第二十七章 相似 专题练习（含解析）
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初三相似专题练习
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E、F分别在AB、AC上，且EF∥BC，交AD于点G，则图中相似的三角形有（ ）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为S，则四边形ABCE的面积为（ ）
A．8S B．9S C．10S D．11S
3．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在等腰三角形中，，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，的面积为42，则四边形DBCE的面积是（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
5．如图，在中，，，．点P是边AC上一动点，过点P作交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分时，AP的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点、.对于下列结论：
①；②；③.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．① C．①② D．②③
7．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为( )
A． B． C． D．
8．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是( )
A．△ABC∽△A'B'C' B．点C、点O、点C'三点在同一直线上 C．AO：AA'=1∶2 D．AB∥A'B'
9．在平面直角坐标系中,点是线段上一点,以原点为位似中心把放大到原来的两倍,则点的对应点的坐标为( )
A． B．或
C． D．或
二、填空题
10．如图,矩形的两边在坐标轴上,点为平面直角坐标系的原点,以轴上的某一点为位似中心,作位似图形,且点的坐标,则位似中心的坐标为__________．
11．如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是_____．
三、解答题
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．
（1）求证：△ADE∽△MAB；
（2）求DE的长．
13．如图，在是AC上的一点，与分别切于点，与AC相交于点E，连接BO．
求证：
若，则______，______；
14．如图，在正方形中，是上一点，连接.过点作，垂足为.经过点、、，与相交于点.
（1）求证；
（2）若正方形的边长为，，求的半径.
15．如图，为了测量一栋楼的高度，小明同学先在操场上处放一面镜子，向后退到处，恰好在镜子中看到楼的顶部；再将镜子放到处，然后后退到处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部（在同一条直线上），测得，如果小明眼睛距地面高度，为，试确定楼的高度．
参考答案
1．C
【分析】
根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似即可解答．
【详解】
解：图中共有7对相似三角形，
理由如下：
∵EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，
∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC．
∵AB＝AC且AD⊥BC，
∴△AEG≌△AFG，△ABD≌△ACD，
则△AEG∽△ACD，△AFG∽△ABD，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的平行线判定法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
2．B
【解析】
分析：由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD∥BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△DEF∽△BCF，再根据E是AD中点，易求出相似比，从而可求的面积，再利用与是同高的三角形，则两个三角形面积比等于它们的底之比，从而易求的面积，进而可求的面积．
详解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴
又∵E是AD中点，
∴
∴DE:BC=DF:BF=1:2，
∴
∴
又∵DF:BF=1:2，
∴
∴
∴四边形ABCE的面积=9S，
故选B.
点睛：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
3．B
【分析】
过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理得到AF===，根据平行线分线段成比例定理得到，OH=AE=，由相似三角形的性质得到=，求得AM=AF=，根据相似三角形的性质得到=，求得AN=AF=，即可得到结论．
【详解】
过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2．
∵BF=2FC，BC=AD=3，
∴BF=AH=2，FC=HD=1，
∴AF===，
∵OH∥AE，
∴=，
∴OH=AE=，
∴OF=FH﹣OH=2﹣=，
∵AE∥FO，∴△AME∽△FMO，
∴=，∴AM=AF=，
∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，
∴=，
∴AN=AF=，
∴MN=AN﹣AM=﹣=，故选B．
【点睛】
构造相似三角形是本题的关键，且求长度问题一般需用到勾股定理来解决，常作垂线
4．D
【分析】
利用得到，所以则，解得，从而得到，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．
【详解】
如图，
根据题意得，
∴
设，则，
∴，解得，
∴，
∴四边形DBCE的面积．
故选D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．
5．B
【分析】
根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到，得到，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】
解：，，，
，
，
，又，
，
，
，
，
，
，即，
解得，，
，
故选B．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
6．A
【解析】
分析：（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；
（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；
（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．
详解：由已知：AC=AB，AD=AE
∴
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE∽△CAD
所以①正确
∵△BAE∽△CAD
∴∠BEA=∠CDA
∵∠PME=∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴
∴MP MD=MA ME
所以②正确
∵∠BEA=∠CDA
∠PME=∠AMD
∴P、E、D、A四点共圆
∴∠APD=∠EAD=90°
∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°
∴△CAP∽△CMA
∴AC2=CP CM
∵AC=AB
∴2CB2=CP CM
所以③正确
故选A．
点睛：本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．
7．C
【解析】
分析：根据题意得△AOB∽△COD，根据相似三角形的性质可求出CD的长.
详解：∵，，
∴∠ABO=∠CDO,
∵∠AOB=∠COD,
∴△AOB∽△COD，
∴
∵AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m，
∴.
故选C.
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△AOB∽△COD是解题关键．
8．C
【分析】
直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【详解】
解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，
∴ △ABC∽△A'B'C' ，点O、C、C'共线，AO：OA'=BO：OB '=1:2，
∴AB∥A'B'，AO：OA'=1:3．
∴A、B、D正确，C错误．
故答案为：C．
【点睛】
本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题的关键．
9．B
【解析】
分析：根据位似变换的性质计算即可．
详解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n），
故选B．
点睛：本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
10．
【分析】
连接BF交y轴于P，根据题意求出CG，再根据相似三角形的性质求出GP，即可求出点P的坐标．
【详解】
解：如图所示，连接BF交y轴于P，
∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形,点B,F的坐标分别为( 4,4),(2,1)，
∴点C的坐标为(0,4),点G的坐标为(0,1)，
∴CG=3，
∵BC∥GF，
∴△PGF∽△PCB，
∴GP：PC=GF：BC=1：2，
∴GP=1，PC=2，
∴OP=2，
∴点P的坐标为(0,2)，
即：位似中心的坐标为（0，2）.
故答案为（0，2）.
【点睛】
本题考查了位似的性质、矩形的性质、相似的判定和性质等知识.合理构造辅助线是解题的关键..
11．（0，3）、（4，0）、（，0）
【分析】
分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，3）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，易得P点坐标为（4，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP=∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标．
【详解】
解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，
由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，
此时P点坐标为（0，3）；
当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，
由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，
此时P点坐标为（4，0）；
当PC⊥AB时，如图，
∵∠CAP＝∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABO，
∴，
∵点A（8，0）和点B（0，6），
∴AB＝＝10，
∵点C是AB的中点，
∴AC＝5，
∴，
∴AP＝ ，
∴OP＝OA﹣AP＝8﹣＝，
此时P点坐标为（，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．
故答案为（0，3）、（4，0）、（，0）
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，掌握相似三角形的性质是解题的关键.
12．（1）见解析；（2）DE＝．
【分析】
（1）要证△ADE∽△MAB，只要找出两个三角形相似的条件即可，根据题意好矩形的性质可以证明△ADE∽△MAB；
（2）根据题意和（1）中△ADE∽△MAB，利用对应边的相似比相等和勾股定理可以解答本题．
【详解】
证明：（1）∵在矩形ABCD中，DE⊥AM于点E，
∴∠B＝90°，∠BAD＝90°，∠DEA＝90°，
∴∠BAM+∠EAD＝90°，∠EDA+∠EAD＝90°，
∴∠BAM＝∠EDA，
在△ADE和△MAB中，∵∠AED＝∠B，∠EDA＝∠BAM，
∴△ADE∽△MAB；
（2）∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，
∴BM＝，
∴AM＝，
由（1）知，△ADE∽△MAB，
∴，
∴，
解得，DE＝．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和数形结合的思想解答．
13．（1）证明见解析；（2）2；4 ．
【分析】
（1）证明△BCO∽△CDE，得，并将CO=CE代入，可得：CE2=2DE BO；
（2）连接OD，设AE=x，则AO=x+3，AC=x+6．根据△ODA∽△BCA，，列方程可得x的值．在Rt△ADO中 由勾股定理可得AD的值．
【详解】
解：（1）证明：连接CD，交OB于F．∵BC与⊙O相切于C，∴∠BCO=90°．
∵EC为⊙O的直径，∴∠CDE=90°，∴∠BCO=∠CDE．
∵BC、BC分别与⊙O相切于C，D，∴BC=BD．
∵OC=OD，∴BO垂直平分CD，从而在Rt△BCO中，CF⊥BO得：∠CBO=∠DCE，
故△BCO∽△CDE，得，∴CE CO=BO DE．
又∵CO=CE，∴CE2=2DE BO；
（2）连接OD．∵BC=CE=6，OD=OE=OC=3，设AE=x，则AO=x+3，AC=x+6．
由△ODA∽△BCA，，∴，得：AB=2（x+3）．
在Rt△ABC 由勾股定理得：62+（x+6）2=（2x+6）2，解得：x1=2．x2=﹣6（舍）
∴AE=2，∴AO=OE+AE=3+2=5．
从而在Rt△ADO中 由勾股定理解得：AD=4．
故答案为2，4．
【点睛】
本题综合考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，线段垂直平分线的逆定理等知识点的运用．是一道运用切线性质解题的典型题目，难度中等．
14．（1）证明见解析；（2）
【解析】
分析：（1）先,证出,再根据四边形是的内接四边形,得到,从而证出结论;
(2) 连接根据得到,根据得到,从而,得,DG=3,利用勾股定理得CG=5,即可求出的半径.
详解：
（1）证明：在正方形中，.
∴.
∵.
∴.
∴.
∴.
∵四边形是的内接四边形，
∴.
又，
∴.
∴.
（2）解：如图，连接.
∵，，
∴.
∴，即.
∵，
∴.
∴.
在正方形中，，
∴，.
∴.
∵，
∴是的直径.
∴的半径为.
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论，正方形的性质．关键是利用正方形的性质证明相似三角形，利用线段，角的关系解题.
15．32米
【分析】
设关于的对称点为，根据光线的反射可知，延长、相交于点，连接并延长交于点，先根据镜面反射的基本性质，得出，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．
【详解】
设关于的对称点为，根据光线的反射可知，延长、相交于点，连接并延长交于点，
由题意可知且、
∴
∴
∴
即：
∴
∴
答：楼的高度为米.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用、镜面反射的基本性质，准确作出辅助线是关键.
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初三相似专题练习
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E、F分别在AB、AC上，且EF∥BC，交AD于点G，则图中相似的三角形有（ ）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为S，则四边形ABCE的面积为（ ）
A．8S B．9S C．10S D．11S
3．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在等腰三角形中，，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，的面积为42，则四边形DBCE的面积是（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
5．如图，在中，，，．点P是边AC上一动点，过点P作交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分时，AP的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点、.对于下列结论：
①；②；③.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．① C．①② D．②③
7．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为( )
A． B． C． D．
8．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是( )
A．△ABC∽△A'B'C' B．点C、点O、点C'三点在同一直线上 C．AO：AA'=1∶2 D．AB∥A'B'
9．在平面直角坐标系中,点是线段上一点,以原点为位似中心把放大到原来的两倍,则点的对应点的坐标为( )
A． B．或
C． D．或
二、填空题
10．如图,矩形的两边在坐标轴上,点为平面直角坐标系的原点,以轴上的某一点为位似中心,作位似图形,且点的坐标,则位似中心的坐标为__________．
11．如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是_____．
三、解答题
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．
（1）求证：△ADE∽△MAB；
（2）求DE的长．
13．如图，在是AC上的一点，与分别切于点，与AC相交于点E，连接BO．
求证：
若，则______，______；
14．如图，在正方形中，是上一点，连接.过点作，垂足为.经过点、、，与相交于点.
（1）求证；
（2）若正方形的边长为，，求的半径.
15．如图，为了测量一栋楼的高度，小明同学先在操场上处放一面镜子，向后退到处，恰好在镜子中看到楼的顶部；再将镜子放到处，然后后退到处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部（在同一条直线上），测得，如果小明眼睛距地面高度，为，试确定楼的高度．
参考答案
1．C
【分析】
根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似即可解答．
【详解】
解：图中共有7对相似三角形，
理由如下：
∵EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，
∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC．
∵AB＝AC且AD⊥BC，
∴△AEG≌△AFG，△ABD≌△ACD，
则△AEG∽△ACD，△AFG∽△ABD，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的平行线判定法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
2．B
【解析】
分析：由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD∥BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△DEF∽△BCF，再根据E是AD中点，易求出相似比，从而可求的面积，再利用与是同高的三角形，则两个三角形面积比等于它们的底之比，从而易求的面积，进而可求的面积．
详解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴
又∵E是AD中点，
∴
∴DE:BC=DF:BF=1:2，
∴
∴
又∵DF:BF=1:2，
∴
∴
∴四边形ABCE的面积=9S，
故选B.
点睛：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
3．B
【分析】
过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理得到AF===，根据平行线分线段成比例定理得到，OH=AE=，由相似三角形的性质得到=，求得AM=AF=，根据相似三角形的性质得到=，求得AN=AF=，即可得到结论．
【详解】
过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2．
∵BF=2FC，BC=AD=3，
∴BF=AH=2，FC=HD=1，
∴AF===，
∵OH∥AE，
∴=，
∴OH=AE=，
∴OF=FH﹣OH=2﹣=，
∵AE∥FO，∴△AME∽△FMO，
∴=，∴AM=AF=，
∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，
∴=，
∴AN=AF=，
∴MN=AN﹣AM=﹣=，故选B．
【点睛】
构造相似三角形是本题的关键，且求长度问题一般需用到勾股定理来解决，常作垂线
4．D
【分析】
利用得到，所以则，解得，从而得到，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．
【详解】
如图，
根据题意得，
∴
设，则，
∴，解得，
∴，
∴四边形DBCE的面积．
故选D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．
5．B
【分析】
根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到，得到，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】
解：，，，
，
，
，又，
，
，
，
，
，
，即，
解得，，
，
故选B．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
6．A
【解析】
分析：（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；
（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；
（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．
详解：由已知：AC=AB，AD=AE
∴
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE∽△CAD
所以①正确
∵△BAE∽△CAD
∴∠BEA=∠CDA
∵∠PME=∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴
∴MP MD=MA ME
所以②正确
∵∠BEA=∠CDA
∠PME=∠AMD
∴P、E、D、A四点共圆
∴∠APD=∠EAD=90°
∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°
∴△CAP∽△CMA
∴AC2=CP CM
∵AC=AB
∴2CB2=CP CM
所以③正确
故选A．
点睛：本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．
7．C
【解析】
分析：根据题意得△AOB∽△COD，根据相似三角形的性质可求出CD的长.
详解：∵，，
∴∠ABO=∠CDO,
∵∠AOB=∠COD,
∴△AOB∽△COD，
∴
∵AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m，
∴.
故选C.
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△AOB∽△COD是解题关键．
8．C
【分析】
直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【详解】
解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，
∴ △ABC∽△A'B'C' ，点O、C、C'共线，AO：OA'=BO：OB '=1:2，
∴AB∥A'B'，AO：OA'=1:3．
∴A、B、D正确，C错误．
故答案为：C．
【点睛】
本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题的关键．
9．B
【解析】
分析：根据位似变换的性质计算即可．
详解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n），
故选B．
点睛：本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
10．
【分析】
连接BF交y轴于P，根据题意求出CG，再根据相似三角形的性质求出GP，即可求出点P的坐标．
【详解】
解：如图所示，连接BF交y轴于P，
∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形,点B,F的坐标分别为( 4,4),(2,1)，
∴点C的坐标为(0,4),点G的坐标为(0,1)，
∴CG=3，
∵BC∥GF，
∴△PGF∽△PCB，
∴GP：PC=GF：BC=1：2，
∴GP=1，PC=2，
∴OP=2，
∴点P的坐标为(0,2)，
即：位似中心的坐标为（0，2）.
故答案为（0，2）.
【点睛】
本题考查了位似的性质、矩形的性质、相似的判定和性质等知识.合理构造辅助线是解题的关键..
11．（0，3）、（4，0）、（，0）
【分析】
分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，3）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，易得P点坐标为（4，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP=∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标．
【详解】
解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，
由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，
此时P点坐标为（0，3）；
当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，
由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，
此时P点坐标为（4，0）；
当PC⊥AB时，如图，
∵∠CAP＝∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABO，
∴，
∵点A（8，0）和点B（0，6），
∴AB＝＝10，
∵点C是AB的中点，
∴AC＝5，
∴，
∴AP＝ ，
∴OP＝OA﹣AP＝8﹣＝，
此时P点坐标为（，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．
故答案为（0，3）、（4，0）、（，0）
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，掌握相似三角形的性质是解题的关键.
12．（1）见解析；（2）DE＝．
【分析】
（1）要证△ADE∽△MAB，只要找出两个三角形相似的条件即可，根据题意好矩形的性质可以证明△ADE∽△MAB；
（2）根据题意和（1）中△ADE∽△MAB，利用对应边的相似比相等和勾股定理可以解答本题．
【详解】
证明：（1）∵在矩形ABCD中，DE⊥AM于点E，
∴∠B＝90°，∠BAD＝90°，∠DEA＝90°，
∴∠BAM+∠EAD＝90°，∠EDA+∠EAD＝90°，
∴∠BAM＝∠EDA，
在△ADE和△MAB中，∵∠AED＝∠B，∠EDA＝∠BAM，
∴△ADE∽△MAB；
（2）∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，
∴BM＝，
∴AM＝，
由（1）知，△ADE∽△MAB，
∴，
∴，
解得，DE＝．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和数形结合的思想解答．
13．（1）证明见解析；（2）2；4 ．
【分析】
（1）证明△BCO∽△CDE，得，并将CO=CE代入，可得：CE2=2DE BO；
（2）连接OD，设AE=x，则AO=x+3，AC=x+6．根据△ODA∽△BCA，，列方程可得x的值．在Rt△ADO中 由勾股定理可得AD的值．
【详解】
解：（1）证明：连接CD，交OB于F．∵BC与⊙O相切于C，∴∠BCO=90°．
∵EC为⊙O的直径，∴∠CDE=90°，∴∠BCO=∠CDE．
∵BC、BC分别与⊙O相切于C，D，∴BC=BD．
∵OC=OD，∴BO垂直平分CD，从而在Rt△BCO中，CF⊥BO得：∠CBO=∠DCE，
故△BCO∽△CDE，得，∴CE CO=BO DE．
又∵CO=CE，∴CE2=2DE BO；
（2）连接OD．∵BC=CE=6，OD=OE=OC=3，设AE=x，则AO=x+3，AC=x+6．
由△ODA∽△BCA，，∴，得：AB=2（x+3）．
在Rt△ABC 由勾股定理得：62+（x+6）2=（2x+6）2，解得：x1=2．x2=﹣6（舍）
∴AE=2，∴AO=OE+AE=3+2=5．
从而在Rt△ADO中 由勾股定理解得：AD=4．
故答案为2，4．
【点睛】
本题综合考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，线段垂直平分线的逆定理等知识点的运用．是一道运用切线性质解题的典型题目，难度中等．
14．（1）证明见解析；（2）
【解析】
分析：（1）先,证出,再根据四边形是的内接四边形,得到,从而证出结论;
(2) 连接根据得到,根据得到,从而,得,DG=3,利用勾股定理得CG=5,即可求出的半径.
详解：
（1）证明：在正方形中，.
∴.
∵.
∴.
∴.
∴.
∵四边形是的内接四边形，
∴.
又，
∴.
∴.
（2）解：如图，连接.
∵，，
∴.
∴，即.
∵，
∴.
∴.
在正方形中，，
∴，.
∴.
∵，
∴是的直径.
∴的半径为.
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论，正方形的性质．关键是利用正方形的性质证明相似三角形，利用线段，角的关系解题.
15．32米
【分析】
设关于的对称点为，根据光线的反射可知，延长、相交于点，连接并延长交于点，先根据镜面反射的基本性质，得出，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．
【详解】
设关于的对称点为，根据光线的反射可知，延长、相交于点，连接并延长交于点，
由题意可知且、
∴
∴
∴
即：
∴
∴
答：楼的高度为米.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用、镜面反射的基本性质，准确作出辅助线是关键.
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