2021-2022学年度华师版八年级上册数学第11章复习课课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
HS八(上)
教学课件
第11章 数的开方
复习课
一、平方根、算术平方根和立方根的概念与性质
概 念 表示 主要性质
平方根
算术
平方根
立方根
若 ，
则x叫做a的平方根
正数有两个平方根，互为相反数
0的平方根是0.
负数没有平方根
若 则x的非负数值 叫做a的算术平方根
非负性：当a ≥0时， ≥0
若 ，则x叫做的立方根
正数的立方根是一个正数；
负数的立方根是一个负数；
0的立方根是0
联
系 平方根与算术平方根：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种；
(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都只有　　
才有；(3)0的平方根、算术平方根均为　
　.
平方根与立方根：(1)都与相应的乘方运算互为　
　运算；(2)都可归结为非负数的非负方根来研究．平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可通过转化为正数的立方根来研究，即 ＝　　 ；
(3)0的平方根和立方根都是0　
非负数
0
逆
－
二、开平方与开立方
1. 求一个非负数a的　 　的运算，叫做开平方．其中a叫做　 　.
2.求一个数a的　 　的运算，叫做开立方．其中a叫做　 　.
3. 开平方与　 　、开立方与　 　都分别互为逆运算．
注意： (1)求正数的平方根时，往往先求出其算术平方根，再在求出的数前面加上“±”号；(2)根据平方(立方)运算与开平方(开立方)运算互为逆运算的关系，我们可以通过平方(立方)运算来求一个数的平方根(立方根)．
平方根
被开方数
立方根
被开方数
平方
立方
【强调】数的开方的几个重要性质
性质
1
：
a
≥
0 (a
≥
0)
（双重非负性）
性质
2
：
(
a
)
2
= a (a
≥
0)
性质
3
：
（a≥0）
a，
（a＜0）
-a，
a
2
=
|a| =
性质4：
注意：算术平方根的双重非负性：算术平方根的符号“ ”不仅是一个运算符号(对被开方数实施开平方运算)，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根．
1. 用计算器求一个正数的算术平方根
三、用计算器求算术平方根、立方根
2. 用计算器求立方根
用计算器求一个数a的立方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入
（ ）
SHIFT
a
=
a
=
用计算器求一个正数a的算术平方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入
四、实数
1.实数的分类
(1)按定义分：
(2)按符号分：
实数
有
理
数
分数
整数
无
理
数
（有限小数及
无限循环小数）
（无限不循环小数）
实
数
正实数
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
0
2.实数与数轴
(1)实数和数轴上的点是一一对应的关系；
(2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
3.在实数范围内，有理数的有关概念、大小比较法则、运算法则以及运算律同样适用.
【例1】 已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a-18，求这个正数.
分析 根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，可以得到关于a的一元一次方程，解之求得a的值，从而可求出这个正数.
解：根据平方根的性质，有a+3+2a-18=0，解得a=5，a+3=8，82=64，所以这个正数是64.
方法小结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．而一个非负数的算术平方根只有一个.另外，一个数的立方根也只有一个，且与它本身的符号相同.
平方根、算术平方根及立方根
1
1.下列说法正确的有（ ）
-64的立方根是-4； 49的算术平方根是±7；
的立方根是 ； ④ 的平方根是 .
A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个
B
C
2. 的平方根是 （ ）
A.4 B.2 C.±2 D.±4
【练习】
【例2】 若a，b为实数且 +|b-1|=0，则(ab)2016 = .
解析 先根据非负数的性质求出a，b的值，再根据乘方的定义求出(ab)2016的值.∵ +|b-1|=0，∴a+1=0，且b-1 =0，∴a =-1 ，b =1.∴(ab)2016 = (-1×1)2016= (-1)2016=1 ， 故填1.
1
3.若 与(b-27)2 互为相反数，则 .
方法小结：初中阶段主要涉及三种非负数： ≥0，|a|≥0，a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.
【练习】
-11
B
【例3】在实数 ， ， 中，无理数有 （ ）
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
解析 是分数； 虽然含有分母2，但它的分子是无理数 ，所以 是无理数；同理 也是无理数. 故选B.
无理数的识别
2
4 .在实数 π， ，0，-1 中，无理数是（ ）
A.π B. C.0 D.-1
【练习】
A
【例4】 如图，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，下列结论正确的是（ ）
A.a>b B.|a|>|b| C.-ab
a
0
B
A
C
解析 数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大，故A不正确；根据点A，B与原点的距离知|a|<|b|，B不正确；-a>0，根据|a|<|b|，知-a实数与数轴上的点的关系
3
5. 若|a|=-a，则实数a在数轴上的对应点一定在（ ）
A.原点左侧 B.原点或原点左侧
C.原点右侧 D.原点或原点右侧
B
【练习】
【例5】估计 的值在（ ）
A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间
B
解析 ∵4<6<9，∴
因此 的值在3到4之间.故选B.
方法小结：像这类估算无理数的大小的问题，可以将带有根号的无理数的被开方数与已知的平方数作比较，一般的，一个非负数越大，它的算术平方根也越大；也可以利用平方法，将无理数平方后，与已知的平方数作比较.
实数的运算与大小比较
4
6. 满足 的整数x是 .
8. 规定用符号[x]表示一个实数x的整数部分，例如：
[3.14]=3， =0.按此规定[ ]的值为 .
7. 比较大小: .
＜
【练习】
【例6】 计算 .
解析 对于被开方数是带分数的，通常需要先将带分数化成假分数，然后再开方.
故填
9.计算 .
【练习】
1.分类讨论思想
【例7】 a的算术平方根是3，b是16的平方根，则a+b= ．
解析 a的算术平方根是3，可知a=9；16的平方根有两个，
为±4，由此可以确定a，b的值，然后代入计算即可.当a=9，b=4时，a+b=13；当a=9，b=-4时，a+b=5.故答案为13或5.
13或5
方法小结：对于该类问题，在求解时，按一定的标准进行分
类，并考虑到所有可能的情况，避免漏解或重复.
本章数学思想和解题方法
5
10.若a是16的平方根，b是-27的立方根，c的绝对值为2，求a-b+c的值.
解：由题意可知a=4或-4，b=-3，c=2或-2.有以下四种情况：
（1）当a=4，b=-3，c=2时，a-b+c=4-（-3）+2=9；
（2）当a=-4，b=-3，c=2时，a-b+c=-4-（-3）+2=1；
（3）当a=4，b=-3，c=-2时，a-b+c=4-（-3）+（-2）=5；
（4）当a=-4，b=-3，c=-2时，a-b+c=-4-（-3）+（-2）=-3.
综上所述，a-b+c的值为9或1或5或-3.
【练习】
2.数形结合思想
【例8 】 如图，数轴上A、B两点对应的实数分别是1和 ，若点A关于B点的对称点为点C，则点C所对应的实数为 ．
解析：设点C所对应的实数是x．根据对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可．设点C所对应的实数是x，则有x - = -1，解得x =2 -1．故答案为2 -1．
11.数轴上A，B两点对应的实数分别是 和2，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为 .
方法小结：数的范围由有理数扩大到实数，实数与数轴上的点建立了一一对应的关系，这样可以通过观察“形”的特点（借助数轴），解答一些关于实数的比较抽象的问题.对于该类问题，运用数形结合思想，先利用数轴表示出三个点的位置，再根据对称的性质解答.
【练方根
实 数
数的开方
性质
有理数
整数
无理数
立方根
性质
分数