13.1轴对称 同步练习 2021-2022学年人教版八年级数学上册（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 13.1轴对称 同步练习 2021-2022学年人教版八年级数学上册（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 330.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-27 13:55:40 | ||
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文档简介
2021——2022学年度人教版八年级数学上册 第十三章轴对称 13.1轴对称 同步练习
一、选择题
1．C、D是线段的垂直平分线上的两点，平分，则下列说法不一定正确的是（ ）．
A． B． C．垂直平分 D．
2．如图，在ABC中，直线ED是线段BC的垂直平分线，直线ED分别交BC、AB于点D、点E，已知BD=3，ABC的周长为20，则AEC的周长为（ ）
A．14 B．20 C．16 D．12
3．如图，△ABC和△关于直线对称，下列结论中正确的有（ ）
①△ABC≌△ ②③直线垂直平分 ④直线BC和的交点不一定在直线上．
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AB=6，BC=3，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则△CBE的周长为（ ）
A．12 B．6 C．9 D．15
5．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（ ）
A．48° B．54° C．64° D．78°
6．如图，∠AOB＝45°，点E、F分别在射线OA、OB上，EF＝8，S△OEF＝24，点P是直线EF上的一个动点，点P关于OA的对称的点为P1，点P关于OB的对称点为P2，当点P在直线EF上运动时，的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．18 D．36
7．如图，ABC中，∠A=105 ，通过如图所示的尺规作图得到交点P，若∠ACP=30 ，则∠PBC=（ ）
A．15 B．18 C．20 D．25
8．如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=3，ABC的周长为21，则ABD的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
9．如图，在四边形ABCD中，ABDC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．11
10．如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于交的延长线于于F，现有下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．△ABC中，∠A=55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，点C落在△ABC内，如图，若∠CDA=20°，则∠CEB=________．
12．在平面直角坐标系中，已知点，点，若点同时满足下列条件：①点到，两点的距离相等；②点到的两边距离相等．则点的坐标为______．
13．如图，点P关于OA、OB的对称点分别是P1、P2，P1、P2分别交OA、OB于点C、D，，则△PCD的周长是_______．
14．如图，OA，OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD＝5cm，MC＝7cm，CD＝10cm，一只小蚂蚁从点M出发，爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径的长度为_____．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，点O是AB边的中点，点P是射线AC上的一个动点，BQ∥CA交PO的延长线于点Q，OM⊥PQ交BC边于点M．当CP＝1时，BM的长为_____．
三、解答题
16．先化简，再求值：当点与点关于轴对称时，求的值.
17．如图，邮递员小王的家在两条公路和相交成的角（）的内部处，小王每天都要到开往方向的车上取下快件，然后再送到开往方向的车上，这样他就可以回家了，为使小王每天接送快件时的行程最短，请帮助他找出在公路和上的等车地点．（画草图，保留作图痕迹）
18．已知：如图∠BAC的角平分线AD与BC的垂直平分线DN交与点D，DE⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为E，F．
（1）求证：BE=CF．
（2）若△ABD的面积为10cm2，△ACD的面积为6cm2，求△CDF的面积．
19．（阅读与理解）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法，例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？
（分析）把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C’处，即AC＝AC’，据以上操作，易证明△ACD≌△AC’D，所以∠AC’D＝∠C，又因为∠AC’D＞∠B，所以∠C＞∠B．
（感悟与应用）
（1）如图（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，CD＝CB．求证：∠B＋∠D＝180°．
20．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．
（1）求证：∠DEF＝∠DFE；
（2）求证：AD垂直平分EF．
21．如图，在中，边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于，与相交于点，的周长为．
（1）求的长；
（2）分别连结、、，若的周长为，求的长．
22．我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？如图1．在中，如果，那么．
小明证明如下：将沿的角平分线翻折（如图2），因为，所以点落在的延长线上的点处．于是，由，，可得．这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大即“大边对大角”．从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3．在中，如果，那么．小明的思路是：沿的垂直平分线翻折．问题：
（1）上述证明中为什么．
（2）请写出“大角对大边”的证明过程．
（3）利用上述结论回答下面问题，并说明原因．
①在中，已知，那么，，有怎样的大小关系？
②直角三角形的哪一边最长？
23．综合与探究
在数学综合实践课上，老师让同学用两张全等的等腰三角形纸片进行拼摆，并探究摆放后所构成的图形之间的关系．如图1，△ABC≌△DEF，AB＝AC，DE＝DF．
[探究一]
（1）勤奋小组的同学把这两张纸片按如图2的方式摆放，点A与点D重合，连接BE和CF．他们发现BE与CF之间存在着一定的数量关系，这个关系是 ．
[探究二]（2）创新小组的同学在勤奋小组的启发下，把这两张纸片按如图3的方式摆放，点F，A，D，C在同一直线上，连接BF和CE，他们发现了BF和CE之间的数量和位置关系，请写出这些关系并说明理由；
[探究三]（3）从A，B两题中任选一题作答．解答时用尺规作△DEF，不写作法，保留作图痕迹．
A．如图4，利用△ABC纸片拼摆出一种与图2和图3都不相同的图形，并根据图形写出一个数学结论．
B．如图4，利用△ABC纸片拼摆出一种与图2和图3都不相同的图形，并根据图形提出一个数学问题并解答．
【参考答案】
1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 9．C 10．C
11．80°
12．
13．20cm
14．10cm
15．2.5或1
16．解：由题意有：
原式
当时，原式
17．解：如图所示，分别作点关于射线所在直线的对称点，点关于射线所在直线的对称点，连接，分别交射线、于点、，连接、．
根据轴对称的性质可得、，此时的周长最小，则处、处分别为小王在公路和上的的等车地点．
18．（1）证明：连接、，
如图所示：
的垂直平分线过点，
，
点是的角平分线上的点，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
由（1）知，
由图可知：（cm2），
（cm2）．
19．（1）解：AC+AD=BC，
理由如下：如图，把AC沿∠ACB的角平分线CD翻折，点A落在BC上的点A′处，连接A′D，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=90°-∠B=60°，
由折叠的性质可知，CA′=CA，A′D=AD，∠CA′D=∠A=60°，
∵∠B=30°，
∴∠A′DB=∠CA′D-∠B=30°，
∴∠A′DB=∠B，
∴A′D=A′B，
∴AD=A′B，
∴BC=CA′+A′B=AC+AD；
（2）证明：如图，
将AD沿AC翻折，使D落在AB上的D′处，连接CD′，
则△ADC≌△AD′C，
∴CD=CD′=BC，∠D=∠AD′C，
∴∠B=∠BD′C，
∵∠BD′C+∠AD′C=180°，
∴∠B+∠D=180°．
20．（1）∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE；
（2）根据已知条件可得∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴∠ADE＝∠ADF；
在△DEO和△DFO中，
，
∴，
∴，，
∵∠EOD+∠FOD＝180°，
∴∠EOD=∠FOD＝90°，
∴AD垂直平分EF．
21．解：（1）∵是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，连结、、，
∵是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，
∴，
∴，
∵的周长为16cm，，
∴，
∴，
∴．
22．（1）如图2：如果，将沿的角平分线翻折，
则有
在的延长线上
(三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角)
，即大边对大角；
（2）如果，如图：所对的边为，所对的边为
作边的垂直平分线，将沿直线翻折
则点与点重合,，
，
CE在三角形内部，
（三角形两边之和大于第三边）
（等量代换）
即
（3）①
②由（2）可知：“大角对大边”
直角三角形的三个角中，直角最大
直角所对的边是斜边
直角三角形最长的边为斜边
23．解：（1）如图2，BE＝CF，理由如下：
∵△ABC≌△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EDF+∠EAF，即∠BAE＝∠CDF，
在△BAE和△CDF中
∴△BAE≌△CDF（SAS），
∴BE＝CF；
故答案为BE＝CF；
（2）如图3，BF＝CE，BF∥CE，理由如下：
∵△ABC≌△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF，AC＝DF，AB＝DE，
∴∠BAF＝∠EDC，AF＝DC
在△ABF和△DEC中
∴△ABF≌△DEC（SAS），
∴BF＝CE，∠AFB＝∠DCE，
∴BF∥CE；
（3）A、如图：把这两张纸片按如图方式摆放，AC与DF重合，
根据题意可知：∠DAE=∠ADB
∴AE∥BC；
B、如图：
把这两张纸片按如图方式摆放，BC与EF重合，请写出AD和BC的位置关系并注明；
解答：AD垂直平分BC，
证明：∵AB＝AC，DE＝DF．
∴AD垂直平分BC．
一、选择题
1．C、D是线段的垂直平分线上的两点，平分，则下列说法不一定正确的是（ ）．
A． B． C．垂直平分 D．
2．如图，在ABC中，直线ED是线段BC的垂直平分线，直线ED分别交BC、AB于点D、点E，已知BD=3，ABC的周长为20，则AEC的周长为（ ）
A．14 B．20 C．16 D．12
3．如图，△ABC和△关于直线对称，下列结论中正确的有（ ）
①△ABC≌△ ②③直线垂直平分 ④直线BC和的交点不一定在直线上．
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AB=6，BC=3，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则△CBE的周长为（ ）
A．12 B．6 C．9 D．15
5．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（ ）
A．48° B．54° C．64° D．78°
6．如图，∠AOB＝45°，点E、F分别在射线OA、OB上，EF＝8，S△OEF＝24，点P是直线EF上的一个动点，点P关于OA的对称的点为P1，点P关于OB的对称点为P2，当点P在直线EF上运动时，的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．18 D．36
7．如图，ABC中，∠A=105 ，通过如图所示的尺规作图得到交点P，若∠ACP=30 ，则∠PBC=（ ）
A．15 B．18 C．20 D．25
8．如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=3，ABC的周长为21，则ABD的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
9．如图，在四边形ABCD中，ABDC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．11
10．如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于交的延长线于于F，现有下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．△ABC中，∠A=55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，点C落在△ABC内，如图，若∠CDA=20°，则∠CEB=________．
12．在平面直角坐标系中，已知点，点，若点同时满足下列条件：①点到，两点的距离相等；②点到的两边距离相等．则点的坐标为______．
13．如图，点P关于OA、OB的对称点分别是P1、P2，P1、P2分别交OA、OB于点C、D，，则△PCD的周长是_______．
14．如图，OA，OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD＝5cm，MC＝7cm，CD＝10cm，一只小蚂蚁从点M出发，爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径的长度为_____．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，点O是AB边的中点，点P是射线AC上的一个动点，BQ∥CA交PO的延长线于点Q，OM⊥PQ交BC边于点M．当CP＝1时，BM的长为_____．
三、解答题
16．先化简，再求值：当点与点关于轴对称时，求的值.
17．如图，邮递员小王的家在两条公路和相交成的角（）的内部处，小王每天都要到开往方向的车上取下快件，然后再送到开往方向的车上，这样他就可以回家了，为使小王每天接送快件时的行程最短，请帮助他找出在公路和上的等车地点．（画草图，保留作图痕迹）
18．已知：如图∠BAC的角平分线AD与BC的垂直平分线DN交与点D，DE⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为E，F．
（1）求证：BE=CF．
（2）若△ABD的面积为10cm2，△ACD的面积为6cm2，求△CDF的面积．
19．（阅读与理解）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法，例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？
（分析）把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C’处，即AC＝AC’，据以上操作，易证明△ACD≌△AC’D，所以∠AC’D＝∠C，又因为∠AC’D＞∠B，所以∠C＞∠B．
（感悟与应用）
（1）如图（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，CD＝CB．求证：∠B＋∠D＝180°．
20．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．
（1）求证：∠DEF＝∠DFE；
（2）求证：AD垂直平分EF．
21．如图，在中，边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于，与相交于点，的周长为．
（1）求的长；
（2）分别连结、、，若的周长为，求的长．
22．我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？如图1．在中，如果，那么．
小明证明如下：将沿的角平分线翻折（如图2），因为，所以点落在的延长线上的点处．于是，由，，可得．这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大即“大边对大角”．从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3．在中，如果，那么．小明的思路是：沿的垂直平分线翻折．问题：
（1）上述证明中为什么．
（2）请写出“大角对大边”的证明过程．
（3）利用上述结论回答下面问题，并说明原因．
①在中，已知，那么，，有怎样的大小关系？
②直角三角形的哪一边最长？
23．综合与探究
在数学综合实践课上，老师让同学用两张全等的等腰三角形纸片进行拼摆，并探究摆放后所构成的图形之间的关系．如图1，△ABC≌△DEF，AB＝AC，DE＝DF．
[探究一]
（1）勤奋小组的同学把这两张纸片按如图2的方式摆放，点A与点D重合，连接BE和CF．他们发现BE与CF之间存在着一定的数量关系，这个关系是 ．
[探究二]（2）创新小组的同学在勤奋小组的启发下，把这两张纸片按如图3的方式摆放，点F，A，D，C在同一直线上，连接BF和CE，他们发现了BF和CE之间的数量和位置关系，请写出这些关系并说明理由；
[探究三]（3）从A，B两题中任选一题作答．解答时用尺规作△DEF，不写作法，保留作图痕迹．
A．如图4，利用△ABC纸片拼摆出一种与图2和图3都不相同的图形，并根据图形写出一个数学结论．
B．如图4，利用△ABC纸片拼摆出一种与图2和图3都不相同的图形，并根据图形提出一个数学问题并解答．
【参考答案】
1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 9．C 10．C
11．80°
12．
13．20cm
14．10cm
15．2.5或1
16．解：由题意有：
原式
当时，原式
17．解：如图所示，分别作点关于射线所在直线的对称点，点关于射线所在直线的对称点，连接，分别交射线、于点、，连接、．
根据轴对称的性质可得、，此时的周长最小，则处、处分别为小王在公路和上的的等车地点．
18．（1）证明：连接、，
如图所示：
的垂直平分线过点，
，
点是的角平分线上的点，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
由（1）知，
由图可知：（cm2），
（cm2）．
19．（1）解：AC+AD=BC，
理由如下：如图，把AC沿∠ACB的角平分线CD翻折，点A落在BC上的点A′处，连接A′D，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=90°-∠B=60°，
由折叠的性质可知，CA′=CA，A′D=AD，∠CA′D=∠A=60°，
∵∠B=30°，
∴∠A′DB=∠CA′D-∠B=30°，
∴∠A′DB=∠B，
∴A′D=A′B，
∴AD=A′B，
∴BC=CA′+A′B=AC+AD；
（2）证明：如图，
将AD沿AC翻折，使D落在AB上的D′处，连接CD′，
则△ADC≌△AD′C，
∴CD=CD′=BC，∠D=∠AD′C，
∴∠B=∠BD′C，
∵∠BD′C+∠AD′C=180°，
∴∠B+∠D=180°．
20．（1）∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE；
（2）根据已知条件可得∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴∠ADE＝∠ADF；
在△DEO和△DFO中，
，
∴，
∴，，
∵∠EOD+∠FOD＝180°，
∴∠EOD=∠FOD＝90°，
∴AD垂直平分EF．
21．解：（1）∵是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，连结、、，
∵是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，
∴，
∴，
∵的周长为16cm，，
∴，
∴，
∴．
22．（1）如图2：如果，将沿的角平分线翻折，
则有
在的延长线上
(三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角)
，即大边对大角；
（2）如果，如图：所对的边为，所对的边为
作边的垂直平分线，将沿直线翻折
则点与点重合,，
，
CE在三角形内部，
（三角形两边之和大于第三边）
（等量代换）
即
（3）①
②由（2）可知：“大角对大边”
直角三角形的三个角中，直角最大
直角所对的边是斜边
直角三角形最长的边为斜边
23．解：（1）如图2，BE＝CF，理由如下：
∵△ABC≌△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EDF+∠EAF，即∠BAE＝∠CDF，
在△BAE和△CDF中
∴△BAE≌△CDF（SAS），
∴BE＝CF；
故答案为BE＝CF；
（2）如图3，BF＝CE，BF∥CE，理由如下：
∵△ABC≌△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF，AC＝DF，AB＝DE，
∴∠BAF＝∠EDC，AF＝DC
在△ABF和△DEC中
∴△ABF≌△DEC（SAS），
∴BF＝CE，∠AFB＝∠DCE，
∴BF∥CE；
（3）A、如图：把这两张纸片按如图方式摆放，AC与DF重合，
根据题意可知：∠DAE=∠ADB
∴AE∥BC；
B、如图：
把这两张纸片按如图方式摆放，BC与EF重合，请写出AD和BC的位置关系并注明；
解答：AD垂直平分BC，
证明：∵AB＝AC，DE＝DF．
∴AD垂直平分BC．