条对称轴得.
∴.令k=1得,
∴.
答案:D
9. 解析:,
y=cosx(x∈R)的图象关于y轴对称,将y=cosx的图象向左平移π个单位时,图象仍关于y轴对称.故选C.
答案:C
10. 解析:∵,
又∵x=2时,有,
∴,k∈Z.
又0＜θ＜2π,则k=1,.
故选A.
答案:A
11. 解析:,
联立方程组
∴|P2P4|=|x2-x4|=π.
答案:π
12. 解析:由y=sin2x的图象向左平移个单位,得到的图象.而.
答案:左
13. 解析:(1)∵,
∴≤≤时,f(x)单调递增,解得函数增区间为［,］(k∈Z).
(2)向左平移a个单位,得g(x)=-sin(x+a-).因其关于原点对称,
∴,a的最小值为.
答案:［,］(k∈Z)
14. 解析:
作图如下:
由图知k∈(1,3).
答案:(1,3)
15. 解:(1)
.
列表:
x 0
y -1 0 2 0 -2
描点、连线可得函数f(x)的图象如下:
(2)∵f(A)=1,即,
∴.
∵0＜A＜π,
∴-＜＜.
∴.
∴.
由,
即(b+c)2-a2=3bc,
∴bc=2.
又b+c=3(b＞c),
∴
16. 解:(1)∵f(x)=Asin(x+φ)(A＞0,0＜φ＜π)的最大值是1,
∴A=1.
∵f(x)的图象经过点M(,),
∴.
∵0＜φ＜π,
∴.
(2)∵f(x)=cosx,
∴,.
已知α,β∈(0,),∴,.
故f(α-β)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=.
数学参考例题 志鸿优化系列丛书
【例1】解:(1)由题图,知最大温差为30-10=20(℃).
(2)题图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象.
∴.
∴.
由题图所示,.
这时,将x=6,y=10代入上式,可得.
综上,所求解析式为,x∈［6,14］.
【例2】解:
如下图,函数的值域为［1,］
www.同角关系练习题
1．已知，则等于（　）
　　A．　　 　B．－　 　 C．－　 　D．
2．已知A为锐角，，则的值为（　）
　　A．　　 　B．　　 　 C．　　 　D．
3．若是三角形的一个内角，且，则三角形为（　）
　　A．钝角三角形　　 B．锐角三角形　　 C．直角三角形　 　D．等腰三角形
4．函数的值域是（　）
　　A．｛0，2｝ B．｛－2，0｝ 　C．｛－2，0，2｝ 　D．｛－2，2｝
5、化简：。
6、化简：。
7、求证：。
8、求证： 。
9、求证：。
10、求证：。
11、当实数，分别为何值时，三角函数式
的值与无关，且恒等于1。
12、已知，若，则可化简为
7．已知，求，．
　 8．化简．
　 9．化简．
答案:
1、C 2、D 3、A 4、C
13、
14、
15、
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第二课时:化简与证明
6.解:原式=1anz(1+sinx
an x+tan rcos x
1.C提示:√+2in4cos4=√(sn4+s4)2
n I 1+sin I 1+cos x sin x
=in4+s44x4_3)不
sin x 1+cos x
+sin x
-tan T
∴sin4<0,cos4<0.∴.sin4+cos4<0
7.证法1:tan2a-sino=sin2a
∴原式=-(sin4+cos4)
提示:原式=(sin21°+sin289°)+
in a sin2 acosta sin a(1-cos2 a)
(sin2°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)
sna·sin-a
=tan“a·S
cOs a
+sin245°=44+
原式成立
3.0提示:原式=
证法2:tan2a-sin2a=tan2a-tan2acos2a
(4-5cos a)(4+5cos a)+(3-5sin a)(3+-5sin a) =tana(l-cos2a)=tan a. sin a
(3-5sin a)(4+5cos a)
∴原式成立
16-25cos2a+9-25sin2a
(3-5ina)(4+5c0sa)=0
8.证明:左边
4.解:(1)原式
cos a(+sin a)
a(l+sin a)
(1-sin a)(l+sin a)
1-sin'a
cosa+(I+
cos a
COs a
sIn a
cosa(1+sina)1+sino右边
-Vcos a-sin a)cos a+sin a(sin atc
cOs a
= Vcos a-sin acos a+sin a+sin acos a
原式成立
sin a
cos a
=1
9.证明:左边=
1+sin a+cos a (1+sin. a
(2)原式
cosa
V(+COS a)2TN(-cos a)
sin c
sin af
cos a(1+sin atcos a)
1-+cos a 1-cos
I+sin atcos a
1+sin a
sin a(l-+sin a+cos a)
∴原式
sin a
SIn a
cos a+
sin a
cos a
cos a
1+sin a+cos
1-+sin a
sin a
1-+cos a
tsin a+cos a
1-sin a
sin a
cOs a
T sin a
cOS a
sina+ cosa)
(cos a+1-sin
1-(1-2sin2acos2a)
1-(sin+a-sin acosta+cosa)
Icos a)--
2(0asna=右边
1+sin a+cos.a
2sin acos a
原式成立
2sin acos a 2第四章：三角函数 第二单元　和差倍角公式测试题
一、选择题：
1．(05春北京)在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，则△ABC一定是 ( )
　A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
2．的值是 ( )
　A． B．eq \f(,2) C． D．
3．f(x)＝的值域为 ( )
　A．(――1,―1) ∪(―1, ―1) B．[eq \f(－－1,2),―1] ∪(―1, eq \f(－1,2))
C．(eq \f(－－1,2),eq \f(－1,2)) D．[eq \f(－－1,2),eq \f(－1,2)]
4．已知x∈(－,0)，cosx＝，则tan2x等于 ( )
A． B．－ C． D．－
5．(2004春北京)已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则下列不等关系中必定成立的是(　　)
　A．tan＜cot， B．tan＞cot， C．sin＜cos， D．sin＞cos．
6．(04江苏)已知0＜α＜，tan＋cot＝，则sin(α－)的值为 (　　)
　A．eq \f(4＋3,10) B．eq \f(4－3,10) C．eq \f(3－4,10) D．－eq \f(4＋3,10)
7．等式sinα＋cosα＝有意义，则m的取值范围是 (　　)
　A．(－1,) B．[－1,] C．[－1,] D．[―,―1]
8．在△ABC中，tanA tanB＞1是△ABC为锐角三角形的 (　　)
　A．充要条件 B．仅充分条件 C．仅必要条件 D．非充分非必要条件
9．已知α.β是锐角，sinα＝x，cosβ＝y，cos(α＋β)＝－，则y与x的函数关系式为(　　)
　A．y＝―＋x (＜x＜1) B．y＝―＋x (0＜x＜1)　
C．y＝――x (0＜x＜＝ D．y＝――x (0＜x＜1＝
10．已知α∈(0,π)，且sinα＋cosα＝，则tanα的值为 (　　)
　A．－ B．－ 或－ C．－ D． 或－
11．(05全国)在△ABC中，已知tan＝sinC，则以下四个命题中正确的是 (　　)
(1)tanA·cotB＝1．(2)1＜sinA＋sinB≤．(3)sin2A＋cos2B＝1．(4)cos2A＋cos2B＝sin2C．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
12．(2003⑷) 函数的最大值为 ( )
（A） （B） （C） （D）2
二、填空题：
13．(03上海)若x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，α∈(0,2π)，则α＝＿＿＿＿＿＿．
14．已知cosθ＋cos2θ＝1，则sin2θ＋sin6θ＋sin8θ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
15．函数y＝5sin(x＋20°)－5sin(x＋80°)的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
16．若圆内接四边形的四个顶点A、B、C、D把圆周分成∶∶∶＝4∶3∶8∶5，则四边形四个内角A、B、C、D的弧度数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
三、解答题
17．设cos(α－)＝－，sin(－β)＝，且＜α＜π，0＜β＜，求cos（α＋β）．
18．已知f(x)＝2asin2x－2asinx＋a＋b的定义域是[0, ]，值域是[－5,1]，求a、b的值．
19．(04湖北)已知6sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝0，α∈[,π]，求sin(2α＋)的值．
20．(05北京)在△ABC中，sinA＋cosA＝eq \f(,2)，AC＝2，AB＝3，求tanA的值和△ABC的面积．
21．在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．
22．是否存在锐角α和β，使α＋2β＝①，且tantanβ＝2－②，同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B　由2sinAcosB＝sin(A＋B)sin(B－A)＝0B＝A．
2．C 原式＝＝eq \f(cos20°,cos20°)＝．
3．B 令t＝sin x＋cos x＝sin(x＋)∈[―,―1]∪(―1, )．
则f(x)＝eq \f(,1＋t)＝∈[eq \f(－－1,2),―1]∪(―1, eq \f(－1,2))．
4．D．5．B ∵sinθ＞0，cosθ＜0，tan－cot＝eq \f(sin,cos)－eq \f(cos,sin)＝－＞0．∴tan＞cot．
6．B tan＋cot＝＝．∴sinα＝．cosα＝． sin(α－)＝sinα－eq \f(,2)cosα＝eq \f(4－3,10)．
7．C 8．A
9．A y＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝―＋x＞04x＞3＜x＜1．
10．A 解：当α∈(0, )时，sinα＋cosα＝sin(α＋)＞1．故α∈(,π)．
∴sinα＞0,cosα＜0．且|sinα|＞|cosα|∴|tanα|＞1．
由(sinα＋cosα)2＝sin2α＝－＝－tanα＝－或tanα＝－(舍)．
11．B 解：由tan＝＝＝sinC。∴cosC＝0，C＝．
∴A＋B＝．故①式＝tan2A≠1。②式＝sinA＋cosA＝sin(A＋)∈(1，)，
③式＝2sin2A≠1，④式＝cos2A＋sin2A＝1＝sin2C．
12．Ａ　解：。
13．。 14．1 解：cosθ＝sin2θ，∴sin6θ＝cos3θ，sin8θ＝cos4θ．
∴sin2θ＋sin6θ＋sin8θ＝cosθ＋cos3θ＋cos4θ＝cosθ＋cos2θ(cosθ＋cos2θ)
＝cosθ＋cos2θ＝1．
15．7　 解：y＝3sin(x＋20°)＋5[sin(x＋20°)cos60°＋cos(x＋20°)sin60°]
＝sin(x＋20°)＋eq \f(5,2)cos(x＋20°)＝7sin(x＋20°＋φ)≤7．
16．,,,，解∵＝．故四条弧所对圆心角分别为，，，．
四内角分别为(＋)＝π．(＋)＝，，．
17．分析：∵＝(α―)―(－β)．
解：∵α∈(,π)β∈(0, )．∴＜α－＜π，－＜－β＜．
∴由cos(α－)＝－得sin(α－)＝eq \f(4,9)，由sin(－β)＝．得cos(－β)＝eq \f(,3)．
∴cos＝cos[(α―)―(―β)]＝…＝eq \f(7,27)．∴cos(α＋β)＝2×(eq \f(7,27))2－1＝－．
18．解：令sinx＝t，∵x∈[0, ]．∴t∈[0,1]． f(x)＝g(t)＝2at2－2at＋a＋b＝2a(t－eq \f(,2))2＋b．
当a＞0时，则当a＜0时，则．
19．解：依题知α≠，cosα≠0．方程可化为6tan2α＋tanα－2＝0．tanα＝－或 (舍)．
∴sin(2α＋)＝sin2αcos＋cos2α·sin＝sinαcosα＋eq \f(,2)(cos2α－sin2α)
＝＋eq \f(,2)·＝＋eq \f(,2)×＝－＋eq \f(5,26)．
20．解：sinA＋cosA＝cos(A－45°)＝eq \f(,2)， ∴cos(A－45°)＝．
∵0°＜A＜180°，∴A－45°＝60°，A＝105°，
∴tanA＝tan(60°＋45°)＝―2―， sinA＝sin(60°＋45°)＝eq \f(＋,4)，
∴S△ABC＝AC·AB．sinA＝×2×3×eq \f(＋,4)＝(＋)．
21．解：如图作PE⊥AD于E．设BP＝X． 则x＋a＝，∴x＝，
∴AE＝BP＝，DE＝PC＝a，∴tan∠APD＝tan(∠1＋∠2)＝eq \f(＋,1－×)＝18．
22．解1：由①得＋β＝，∴tan(＋β)＝eq \f(tan＋tanβ,1－tantanβ)＝．
将②代入得tan＋tanβ＝3－．∴tan,tanβ是方程x2―(3―)x＋2－＝0的两根．
解得x1＝1，x2＝2－．若tan＝1，则α＝与α为锐角矛盾．∴tanβ＝1, tan＝2－，
∴β＝．代入①得α＝．满足tan＝2－．
解2：由①得＝－β，代入②得：tan(－β)·tanβ＝2－eq \f(－tanβ,1＋tanβ)·tanβ＝2－．
tan2β―(3―)tanβ＋2－＝0；tanβ＝1或2－．
若tanβ＝1，则β＝，α＝．
若tanβ＝2－．代入②得cot＝1，则α＝不合题意．故存在α＝，β＝使①、②同时成立．
A
E
D
C
P
B
1
2课时作业19　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及
三角函数模型的简单应用
时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．将函数y＝sin(6x＋)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是
(　　)
A．(，0)　　　 B．(，0) C．(，0) D．(，0)
2．如图1为函数y＝2sin(ωx＋φ)(|φ|<)的图象，那么
(　　)
图1
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－
3．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是
(　　)
4．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图像如图2所示，f()＝－，则f(0)＝ (　　)
A．－　　　　　　 B．－
C. D.
5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图像向左平移|φ|个单位长度，所得图像关于y轴对称，则φ的一个值是 (　　)
A.　　　　　 B. C. D.
6．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图像与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是 (　　)
A．[kπ－，kπ＋]，k∈Z B．[kπ＋，kπ＋]，k∈Z
C．[kπ－，kπ＋]，k∈Z D．[kπ＋，kπ＋]，k∈Z
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图3所示，则ω＝______.
8．将函数y＝f(x)·sinx(x∈R)的图象向右平移个单位后，再作关于x轴对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是
9．设函数f(x)＝sin2x，若f(x＋t)是偶函数，则t的一个可能值是__________．
三、解答题(共55分)
10．已知函数f(x)＝2sinxcos(－x)－sin(π＋x)cosx＋sin(＋x)cosx.
(1)求函数y＝f(x)的最小正周期和最值；
(2)指出y＝f(x)的图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于坐标原点对称．
11．函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图象过点(0,1)，如图4所示．
(1)求函数f1(x)的表达式；
(2)将函数y＝f1(x)的图象向右平移个单位，得函数y＝f2(x)的图象，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合．
——思维拓展——
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<.
(Ⅰ)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ 的值；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．
参考答案
时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．解析：将函数y＝sin(6x＋)的图象按照条件变换后得到y＝sin2x的图象，故选A.
答案：A
2．解析：因图象可由y＝2sinωx左移而得，∴φ>0，又∵图象过(0,1)点，∴φ＝，再由图象过(π，0)，得ω＝2.
故选C.
答案：C
3．解析：当a＝0时，f(x)＝1，图象即为C；当01时，三角函数的周期为T＝<2π ，图象即为B.故选D.
答案：D
4．解析：由图象可知所求函数的周期为π，故ω＝3，将(，0)代入解析式得π＋φ＝＋2kπ，所以φ＝－＋2kπ，令φ＝－代入解析式得f(x)＝Acos(3x－)，又因为f()＝－Asin＝－，所以f(0)＝Acos(－)＝Acos＝，故选C.
答案：C
5．解析：由最小正周期为π得ω＝2，于是f(x)＝sin(2x＋)，其图象向左平移|φ|个单位长度后所对应的函数的解析式为y＝sin(2x＋＋2|φ|)，由于该函数的图象关于y轴对称，所以它是偶函数，所以＋2|φ|＝kπ＋，k∈Z，所以
|φ|＝＋，k∈Z，故选D.
答案：D
6．解析：∵y＝sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋)，且由函数y＝f(x)与直线y＝2的两个相邻交点间的距离为π知，函数y＝f(x)的周期T＝π.
∴T＝＝π，解得ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋)．
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．解析：观察函数图象可得周期T＝，又由函数y＝Asin(ωx＋φ)得T＝，则T＝＝，所以ω＝3.
答案：3
8．解析：将y＝f(x)sinx的图象向右平移个单位得
y＝f(x－)sin(x－)的图象，
其关于x轴的对称图象的解析式为
y＝－f(x－)sin(x－)，
∵y＝1－2sin2x＝cos2x＝sin(－2x)
＝2sin(－x)cos(－x)＝－2cos(x－)sin(x－)
∴f(x－)＝2cos(x－)，
故f(x)＝2cosx.
答案：2cosx
9．解析：∵f(x＋t)＝sin2(x＋t)＝sin(2x＋2t)是偶函数，
∴f(x＋t)＝f(－x＋t)，
即sin(2x＋2t)＝sin(－2x＋2t)．
∴2x＋2t＝－2x＋2t＋2kπ，k∈Z，
或2x＋2t＝π－(－2x＋2t)＋2kπ，k∈Z.
∴t＝π，k∈Z.
答案：，，，…，π(k∈Z)
三、解答题(共55分)
10．解：(1)f(x)＝2sinxsinx＋sinxcosx＋cosxcosx＝sin2x＋1＋sinxcosx＝＋sin2x－cos2x＝＋sin(2x－)，
∴y＝f(x)的最小正周期T＝π，
y＝f(x)的最大值为＋1＝，最小值为－1＝.
(2)将函数y＝＋sin(2x－)的图象左移个单位，下移个单位得到y＝sin2x关于坐标原点对称．
(附注：平移(－－，－)，k∈Z均可)
11．解：(1)由图知，T＝π，于是ω＝＝2.
将y＝Asin2x的图象向左平移，
得y＝Asin(2x＋φ)的图象，于是φ＝2·＝.
将(0,1)代入y＝Asin(2x＋)，得A＝2.
故f1(x)＝2sin(2x＋)．
(2)依题意，f2(x)＝2sin[2(x－)＋]
＝－2cos(2x＋)，
当2x＋＝2kπ＋π，
即x＝kπ＋(k∈Z)时，ymax＝2.
x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
——思维拓展——
12．解：解法1：(Ⅰ)由coscosφ－sinsinφ＝0得
coscosφ－sinsinφ＝0，即cos(＋φ)＝0.
又|φ|<，∴φ＝.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，f(x)＝sin(ωx＋)．依题意，＝.
又T＝，故ω＝3，∴f(x)＝sin(3x＋)．
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为
g(x)＝sin[3(x＋m)＋]．
g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)．
即m＝＋(k∈Z)，从而，最小正实数m＝.
解法2：(Ⅰ)同解法1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，f(x)＝sin(ωx＋)．
依题意，＝.
又T＝，故ω＝3，∴f(x)＝sin(3x＋)．
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为
g(x)＝sin[3(x＋m)＋]，
g(x)是偶函数当且仅当g(－x)＝g(x)对x∈R恒成立，
亦即sin(－3x＋3m＋)＝sin(3x＋3m＋)对x∈R恒成立．
∴sin(－3x)cos(3m＋)＋cos(－3x)sin(3m＋)
＝sin3xcos(3m＋)＋cos3xsin(3m＋)，
即2sin3xcos(3m＋)＝0对x∈R恒成立．
∴cos(3m＋)＝0，故3m＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴m＝＋(k∈Z)，从而，最小正实数m＝.
图2
图3
图3三角函数的图象和性质练习题
一、选择题 ( http: / / www. )
1. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 函数是上的偶函数，则的值是（ ）
A. ( http: / / www. / ) B. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) C. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) D. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2. ( http: / / www. / ) 将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则等于
A． B． C． D．
3. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 若则（ ） (45A. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) B. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
C. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) D. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
4. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 函数的最小正周期是（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) B. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) C. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) D. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
5. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 在函数、、、中，
最小正周期为的函数的个数为（ ）.
A. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 个 B. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 个 C. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 个 D. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 个
6.的图象中相邻的两条对称轴间距离为 （ ）
A．3π B． C． D．
7. 函数的一条对称轴方程（ A ）
A． B． C． D．
8. 使（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ）
A． B． C．π D．
二、填空题
1. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 关于的函数有以下命题： ①对任意，都是非奇非偶函数；
②不存在，使既是奇函数，又是偶函数；③存在，使是偶函数；④对任意，都不是奇函数. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 其中一个假命题的序号是 ，因为当 时，该命题的结论不成立. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 函数的最大值为________. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 若函数的最小正周期满足,则自然数的值为______. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
4. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 满足的的集合为_________________________________. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
5. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 若在区间上的最大值是，则=________. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
三、解答题
1. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 比较大小（1）；（2）
2. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) (1) 求函数的定义域. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
（2）设，求的最大值与最小值. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3．（ω＞0）
（1）若f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值; ω= 1/3 ,θ= .
（2）f (x)在（0，）上是增函数，求ω最大值。
《三角函数的图象和性质练习题》参考答案
一、选择题
1. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )C [解析]：当时，，而是偶函数
2.C　[解析]：函数的图象向左平移个单位，得到的图象，故
3. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )D [解析]：
4. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )D [解析]：
5. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )C [解析]：由的图象知，它是非周期函数
6.C [解析]： ∵=
∴图象的对称轴为，即
故相邻的两条对称轴间距离为
7.A [解析]：当时 取得最小值－１，故选A
8.A [解析]：要使（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值
只需要最小正周期1,故
二、填空题
1、 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )① [解析]：此时为偶函数
2、 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) [解析]：
3、 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) [解析]：
4、 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
5、 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) [解析]：
三、解答题
1. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 解：（1）
（2）
2. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 解：（1）
或
为所求. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
（2），而是的递增区间
当时，；
当时，. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
4. ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 解：
因为f (x +θ)=
又f (x +θ)是周期为2π的偶函数，
故 Z
（2）因为f (x)在（0，）上是增函数，故ω最大值为必修4第一章《三角函数》单元测试
一、选择题：(本大题共12小题，每小题4分，共48分)
1.化简的结果是（ ）
A． B. 　 C． D.
2．与－463°终边相同的角可表示为（ ）
A．k·360°＋436°（k∈Z） B．k·360°＋103°（k∈Z）
C．k·360°＋257°（k∈Z） D．k·360°－257°（k∈Z）
3．函数的周期，振幅，初相分别是（ ）
A． B． C． D．
4.若α、β的终边关于y轴对称，则下列等式正确的是（ ）
A.sinα=sinβ B.cosα=cosβ C.tanα=tanβ D.tanα·tanβ=1
5．函数的图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B. C. D.
6 要得到函数y=sin(2x-)的图象，只要将函数y=sin2x的图象（ ）
A.向左平行移动个单位 B.向左平行移动个单位
C.向右平行移动个单位 D.向右平行移动个单位
7．若，且，则角的终边所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．在下列四个函数中，在区间上为增函数，且以为最小正周期的偶函数是（ ）
A．y=tanx 　　　B．y=sin|x| 　　　C．y=cos2x 　　 D．y=|sinx|
9．已知（为非零实数），
则（ ）
A．1 B．3 C．5 D．不能确定
10. 函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的部分图象如图3所示，
则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)的值等于（ ）
A.2 B. C. D.
11．函数的单调递增区间是（ ）
A． B.
C． D.
12.与函数定义域相同的一个函数是（ ）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．设扇形的半径长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是
14．设是以4为周期的偶函数,且当时, ,则
15．函数的值域是　
16．给出下列命题：
存在实数,使
②函数是偶函数
③ 是函数的一条对称轴方程
④若是第一象限的角，且，则
其中正确命题的序号是_______________
三、解答题：（本大题分5小题共36分）
17．（本题7分）已知，求的值
18．（本题7分）已知角终边上一点，求的值
19．（本题7分）已知函数的最大值为，最小值为.
（1）求的值；
（2）求函数的最小值并求出对应x的集合.
20.（本题7分）函数在同一个周期内，当时取最大值1，当时，取最小值。
（1）求函数的解析式
（2）函数的图象经过怎样的变换可得到的图象？
21．（本题8分）如图,某大风车的半径为2米,每12秒沿逆时针方向旋转一周,它的最底点离地面1米,风车圆周上一点A从最底点开始,运动t秒后与地面距离为h米，
(1)求函数h=f(t)的关系式, 并在给出的方格纸上用五点作图法作出h=f(t)在一个周期内的图象(要列表,描点)；
(2) A从最底点开始, 沿逆时针方向旋转第一周内,有多长时间离地面的高度超过4米
参考答案：
一、选择题：BCCABD DDBCDD
二、填空题：13. 14. 15. 16. ②③
三、解答题：
17.解：∵ 故
两边平方得，
∴
而
∴ 与联立解得
∴
18.解：∵
∴
19. 解：⑴ ，；
⑵由⑴知：
的最小值为
对应x的集合为
20. 解：(1)
又因
又
函数
(2)的图象向右平移个单位得的图象
再由图象上所有点的横坐标变为原来的.纵坐标不变，得到的图象.
21.（1） 图象（略）
（2）令得，故有4秒钟时间离地面高度超过4米高中数学必修4测试题
一、选择题（共大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 等于（ ）
A． B． C． D．
2. 是夹角为的两个单位向量，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、8
3. 若 共线，且 则等于_______
A、1 B、2 C、3 D、4
4. 若是的一个内角，且则等于（ ）
A、 B、 C、或 D、或
5. 为得到函数的图象，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
6. 已知函数的部分图象如题（6）图所示，则（ ）
A. =2 B. =1
C. =2 D. =1
7. 已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8. 函数的单调递增区间为（ ）
A、 B、
C、 D、
9. 如图所示，向量
A、B、C在一条直线上，且，则（ ）
A、 B、
C、 D、 (第9题图)
10. 下列函数中，周期为，且在上为减函数的是
（A） （B）
（C） （D）
11. 设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是
（A） （B） （C） （D） 3
12 .函数在区间内的图象是（ ）
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．若角的终边经过点，则的值为______________．
14. 已知平面向量则的值是_________。
15. 已知 ，且与的夹角为锐角，则的取值范围是______________________。
16. 关于函数有下列命题：
①由 可得必是的整数倍
②由的表达式可改写为
③的图像关于点对称
④的图象关于直线对称
其中正确命题的序号是____________________。
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17．已知，，与的夹角为。
求（1）. （2）（本小题满分12分）
18．已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．（本小题共12分）
19.已知向量,且
(Ⅰ)求tanA的值；
(Ⅱ)求函数R)的值域. （本小题满分12分）
20．已知，是同一平面内的两个向量，其中，且与垂直，求与的夹角。（本小题满分12分）
21.已知，
（1）求的值；
（2）求函数的最大值．（本小题满分12分）
22．已知函数
⑴求的最大值和最小值。（本小题满分14分）
⑵若不等式在上恒成立，求实数的取值范围。
测试题
参考答案
一.选择题答案.
1—5.B D B C C. 6—10.A D C A B. 11—12.A D.
二.填空题答案.
13. 14. 15. 16. ②③
三.解答题答案.
17. 解：解： -------4分
⑴
-------8分
⑵
-------12分
18.解：（Ⅰ）
． -------4分
因为函数的最小正周期为，且，
所以，解得． -------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
因为，
所以， -------8分
所以． -------10分
因此，即的取值范围为-------12分
19. 解：（Ⅰ）由题意得
=sinA-2cosA=0,
因为cosA≠0,所以tanA=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
因为xR,所以.
当时，f(x)有最大值，
当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，
所以所求函数f(x)的值域是
20. 解：⑴∵
∴ ------------2分
∴2 ------------4分
-------6分
∴ -----------8分
-----------10分
而 ∴ -----------12分
21. 解：（1）由得，
于是=.
（2）因为 所以
的最大值为.
22. 解 ⑴
-----------4分
又 ∵ ∴
∴
∴ ------------8分
⑵ ∵ 在上恒成立
∴
∴ 且 -----------12分
即 且
∴ -----------14分
A
C
B
O
PAGE任意角的三角函数及诱导公式
A组
1．= ( )
A． B． C． D．
2．下列哪个三角函数值与相等 （ ）
A． B． C． D．
3．=________________
4．化简：=_____________
5．若，且，则_______________
6．，则______________
7．，且为第三象限角，则=_____________
B组
8．设A、B、C为△ABC的三个内角，则表达式①；②；③；④，其中一定为常数的是__________________
9．已知，则=________________
10．在△ABC中，若，，求△ABC的三内角．
11．化简：，．
参考答案
1．D 命题目的：通过诱导公式熟练掌握与，与之间的关系；
2．B ，命题目的：复习的诱导公式以及正余弦之间的转化。
3．； ， ；命题目的：考核，；
4．；=；
5．；=，又因为，所以．
6． ；，，因为，所以，所以，；
7．；因为，，所以，又因为在第三象限，所以，故．
8．②③④
9．===7
10．由已知条件得，，则A、B均为锐角，平方相加，即，所以，，则．
11．当，时，原式；
当，时，原式．3.1 两角和与差的正弦余弦正切公式
一、选择题：
1．Sin165 等于 （ ）
A． 　 B． C． D．
2．Sin14 cos16 +sin76 cos74 的值是（ ）
A． B． C． D．-
3．sin-cos的值是． （ ）
A．0 B． — C． D． 2 sin
4.△ABC中，若2cosBsinA=sinC 则△ABC的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
5．函数y=sinx+cosx+2的最小值是 （ ）
A．2- B．2+ C．0 D．1
二、填空题．
6．=__________________________．
7．如果cos= - ，那么 cos=________．
8．已知为锐角，且cos= cos = -, 则cos=_________．
9．tan20 +tan40 +tan20 tan40 的值是____________．
10．函数y=cosx+cos(x+)的最大值是__________．
三、解答题．
11．若是同一三角形的两个内角，cos= - ,cos(=-.求cot的值．
12．在△ABC中，若cosA= ,cosB= , 试判断三角形的形状．
13．A、B、C是一条直路上的三点，AB与BC各等于1 km.从三点分别遥望塔M，在A处见塔在东北方向，在B处见塔在正东方向，在C处见塔在南偏东60°，求塔与路的最短距离.
14． 求tan15°、tan75°的值.
15．求的值.
参考答案
一、选择题：
1.D 2.B 3.B 4.C 5.A
二、填空题：
6： 7： 8： 9： 10：
三、解答题：
11、 解：∵是同一三角形的两个内角 ∴ 0<<
∵cos(=- ∴sin(==
∵cos= - ∴sin==
∴sin= sin(=sin(cos- cos(sin=
∴cos==
∴tan==
∴cot=
12、解：∵在△ABC中，若cosA=>0 ,cosB=>0 ∴A，B为锐角
sinA== sinB==
∵ cosC=cos[-(A+B)]=-cos(A+B)=-（cosAcosB-sinAsinB）= < 0
∴< C < 即C为钝角
∴△ABC为钝角三角形.
13．解：如下图，设塔到路的距离MD为x km，∠BMD=θ，
则∠CMD=θ+30°，∠AMD=45°－θ，AB=BD+DA=xtan（45°－θ）+xtanθ，BC=CD－BD=xtan（30°+θ）－xtanθ.
因为AB=BC=1，
所以xtan（45°－θ）+xtanθ=xtan（30°+θ）－xtanθ=1.
解得x=.
所以，
即.
解得tanθ=.
所以x=.
因此塔到路的最短距离为 km.
14．解：tan15°=tan（45°－30°）=.
tan75°=tan（45°+30°）=.
15．解：此题是着重考查学生是否灵活掌握弦与切之间的相互转换原则，即化弦（切）为切（弦），并且要注意到正切三角函数值里的一个特殊数字“1”，即tan45°=1.
把原式分子、分母同除以cos15°，有
=
=
=tan（15°－45°）
=tan（－30°）
=－.（强化练习）任意角和弧度制
3．已知一扇形的周长为c(c＞0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值．
4．已知集合A={
求与A∩B中角终边相同角的集合S．
5、已知是第二象限角，且则的集合是 ．
6、△ABC三个顶点将其外接圆分成三段弧弧长之比为1∶2∶3，求△ABC的外接圆半径与内切圆半径之比．
7、已知角的终边过点，求的三个三角函数值。
8、已知角的终边上一点，且，求的值。
9、利用单位圆写出符合下列条件的角的范围。
且．
10、.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1 与 2 tan与tan 3 cot与cot
11、利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角
1 sin≥ 2 tan
任意角和弧度制【答案】
【3】解析：设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S
∵c=2R+l，∴R= (l＜c)．
则S=Rl=×·l= (cl－l2)=－ (l2－cl)=－ (l－)2+，
∴当l=时，Smax=．
答：当扇形的弧长为时，扇形有最大面积，扇形面积的最大值是．
【4】解析：．
【5】答案：
解析：∵是第二象限角，∴，
∵∴，
当时，，当时，，
当为其它整数时，满足条件的角不存在．
【6】解析：三角形三个内角分别为：、、，斜边为外接圆直径．
∵三角形面积：，∴．
【7】解：因为过点，所以，
当；
；；
当；
；．
【8】已知角的终边上一点，且，求的值。
解：由题设知，，所以，得，
从而，解得或．
当时，， ；
当时，，；
当时，，．
当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
【9】答案：（5）．
【10】解析： 如图可知：
tan tan
cot cot
【11】
解析：
30≤≤150 3090或210270
A
B
o
T2
T1
S2 S1
P2
P1
M2 M1 S1
x
y
o
T
A
210
30
x
y
o
P1
P2函数y=Asin(ωx+φ) 的图象基础训练
一选择题
1．已知右图是函数y=2sin(ωx+φ)(|φ|<的图象，那么（ ）
A. ω= φ= B.ω= φ=-
ω=2 φ= D. ω=2 φ=-
2．函数y=-xcosx的部分图像是（ ）
A B C D
3．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（ ）
A.y=sin2x B.y=cos C .sin2x+cos2x D. y=
4.函数y=sin(2x+)的图像的一条对轴方程是（ ）
x=- B. x=- C .x= D.x=
5.满足sin(x-)≥的x的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．∪
6．要得到函数y=cos()的图象，只需将y=sin的图象（ ）
A．向左平移个单位 B.同右平移个单位
C．向左平移个单位 D.向右平移个单位
7．若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y=sinx的图象。则y=f(x)是 （ ）
A．y= B.y=
C.y= D.
二填空题
8．把函数y=cos(x+)的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y对称，则φ的最小正值为
9．的振幅为 初相为
三解答题
10． 已知曲线上最高点为（2，），由此最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一点（6，0），求函数解析式，并求函数取最小值x的值及单调区间。
11． 画出y=图象的示意图。
12． 试判断方程sinx=实数解的个数。
函数y=Asin(ωx+φ) 的图象基础训练
参考答案：
1-7CDDAAAB (8). (9) 3
(10) T=2×8=16=,=,A=
设曲线与x轴交点中离原点较近的一个点的横坐标是,则2-=6-2即=-2
∴=–=，y=sin()
当=2kл+,即x=16k+2时，y最大=
当=2kл+,即x=16k+10时，y最小=–
由图可知：增区间为[16k-6,16k+2],减区间为[16k+2,16k+10](k∈Z)
(11).y= (k∈Z)
(12)方程sinx=实数解的个数等于函数y=sinx与y=的图象交点个数
∵|sinx|≤1∴||≤1, |x|≤100л
当x≥0时，
如图：
此时两线共有100个交点，因y=sinx与y=都是
奇函数，由对称性知当x≥0时，也有100个交点，原点是重复计数的所以只有199个交点。
1
100л两角和与差练习题
一、选择题：
1.的值等于（ ）
A. B. C.0 D.1
2．已知,sin()=,则cos的值为( )
A．－ B． C． D．
(A) (B) (C) (D)
4、tan11°+tan19°+tan11°tan19°的值是 （ ）
A． B． C．0 D．1
5．已知，（ ）
A. B. C. 2 D.
6. 的值是( )
　A． B．eq \f(,2) C． D．
7．已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是 (　　)
A．－　　　 B.　 　　C．－　 　　D.
8.f(x)＝的值域为( )
　A．(――1,―1) ∪(―1, ―1) B．[eq \f(－－1,2),―1] ∪(―1, eq \f(－1,2))
C．(eq \f(－－1,2),eq \f(－1,2)) D．[eq \f(－－1,2),eq \f(－1,2)]
9 .的值等于（ ）
A. B. 1 C. D. 0
10．等式sinα＋cosα＝有意义，则m的取值范围是 (　　)
　A．(－1,) B．[－1,] C．[－1,] D．[―,―1]
11、已知均为锐角，且，，，则的值（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12．已知 是锐角，sin =x,cos =y,cos( )=－，则y与x的函数关系式为（　）
A．y= －+x (C．y= －－x (013、若函数，，则的最大值为（　）
A．1 B． C． D．
14．函数f(x)＝sinx－cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是 (　　)
A．[－π，－] B．[－，－] C．[－，0] D．[－，0]
15. 设的两个根，则p、q之间的关系是（ ）
A．p+q+1=0 B．p－q+1=0 C．p+q－1=0 D．p－q－1=0
16.若, 则的值是（ ）
A. B. C. D.
17. 若,则的值为（ ）
A. B. C. 4 D. 12
18. 已知的值是 （ ）
A． B．－ C． D．
19．已知的值 （ ）
A． B． C． D．
20.若，则的取值范围是：( 　 )
（Ａ）　　 （Ｂ）　 （Ｃ）　 （Ｄ）
21．tanα,tanβ是x2+3x+4=0的两根,且<α<,<β<,则α+β等于 （ ）
A． B． C．或 D．－或
22．如果，那么等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
23．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，则△ABC一定是 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
24．中,, ,则的形状是（ ）
等腰三角形 B.等腰但非直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
25．若为锐角三角形的两个锐角，则的值（　　）
Ａ．不大于 Ｂ．小于 Ｃ．等于 Ｄ．大于
26．在中，，，，，则之间的大小关系为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
27.中，若，则的值是（ ）
Ａ。 Ｂ。 Ｃ。或 Ｄ。
28. 已知三角形ABC中，有关系式成立，则三角形一定为（ ）
A. 等腰三角形 B. 的三角形
C. 等腰三角形或的三角形 D. 不能确定
二填空题
2．计算：的值为_______．
3．的值
4．若求的取值范围。
5．已知则的值.
6． 的值是_________。
7.设，且，则 .
8．已知在中，则角的大小为 ．
9．化简：______．
10．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a、b、c的大小关系是
11．已知，则函数的值域______
12．函数y＝5sin(x＋20°)－5sin(x＋80°)的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
13. 已知，则的值为 .
14.ABC中，若sinAsinB＋sinAcosB＋cosAsinB＋cosAcosB=2，则ABC形状是_________．
15．如果tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，则＝________.
16．在△ABC中，， 则∠B= .
三、解答题
3 求证：
4.
5．已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ且α，β∈
（－)，求sin2（α＋β）＋sin（α＋β）cos（α＋β）＋2cos2（α＋β)的值
6.已知<α<π,0<β<,tanα=－ ,cos(β－α)= ,求sinβ的值.
8．已知是方程的两根，求的值.
9．已知一元二次方程的两个根为，
求的值；（＝－3）
10。求的值；（＝）
11已知，求角的值
12．
13. 已知，并且，试求之值。
14.已知α∈(，)，β∈(0，)，cos(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值
15．已知，，，求sin2的值
16、是否存在锐角，使得①；②同时成立？若存在，求出；若不存在，说明理由。
17.如右图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为、.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
18.已知锐角三角形ABC中，.
求证：（1）； （2）设AB=3，求AB边上的高.
。
两角和与差练习题
一、选择题：
1.
2．
3.A
4、
5．
6.C
7．答案：C
8.B
9 .D
10．
11、
12．A
13、
14．答案：D
15.
16.B
17. C
18.
19．D
20.故选C；
21．A
22．
23．B
24． D
25．
26．
27.A
28. C
二填空题
1.
2．
3．
4．
5．。
6． 答案2
7.
8．
9．
10． a11．
12． 7
13.
14. －
16．
三、解答题
1.
2. 2
3
4.
5．已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ且α，β∈
（－)，求sin2（α＋β）＋sin（α＋β）cos（α＋β）＋2cos2（α＋β)的值
解：根据韦达定理
6.已知<α<π,0<β<,tanα=－ ,cos(β－α)= ,求sinβ的值.
解：∵且 ∴
∵， ∴，
又∵ ∴
∴
解：
8．已知是方程的两根，求的值.
解．，
．
9．已知一元二次方程的两个根为，
求的值；（＝－3）
10。求的值；（＝）
11已知，求角的值
12．
解：
13. 已知，并且，试求之值。
解：因为
所以
因为
所以
所以
14.已知α∈(，)，β∈(0，)，cos(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值
解析：α∈(，)，α－∈(0，)，又cos(α－)＝，∴sin(α－)＝.
∵β∈(0，)，∴＋β∈(，π)．∵sin(＋β)＝，∴cos(＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝－cos[(α－)＋(＋β)]
＝－cos(α－)·cos(＋β)＋sin(α－)·sin(＋β)＝－×(－)＋×＝，
即sin(α＋β)＝.
15．已知，，，求sin2的值
解析：∵ ∴ ∴
∴ 又 ∴
∴sin2=
=
16、是否存在锐角，使得①；②同时成立？若存在，求出；若不存在，说明理由。
解析：解1：由①得＋β＝，∴tan(＋β)＝eq \f(tan＋tanβ,1－tantanβ)＝．
将②代入得tan＋tanβ＝3－．∴tan,tanβ是方程x2―(3―)x＋2－＝0的两根．
解得x1＝1，x2＝2－．若tan＝1，则α＝与α为锐角矛盾．∴tanβ＝1, tan＝2－，
∴β＝．代入①得α＝．满足tan＝2－．
解2：由①得＝－β，代入②得：tan(－β)·tanβ＝2－eq \f(－tanβ,1＋tanβ)·tanβ＝2－．
tan2β―(3―)tanβ＋2－＝0；tanβ＝1或2－．
若tanβ＝1，则β＝，α＝．
若tanβ＝2－．代入②得cot＝1，则α＝不合题意．故存在α＝，β＝使①、②同时成立．
17.如右图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为、.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解析：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，
cosα＝，cosβ＝.
因为α为锐角，故sinα>0，
从而sinα＝＝.
同理可得sinβ＝.因此tanα＝7，tanβ＝.
即tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝－1.
又0<α<，0<β<，故0<α＋2β<，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝π.
18.已知锐角三角形ABC中，.
求证：（1）； （2）设AB=3，求AB边上的高.
解析：（Ⅰ）证明：
所以
（Ⅱ）解析：，
即 ，将代入上式并整理得
解得，舍去负值得，
设AB边上的高为CD.
则：；；
∵ ；∴ 。高一数学必修模块4第一章三角函数单元测试卷
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合A={，B={，
则A、B之间关系为 （ ）
A． B． C．BA D．AB
2．函数的单调减区间为 （ ）
A． B．
C． D．
3．设角则的值等于 （ ）
A． B．－ C． D．－
4．已知锐角终边上一点的坐标为（则= （ ）
A． B．3 C．3－ D．－3
5．函数的大致图象是 （ ）
6．下列函数中同时具有①最小正周期是π；②图象关于点（,0）对称这两个性质的是（　　）
y＝cos（2x＋） B．y＝sin（2x＋） Ｃ．y＝sin（＋）Ｄ．y＝tan（x＋）
7．已知的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积
是 （ ）
A．4π B．2π C．8 D．4
8．与正弦曲线关于直线对称的曲线是（ ）
A． B．　　　C． D．
9. 若方程恰有两个解，则实数的取值集合为 （ ）
A. B. C. D.
10．已知函数在同一周期内，时取得最大值，时取得最
小值－，则该函数解析式为 （ ）
A．B． C D．
11．.函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则 的值是 　　　　　　　　　　　　 （ ）
A．0 　　　 B．1 　　　 C．-1 　　　 D．
12．上为减函数，则函数上（ ）
A．可以取得最大值M B．是减函数 C．是增函数 D．可以取得最小值－M
二、填空题：本大题共4小题，把答案填在题中横线上．
13．已知,这的值为　　　　　　
14．在区间上满足的的值有　　　　个
15．设，其中m、n、、都是非零实数，若 则 .
16．设函数，给出以下四个论断：
①它的图象关于直线对称； ②它的图象关于点对称；
③它的周期是； ④在区间上是增函数。
以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出你认为正确的两个命题：
（1）_________________ ； （2）__________________.（用序号表示）
三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．若, 求角的取值范围.
18．说明函数的图像可以由函数的图像经过怎样的变换得到。
19．已知，求的值。
20．设满足,
（１）求的表达式；　　　（２）求的最大值．
21．已知,求的最值。
22．已知函数是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数.求的值.
参考答案
1.C 2. B 3.C 4.C 5.C 6. A 7.B 8 D 9.D 10.B 11.A 12.A
13. 14. 5 15.－1 16.(1) ①③②④ (2) ②③①④
17．左=右，
18．可先把的图像上所有点向右平移个单位，得到的图像，再把图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），从而得到的图像。
19．
=
=
20．　　　　　　①
得　　　　　　②
由３①－②，得8， 故．
（２）对，将函数的解析式变形，得
＝，当时，
21．代入中，得
又
22．解：由f(x)是偶函数，得f(－x)= f(－x).
即： 所以－
对任意x都成立，且所以得=0.依题设0，所以解得，
由f(x)的图象关于点M对称，得.取x=0,得=－，所以=0.§1.6 三角函数模型的简单应用
班级 姓名 学号 得分
一、选择题
1.已知A ,B ,C是△ABC的三个内角, 且sinA>sinB>sinC,则 ( )
(A) A>B>C (B) A (D) B+C >
2.在平面直角坐标系中，已知两点A(cos800,sin800),B(cos200,sin200)，则|AB|的值是 ( )
(A) (B) (C) (D) 1
3. 02年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小
正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的
面积为1,小正方形的面积是,则sin2θ-cos2θ的值是 ( )
(A) 1 (B) (C) (D) -
4.D、C、B三点在地面同一直线上,DC=a,从C、D两点测得A点的仰角
分别是α、 β（α>β）,则A点离地面的高度等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
5.甲、乙两人从直径为2r的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, l表示甲、乙两人的直线距离，则l=f(θ)的图象大致是 ( )
6.电流强度I (安培)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图象如图
所示，则当t=秒时的电流强度 ( )
(A)0 (B)10 (C)-10 (D)5
二.填空题
7.三角形的内角x满足2cos2x+1=0则角x= ;
8. 一个扇形的弧长和面积的数值都是5，则这个扇形中心角的度数是 ;
9. 设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(小时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.则一个能近似表示表中数据间对应关系的函数是 .
10.直径为10cm的轮子有一长为6cm的弦，P是该弦的中点，轮子以5弧度/秒的角速度旋转，则经过5秒钟后点P经过的弧长是 .
三.解答题
11.以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的,已知3月份出厂价格最高为8 元,7月份出厂价格最低为4元;而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份也是随正弦曲线波动的.并已知5月份销售价最高为10元.9月份销售价最低为6元.假设某商店每月购进这种商品m件，且当月能售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.
1
2.一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点
离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h(米)与时间
t(分钟)之间的函数关系式.
13.一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：
（1）证明棒长L (θ)= ；
（2）当θ∈(0,)时,作出上述函数的图象（可用计算器或计算机）；
（3）由(2)中的图象求L (θ)的最小值；
（4）解释(3)中所求得的L是能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值.
参考答案
§1.6 三角函数模型的简单应用
一、ADDABA
二、7.或; 8. rad; 9. y=12+3sinx； 10.100cm;
三、11.解:设为进价, 为售价,则,,
利润{}=
所以当时取到最大值即估计是六月份月盈利最大..
12. 以最低点的切线为x轴，最低点为原点，建立直角坐标系。设
P(x(t), y(t))则h(t)= y(t)+2,又设P的初始位置在最低点，即y(0)=0，
在Rt△O1PQ中，∠OO1P=θ,cosθ=,∴y(t)= -8cosθ+8,
而=，∴θ=，∴y(t)= -8cos+8, ∴h (t)= -8cos+10
13. 略.
A
B
C
D
α
β
2r
θ
l
o
π
2π
D
-2r
θ
l
2r
o
π
π
2π
B
θ
l
2r
o
-2
π
A
θ
l
2r
o
2π
4π
C
t
I
10
o
-10
x
2m
8m
h
P
1.2m
1.8m
θ
y
x
P
O
O1
Q高一数学必修4第一章《三角函数》单元测试
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．函数是 （ ）
A．上是增函数　　　 　B．上是减函数
C．上是减函数 　 D．上是减函数
2．不等式tanx≤-1的解集是 （ ）
A．（k∈Z） B. （k∈Z）
C. （k∈Z） D. （k∈Z）
3. 有以下四种变换方式：
①向左平移，再将横坐标变为原来的；②将横坐标变为原来的，再向左平移；
③将横坐标变为原来的，再向左平移；④向左平移，再将横坐标变为原来的。
其中，能将正弦函数y=sinx的图象变为y=sin（2x+）的图象的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
4. （ ）
5．下列函数中，在区间上为增函数且以为周期的函数是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的值是 （ ）
A． B． C．2 D．－2
7 cos(+α)= —，<α<,sin(-α) 值为（ ）
A. 　　　B. 　 　 C. 　 D. —
8．已知tanx=2，则的值是（ ）。
A． B． C．- D．
9．已知函数，则 （ ）
A．与都是奇函数 B．与都是偶函数
C．是奇函数，是偶函数 D．是偶函数，是奇函数
10． ( http: / / wxc. / )若α是第二象限的角，则2α不可能在（ ）
Α.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限
11．若则（ ）
A 　 B ( http: / / wxc. / )
C 　 D ( http: / / wxc. / )
12．已知（为非零实数）， 则（ ）
A．1 B．3 C．5 D．不能确定
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是
14．函数y＝cos(－2x)的单调递增区间是
15．若集合，，则=____
16. 由函数与函数的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是___________
三、解答题：（本大题分4小题）
17. 设，求的值。
18.函数在同一个周期内，当时取最大值1，当时，取最小值。
（1）求函数的解析式
（2）函数的图象经过怎样的变换可得到的图象？
19. 已知是关于的方程的两个实根，
且，求的值．
20. 已知，是否存在常数，使得的值域为？若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由。
参考答案：
选择题：
1 2 3 4 5 6
B C A C D A
7 8 9 10 11 12
A B D A D B
填空题：
13. 2
14.
15.
16.
三、解答题：
17. 解：
又，
而
18. 解：(1)
又因
又
函数
(2)的图象向右平移个单位得的图象
再由图象上所有点的横坐标变为原来的.纵坐标不变，得到的图象.
19解：，而，则
得，则，
20. 解：存在，
若存在这样的有理数a、b，则
（1）当a>0时，不可能；
（2）当a<0时，
，即存在a、b且。 [1] 高一数学必修4第一章任意角的三角函数测试题
班级 座号 姓名
（考试时间：90分钟）
选择题 （每小题3分，共30分）
1. 与-463角终边相同的角为（ ）
A． K 360+463， KZ B. K 360+103， KZ
C . K 360+257， KZ D. K 360-257， KZ
2. sin(-)的值是（ ）
A. B. - C. D. -
3. 设角α是第二象限角，且，则是（ ）
A．第一象限角　　　　　　　　　　　　B．第二象限角
C．第三象限角　　　　　　　　　　　　D．第四象限角
4. 下列函数中属于奇函数的是（ ）
A.y = sinx + 1 B. y = cos(x + )
C. y = sin(x - ) D. y = cosx - 1
5. 函数y=cosx（x [o ,2]）的图象与直线 y = 1 所围成的图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 函数y = 2sin (2x +)的一条对称轴是（ ）
A. x = B. x = C. x = D. x =
7. 函数y = 2sin ()的单调递增区间是（ ）
A. [] （kZ） B. [] （kZ）
C . [] （kZ） D. [] （kZ）
函数y = 的值域是( )
A. { 0 } B. [ -2 , 2 ] C. [ 0 , 2 ] D.[ -2 , 0 ]
当为第二象限角时，的值是（ ）
A. 1 B. 0 C. 2 D. -2
已知sincos,且，则sin+cos的值为（ ）
A. B. - C. D.
填空题 （每小题4分，共16分）
1.已知 tan=2,则sin+sincos=
2. 函数y = 的值域是
3. 求使sin >的的取值范围是
4.已知E={θ|cosθ解答题(5个小题，共54分)
1. 已知, 求、的值。 （8分）
2. 化简：（8分）
3. 已知一个半径r为的扇形，它的周长等于弧所在的圆的半周长，求这个扇形的圆心角和面积。（10分）
4 若函数y = a – bsinx的最大值为,最小值为,求函数y=- 4sinbx的最值和最小正周期。 （14分）
5.(1) 作函数y = 2 sin ( 2x + )的简图； （2）指出该函数的对称中心的坐标； （3）指出该函数的图象是由函数的图象经过怎样的变化而得到的。（14分）
第一章任意角的三角函数测试题答案
选择题
C ADBDBBDCA
填空题
1. 2. [] 3. （） 4. （）
解答题
1. 提示：（1）当是第三象限角，则
（2）当是第四象限角，则
2. 提示： 化简结果为
3. 提示：
4. 提示：（1）当时，由题意得：a + b=, a - b= 解得：a= b=1
函数y= - 2sinx
此时最大值为2，最小值为-2，最小正周期为2
（2） 当时，由题意得：a - b= , a + b= 解得：a= b= -1
函数y=2sinx
此时最大值为2，最小值为-2，最小正周期为2
综上所述，函数y=-4asinbx的最大值为2，最小值为-2，最小正周期为2
5. （1）图象（略）
（2）对称中心为（）
（3）（略）
^1三角函数图像及性质练习题
1.已知，则函数的最小值是（　　 ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2.已知f(x)的图象关于y轴对称,且它在［0,+∞)上是减函数,若f(lgx)＞f(1),则x的取值范围是( )
A.(,1) B.(0, )∪(1,+∞) C.( ,10) D.(0,1)∪(10,+∞)
3.定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是π，且当x∈［0，］时，f（x）=sinx，则f（）的值为( )
A.－ B. C.－ D.
4.定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈［3，5］时，f（x）=2－|x－4|，则( )
A.f（sin）＜f（cos） B.f（sin1）＞f（cos1）
C.f（cos）＜f（sin） D.f（cos2）＞f（sin2）
5.关于函数f（x）=sin2x－()|x|+，有下面四个结论，其中正确结论的个数为 ( ) ．
①是奇函数 ②当x＞2003时，恒成立
③的最大值是 ④f（x）的最小值是
A.1 B.2 C.3 D.4
6.使有意义的角是( )
A.第一象限的角 B.第二象限的角
C.第一、二象限的角 D.第一、二象限或y轴的非负半轴上的角
7 函数的单调递增区间为 ( ) ．
A． B．
C． D．
8．已知函数,对定义域内任意的x，都满足条件,若,则有 ( ) ．
A. A>B B. A=B C.A9.设函数,则使的值的范围是( ) ．
A． B． C． D．
10．把函数的图象和直线围成一个封闭的图形，则这个封闭图形的面积为 （ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
11.函数在区间内的图象是（ ）
12函数y=xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数
A.（，） B.（π，2π）
C.（，） D.（2π，3π）
二、填空题
13. 设，则 .
14．若函数是奇函数，且在上是增函数，请写出满足条件的两个 值　　　　　　　　　.
15.函数的单调减区间是
16．已知函数，若，则= ．
三、解答题
17.. 已知函数,．
当函数取得最大值时，求自变量的集合；
该函数的图象可由经过怎样的平移和伸缩变换得到？
18.求函数的最值.
19.求当函数的最大值为时的值.
1.下列说法只不正确的是 ( )
(A) 正弦函数、余弦函数的定义域是R，值域是[-1，1]；
(B) 余弦函数当且仅当x=2kπ( k∈Z) 时，取得最大值1；
(C) 余弦函数在[2kπ+,2kπ+]( k∈Z)上都是减函数；
(D) 余弦函数在[2kπ-π,2kπ]( k∈Z)上都是减函数
2.函数f(x)=sinx-|sinx|的值域为 ( )
(A) {0} (B) [-1,1] (C) [0,1] (D) [-2,0]
3.若a=sin460,b=cos460,c=cos360，则a、b、c的大小关系是 ( )
(A) c> a > b (B) a > b> c (C) a >c> b (D) b> c> a
4. 对于函数y=sin(π-x），下面说法中正确的是 ( )
(A) 函数是周期为π的奇函数 (B) 函数是周期为π的偶函数
(C) 函数是周期为2π的奇函数 (D) 函数是周期为2π的偶函数
5.函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是 ( )
(A) 4 (B)8 (C)2π (D)4π
*6.为了使函数y= sinωx（ω>0）在区间[0,1]是至少出现50次最大值，则的最小值是 ( )
(A)98π (B)π (C) π (D) 100π
二. 填空题
7.函数值sin1,sin2,sin3,sin4的大小顺序是 .
8.函数y=cos(sinx)的奇偶性是 .
9. 函数f(x)=lg(2sinx+1)+ 的定义域是 ;
*10.关于x的方程cos2x+sinx-a=0有实数解，则实数a的最小值是 .
三. 解答题
11.用“五点法”画出函数y=sinx+2, x∈[0,2π]的简图.
12.已知函数y= f(x)的定义域是[0, ]，求函数y=f(sin2x) 的定义域.
13. 已知函数f(x) =sin(2x+φ)为奇函数，求φ的值.
*14.已知y=a－bcos3x的最大值为，最小值为，求实数a与b的值.两角和差的正弦、余弦和正切公式（强化训练）
1．若tan()=3, tan()=5, 则tan2= （ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：角变形为然后利用两角和的正切公式可得
2、已知sin－cos=sin·cos, 则sin2的值为 （ ）
A．－1 B．1－ C．2－2 D．2－2
答案：D
解析：二倍角公式
3．设的值是 （ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：利用角的变形求解
4．已知、均为锐角, 且cos（）<0, 则下列结论一定成立的是 （ ）
A．cos>cos B．sin>sin C．sin>cos D．cos>sin
答案：C
5、设T =.
（1）已知sin( – ) =, 为钝角，求T的值；
（2）已知 cos(– ) = m, 为钝角，求T的值
解析：（1）由sin( –) =，得sin =. ∵为钝角， ∴cos =,
∴sin2 = 2sincos =,T = =.
（2）由cos(– ) = m, 为钝角，所以，
T = =|sin + cos|,
∵ 0< < , ∴当< 时. sin+cos>0 ,
∴T = sin + cos = m –;
∴当 < < 时. sin+cos < 0 , ∴T = – (sin + cos) = –m +
6、．若锐角，满足且求：
（1）；
（2）．
解析：（1）三角函数定义练习
一．选择题
1、已知角α的终边过点P（－1,2）,cosα的值为 （ ）
A．－ B．－ C． D．
2、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ）
A．sinα B．cosα C．tanα D．cotα
3、已知角α的终边过点P（4a,－3a）（a<0）,则2sinα＋cos α的值是 （ ）
A． B．－ C．0 D．与a的取值有关
4、α是第二象限角，P（x, ） 为其终边上一点，且cosα=x，则sinα的值为 （ ）
A． B． C． D．－
5、函数的定义域是 （ ）
A．， B．，
C．， D．[2kπ，（2k+1）π]，
6、若θ是第三象限角，且，则是 （ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
7、已知sinα=，且α是第二象限角，那么tanα的值为 （ ）
A． B． C． D．
8、已知点P（）在第三象限，则角在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二．填空题
1、已知sinαtanα≥0，则α的取值集合为 ．
2、角α的终边上有一点P（m，5），且，则sinα+cosα=______．
3、已知角θ的终边在直线y = x 上，则sinθ= ；= ．
4、设θ∈（0，2π），点P（sinθ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是 ．
三．解答题
1、求角的正弦、余弦和正切值．
2、若角的终边落在直线上，求．
3、(1)已知角的终边经过点P(4,－3)，求2sin+cos的值；
（2）已知角的终边经过点P(4a,－3a)(a≠0)，求2sin+cos的值；
（3）已知角终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4（且均不为零），
求2sin+cos的值．
参考答案
选择题
ABAA BBAB
二．填空题
1、；
2、时，；时，．
3、；．
4、．
三．解答题
1、；；．
2、（1）取，则，；
（2）取，则，．
3、（1）∵，∴，于是：．
（2）∵，∴，于是：
当时，
当时，
（3）若角终边过点，则；
若角终边过点，则；
若角终边过点，则；
若角终边过点，则．1.5 函数 y=Asin(ωx+ψ)
一、选择题：
1、若f(x) cos 是周期为2的奇函数,则f(x)可以是 （ ）
A．sin B．cos C．sinπx D．cosπx
2、把函数y=cos(x + )的图象向右平移φ个单位,所得到的图象正好是关于y轴对称,则φ的最小正值是 （ ）
A． B． C． D．
3、函数y=sin(2x + )的一条对称轴为 （ ）
A．x= B．x= 0 C．x=－ D．x =
4、方程sinx = lgx的实根有 （ ）
A．1个 B．3个 C．2个 D． 无穷多个
5、函数y = sin2x+acos2x的图象关于直线x=－ 对称,则a的值为 （ ）
A．1 B．－ C．－1 D．
6、已知函数y=f(x),将f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然 后把所得到的图象沿x轴向左平移个单位,这样得到的曲线与y=3sinx的图象相同,那么y=f(x)的解析式为 （ ）
A．f(x)=3sin() B．f(x)=3sin(2x+)
C．f(x)=3sin( ) D．f(x)=3sin(2x－)
7、y= logsin(2x +)的单调递减区间是 （ ）
A．[kπ－,kπ](k∈Z) B．(kπ－ ,kπ+ )(k∈Z)
C．[kπ－ ,kπ+ ] (k∈Z) D． (kπ－, kπ+)(k∈Z)
8、已知y=Asin(ωx+φ)在同一周期内,x=时有最大值, x = 时有最小值－ ,则函数的解析式为 （ ）
A．y=2sin() B．y=sin(3x+ )
C．y=sin (3x— ) D．y= sin(3x－ )
二、填空题：
9、已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的两个相邻最值点为( ,2), (,－2),则这个函数的解析式为y =____________.
10、设a= logtan70°, b=logsin25°,c=()cos25°,则它们的大小关系为_________.
11、已知函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则其面积为＿＿＿
12、下列说法正确的是（填上你认为正确的所有命题的代号）＿＿＿＿。
①函数y＝－sin(kπ＋x)(k∈Z)的奇函数；
②函数y＝sin(2x＋)关于点( ,0)对称；
③函数y＝2sin(2x＋)＋sin(2x－)的最小正周期是π；
④△ABC中，cosA＞cosB的充要条件是A＜B；
⑤函数＝cos2x＋sinx的最小值是－1
三、解答题：
13、已知函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,|φ|<π,b为常数)的 一段图
象(如图)所示.
①求函数的解析式；
②求这个函数的单调区间.
14、已知a>0,函数y=－acos2x－asin2x+2a+b,x∈[0,].若函数的值域为[－5,1], 求常数a,b的值.
15、己知一条正弦函数的图象,如图所示.
①求此函数的解析式；
②求与f 1(x)图象关于直线x=8对称的函数解析式f 2(x)；
③作出y=f1(x)+f2(x)的简图.
参考答案
一、选择题
1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.B 8.B
二、填空题
9. 10.a三、解答题
13.①，
②
是单调递增区间，
14.
15.①
③]§1.1任意角的概念、弧度制
经典例题：写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：
（1）600； （2）-210； （3）363014，
当堂练习：
1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C
2．下列各组角中，终边相同的角是 （ ）
A．与 B．
C． D．
3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）
A．2 B． C． D．
4．设角的终边上一点P的坐标是，则等于 （ ）
A． B．
C． D．
5．将分针拨慢10分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ）
A． B．－ C． D．－
6．设角和的终边关于轴对称，则有 （ ）
A． B．
C． D．
7．集合A={，
B={，
则A、B之间关系为 （ ）
A． B． C．BA D．AB
8．某扇形的面积为1，它的周长为4，那么该扇形圆心角的度数为 （ ）
A．2° B．2 C．4° D．4
9．下列说法正确的是 （ ）
A．1弧度角的大小与圆的半径无关 B．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大
C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角
10．中心角为60°的扇形，它的弧长为2，则它的内切圆半径为 （ ）
A．2 B． C．1 D．
11．一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形的面积为 （ ）
A． B．
C． D．
12．若角的终边落在第三或第四象限，则的终边落在 （ ）
A．第一或第三象限 B．第二或第四象限
C．第一或第四象限 D．第三或第四象限
13．，且是第二象限角，则是第 象限角.
15．已知是第二象限角，且则的范围是 .
16．已知扇形的半径为R，所对圆心角为，该扇形的周长为定值c，则该扇形最大面积为
.
18．一个视力正常的人，欲看清一定距离的文字，其视角不得小于5′.
试问：（1）离人10米处能阅读的方形文字的大小如何？
（2）欲看清长、宽约0.4米的方形文字，人离开字牌的最大距离为多少？
19．一扇形周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？
20．绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm
21．已知集合A={
求与A∩B中角终边相同角的集合S.
§1.1任意角的概念、弧度制
经典例题：解：（1）S={β|β=600+k×3600，k∈Z}S中适合-3600≤β<7200的元素是
600+（-1）×3600=-3000　　　600+0×3600=600　　　600+1×3600=4200.
（2）S={β|β=-210+k×3600，k∈Z} S中适合-3600≤β<7200的元素是
-210+0×3600=-210　　　-210+1×3600=3390　　　　-210+2×3600=6990
（3）S={β|β=363014，+k×3600，k∈Z}　　S中适合-3600≤β<7200的元素是
363014，+（-2）×3600=-356046，　　　　363014，+（-1）×3600=3014，　　　363014，+0×3600=363014，
当堂练习：
1.B; 2.C; 3.B; 4.D; 5.A; 6.D; 7.C; 8.B; 9.A; 10.A; 11.D; 12.B; 13. 三; 14. ; 15. ; 16. ;
17．（1）；
（2）；；
（3）．
18．（1）设文字长、宽为米，则；
（2）设人离开字牌米，则．
19．，当时，．
20．设需秒上升100cm .则（秒）．
21．．
≠
≠
≠1.任意角与弧度制
三、课前预习
1. 与α角终边相同的角的集合，连同α角在内（而且只有这样的角），可以记为 ；
2. 1弧度=（ ）0，1°＝ 弧度；弧长公式： ，扇形面积公式： ；
3 .下列说法正确的是 （ ）
A．第二象限的角是钝角 B．第三象限的角必大于第二象限的角
C．－8500是第二象限的角 D．是终边相同的角
4. 在直角坐标系中，若角与终边互为反向延长线，与之间的关系是（ ）
A． B．C． D．
5. 终边在轴上的角的集合为 ，
终边在轴上的角的集合为 ，
终边在坐标轴上的角的集合为 。
6. 第三象限的角的集合是 。
7. 若是第二象限的角，则是第 象限的角。
8. 一个扇形的面积是1cm2，它的周长是4cm，则中心角为 弧度，弦长|AB|= 。
四、典型例题
例1 若角的终边与角的终边相同，则在上终边与的角终边相同的角为 。
例2 1、将下列各角从弧度化成角度
（1） （2）2.1
例3 一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
〖变题〗一扇形的周长为c（），当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
巩固练习
一、填空题
1、 在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于x轴对称，则α与β的关系一定是 （ ）
A．α=－β B．α+β=k·360°(k∈Z) C．α－β=k·360°(k∈Z) D．以上答案都不对
2、圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是 （ ）
A．等于1弧度 B．大于1弧度 C．小于1弧度 D．无法判断
4、已知集合{第一象限的角}，{锐角}，{小于90o的角}，下列四个命题：
① ② ③ ④
正确的命题个数是 （ ）
A．1个 B .2个. C.3个. D.4个.
5、若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是 （ ）
Ａ．4 cm2 Ｂ．2 cm2 Ｃ．4πcm2 Ｄ．2πcm2
6、若是第四象限角，则是 （ ）
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限期 D.第四象限
7、下列角中终边与330°相同的角是（ ）
A．30° B．-30° C．630° D．-630°
8、－1120°角所在象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是 （ ）
A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°
10、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ）
A．｛α∣90°<α<180°｝
B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝
C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝
D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝
11、下列命题是真命题的是（ ）
Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B．第一象限的角必是锐角
C．不相等的角终边一定不同
D．=
12、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C
13、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是 （ ）
A．第一象限角 B．第一、二象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角
14、若是第四象限的角，则是 ．(89上海)
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
二．填空题
15、两弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所夹的扇形的面积为 .
17、写出终边在一、三象限角平分线上的角的集合。
16、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．
17、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．
18、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．
19、在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为 ．
20、将下列弧度转化为角度：
（1）= °；（2）－= ° ′；（3）= °；
21、将下列角度转化为弧度：
（1）36°= （rad）；（2）－105°= （rad）；（3）37°30′= （rad）；
22、将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ．
三．解答题
23、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：
（1）； （2）．
24、求，使与角的终边相同，且．
24、设集合,
,求,.
25、已知角是第二象限角，求：（1）角是第几象限的角；（2）角终边的位置。
参考答案
选择题
BDDD DBCC
二．填空题
1、；
2、与；
3、；
4、与
三．解答题
1、（1）∵，
∴与终边相同的角的集合为。
其中最小正角为，最大负角为。
（2）∵，
∴与终边相同的角的集合为，
其中最小正角为，最大负角为。
2、∵，
∴满足条件的角为、、、、。
3、∵
∴；
。
4、∵，
∴；
当为偶数时，在第一象限，当为奇数时，在第三象限；
即：为第一或第三象限角。
∵，
∴的终边在下半平面。高一数学必修4测试题
选择题：(每小题5分，共计60分)
1. 下列命题中正确的是（ ）
A．第一象限角必是锐角 B．终边相同的角相等
C．相等的角终边必相同 D．不相等的角其终边必不相同
2.已知角的终边过点，，则的值是（ ）
A．1或－1 B．或　　　　C．1或 D．－1或
3. 下列命题正确的是（ ）
A 若·=·，则= B 若，则·=0
C 若//，//，则// D 若与是单位向量，则·=1
4. 计算下列几个式子，①,
②2(sin35cos25+sin55cos65), ③ , ④ ，结果为的是（ ）
A.①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④
5. 函数y＝cos(－2x)的单调递增区间是 （ ）
A．[kπ＋，kπ＋π] B．[kπ－π，kπ＋]
C．[2kπ＋，2kπ＋π] D．[2kπ－π，2kπ＋]（以上k∈Z）
6. △ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程有一根为1，则△ABC一定是（　　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 　D. 钝角三角形
7. 将函数的图像左移，再将图像上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为（ ）
A. B. C. D.
8. 化简+，得到（ ）
A －2sin5 B －2cos5 C 2sin5 D 2cos5
9. 函数f(x)=sin2x·cos2x是 ( )
A周期为π的偶函数 B周期为π的奇函数 C周期为的偶函数 D周期为的奇函数.
10. 若| ， 且（）⊥ ，则与的夹角是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
11. 正方形ABCD的边长为1，记＝，＝，＝，则下列结论错误的是
A．(－)·＝0 B．(＋－)·＝0
C．(|－| －||)＝ D．|＋＋|＝
12. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是的值等于（ ）
A．1 B．　　　C． D．－
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 已知曲线y=Asin(x＋)＋k （A>0,>0,||<π）在同一周期内的最高点的坐标为
(, 4)，最低点的坐标为(, －2)，此曲线的函数表达式是 。
14. 设sin－sin=，cos+cos=, 则cos(+)= 。
15. 关于x的方程(0≤x≤)有两相异根，则实数的取值范围是_____________
16. 关于下列命题：
①函数在第一象限是增函数；②函数是偶函数； ③函数的一个对称中心是（，0）；④函数在闭区间上是增函数; 写出所有正确的命题的题号： 。
三、解答题：
17.（本小题12分） (1) 化简 (2) cos40cos80cos160
18. （本小题12分）已知，，，，求的值.
19. （本小题12分）已知向量，，，其中．　　
（Ⅰ）当时，求值的集合；　　（Ⅱ）求的最大值．
20. （本小题12分）已知函数y= 4cos2x+4sinxcosx－2,（x∈R）。
（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值及其相对应的x值；
（3）写出函数的单调增区间；（4）写出函数的对称轴。
21. （本小题12分）设函数，给出下列三个论断：
①的图象关于直线对称;②的周期为； ③的图象关于点对称． 以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并对该命题加以证明．
22. （本小题14分）设、是两个不共线的非零向量（）
（1）记那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？
（2）若，那么实数x为何值时的值最小？
高一数学必修4测试题参考答案
一、选择题：（每小题5分共计60分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B B C B B B A D B D D
二、填空题：（每小题4分，共计16分）
13、　14、　15、　16、③
三、解答题：
17. (1)2sinx (2) 18.- 19.(1) (2) 3
20.(1)T= (2)
(3) (4)对称轴，（
21.由①②③或由②③①
22. （1）t= （2）当时，的值最小。三角函数的概念专题
关键词： 三角函数的定义 终边 弧长公式 扇形面积 同角的基本关系
学习目标： 理解角的概念，掌握同角三角函数基本关系
☆ 对角的概念的理解：
（1）无界性 或
（2）周期性
（3）终边相同的角的表示：
（1）终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)，
注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.
如与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（答：；）
（2）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上) .
（3）终边与终边关于轴对称.
（4）终边与终边关于轴对称.
（5）终边与终边关于原点对称.
（6）终边在轴上的角可表示为：；
终边在轴上的角可表示为：；
终边在坐标轴上的角可表示为：.
如的终边与的终边关于直线对称，则＝____________。
（答：）
☆ 角与角的位置关系的判断
终边相同的角
对称关系的角
满足一些常见关系式的两角
例如：若是第二象限角，则是第_____象限角 ：一、三）
☆ 弧长公式：，扇形面积公式：，1弧度(1rad).
例如：已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：2）
☆ 三角函数的定义：
高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。 但既有联系，又有区别。
定义：设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，，，，。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。
例如：（1）已知角的终边经过点P(5，－12)，则的值为＿＿。
（答：）；
（2）设是第三、四象限角，，则的取值范围是_______
（答：（－1，）；
（3）若，试判断的符号
（答：负）
7. 特殊角的三角函数值：
30° 45° 60° 0° 90° 180° 270°
0 1 0 －1
1 0 －1 0
1 0 0
1 0 0
记忆的时候注意利用规律
8. 同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：
（2）倒数关系：tancot=1,
（3）商数关系：
同角三角函数的基本关系式的基本作用是：已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。
例如：
（1） 若，则使成立的的取值范围是____
（答：）；
（2）已知，，则＝____
（答：）；
（3）已知，则＝___；＝____
（答：；）；
（4）已知，则等于
　　A、　　B、　　C、　　　D、
（答：B）；
课堂练习：
设分别是第二、三、四象限角，则点分别在第___、___、___象限.
2. 已知， 求
3．若角α的终边在直线y＝－x上，则＝ .
4．使tanx－有意义的x的集合为 .
5．已知α是第二象限的角，且cos＝－，则是第 象限的角.
课后练习：
一、选择题 ( http: / / www. )1. 设角属于第二象限，且，则角属于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ( http: / / www. )2. 给出下列各函数值：①；②；③；④. 其中符号为负的有（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④ ( http: / / www. )3. 等于（ ）
A. B. C. D. ( http: / / www. )4. 已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（ ）
A. B. C. D. ( http: / / www. )
5．若θ∈（，），则等于
A.cosθ－sinθ B.sinθ＋cosθ
C.sinθ－cosθ D.－cosθ－sinθ
6．若tanθ＝，则cos2θ＋sinθcosθ的值是
A.－ B.－ C. D.
三、解答题
1. 已知是关于的方程的两个实根，且，求的值.
2. 设cosθ＝（m＞n＞0)，求θ的其他三角函数值.
3．证明(1) ＝(2)tan2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ
◎ 课后练习详细解答
一、选择题
1. C
当时，在第一象限；当时，在第三象限；
而，在第三象限；
2. C ；
；
3. B
4. A
5. A 6.D
二、填空题
1. 四、三、二 当是第二象限角时，；当是第三象限角时，；当是第四象限角时，；
2. ②
3．0 4．{x|x∈R且x≠，k∈Z} 5．三
三、解答题
解：，而，则
得，则，.
2. 解：∵m＞n＞0，∴cosθ＝＞0
∴θ是第一象限角或第四象限角.
当θ是第一象限角时：
sinθ＝＝
tanθ＝
当θ是第四象限角时：
sinθ＝－
tanθ＝
3. （1）证明：左＝
＝＝＝
(∵cos θ≠0，∴分子、分母可同除以cosθ)
＝＝右，证毕.
还可用其他证法.
(2)证明：左＝－sin2θ＝
＝＝＝tan2θsin2θ＝右，证毕.
4. 解：由得即
（1）
（2）1.6 三角函数模型简单应用
练习题：
1．你能利用函数的奇偶性画出图象吗？它与函数的图象有什么联系？
2．已知：，若(1)； (2)；
(3)α是第三象限角；(4)α∈R．分别求角α。
3．已知, 分别是方程的两个根，求角．
4．设A、B、C、D是圆内接四边形ABCD的四个内角，求证：
（1）sinA＝sinC；
（2）cos（A＋B）＝cos（C＋D）；
（3）tan（A＋B＋C）＝－tanD．
5．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大
6．把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线，试一试动手操作一下.它是正弦曲线吗？
7．如图，铁匠师傅在打制烟筒弯脖时，为确保对接成直角，在铁板上的下剪线正好是余弦曲线：的一个周期的图象，问弯脖的直径为12 时，应是多少
8．已知函数f (x)=，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0，]上的单调性。
9、（14分）如图，扇形AOB的半径为，扇形的圆心角为，PQRS是扇形的内接矩形，设∠AOP=θ，
（1） 试用θ表示矩形PQRS的面积y；
（2）利用正、余弦的和（差）与倍角公式化简矩形面积表达式y.
10.某人用绳拉车沿直线方向前进100米,若绳与行进方向的夹角为30°,人的拉力为20牛,则人对车所做的功为多少焦.
11．某港口水的深度y（米）是时间t，记作y=f(x),下面是某日水深的数据：
(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
（米） 10 13 9.9 7 10 13 10 7 10
经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数的图象。
12．已知△ABC的两边a, b ，它们的夹角为C 1试写出△ABC面积的表达式；
2当C变化时，求△AABC面积的最大值。
13．已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时，函数，
其图象如图所示.
求函数在的表达式；
14．绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm
15．如图，是正弦函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的一个周期的图像.
(1)写出f(x)的解析式；
(2)若g(x)与f(x)的图像关于直线x=2对称，写出g(x)的解析式.
（1）试根据以上数据，求出函数y=f(t)的近似表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间？（忽略进出港所需的时间）
参考答案
1． 略
2．(1)(2)或(3)(4)或。
3．由已知得：得
∴k2-2k-3=0即k=3或k=-1.
又则，因此k=3舍去。
　　∴k=-1, 则, , ∴或
4．由已知A＋C＝ ，A＋B＋C＋D＝2 得A＝ －C，则sinA＝sin（ －C）＝sinC，
又A＋B＝2 －（C＋D），
故cos（A＋B）＝cos[2 －（C＋D）]＝cos（C＋D）.
tan（A＋B＋C）＝tan（2 －D）＝－tanD．
5．设出厂价波动函数为y1＝6+Asin(ω1x+φ1)
易知A＝2 T1＝8 ω1＝ +φ1＝ φ1＝- ∴y1＝6+2sin(x-)
设销售价波动函数为y2＝8+Bsin(ω2x+φ2)
易知B＝2 T2＝8 ω2＝ +φ2＝φ2＝-
∴y2＝8+2sin(x-)
每件盈利 y＝y2-y1＝［8+2sin(x-)］-［6+2sin(x-)］
＝2-2sinx
当sinx＝-1 x＝2kπ-x＝8k-2时y取最大值
当k＝1 即x＝6时 y最大 ∴估计6月份盈利最大
6．略
7．弯脖的直径为12 cm，则周长为，周长正是函数的一个周期，即，得．
8．解：f (x)=|sin2x|
f (-x)=|sin(-2x)|=|sin2x|=f (x)
∴f (x)为偶函数 T=
在[0,]上f (x)单调递增；在[,]上单调递减
9．解：（1）在直角三角形OPS中
SP=sinθ，OS=cosθ
矩形的宽SP=sinθ
因∠ROQ=
所以OR=RQ=SP=sinθ
矩形的长RS=OS－OR=cosθ－sinθ
所以面积：y=(cosθ－sinθ)sinθ (0﹤θ<)
10．
11．1）
2）由，即，解得
，在同一天内，取k=0，1得
∴该船希望在一天内安全进出港，可1时进港，17时离港，它至多能在港内停留16小时。
12．解：
1如图：设AC边上的高h=asinC
2当C=90时[sinC]max=1 ∴[S△ABC]max=
13．（1）当时，，当时
14．设需秒上升100cm .则（秒）
15． (1)f(x)=2sin(x+) (2)g(x)=2sin(x-)
x
y
o
π
1
-1
-
o
x
B
a
c
C D b A第九节 角的概念、三角函数定义
基础知识
1. 终边相同的角
①与（0°≤<360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）: ;
②终边在x轴上的角的集合:;
③终边在y轴上的角的集合：;
④终边在坐标轴上的角的集合：.
2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°=
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制.
3.弧度制下的公式
扇形弧长公式，扇形面积公式，其中为弧所对圆心角的弧度数。
4.三角函数定义:
利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在终边上任取一点（与原点不重合），记，
则，，，。
注: ⑴三角函数值只与角的终边的位置有关，由角的大小唯一确定,三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.
⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式:
①诱导公式：即或之间函数值关系，其规律是“奇变偶不变，符号看象限” ；如
②同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系.
⑶重视用定义解题.
⑷三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.如单位圆
5. 各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦
正弦 余弦 正切
典型例题
例1、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：
（1）600； （2）-210； （3）363014，
变式1、的终边与的终边关于直线对称，则＝ 。
例2、三角函数线问题
若，则的大小关系为 .
变式1、若为锐角，则的大小关系为
变式2、函数的定义域是
例3、.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为
变式1、已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，则扇形的面积 。
变式2．某扇形的面积为1，它的周长为4，那么该扇形圆心角的度数
变式3．中心角为60°的扇形，它的弧长为2，则它的内切圆半径为
变式4．一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形的面积为
变式5．已知扇形的半径为R，所对圆心角为，该扇形的周长为定值c，则该扇形最大面积为 .
例4、 已知为第三象限角,则所在的象限是 象限
变式1、若是第二象限角，则是 象限角。
变式2、若角的终边落在第三或第四象限，则的终边落在 象限
例5、已知角的终边经过P(4,3),则2sin+cos= .
变式1、（08北京模拟）是第四象限角，，则 ．
变式2、已知角的终边经过点P(5，－12)，则= 。
变式3、设是第三、四象限角，，则的取值范围是
例6.若是第三象限角,且,则是 象限角
变式1、（08江西）在复平面内，复数对应的点在 象限
例7、若的终边所在象限是 象限
变式1、（北京文理1）已知，那么角是 象限角
变式2．（全国Ⅱ1 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )）若且是，则是 象限角
针对性练习
1、是第四象限角，，则
2、sin2100 =
3、
4、tan690°的值为
5、已知，且，则tan＝
6、已知，则= ．
7、的值是
8、角α的终边过点P（－8m，－6cos60°）且cosα=－，则m的值是
9、已知sinθ=，cosθ=，若θ是第二象限角，则实数a
10、已知α是第二象限的角
指出α／2所在的象限，并用图象表示其变化范围；
若,求α－β的范围.
11、已知，求的值。
12.（全国Ⅱ卷文1）若且是，则是 ．
13.（陕西卷文1）等于 ．
14.（北京卷文9）若角的终边经过点，则的值为 ．
4．（四川延考文5）已知，则 ．
15．若是第二象限角，则是第_____象限角
16.已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积
17. 已知角的终边经过点P(5，－12)，则的值为 ．
18.设的终边所在的象限是 。
19．（浙江卷文12）若，则 ．
20．若角的终边经过点，则的值为 ．
21（北京文）若，则 ．必修4第一章三角函数单元测试
一、选择题：共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（48分）
1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C
2、将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ）
A． B．－ C． D．－
3、已知的值为 （ ）
A．－2 B．2 C． D．－
4、已知角的余弦线是单位长度的有向线段;那么角的终边 （ ）
A．在轴上 　　　　　　　　 B．在直线上
C．在轴上 　　　　　　　　 D．在直线或上
5、若,则等于 ( )
A． 　　B． 　　　C． 　　　D．
6、要得到的图象只需将y=3sin2x的图象 （ ）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位
7、如图，曲线对应的函数是 （ ）
A．y=|sinx| B．y=sin|x|
C．y=－sin|x| D．y=－|sinx|
8、化简的结果是 ( )
A． B． 　　C． D．
9、为三角形ABC的一个内角,若,则这个三角形的形状为 （ ）
　 A. 锐角三角形 B. 钝角三角形　　　 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
10、函数的图象 （ ）
A．关于原点对称 B．关于点（－，0）对称
C．关于y轴对称 D．关于直线x=对称
11、函数是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （ ）
A．上是增函数　　　　B．上是减函数
C．上是减函数 　　D．上是减函数
12、函数的定义域是 　　　　　　　　　　　　　　　　　 （ ）
A．　　B．
C． D．
二、填空题：共4小题，把答案填在题中横线上．（20分）
13、已知的取值范围是 .
14、为奇函数， .
15、函数的最小值是 ．
16、已知则 .
三、解答题：共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、（8分）求值
18、（8分）已知,求的值.
19、（8分）绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm
20、（10分）已知α是第三角限的角，化简
21、（10分）求函数在时的值域(其中为常数)
22、（8分）给出下列6种图像变换方法：
①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；
②图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；
③图像向右平移个单位；
④图像向左平移个单位；
⑤图像向右平移个单位；
⑥图像向左平移个单位。
请用上述变换将函数y = sinx的图像变换到函数y = sin (+)的图像．
参考答案
1. B 2. C 3. D 4. A 5. Ａ 6.C 7.C 8.Ｂ 9.B 10. B 11.Ｄ 12.D
13. 14. 15. 16.
17．原式
18．
，由得
19．设需秒上升100cm .则（秒）
20。–2tanα
21．
当时，，此时
当时，，此时
22．④②或②⑥三角函数的图像与性质
一、选择题
1.已知函数f(x)=2sinx(>0)在区间[,]上的最小值是－2，则的最小值等于A. B. C.2 D.3
2.若函数的图象相邻两条对称轴间距离为，则等于 ．
A． B． C．2 D．4
3.将函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为
A． B．
C． D．
4.函数的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a可以等于
A. B. C. D.
5.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于（ ）高考资源网
A. B. C. D.
6.函数 的值域为A. B. C. D. 7.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），
再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是 （ ）
A． B．
C. D.
8.函数f( ) = 的最大值和最小值分别是 ( )
(A) 最大值 和最小值0 (B) 最大值不存在和最小值
(C) 最大值 －和最小值0 (D) 最大值不存在和最小值－
9.且＜0，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.把函数的图象沿着直线的方向向右下方平移个单位，得到函数的图象，则 （ ） 高考资源网
A、 B、
C、 D、
二、填空题
11.设函数 若是奇函数，则= .
12.方程在区间内的解是 ．
13.函数为增函数的区间
14.已知，则函数的最大值与最小值的和等于 。
三、解答题
15.△ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值.
16.已知函数f(x)=sin2x+xcosx+2cos2x,xR.
（I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
17.向量a = (cosx + sinx，cosx)，b = (cosx – sinx，sinx)，f (x) = a·b．
（Ⅰ）求函数f (x)的单调区间；
（Ⅱ）若2x2 –x≤0，求函数f (x)的值域．
18.已知函数.
（1）若点()为函数与的图象的公共点，试求实数的值；
（2）设是函数的图象的一条对称轴，求的值;
(3)求函数的值域。
答案
一、选择题
1.B
2.C
3.B
4.D解析：由平面向量平行规律可知，仅当时，：=为奇函数，故选D.
5.C 解析：依题意得，将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,即的图象。故选C
6.B
7.C
8.A
9.A
10.D
二、填空题
11. 12. 13. 14.
三、解答题
15.解析：由
所以有
当
16.解析：（1）f(x)=
=
=sin(2x+.
∴f(x)的最小正周期T==π.
由题意得2kπ-≤2x+,k∈Z,
∴f(x)的单调增区间为［kπ-］,k∈Z.
(2)方法一：
先把y=sin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y=sin(2x+)的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位年度，就得到y=sin(2x+)+的图象.
方法二：
把y=sin 2x图象上所有的点按向量a=(-)平移，就得到y=sin(2x+)+的图象.
17.解析:（1）f (x) = a·b = (cosx + sinx，cosx)·(cosx – sinx，sinx)
= cos2x + sin2x =sin (2x +)．……２分
由(k∈Z)，解得(k∈Z)．
由(k∈Z)，解得(k∈Z)．
∴函数f (x)的单调递增区间是(k∈Z)；
单调递减区间是(k∈Z)．……７分
（2）∵2x2–≤0，∴0≤x≤．……８分
由（1）中所求单调区间可知，当0≤x≤时，f (x)单调递增；
当≤x≤时，f (x)单调递减．……１０分
又∵f (0) = 1＞f () = – 1，∴–1 = f ()≤f (x)≤f () =．
∴函数f (x)的值域为．……１２分
18.解析: (1)∵点()为函数与的图象的公共点
∴
∴ ∵∴,
(2)∵
∴ ∴=
(3) ∵
∴
∵ ∴
∴ ∴.
即函数的值域为.三角函数的图象与性质
（一）知识要点
1正弦、余弦、正切函数的图像和性质
定义域 R R
值域 R
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 上为增函数；上为减函数（） ；上为增函数上为减函数（） 上为增函数（）
2.的图像和性质
（1）定义域 （2）值域
（3）周期性 （4）奇偶性
（5）单调性
（二）学习要点
1会求三角函数的定义域
2会求三角函数的值域
3会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法。如与的周期是.
4会判断三角函数奇偶性
5会求三角函数单调区间
6对函数的要求
（1）五点法作简图
（2）会写变为的步骤
（3）会求的解析式
（4）知道，的简单性质
7知道三角函数图像的对称中心，对称轴
8能解决以三角函数为模型的应用问题
（三）例题讲解
例1求函数的定义域，周期和单调区间。
例2已知函数
（1）求函数的定义域； （2） 求函数的值域； （3） 求函数的周期；
（4）求函数的最值及相应的值集合； （5）求函数的单调区间；
（6）若，求的取值范围；
（7）求函数的对称轴与对称中心；
（8）若为奇函数，，求；若为偶函数，，求。
例3．（1）将函数的图象向______平移_______个单位得到函数的
图象(只要求写出一个值)
(2)要得到的图象,可以把函数的图象向______平移_______个单位(只要求写出一个值).
例4.设,函数,已知的最小正周期为,且. (1)求和的值; (2)求的单调增区间.
例5.如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b
(1)求这段时间的最大温差 ( http: / / www. / wxc / )
(2)写出这段曲线的函数解析式
（四）练习题
一、选择题
1.将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是
A． B．
C． D．
2.设，对于函数，下列结论正确的是
A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值
3.函数y=1+cosx的图象
（A）关于x轴对称 （B）关于y轴对称
（C）关于原点对称 （D）关于直线x=对称
4.已知函数f(x)=2sinx(>0)在区间[,]上的最小值是－2，则的最小值等于
A. B. C.2 D.3
5.设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是
A．2π 　　　　B. π 　　　　C. 　　　 D.
6.已知，函数为奇函数，则a＝( )
（A）0　　　　（B）1　　　　（C）－1　　　　（D）±1
7为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点
（A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
8.已知函数,则的值域是
(A) (B) (C) (D)
9.函数的最小正周期是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10.函数的单调增区间为
A． B．
C． D．
11.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是
（A） （B）
（C） （D）
12.已知函数（、为常数，，）在处取得最小值，则函数是（　　）
A．偶函数且它的图象关于点对称 　B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称　 D．奇函数且它的图象关于点对称
13设，那么“”是“”的（　　）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
14.函数y=sin2+4sinx,x的值域是
(A)［-,］ (B)［-,］ (C)［］　　 (D)［］
二、填空题
15.在的增区间是
16.满足的的集合是
17.的振幅,初相,相位分别是
18.,且是直线的倾斜角,则
19.已知函数在区间上的最小值是，则的最小值是＿＿＿＿。
20.若是偶函数，则a= .
21.如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈记
水轮上的点P到水面的距离为米（P在水面下则为负数），则
（米）与时间（秒）之间满足关系式：，且当P点
从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：；；；，则其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　。
三．解答题
22设函数
（1）用“五点法”作出在一个周期内的简图；
（2）写出它可由的图像经怎样的变化得到。
23已知函数的图像关于直线对称，求的值。
24已知（是常数
（1）若的定义域为，求的单调增区间；
（2）若时，的最大值为4，求的值。
25已知函数在同一个周期上的最高点为，最低点为。求函数解析式。
26 已知某海滨浴场的海浪高度（米）是时间（，单位小时）的函数，记作：下表是某日各时的浪高数据：
t时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y米 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5
经长期观测，的曲线可近似地看成是函数。
（1）根据以上数据，求函数的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放。由（1）的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
27已知函数f(x)=A(A>0,>0,0<<函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.
（1）求;
（2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008).
x
y高中数学必修4测试C
考号 班级 姓名
一：选择题（每题5分共60分）
1. 已知D、E、F分别是ΔABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中不正确的是
（A） （B）
（C） （D）
2. 若││=2sin150,││=4cos150, 与的夹角为，则 的值是
（A） (B) (C)2 (D)
3. 设是第二象限角，则点在
（A）第一象限 (B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
4. 若是锐角，且满足,则的值为
(A) (B) (C) (D)
5. 已知为平面上不共线的三点，若向量=（1，1），=（1，-1），
且·=2，则·等于
（A）-2 （B）2 （C）0 （D）2或-2
6. 已知,则的值为
(A)0 (B)1 (C)-1 (D)1
7. 若函数在区间[]上单调递增，则函数的表达式为
(A) (B)- (C)1 (D)-
8. 函数的一个单调递减区间是
(A) (B)) (C)[] (D)[]
9. 函数是奇函数，则等于
(A) (B)- (C) (D)-
10. 把函数的图象向右平移(>0)个单位，所得的图象关于y轴对称，
则的最小值为
(A) (B) (C) (D)
11.已知为原点，点的坐标分别为,其中常数，
点在线段上，且=()，则·的最大值为
(A) (B)2 (C)3 (D)
12. 已知平面上直线的方向向量=(),点和在上的
射影分别是和，则=,其中等于
(A) (B)- (C)2 (D)-2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
二．填空题每（题5分共20分）
13.若,且,则的值是____________.
14.已知││=││=2, 与的夹角为，则+在上的正射影的
数量为_____________________.
15.函数的图象可以看成是由函数的图象向右
平移得到的，则平移的最小长度为_____________.
16.设函数，给出以下四个论断：
①它的图象关于直线对称；
②它的图象关于点（，0）对称；
③它的最小正周期是；
④在区间[]上是增函数.
以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出一个正确的命题：
条件_____________，结论____________.
三：解答题（共70分）
17.（15分）已知平面内三个已知点，为线段上的一点，且有
，求点的坐标.
18. （15分）在锐角三角形中，，求的值.
19. （20分） 已知为的外心，以线段为邻边作平行四边形，第四个顶点为,再以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为.
(1) 若,试用表示；
（2）证明：；
（3）若的外接圆的半径为，用表示.
20. （20分）已知是常数），且（为坐标原点）.
（1）求关于的函数关系式；
（2）若时，的最大值为4，求的值；
（3）在满足（2）的条件下，说明的图象可由的图象如何变化而得到？
2009届六安二中高三文1、2、8班必修4测试C参考答案
一、选择题
D B B B B D B D C B D D
二、填空题
13. 14. 3 15. 16.②③①④或①③②④
三、解答题
17.解：由已知，因为点D在线段BC上，所以
又因为B（0，0），所以D，所以，又，所以
又 所以，即14-73=0，=
所以D（
18．解：因为A+B+C=，所以，又有，A为锐角得cosA=
所以
=
19.解：（1）由平行四边形法则可得：
即
（2）O是的外心，∣∣=∣∣=∣∣，
即∣∣=∣∣=∣∣,而，
=∣∣-∣∣=0，
（3）在中,O是外心A=，B=
于是 ∣∣2=（
=+2+2=（），
20.解：（1），所以
（2），因为所以
， 当即时取最大值3+，
所以3+=4，=1
（3）①将的图象向左平移个单位得到函数的图象；
②将函数的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的得到函数的图象；
③将函数的图象保持横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象；
④将函数的图象向上平移2个单位，得到函数+2的图象数学必修4《三角函数》练习卷
1、下列角中终边与相同的角是（ ）
A． B． C． D．
2、下列各条结论中正确的是（ ）
A．终边相同的角都相等 B．钝角是第二象限的角
C．第一象限的角是锐角 D．第四象限的角是负角
3、若为锐角，所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限
4、若是第一象限的角，则所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限
5、半径为，中心角为所对的弧长是（ ）
A． B． C． D．
6、下列各组中终边相同的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
7、若且，则角是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8、函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
9、已知是第三象限角，则（ ）
A．大于 B．小于 C．有可能等于 D．不能确定其正负
10、，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
11、若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12、已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
13、如果、满足，那么下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
14、已知，且是第四象限角，则的值是（ ）
A． B． C． D．
15、的值是（ ）
A． B． C． D．
16、若的值是（ ）
A． B． C． D．
17、下列各组函数的图象相同的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
18、的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
19、是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
20、的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
21、的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
22、函数的图象可看成的图象按如下平移变换而得到的（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
23、若函数的图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的，再将图象沿轴向右平移个单位，则新图象对应的函数式是（ ）
A． B．
C． D．
24、的曲线最高点为，离它最近的一个最低点是，则它的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
25、是第三象限的角，则是第_____象限的角．
26、写出到之间与终边相同的角的集合是 _____________ ．
27、半径为的圆中，弧度圆周角所对的弧长是__________；长为的弧所对的圆周角是___________弧度．
28、＝______ ___．
29、已知角的终边经过点，则________________．
30、化简：_______________．
31、________________．
32、若函数的最小正周期是，则_____________．
33、的振幅是_______，最小正周期是_________，初相是__________．
34、的最大值是_____________，最小值是_____________．
35、将的图象向右平移个单位，所得图象的解析式为___________________．
36、在同一周期内，当时，函数取得最大值是，当时，取得最小值是，则函数的解析式为______________________________________．
37、函数的图象可由函数的图象向_____平移_____个单位而得到的．
38、函数的增区间是______________________________．
39、若函数的图象和直线围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是_________________．
40、若函数在闭区间上的最大值为，则的值为______．
参考答案
1、B 2、B 3、C 4、C 5、C 6、A 7、C 8、C 9、B
10、B 11、B 12、A 13、C 14、C 15、D 16、C 17、D
18、D 19、A 20、C 21、C 22、A 23、A 24、B
25、一、二、三、四 26、 27、 28、 29、 30、 31、 32、
33、 34、 35、
36、 37、右 38、
39、 40、《诱导公式》练习
一、选择题
1、下列各式不正确的是 （ ）
sin（α＋180°）=－sinα B．cos（－α＋β）=－cos（α－β）
C． sin（－α－360°）=－sinα D．cos（－α－β）=cos（α＋β）
2、若sin（π＋α）＋sin（－α）=－m,则sin（3π＋α）＋2sin（2π－α）等于（ ）
A．－m B．－m C．m D．m
3、的值等于（ ）
A． B． C． D．
4、如果则的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，满足则的值为 （ ）
A．5 B．－5 C．6 D．－6
6、sin·cos·tan的值是 （ ）
A．－ B． C．－ D．
7．设那么的值为 （ ）
A． B．－ C． D．
8．若，则的取值集合为 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
1、求值：sin160°cos160°（tan340°＋cot340°）= ．
2、若sin（125°－α）= ,则sin（α＋55°）= ．
3、cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos= ．
4、已知则 .
三、解答题
1、已知 ,　求的值．
2、若cos α＝，α是第四象限角，求的值．
3、设和
求的值.
4．设满足,
求的表达式；（2）求的最大值．
《诱导公式》参考答案
一、选择题
BBAC BABC
二、填空题
1、1． 2、． 3、0． 4、0
三、解答题
1、7． 2、．
3、，
， 故原式=3．
4、解析：（１）由已知等式
　　　　　　①
得　　　　　　②
由３①－②，得8，
故．
（２）对，将函数的解析式变形，得
＝，
当时，§1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
班级 姓名 学号 得分
一、选择题
1.为了得到函数y=cos(x+)，x∈R的图象，只需把余弦曲线y=cosx上的所有的点 ( )
(A) 向左平移个单位长度 (B) 向右平移个单位长度
(C) 向左平移个单位长度 (D) 向右平移个单位长度
2.函数y=5sin(2x+θ)的图象关于y轴对称，则θ= ( )
(A) 2kπ+(k∈Z) (B) 2kπ+ π(k∈Z) (C) kπ+(k∈Z) (D) kπ+ π(k∈Z)
3. 函数y=2sin(ωx+φ)，|φ|<的图象如图所示，则 ( )
(A) ω=,φ= (B) ω=,φ= -
(C) ω=2,φ= (D) ω=2,φ= -
4.函数y=cosx的图象向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数图象解析式为 ( )
(A) y=3cos(x+) (B) y=3cos(2x+) (C) y=3cos(2x+) (D) y=cos(x+)
5.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在同一周期内,当x=时,ymax=2;当x=时，,ymin=-2.那么函数的解析式为 ( )
(A) y=2sin(2x+) (B) y=2sin(-) (C) y=2sin(2x+) (D) y=2sin(2x-)
*6.把函数f(x)的图象沿着直线x+y=0的方向向右下方平移2个单位,得到函数y=sin3x的图象，则 ( )
(A) f(x)=sin(3x+6)+2 (B) f(x)=sin(3x-6)-2 (C) f(x)=sin(3x+2)+2 (D) f(x)=sin(3x-2)-2
二. 填空题
7.函数y=3sin(2x-5)的对称中心的坐标为 ;
8.函数y=cos(x+)的最小正周期是 ;
9.函数y=2sin(2x+)(x∈[-π,0］)的单调递减区间是 ;
*10.函数y=sin2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象恰好关于直线x=对称，则φ的最小值是 .
三. 解答题
11.写出函数y=4sin2x (x∈R)的图像可以由函数y=cosx通过怎样的变换而得到.(至少写出两个顺序不同的变换)
12.已知函数log0.5(2sinx-1),
(1)写出它的值域.
(2)写出函数的单调区间.
(3)判断它是否为周期函数 如果它是一个周期函数,写出它的最小正周期.
13.已知函数y=2sin(x+5)周期不大于1，求正整数k的最小值.
*14. 已知N(2,)是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的最高点，N到相邻最低点的图象曲线与x轴交于A、B，其中B点的坐标(6,0),求此函数的解析表达式.
参考答案
§1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
一、ACABAB
二、(+,0) ( k∈Z); 8. 3; 9.［,］; 10.
三、11. (一)①先由函数y=cosx的图象向右平移个单位;②纵坐标不变横坐标缩小到原来的;③横坐标不变,纵坐标扩大到原来的4倍.
(二)①先由函数y=cosx的图象纵坐标不变横坐标缩小到原来的;②向右平移个单位; ③横坐标不变,纵坐标扩大到原来的4倍.
12.(1) (0,+ ∞); (2) (( k∈Z)减区间;( k∈Z)增区间; (3) 是周期函数; 最小正周期.
13.解：∵≤1,∴k≥6π,最小正整数值为19.
14.解：∵N（2，）是函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一个最高点 ∴A=.
∵N到相邻最低点的图象曲线与x轴相交于A、B，B点坐标为（6，0）
∴=|xB－xN|=4，∴T=16.又∵T=,∴ω==∵xN=
∴xA=2xN－xB=－2∴A(-2,0)∴y=sin(x+2)
x
y
1
2
o
-2
x3.1 两角和与差的正弦、余弦正切公式
一、选择题：
1．sincos－cossin的值是( )
A．－ B． C．－sin D．sin
2．若sin（α+β）cosβ－cos（α+β）sinβ=0，则sin（α+2β）+sin（α－2β）等于( )
A．1 B．－1 C．0 D．±1
二、解答题
3．已知＜α＜，0＜β＜，cos（+α）=－，sin（+β）=，求sin（α+β）的值．
4．已知非零常数a、b满足=tan，求．
5．已知０＜α＜，sin（－α）=，求的值．
6．已知sin（α+β）=，sin（α－β）=，求的值．
7．已知A、B、C是△ABC的三个内角且lgsinA－lgsinB－lgcosC=lg2．试判断此三角形的形状特征．
8．化简．
9． 求值：（1）sin75°；
（2）sin13°cos17°+cos13°sin17°．
10． 求sincos－sinsin的值．
11． 在足球比赛中，甲方边锋从乙方半场带球过人沿直线前进（如下图），试问甲方边锋在何处射门命中乙方球门的可能性最大？（设乙方球门两个端点分别为A、B）
12． 已知＜α＜β＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值．
13． 证明sin（α+β）sin（α－β）=sin2α－sin2β，并利用该式计算sin220°+ sin80°·sin40°的值．
14． 化简：［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］·．
15． 已知函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2，
（1）若x∈R，求函数的最大值和最小值；
（2）若x∈［0，］，求函数的最大值和最小值．
参考答案
1．B 2． C
3．解：∵＜α＜，
∴＜+α＜π．
又cos（+α）=－，
∴sin（+α）=．
∵0＜β＜，
∴＜+β＜π．
又sin（+β）=，
∴cos（+β）=－，
∴sin（α+β）=－sin［π+（α+β）］=－sin［（+α）+（+β）］
=－［sin（+α）cos（+β）+cos（+α）sin（+β）］
=－［×（－）－×］=．
4．分析：这道题看起来复杂，但是只要能从式子中整理出，用、的三角函数表示出来，再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可．
解：由于，则．
整理，有=tan=．
5．分析：这道题的选题意图是考查两角和与差的正、余弦公式和诱导公式的综合运用以及变角技巧．解题过程中，需要注意到（+α）+（－α）=，并且（+α）－（－α）=2α．
解：cos（+α）=cos［－（－α）］=sin（－α）=，
又由于０＜α＜，
则0＜－α＜，＜+α＜．
所以cos（－α）=，
sin．
因此
=
=．
6．分析：当题中有异角、异名时，常需化角、化名，有时将单角转化为复角（和或差）．本题是将复角化成单角，正（余）切和正（余）弦常常互化．
欲求的值，需化切为弦，即，可再求sinαcosβ、cosαsinβ的值．
解：∵sin（α+β）=，∴sinαcosβ+cosαsinβ=． ①
∵sin（α－β）=，∴sinαcosβ－cosαsinβ=． ②
由（①+②）÷（①－②）得=－17．
7．分析：从角与角的关系探究三角函数间的关系；反之，利用三角函数间的关系去判断角的大小及关系，这是常用的基本方法．可以先化去对数符号，将对数式转化为有理式，然后再考察A、B、C的关系及大小，据此判明形状特征．
解：由于lgsinA－lgsinB－lgcosC=lg2，
可得lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC，
即lgsinA=lg2sinBcosC，
sinA=2sinBcosC．
根据内角和定理，A+B+C=π，
∴A=π－（B+C）．
∴sin（B+C）=2sinBcosC，
即sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC．
移项化为sinCcosB－sinBcosC=0，
即sin（B－C）=0．
∴在△ABC中，C=B．
∴△ABC为等腰三角形．
8．分析：这道题要观察出7°+8°=15°，解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、余弦公式．
解：
=
=
=
=2－．
9．解：（1）原式=sin（30°+45°）= sin30°cos45°+cos30°sin45°=·+·=
．
（2）原式= sin（13°+17°）=sin30°=．
10．解：观察分析这些角的联系，会发现=－．
sincos－sinsin
=sincos－sin（－）sin
=sincos－cossin
=sin（－）
=sin
=．
11．解：设边锋为C，C到足球门AB所在的直线的距离为CO=x，OB=b，OA=a（a＞b＞0，a、b为定值），∠ACO=α，∠BCO=β，∠ACB=α－β＝γ（0＜γ＜），
则tanα=，tanβ=（x＞0，＞0）．
所以tanγ=tan（α－β）=≤．
当且仅当x=，即x=时，上述等式成立．又0＜γ＜，tanγ为增函数，所以当x=时，tanγ达到最大，从而∠ACB达到最大值arctan．
所以边锋C距球门AB所在的直线距离为时，射门可以命中球门的可能性最大．
12．解：此题考查“变角”的技巧．由分析可知2α=（α－β）+（α+β）．
由于＜α＜β＜，可得到π＜α+β＜，0＜α－β＜．
∴cos（α+β）=－，sin（α－β）=．
∴sin2α=sin［（α+β）+（α－β）］
=sin（α+β）cos（α－β）+cos（α+β）sin（α－β）
=（－）·+（－）·
=－．
13．证明：sin（α+β）sin（α－β）=（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ－cosαsinβ）
=sin2αcos2β－cos2αsin2β
=sin2α（1－sin2β）－（1－sin2α）sin2β
=sin2α－sin2αsin2β－sin2β+sin2αsin2β
=sin2α－sin2β，
所以左边=右边，原题得证．
计算sin220°+sin80°·sin40°，需要先观察角之间的关系．经观察可知80°=60°+ 20°，40°=60°－20°，
所以sin220°+sin80°·sin40°=sin220°+sin（60°+20°）·sin（60°－20°）
=sin220°+sin260°－sin220°
=sin260°
=．
分析：此题目要灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简．
14．解：原式=［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］·
=［2sin50°+sin10°（1+）］·
=［2sin50°+sin10°（）］·
=（2sin50°+2sin10°·）·cos10°
=2（sin50°cos10°+sin10°·cos50°）
=2sin60°=．
15．解：（1）设t=sinx+cosx=sin（x+）∈［－，］，
则t2=1+2sinxcosx．
∴2sinxcosx=t2－1．
∴y=t2+t+1=（t+）2+∈［，3+］
∴ymax=3+，ymin=．
（2）若x∈［0，］，则t∈［1，］．
∴y∈［3，3+］，
即ymax =3+ymin=3．高一三角同步练习5（同角三角函数的基本关系式）
一、选择题
1、，则的值等于 （ ）
A． B． C． D．
2、已知A是三角形的一个内角，sinA＋cosA = ,则这个三角形是 （ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不等腰直角三角形 D．等腰直角三角形
3、已知sinαcosα = ,则cosα－sinα的值等于 （ ）
A．± B．± C． D．－
4、已知是第三象限角，且，则 （ ）
A． B． C． D．
5、如果角满足,那么的值是 （ ）
A． B． C． D．
6、若，则 （ ）
A．1 B． - 1 C． D．
7、已知，则的值是
A． B． C．2 D．－2
8、若是方程的两根，则的值为
A． B． C． D．
二、填空题
1、若，则 ； ．
2、若，则的值为________________．
3、已知，则的值为 ．
4、已知，则m=_________； ．
三、解答题
1、：已知，求的值．
2、已知，求的值．
3、已知，且．
（1）求、的值；
（2）求、、的值．
*4、已知：，，求，的值．
参考答案
一、选择题
ABBA DAAB
二、填空题
1、；(在一象限时取正号，在三象限时取负号)．
2、． 3、． 4、或；或．
三、解答题
1、；(在一象限时取正号，在二象限时取负号)．
2、由可得：；
于是：，∴．
3、
（1）由可得：
；
于是：，；
∵且，∴，．
于是：．
（2）；；．
4、
∵ ，∴ ，
代入：可得： ∴ ；
当在第一、第二象限时，， ；
当在第三、第四象限时，，．任意角和弧度制
A组
1．若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若是第四象限角，则是 （ ）
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
3．与角终边相同的角的集合是______________
4．的角化为角度制的结果为_________，的角化为弧度制的结果为_______。
5．若角的终边经过点，则用弧度制表示角的集合是______________
6．_________；
7．若角的终边与单位圆交于，则________；________；________；
B组
8．利用单位圆中的三角函数线确定满足的角的集合是_______
9．周长为8，面积为4的扇形圆心角的弧度数为 _______
10．已知角的终边经过点，求的值。
11．利用单位圆分别写出满足下列条件的角的集合：
（1） （2） （3）
参考答案
1．A 取.命题目的：考察常见范围内的三角函数取值情况。
2．C取.命题目的：象限角的形与数的表示方法。
3．. 命题目的：熟练掌握任意角的代数表示与终边关系。
4．，. 命题目的：熟练掌握特殊角的角度制与弧度制的互化。
5．. 命题目的：熟练掌握任意角的终边与弧度制的表示。
6．1. 命题目的：熟练掌握特殊角的三角函数。
7．_，，. 命题目的：熟练掌握三角函数的定义。
8．命题目的：应用三角函数线求角，了解已知三角函数确定角的思想。
9．2．设扇形的圆心角为，半径为，则由题意知：
.命题目的：复习扇形弧长和面积公式。
10．
命题目的：掌握三角函数的定义，运用分类讨论的思想。
11．解： （1）
（2）
（3）
命题目的：应用三角函数线研究三角函数与角的关系。1.5 函数 y=Asin(ωx+ψ)
一、选择题：
1．函数y=sin(2x+)的图象可看成是把函数y=sin2x的图象做以下平移得到（ ）
A.向右平移 B. 向左平移 C. 向右平移 D. 向左平移
2．函数y=sin(-2x)的单调增区间是（ ）
A. [kπ-, kπ+] (k∈Z) B. [kπ+, kπ+] (k∈Z)
C. [kπ-, kπ+] (k∈Z) D. [kπ+, kπ+] (k∈Z)
3．函数y=sin(x+)的图象是（ ）
A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称
C. 关于原点对称 D. 关于x=-π对称
4．函数f（x）=cos（3x+φ）的图像关于原点中心对称的充要条件是（ ）
A. φ= B. φ= kπ(k∈Z) C. φ= kπ+ (k∈Z) D. φ= 2kπ- (k∈Z)
5．函数 y=sin2x图象的一条对称轴是（ ）
A.x= - B. x= - C. x = D. x= -
二、填空题：
6．函数 y=sin(3x-) 的定义域是__________，值域是________，周期是________，振幅是________，频率是________，初相是_________．
7．如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-对称，那么a=_________．
8．函数y=sin2x的图象向左平移 ，所得的曲线对应的函数解析式是__________．
9．要得到 y=sin2x-cos2x 的图象，只需将函数 y=sin2x+cos2x 的图象沿x轴向____移___________个单位．
10．关于函数f(x)=4sin(2x+) (x∈R)，有下列命题：
（1）y=f(x )的表达式可改写为y=4cos(2x-);
（2）y=f(x )是以2π为最小正周期的周期函数；
（3）y=f(x ) 的图象关于点(-,0)对称;
（4）y=f(x ) 的图象关于直线x=-对称;
其中正确的命题序号是___________．
三、解答题：
11．函数 y=sin(2x+) 的图象，可由函数 y=sinx 的图象怎样变换得到？
12．已知函数f(x)=logacos(2x-)（其中a>0,且a≠1）．
（1）求它的定义域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；
（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求它的最小正周期．
13.已知正弦波图形如下：
此图可以视为函数y=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，||＜）图象的一部分，试求出其解析式.
14． 已知函数y=3sin（x－）.
（1）用“五点法”作函数的图象；
（2）说出此图象是由y=sinx的图象经过怎样的变化得到的；
（3）求此函数的周期、振幅、初相；
（4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.
15．如图，某地一天从6时到11时的温度变化曲线近似满足函数
(1) 求这段时间最大温差；
(2) 写出这段曲线的函数解析式．
参考答案
一、选择题：
1.B 2.D 3.B 4.C 5.B
二、填空题：
6.（－∞,+ ∞）,（-,）, ,,,,-; 7.a=-1; 8.y=sin2(x+);
9.右，；10.(1)(3)
三、解答题：
11.y=sin(2x+)=sin[2(x+)]
先向左平移个单位，横坐标再缩小到原来的一半而得到.
12.(1)要使f(x)有意义，需满足
cos(2x-)>0
∴ 2kπ-<2x-<2kπ+
∴ kπ-∴ f(x)的定义域为｛x|kπ-（2）当a>1时,f(x)的单调增区间是(kπ+, kπ+)
单调减区间是(kπ, kπ+) (k∈Z)
当0单调减区间是(kπ+, kπ+) (k∈Z)
(3) f(-x)=logacos[-2x-]=loga(2x+)
∵ f(-x)≠f(x) 且f(-x)≠-f(x)
∴f(x) 不具有奇偶性。
（4）f(x)是周期函数，最小正周期是π.
13.解：已知信号最大、最小的波动幅度为6和－6，∴A=6；又根据图象上相邻两点的坐标为和，间距相当于y=Asin（ωx+）的图象的半个周期，∴T=2（－）=π.∵T=，令T==π，解得ω=2；观察图象，点（，0）是五个关键点中的第三个点，∴×2+=π，解得=.综上所述，y=6sin（2x+）.
14.解：（1）
（2）方法一：“先平移，后伸缩”.
先把y=sinx的图象上所有的点向右平移个单位，得到y=sin（x－）的图象；再把y=sin（x－）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x－）的图象；最后将y=sin（x－）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin（x－）的图象.
方法二：“先伸缩，后平移”.
先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x）的图象；再把y=sin（x）图象上所有的点向右平移个单位，得到y=sin（x－）= sin（）的图象；最后将y=sin（x－）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin（x－）的图象.
（3）周期T==4π，振幅A=3，初相是－.
（4）由于y=3sin（x－）是周期函数，通过观察图象可知，所有与x轴垂直并且通过图象的最值点的直线都是此函数的对称轴，即令x－=+kπ，解得直线方程为x=+2kπ，k∈Z；
所有图象与x轴的交点都是函数的对称中心，所以对称中心为点（+2kπ，0），k∈Z；
x前的系数为正数，所以把x－视为一个整体，令－+2kπ≤x－≤+2kπ，解得［－+4kπ，+4kπ］，k∈Z为此函数的单调递增区间.
15．（1）20°；
（2）．高一数学
一、本讲教学内容
两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用
二、典型例题选讲
例1 已知
求证：
分析 注意到已知条件中的角、与欲证等式中的角、的关系：因此可用两角和与差的正弦公式变形，再用已知条件代入进行证明.
证：==
=
评析 本题也可以由已知得，代入右边，得
例2 已知求的取值范围.
分析 难以直接用的式子来表达，因此设，并找出应满足的等式，从而求出的取值范围.
解 令，① 由已知，. ②
①2+②2 ：
即
例3 求函数的值域
分析 的解析式中既有，又有，若由将表示成或将表示成，都会出现根式，且需要讨论符号，因此这种做法不可取.注意到，因此可作代换：则和都可以用表示，就可以变形为的二次函数，再由二次函数在闭区间上的值域就可以求得的值域.
解 令 则
当 当
的值域为
评析 相应于，还有更一般的情况：
∴可以设
则，并由此可求出的取值范围.如设则若则
例4 已知且、、均为钝角，求角的值.
解 由已知，
①2+②2：
评析 仅由，不能确定角的值，还必须找出角的范围，才能判断的值. 由单位圆中的余弦线可以看出，若使的角为或若则或
例5 已知求的值.
分析 因，所以只要求出和的值.由已知，，所以如能由求出的值，即可求得的值.
解
，
评析 一般地，和之间有关系：或写成
例6 已知，求的值.
分析 由可以求出的三角函数，因此需要把欲求值的式子变形为关于的三角函数的式子.
解
评析 与类似，有
例7 已知求的值.
分析 由例6评析，因此希望把也变形为和的三角函数.
解 =
.
= ， ==
评析 若令，则由上述解题过程可知，，类似地有
例8 求值：（1） （2）
分析 （1）为特殊角，，因此有，
（2）为特殊角，，因此有
解 （1）==
=
==
（2）=
=
练 习
一、选择题
1．等于 （ ）
A． B． C． D．
2．已知，且，则的值等于 （ ）
A． B． C． D．
3．已知，则等于 （ ）
A． B． C． D．
4．下列式子中不正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则的值等于 （ ）
A． B． C． D．
6．已知，且是第三象限角，则的值是
A． B． C．或 D．或
二、填空题
7．求值：= .
8．已知，则角是第 象限角.
9．已知、、均为锐角，且，则= .
10．求值：= .
三、解答题
11．求值：（1） （2）
12．已知，求的值.
13．求证：（1） （2）
（3）
14．（1）已知求
（2）已知求
答案与提示
[答案]
一、1．B 2． A 3．C 4．D 5．D 6．A
二、7． 8．四 9． 10．2
三、11．（1）， （2） 12． 13．略
14．（1） （2）
[提示]
一、1．
4． =
+=
5．
6．是第三象限角，
二、8.
9. 、、
10..
三、11．（1）
（2）
12．
13．（1）
（2）==
（3）=
=
14．（1） ① 　②
①2+②2： ，
（2） ① ②
①+② ： ③　 　①－② ： ④
　　　　　 　　　　　　　　　　
③ ：
①
②
2
2
④A级　课时对点练
一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)
1．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是 (　　)
A．－1 B．－ C. D．1
2．函数f(x)＝sin图象的对称轴方程可以为 (　　)
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
3．下列区间是函数y＝2|cos x|的单调递减区间的是 (　　)
A．(0，π) B. C. D.
4．函数y＝cos x|tan x|的大致图象是 (　　)
5．函数y＝sincos的最大值及最小正周期分别为 (　　)
A．1，π B.，π C．1， D．1,2π
二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
6．函数y＝的定义域是________．
7．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为________．
8．对于函数f(x)＝sin(2x＋π)有下列命题：
①函数f(x)的最大值是；
②函数f(x)是以π为最小正周期的周期函数；
③函数f(x)在上为减函数．
其中正确命题的序号是________(把所有正确命题的序号都填上)．
三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)
9．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
10．已知函数f(x)＝－sin2x＋sin xcos x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在上的值域．
B级　素能提升练
一、选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分)
1．已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，则下列结论中不正确的是 (　　)
A．函数y＝f(x)·g(x)的最小正周期为π
B．函数y＝f(x)·g(x)的最大值为
C．函数y＝f(x)·g(x)的图象关于点成中心对称
D．将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象
2．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是 (　　)
二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)
3．关于函数f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；
③y＝f(x)的图象关于点对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．
其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)．
4．对于函数f(x)＝，给出下列三个命题：
(1)该函数的图象关于x＝2kπ＋(k∈Z)对称；
(2)当且仅当x＝kπ＋(k∈Z)时，该函数取得最大值1；
(3)该函数是以π为最小正周期的函数．
上述命题中正确的是________．
三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)
5．已知函数f(x)＝2cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋1(x∈R，ω＞0)的最小正周期是.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．
6．求函数y＝sin x＋cos x＋2sin xcos x＋2的最大值与最小值．
A级　课时对点练
1.解析：∵f(x)＝sin xcos x＝sin 2x.
∴当x＝kπ－，k∈Z时，f(x)min＝－.
答案：B
2.解析：令2x＋＝kπ＋，k∈Z得：x＝＋，k∈Z
取k＝0，可得：x＝.
答案：D
3.解析：作出函数y＝2|cos x|的图象，结合图象判断．
答案：D
4.解析：当x∈时，y＝cos x|tan x|＝sin x，
且y＝cos x|tan x|是偶函数．
答案：C
5.解析：原式＝sin2＝，其最大值为1，最小正周期为π.
答案：A
6.解析：要使函数y＝有意义，
则有
即x≠kπ－且x≠kπ＋(k∈Z)，
∴函数的定义域为
.
答案：
7.解析：据已知可得f(x)＝2sin，若函数为偶函数，则必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，
又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝.
答案：
8.解析：sin≤，①正确；T＝＝π，②正确；由≤2x＋π≤π得≤x≤
π，③正确．
答案：①②③
9.解：(1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ＋，又－π＜φ＜0，则－＜k＜－，
∴k＝－1，则φ＝－.
(2)由(1)得：f(x)＝sin，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
因此y＝f(x)的单调增区间为，k∈Z.
10.解：f(x)＝－sin2x＋sin xcos x＝－×＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x－
＝sin－.
(1)函数f(x)的最小正周期是T＝＝π.
(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴f(x)在上的值域为.
B级　素能提升练
1.解析：据已知可得f(x)＝cos x，g(x)＝sin x，依次判断各选项，只有C是不正确的，因
为f(x)·g(x)＝sin xcos x＝sin 2x，其图象不关于点中心对称，应关于直线x＝轴 对称．
答案：C
2解析：图A中函数的最大值小于2，故数0＜a＜1，而其周期大于2π.故A中图象可以 是函数f(x)的图象．图B中，函数的最大值大于2，故a应大于1，其周期小于2π，故
B中图象可以是函数f(x)的图象．当a＝0时，f(x)＝1，此时对应C中图象．对于D可
以看出其最大值大于2，其周期应小于2π，而图象中的周期大于2π，故D中图象不可
能为函数f(x)的图象．
答案：D
3.解析：函数f(x)＝4sin的最小正周期T＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是
＝知①错．
利用诱导公式得f(x)＝4cos
＝4cos＝4cos，知②正确．
由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x＝－代入得f(x)＝
4sin＝4sin 0＝0，
因此点是f(x)图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f(x)的对称轴必经过
图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x＝－时y＝0，点不是最高点也
不是最低点，故直线x＝－不是图象的对称轴，因此命题④不正确．
答案：②③
4.解析：由函数f(x)的图象知，在x＝0处，函数也取得最大值，∴(2)错；函数f(x)的最小
正周期为2π，∴(3)错；由题意可知，(1)正确．
答案：(1)
5.解：(1)f(x)＝2·＋sin 2ωx＋1
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋2
＝sin＋2.
由题设，函数f(x)的最小正周期是，可得＝，
所以ω＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝sin＋2.
当4x＋＝＋2kπ，即x＝＋(k∈Z)时，
sin取得最大值1，所以函数f(x)的最大值是2＋，此时x的集合为
.
6.解：令t＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]，
则sin xcos x＝
∴y＝t＋×2＋2
＝t2＋t＋1＝2＋
∵t∈[－，]
∴当t＝－时，ymin＝；
当t＝时，ymax＝3＋.
所以函数的最大值为3＋，最小值为.