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疏附县第一中学2021-2022学年度高一上学期期中考试
数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集，则（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的充要条件
D．“”是“”的既不充分也不必要条件
3．已知实数满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的图象是如图所示的折线段，其中，，函数，那么函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
5．若定义在上的函数满足，，则不等式 (其中为自然对数的底数)的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．设，如果 恒成立，那么（ ）
A． B． C． D．
8．已知m＝log4ππ，n＝log4ee，p＝e，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（ ）
A．p＜n＜m B．m＜n＜p C．n＜m＜p D．n＜p＜m
9．已知定义域为的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足.若，当时，总有，则满足的实数的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知四点均在半径为（为常数）的球的球面上运动，且，，，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数是定义在R上奇函数，当时，.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．设集合，，且，则的值_________．
14．设，，若，则的最小值为_________.
15．已知函数，若不等式（e是自然对数的底数），对任意的恒成立，则整数k的最小值是___________
16．设函数，，，取，，，，则，，的大小关系为________.（用“”连接）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分。
17．(本题10分)已知全集，若集合，或.
（1）求，，；
（2）若集合且，求实数的取值范围.
18．(本题12分)（1）若且，求证：；
（2）若为正实数，且，证明：.
19．(本题12分)若存在实数x0与正数a，使x0+a，x0﹣a均在函数f（x）的定义域内，且f（x0+a）＝f（x0﹣a）成立，则称“函数f（x）在x＝x0处存在长度为a的对称点”．
（1）设f（x）＝x3﹣3x2+2x﹣1，问是否存在正数a，使“函数f（x）在x＝1处存在长度为a的对称点”？试说明理由．
（2）设g（x）＝x（x＞0），若对于任意x0∈（3，4），总存在正数a，使得“函数g（x）在x＝x0处存在长度为a的对称点”，求b的取值范围．
20．(本题12分)美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.
（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；
（2）现在公司准备投入0千万元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.
21．(本题12分)依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其它扣除.
其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元.税率与速算扣除数见下表：
级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（） 速算扣除数
1 3 0
2 10 2520
3 20 16920
… … … …
（1）设全年应纳税所得额为元，应缴纳个税税额为元，求；
（2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老金、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是，，，，专项附加扣除是52800元，依法确定其它扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
（3）设小王全年综合所得收入额为元，应缴纳综合所得个税税额为元，求关于的函数解析式；并计算小王全年综合所得收入额由189600元增加到249600元，那么他全年缴纳多少综合所得个税？
注：“综合所得”包括工资、薪金，劳务报酬，稿酬，特许权使用费；“专项扣除”包括居民个人按照国家规定的范围和标准缴纳的基本养老保险、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金等；“专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出；“其他扣除”是指除上述基本减除费用、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用.
22．(本题12分)已知函数（且）是定义域为R的奇函数，且．
（1）求的值，并判断和证明的单调性；
（2）是否存在实数（且），使函数在上的最大值为0，如果存在，求出实数所有的值；如果不存在，请说明理由．
（3）是否存在正数，使函数在上的最大值为，若存在，求出值，若不存在，请说明理由．
答案第2页，共2页高一数学参考答案
1．A 2．B 3．B 4．B 5．C 6．C 7．D 8．C 9．A 10．A 11．C 12．D
13．2
14．12 6 3
15．4
16． S2 S1 S3
17．（1） A B x 4 x 7 ， A B x x 2或 x 3 ， 痧U A U B x 2 x 3 ；（2） a a 3 .
18．（1）证明见解析； （2）证明见解析.
19．（1）存在，理由见解析；（2）（0，9]．
20．（1）生产A ，B 两种芯片的毛收入 y（千万元）与投入资金 x（千万元）的函数关系式分别为 y 0.25x，y x
(x 0)，（2）9 千万元
0.03t,0 t 36000
21．（1） y 0.1t 2520,36000 t 144000
0.2t 16920,144000 t 300000
（2）1029.6 元
0,0 x 146700
0.024x 3520.8,146700 x 191700
（3） y ；5712 元.
0.08x 14256,191700 x 326700
0.16x 40392,326700 x 521700
17．
（1）因为全集U R， A x 3 x 7 ，B x x 2或 x 4 ，
所以， A B x 4 x 7 ， A B x x 2或 x 3 ，
U A x x 3或 x 7 ， U B x 2 x 4 ，则 痧U A U B x 2 x 3 ；
（2）因为P I A A，则 A P，Q P x x a 0 x x a ，故a 3 .
所以，实数a的取值范围为 a a 3 .
18．
a2 b2 a2 b2 2ab 2ab (a b)2 2
（1）因为a b 0且ab 1，可得
a b a b a b
2 2
(a b) 2 (a b) 2 2 ，
a b a b
2 a2 b2
当且仅当a b 时，即a b 2时，等号成立，所以 2 2 .
a b a b
（2）由a,b为正实数，且a b 2，
因为a2 b2 2ab，所以2(a
2 b2) a2 b2 2ab (a b)2 4，
所以a2 b2 2，当且仅当a b时，等号成立，
a b3 a3所以 b a4 b4 a3b3 ab a4 b4 2a2b2 (a2 b2 )2 4，
即 a b3 a3 b 4 .
19．
（1）∵f（1+a）＝f（1﹣a），
∴（1+a）3﹣3（1+a）2+2（1+a）﹣1＝（1﹣a）3﹣3（1﹣a）2+2（1﹣a）﹣1，
∴a（a+1）（a﹣1）＝0，
∵a＞0，∴a＝1；
b
（2）令 g（x）＝c，则 x c，即 x2﹣cx+b＝0（*）．
x
由题意，方程（*）必须有两正根，且两根的算术平均数为 x0，
c
∴c＞0，b＞0，c2﹣4b＞0， x0，
2
∴0＜b＜x 20 对一切意 x0∈（3，4）均成立，
∴b 的取值范围为（0，9]．
20．
解：（1）因为生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设 y mx m 0 ，因为当 x 1时， y 0.25，所
以m 0.25，所以 y 0.25x，即生产A 芯片的毛收入 y（千万元）与投入资金 x（千万元）的函数关系式为 y 0.25x，
对于生产 aB 芯片的，因为函数 y kx (x 0)图像过点 (1,1),(4,2)，所以
k 1
1 k 1
a ，解得 1 ，所以 y x 2 ，即生产 B 芯片的毛收入
y （千万元）与投入的资金 x（千万元）的函数
k 4 2 a
2
关系为 y x (x 0)，
（2）设投入 x千万元生产 B 芯片，则投入 40 x 千万元生产A 芯片，则公司所获利用
1
f (x) 0.25(40 x) x 2 ( x 2)2 9，
4
所以当 x 2，即 x 4千万元时，公司所获利润最大，最大利润为 9 千万元
21．
解：（1）根据税率与速算扣除数表，可得函数的解析式为：
0.03t,0 t 36000
y 0.1t 2520,36000 t 144000 .
0.2t 16920,144000 t 300000
（2）根据公式，小王全年应纳税所得额为：
t 189600 60000 189600 8% 2% 1% 9% 52800 4560
0.8 189600 117360
34320
将 t的值代入（1）式，得 y 0.03 34320 1029.6，
所以小王全年应缴纳的综合所得个税税额为 1029.6 元.
（3）由个人应纳税所得额计算公式，可得：
t x 60000 x 8% 2% 1% 9% 52800 4560
0.8x 117360
令 t 0，得 x 146700，
根据个人应纳税所得额的规定可知，当0 x 146700时， t 0 .
所以，个人应纳税所得额 t关于综合所得收入额 x的函数解析式为
0,0 x 146700
t .
0.8x 117360, x 146700
结合（1），可得：当0 x 146700时， t 0，所以 y 0；
当146700 x 191700时，0 t 36000，所以 y 0.03t 0.24x 3520.8；
当191700 x 326700时，36000 t 144000，所以 y 0.1t 2520 0.08x 14256；
当326700 x 521700时，144000 t 300000，所以 y 0.2t 16920 0.16x 40392；
所以函数解析式为：
0,0 x 146700
0.024x 3520.8,146700 x 191700
y .
0.08x 14256,191700 x 326700
0.16x 40392,326700 x 521700
当 x 249600时， y 0.08 249600 14256 5712 .
所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为 5712 元.
22．
（1）Q函数 f (x) ax qga x (a 0且a 1)是定义域为R 的奇函数， x R ，
f (0) 0，即1 q 0，解得：q 1，
代入原函数，则有 f ( x) f x ，
所以q 1，
3 1 3 1
Q f （1） ， a ，2a2 3a 2 0，a 2或 a ，
2 a 2 2
Q a 0， a 2， f (x) 2x 2 x，
1
任取实数 x x
x x x x x x
，则 f (x1) f (x2 ) 2 1 2 1 (2 2 2 2 ) (2 1 2 2 )(1 )1 2 x1 x ， 2 2
Q x1 x ， 2x12 2x2 ，又 x x2 1 2 0，
f (x1) f (x )， f (x)2 是单调增函数；
g(x) log [a2x a 2x（2） (m 2) mf (x) 1]
log [22x 2 2x(m 2) m(2
x 2 x ) 1]
log(m 2)[(2
x 2 x )2 m(2x 2 x ) 3]，
设 t 2x 2 x ，则 (2
x 2 x )2 m(2x 2 x ) 3 t2 mt 3，
3 15
Q x [1， 2]， t [ ， ]，记 h(t) t2 mt 3，
2 4
当0 m 2 1，即2 m 3时，要使 g(x)的最大值为 0，则要 h(t)min 1，
m m2 3 3 15
Q h(t) (t )2 (3 ) ，1 m ， t [ ， ]，
2 4 2 2 4
3 15
h(t)在 [ ， ]上单调递增，
2 4
3 21 3 17
h(t)min h( ) m，由 h(t)min 1，得m ，
2 4 2 6
17 17
因 (2,3)，所以m 满足题意；
6 6
当m 2 1，即m 3时，要使 g(x)的最大值为 0，
m 3
则要 h(t)max 1，且 h(t)min 0，Q ，
2 2
3 m 21 15 225 15 257
①若 ，则 h(t)max h( ) m 3 1，解得：m ，
2 2 8 4 16 4 60
m m2
又 h(t)min h( ) 3 0，
2 4
257 257
3 m 2 3，由于 2 3， m 不合题意，
60 60
m 21 21
②若 ，即m ，
2 8 4
3 21 3 21 3 21 21
则 h(t)max h( ) m 0， h(t)max 1，
2 4 2 4 2 4 8
17
综上所述，只存在m 满足题意；
6
（3）令 t f (x) 2x 2 x ，由（1）知 f (x)是单调递增函数，
3 8
当 x [1， log2 3]时， t [ , ]， t2 22x 2 2x 2，
2 3
2 3 8
g(x) g(t) k t kt 2 ， t [ , ]，其最大值为 k ，
2 3
也即 t2 kt 2有最值 1，二次函数最值只可能在端点或者对称轴处取，
只可能是以下三种情况：
3 3 13 13
① ( )2 k 2 1，解得 k ，此时对称轴为 t ，左端点处取的是二次函数最小值，
2 2 6 12
而 k 1，也即 g(t)最小值，不合题意舍去．
8 2 8 73 73② ( ) k 2 1，解得 k ，此时对称轴为 t ，右端点离对称轴更远，取的最大值，
3 3 24 48
而 k 1，也即h(t)最大值，符合．
k 2 k
③ k 2 1，解得 k 2，此时对称轴为 t 1，不在区间上，
4 2
最值不可能在对称轴处取到，不合题意舍去．
73
综上所述， k ．
24
