第12章 数的开方教案
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文档简介
石川九义校八年级第一学期数学教学计划
--------颜鲁国
一、学生基本情况：
本班学生现有58人，其中女生26人，男生32人。上期期末考试成绩总体来看比较好，但是两极分化严重，对优生来说，能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，但仍然缺少大量的推理题训练，推理的思考方法与写法上均存在着一定的困难，对几何有畏难情绪，相关知识学得不很透彻。对后进生来说，简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差。学生在学习能力上，课外主动获取知识的能力较差，学生自主拓展知识面，向深处学习知识的能力没有得到培养。学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要得到加强，以提升学生的整体成绩，应在合适的时候补充课外知识，拓展学生的知识面，提升学生素质，以培养学生课外主动获取知识的能力。在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去。但也有一部分学生的学习目的不明确，心思根本没有用在学习上，对数学处于一种放弃的心态。课堂作业，大部分学生能认真完成，少数学生需要教师督促。学生的学习习惯养成还不理想，预习的习惯，进行总结的习惯，自习课专心致至学习的习惯，主动纠正(考试、作业后)错误的习惯，比较多的学生不具有，需要教师的督促才能做，陶行知说：教育就是培养习惯，这是本期教学中重点予以关注的。
二、教材分析
第12章 数的开方
（一）教学目标
1、让学生经历又一次数系扩张的过程，进一步体验数学的发展源于实际，又作用于实际的辩证关系。
2、理解平方根、算术平方根、立方根的概念；认识平方与开平方、立方与开立方间的关系；会用平方、立方的概念求某些数的平方根与立方根，并会用根号表示；会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根，并会用根号表示；会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根。
3、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
4、能估计某些无理数的大小，培养学生的数感与估算能力，会进行简单的实数运算。
（二）课时分配
12．1 平方根与立方根 4课时
12．2 实数与数轴 2课时
复习 2课时
第13章 整式的乘除
（一）教学目标
（1）掌握正整数幂的三个运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）的性质，会用他们熟练地进行计算。
（2）掌握单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，会用它们进行简单计算（其中多项式相乘，仅指一次多项式）。
（3）会推导平方差与完全平方公式，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。
（4）了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系。掌握提公因式法、运用公式法这两种分解因式的基本方法。
（5）通过练习、训练，提高数、式运算能力，发展思维灵活性。
（6）通过从有理数的乘法、乘方运算到正整数幂的运算与单项式乘多项式的运算的飞跃，初步获得“从具体到抽象”的认识规律与思维方法方面的经验。
（7）通过从幂运算到多项式的乘法，再到乘法公式的学习，初步理解“从特殊到一般，再从一般到特殊”的认识规律。
（8）通过对单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式间的关系的了解，再次学习“未知向已知转化”“复杂向简单转化”的转化思想方法。
（二）课时分配
13．1 幂的运算 4课时
13．2 整式的乘法 3课时
13．3 乘法公式 2课时
13．4 整式的除法 2课时
13．5 因式分解 3课时
复习 2课时
课题学习 面积与代数恒等式 1课时
第14章 勾股定理
（一）教学目标
（1）掌握勾股定理，会用拼图方法证勾股定理。
（2）掌握直角三角形的判别条件，并能运用这些条件解决实际问题，初步运用勾股定理解决简单的实际问题。
（二）课时分配
14．1 勾股定理 3课时
14．2 勾股定理的应用 1课时
复习 2课时
第15章 平移与旋转
（一）教学目标
（1）通过具体事例，认识平移、旋转、中心对称，掌握它们的基本特征。
（2）能按要求作出简单平面图形平移或旋转后的图形。
（3）能利用平移、中心对称进行简单的图案设计。
（4）能利用平移、旋转、中心对称的特征，解释或说明某些图形中角相等、线段相等的现象。
（5）能从具体事例中，抽象概括出平移、旋转、中心对称等概念，探索归纳出它们的特征，获得从哪些方面研究几何图形的一些初步经验。
（6）在探索图形的平移、旋转、中心对称的过程中，主动从事观察、试验、猜想、验证等活动，获得探索图形特征的一些初步经验。
（二）课时分配
15．1 平移 2课时
15．2 旋转 3课时
15．3 中心对称 2课时
15．4 图形的全等 1课时
复习 2课时
第十六章 平行四边形的认识
（一）教学目标
（1）掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的特征，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。
（2）掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件。
（3）掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和识别方法。
（4）了解等腰梯形的有关性质和识别方法。
（5）了解平行四边形是中心对称图形这一本质特征。
（6）能运用平行四形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定方法，解释、说明某些有关线段相等、角相等的问题。
（7）通过主动探索，领会分类思想、转化思想在探索几何图形性质等方面的应用。
（8）领会图形变换的思想方法，并获得一些图形旋转变换、对称变换的经验。
（二）课时分配
16．1 平行四边形的性质 2课时
16．2 矩形、菱形与正方形的性质 3课时
阅读材料 黄金矩形 1课时
16．3 梯形的性质 2课时
复习 2课时
三、提高学科教育质量的主要措施：
1、认真做好教学六认真工作。把教学六认真作为提高成绩的主要方法，认真研读新课程标准，钻研新教材，根据新课程标准，扩充教材内容，认真上课，批改作业，认真辅导，认真制作测试试卷，也让学生学会认真学习。
2、兴趣是最好的老师，爱因斯坦如是说。激发学生的兴趣，给学生介绍数学家，数学史，介绍相应的数学趣题，给出数学课外思考题，激发学生的兴趣。
3、引导学生积极参与知识的构建，营造民主、和谐、平等、自主、探究、合作、交流、分享发现快乐的高效的学习课堂，让学生体会学习的快乐，享受学习。
4、引导学生积极归纳解题规律，引导学生一题多解，多解归一，培养学生透过现象看本质，提高学生举一反三的能力，这是提高学生素质的根本途径之一，培养学生的发散思维，让学生处于一种思如泉涌的状态。
5、运用新课程标准的理念指导教学，积极更新自己脑海中固有的教育理念，不同的教育理念将带来不同的教育效果。
6、培养学生良好的学习习惯，陶行知说：教育就是培养习惯，有助于学生稳步提高学习成绩，发展学生的非智力因素，弥补智力上的不足。
7、指导成立“课外兴趣小组”的民间组织，开展丰富多彩的课外活动，开展对奥数题的研究，课外调查，操作实践，带动班级学生学习数学，同时发展这一部分学生的特长。
8、开展分层教学，布置作业设置A、B、C三类分层布置分别适合于差、中、好三类学生，课堂上的提问照顾好好、中、差三类学生，使他们都等到发展。
9、进行个别辅导，优生提升能力，扎实打牢基础知识，对差生，一些关键知识，辅导差生过关，为差生以后的发展铺平道路。
10、站在系统的高度，使知识构筑在一个系统，上升到哲学的高度，八方联系，浑然一体，使学生学得轻松，记得牢固。
四、教学进度安排
第12章 数的开方 第1——3周
12．1 平方根与立方根 4课时
12．2 实数与数轴 2课时
复习 2课时
第13章 整式的乘除 第4——7周
13．1 幂的运算 4课时
13．2 整式的乘法 3课时
13．3 乘法公式 2课时
13．4 整式的除法 2课时
13．5 因式分解 3课时
复习 2课时
课题学习 面积与代数恒等式 1课时
第14章 勾股定理 第8——9周
14．1 勾股定理 3课时
14．2 勾股定理的应用 1课时
复习 2课时
第15章 平移与旋转 第10——13周（含半期考试）
15．1 平移 2课时
15．2 旋转 3课时
15．3 中心对称 2课时
15．4 图形的全等 1课时
复习 2课时
第十六章 平行四边形的认识 第14——17周
16．1 平行四边形的性质 2课时
16．2 矩形、菱形与正方形的性质 3课时
阅读材料 黄金矩形 1课时
16．3 梯形的性质 2课时
复习 2课时
期末考试复习迎考 第17——20周
以上安排如有不当，请批评指正，将随时改进。
二零一零年八月三十日
第十二章 《数的开方》教学计划
一、教材分析：
《数的开方》这一章的主要内容有两节：平方根与立方根；实数与数轴。
《数的开方》可以看成其后的代数内容的起始章。一方面，平方根、立方根概念的产生，既是生产实际的需要，也是由于数字本身运算的需要。本章在数的开方的基础上引入了无理数的概念，从而引出了实数的概念，并说明在实数范围内可以进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算，而且在有理数范围内成立的运算律和运算性质在实数范围内仍然适用，这样就为今后在实数范围内研究各种问题作好了准备。虽然本章的内容不多，但在中学数学中占有重要地位，是今后学习二次根式、一元二次方程、解直角三角形、函数等知识的基础，在物理等自然科学中也有着十分广泛的应用。
另一方面，通过数的开方运算，引进无理数的概念，从而将数的概念从有理数扩张到了实数。实数是进一步学习数学的基础，实数与数轴上的点是一一对应的。学习实数的重要意义在于：在实数范围内可以更好地建立数与形的联系，并利用这种联系解决有关问题。
二、教学目标：
1、让学生经历又一次数系扩张的过程，进一步体验数学的发展源于实际，又作用于实际的辩证关系。
2、理解平方根、算术平方根、立方根的概念；认识平方与开平方、立方与开立方间的关系；会用平方、立方的概念求某些数的平方根与立方根，会用根号表示；会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根。
3、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
4、能估计某些无理数的大小，培养学生的数感与估算能力，会进行简单的实数运算。
三、教学重、难点、关键点：
本章的重点是平方根、算术平方根的概念及求法。要在教学中反复强调平方根与算术平方根这两个概念间的联系和区别，会用计算器正确、迅速求出一个数的平方根。
本章的难点是算术平方根的概念和实数的概念。算术平方根的概念难在学生对正数开平方有两个结果不习惯，容易将算术平方根与平方根的概念混淆；实数的概念比较抽象，初二学生较难理解，因此在教学时一定要把握住要求，对实数及其有关概念，采用浅显、直观的描述性讲法，力图通过对后面知识的学习逐步加深对它们的认识。
本章的概念较多，掌握平方根、算术平方根、立方根的意义是学好本章的关键。学习本章要抓住对其中平方根、算术平方根、无理数、实数等主要概念的学习，并运用对比手段弄清概念之间的联系和区别。
四、教学策略：
（一）突出主要概念，并注意讲清概念间的联系与区别
本章的特点是涉及的概念多，尤其是相互联系、成对出现的概念多。如乘方运算与开方运算，平方与平方根，立方与立方根，平方根与算术平方根，用计算器求平方根与立方根的方法，有理数与无理数，有理数范围与实数范围等。因此，为便于学生了解本章的概念，教学时一是要注意突出其中的主要概念，二是要注意讲清相关概念的联系与区别。
例如，本章的主要概念是平方根、算术平方根、无理数等。为便于讲清平方根和算术平方根的概念，教材将这两个概念并入一个小节，先讲平方根，后讲算术平方根。指出由于算术平方根的值唯一确定，可用符号 表示，而由于正数a的两个平方根互为相反数，其负平方根可以表示为 ，这样就可以用算术平方根来表示和研究平方根，通过这种对其间联系与区别的提示，有助于加深对它们的了解。
（二）注意加强与几何知识的联系
从教学进度的安排看，在代数里先讲数的开平方的概念及其计算，接着几何里以此为基础讲勾股定理，然后又在代数里根据勾股定理来说明无理数的几何意义。此外，在引入平方根概念时，注意联系几何里已知面积求边长的需要；在引入立方根概念时，注意联系几何里已知体积求边长的需要。在习题配备方面，适当安排了一些需要用到数的开方的几何问题。上述做法，有助于学生从整体上去认识所学习的代数、几何知识，将它们有机地联系起来。
（三） 注意启发学生的思维
在本章的教学中，我们要使教材既具有规范性，又具有启发性，从而使教材能够吸引学生，达到既学习知识，又启发思维、培养能力的目的。
例如，讲正数的平方根的情况时，在提出了平方根的概念后，先让学生“想一想”，某些具体的正数的平方根是什么。正数的两个平方根之间有什么关系，然后再说出这个问题的结论。随后，在讨论负数的平方根的情况时，也是先发问：“负数有平方根吗？”让学生自己去发现规律并用自己的言语加以表达。在教学中，充分让学生体会到如何抓住平方根的意义，利用平方运算来寻求一个非负数的平方根，用平方运算求平方根是一个逆向思维的过程。
（四）注意培养学生数感
在实数的大小比较和运算时，学生可以通过计算器来比较大小，也可以先让学生进行估算，然后得出结论，培养学生的估算能力。又如，在认识 是一个无理数时，按照计算器显示的结果来想象 在数轴上的位置，这实际上是对无理数的一个估计，同时也能让学生从数的方面体会到：一个无理数，可以在数轴上找到一个对应点。
本章的内容概念性比较强，我们要利用反复强化的方法使学生尽快熟悉有关的数学符号，并且密切注意学生可能出现的问题，尽可能给机会展现他们的思考，有的放矢地进行教学。
五、课时安排建议
本章教学时间约需6课时，建议分配如下（仅供参考）：
12．1 平方根与立方根 约2课时
12．2 实数与数轴 约2课时
复习小结 约2课时
第12章 数的开方
12.1平方根与立方根（1）
知识技能目标：
1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，培养学生辩证唯物主义观点；
2.从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性；
3.扣住定义去思考问题，重视解题技巧；
4.以旧引新，以新带旧，从旧知识引进新知识，讲新知识时尽可能复习一些旧知识．
过程与方法目标：
让学生经历从实际例子归纳出平方根概念的过程，理解概念的本质.
情感态度与价值观目标：
就是让学生体验数学与生活息息相关，从生活中来，到生活中去体验数学的作用与价值，使人人学到有用的数学.
教学重点与难点
通过实际问题的研究，认识平方根；正确区分平方根与算术平方根的关系；会用计算器求任意正数的算术平方根。
教学过程
一、创设情境
问题1 要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？
问题2 已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长．
(学生探索，回答问题)
二、探究归纳
问题1解 设正方形纸片的边长为xcm，依题意有：x2＝25，
求出满足x2＝25的x值，就可得正方形纸片的边长．
因52＝25，(-5)2＝25，故满足x2＝25的x的值可以是5，也可以是－5，但正方形边长只能取正值．所以x＝5．
答 正方形纸片的边长为5cm．
这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25．
问题2解 设圆的半径为R cm，依题意有：
πR2=16π，即R2=16，
求出满足R2＝16的R的值即可求出圆的半径．
因42＝16，(－4)2＝16，故满足R2＝16的R的值为4或－4，但圆的半径只能取正值．所以数R＝4．
答 圆的半径为4cm．
这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于16．
刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x2＝a，求x的值．
概括 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(square root)（也叫a的二次方根）．
在上述例1问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根．又因为(－5)2＝52＝25，所以－5也是25的一个平方根．这就是说，25的平方根有两个：5与－5． 在上述例2问题中，因为42＝16，所以4是16的一个平方根．又因为(－4)2＝42＝16，所以－4也是16的一个平方根．这就是说，16的平方根有两个： 4与－4． 所以，根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根．
三、实践应用
例1 求100的平方根．
解 因为102＝100，(-10)2＝100，除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－10，也可以说，100的平方根是±10.
学生试一试：
(1) 144的平方根是什么？(2) 0的平方根是什么？(3)的平方根是什么？(4)－4有没有平方根？为什么？请学生也编三道求平方根的题目，并给出解答．与同学交流，你发现了什么？
1．平方根的性质：
问(1) 正数的平方根是什么？．
问(2) 0的平方根是什么？
问(3) 负数有平方根吗？为什么？
请同学概括数的平方根的性质．
答 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
2.一个非负数a的平方根的表示法．
3.开平方．
求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方．
例2 将下列各数开平方：(1)49， (2)1.69．
分析 开方运算就是求平方根，我们可以通过平方运算来解决．
例3 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由．
(1)－64；(2)0；(3)(－4)2．
分析 因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或0．
四、交流反思
1.一般地，如果＝a，那么叫做a的平方根．(也叫a的二次方根)．当a＝0时，a有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根．
2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方和开平方运算有区别又有联系．区别在于，平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幂；而在开平方运算中，已知的是指数和幂，求的是底数．在平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果是唯一的；在开平方运算中，被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的．
3.平方和开平方运算又有联系，二者互为逆运算．
4.求一个数的平方根，可以通过平方运算来解决．
五、作业
P4 1
12.1平方根与立方根（2）
知识技能目标：
1.引导学生建立清晰的概念系统，在学生正确理解平方根的概念的意义和平方根的表示方法基础上，专门讨论算术平方根的概念及其表示方法；
2.对于表示的算术平方根中的a的条件和的本身的意义作合理性的说明，例如：面积为a(a＞0)的正方形的边长为，从而直观形象地说明算术平方根约定的合理性；
3.针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中．
过程与方法目标：
让学生经历从实际例子归纳出立方根概念的过程，理解概念的本质.
情感态度与价值观目标：
就是让学生体验数学与生活息息相关，从生活中来，到生活中去体验数学的作用与价值，使人人学到有用的数学.
教学重点与难点：
1.理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；
2.体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别，进一步熟练地进行平方根与算术平方根的运算；
3.用计算器求一个非负数的算术平方根．
教学过程
一、创设情境
1.在(-5)2、-52、52中，哪个有平方根？平方根是多少？哪个没有平方根？为什么？
2.0.49的平方根记作____＝____；
3. ＝ ；
4.说出平方根的概念和性质．
二、探究归纳
1.算术平方根：
9的平方根是 ，9的正的平方根是 ，表示的意义是什么？
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根．记作，读作“a的算术平方根”．
这里应强调两点：
(1)这里的不仅表示开平方运算，而且表示正值的根．
(2)这里中有两个“正”字，即被开方数必须为正，算术平方根也是正的．
0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0．即．从以上可知，当a是正数或是0时，表示a的算术平方根．
例1 求100的算术平方根．
解 因为102=100，
所以100的算术平方根是10．即．
注意 100的平方根是±10，而100的算术平方根是10．
例2 求下列各数的平方根和算术平方根：
(1) 36 ； (2) 2.89 ； (3) ．
．
说明 求一个数的平方根时，根号前的“±”号一定要写，它是区别平方根和算术平方根的主要特征．
例3 求下列各式的值：
分析 (1)、(2)、(3)题主要在于理解各题所表示的含义，是求平方根还是求算术平方根，第(4)、(5)题除了分清各题所表示含义之外，还有掌握好运算顺序．
2.用计算器求一个非负数的算术平方根．
例4 用计算器求下列各数的算术平方根：
(1) 529； (2) 1225； (3) 44.81．
三、实践应用
1.下列各式中哪些有意义？哪些无意义？
2.求下列各数的平方根和算术平方根：
3.求下列各式的值，并说明它们各表示的意义：
4.用计算器计算：
(1)； (2)； (3)（精确到0.01）．
四、交流反思
1.平方根和算术平方根的区别：
2.平方根和算术平方根的联系：．
五、作业
P4 3 P7 4
12.1平方根与立方根（3）
知识技能目标
1.在学方根的概念的基础上学习立方根的概念，重点放在讨论立方的概念，立方根的个数的唯一性及立方根的求法；
2.在学生对数的立方根的概念及个数的唯一性有了一定的理解的基础上，提出数的立方根与数平方根的区别；
3.渗透特殊──一般──特殊的思想方法．通过特例研究等式，运用归纳的思想方法，让学生理解“一个负数的立方根是它的绝对值的立方根的相反数”，运用这一关系式求一个负数的立方根．
过程与方法目标：
让学生经历从实际例子归纳出平方根、立方根概念的过程，理解概念的本质.
情感态度与价值观目标：
就是让学生体验数学与生活息息相关，从生活中来，到生活中去体验数学的作用与价值，使人人学到有用的数学.
教学重点与难点
1.掌握立方根的概念，掌握由立方运算，求一个数的立方根的方法；
2.明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别；
3.会用计算器求数的立方根．
教学过程
一、创设情境
计算下列各题：
强调指出 上述各题都是已知一个数，求这个数的立方，即a3＝x．其中，已知数a叫底数，它可为正数，也可为负数，也可是零；x叫做a的三次幂，同样可为正数，可为负数，也可是零．这种运算是乘方运算，是已知底数、指数，求幂的运算．
问题 现有一只体积为216 cm3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？
分析 上面所提出的问题，实质上就是要找一个数，这个数的立方等于216．
解 设正方体纸盒的棱长为xcm，则
，
因为63＝216，所以x＝6．
答 正方体的棱长应为6 cm．
二、探究归纳
问 这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题？从这里可以抽象出一个什么数学概念？
答 已知乘方指数和3次幂，求底数，也就是“已知某数的立方，求某数”．即x3＝a，a是已知数，求x．
1.立方根的概念：
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(cube root)（也叫做三次方根）．
试一试(1)27的立方根是什么？(2)－27的立方根是什么？
(3)0的立方根是什么？请学生也编三道求立方根的题目，并给出解答．
2.立方根的表示方法：
3.开立方：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求．
三、实践应用
例1 求下列各数的立方根：
(1)； (2)-125； (3)-0.008； (4)0．
根据上述练习提问：
(1)一个正数有几个立方根？是否任何负数都有立方根？如都有，一个负数有几个立方根？0的立方根是什么？
启发学生得出立方根的性质，并通过下表与平方根的有关性质进行比较．
(2)一个数的平方根和一个数的立方根，有什么相同点和不同点？
例2 用计算器求下列各数的立方根：
(1)1331； (2)－343； (3)9.263．
分析 用计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键．若被开方数为负数，“－”号的输入可以按，也可以按．
四、交流反思
请思考下面的问题：
1.什么叫一个数的立方根？怎样用符号表示数a的立方根？a的取值范围是什么？
2.数a的立方根与数a的平方根有什么区别？
3.求一个数的立方根，可以通过立方运算来求．
五、作业
P7 1.2.5
12.2实数与数轴（1）
知识技能目标
1.了解实数的意义，能对实数进行分类；
2.了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数；
3.会比较两个实数的大小．
过程与方法目标：
让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握 “逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法
情感态度与价值观目标：
培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一、矛盾转化的辨证唯物主义观点
教学重点与难点
1.通过探索，使学生从数和形两方面体会到无理数可以在数轴上找到一个对应点,从而认识到实数和数轴上的点一一对应；
2.通过计算器辅助，能比较两个无理数的大小．
教学过程
一、创设情境
1.做一做：(1)用计算器求；(2)利用平方关系验算所得结果．
这里，我们用计算器求得=1.414213562，再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2，只是接近2．这就是说，我们求得的的值，只是一个近似值．
2.如果用计算机计算，结果如何呢？
阅读课本第15页的计算结果，在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说， 不是有理数．那么，是怎样的数呢？
二、探究归纳
1.回顾有理数的概念．
(1)有理数包括整数和分数；
(2)任何一个分数写成小数形式，必定是有限小数或者无限循环小数．
2.无理数的概念．
与有理数比较, 计算结果是无限不循环小数，所以不是有理数．类似地，、圆周率π等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数．
无限不循环小数叫做无理数
有理数和无理数统称为实数
三、实践应用
1.试一试：你能在数轴上找到表示的点吗？
如图，将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为．
这就是说，边长为1的正方形的对角线长是，利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示的点，如图所示：
例1 试估计+与π的大小关系．
说明：正实数的大小比较和运算,通常可取它们的近似值来进行．
提问：若将本题改为“试估计－(+)与－π的大小关系” ，如何解答
例2 如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗 如果再将所有的无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗
答 如果将所有的有理数都标到数轴上，数轴未被填满；如果再将所有无理数都标到数轴上，那么数轴被填满．
四、交流反思
数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．数学上可以说明，数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数也都可以用数轴上的点来表示．换句话说，实数与数轴上的点一一对应．
五、作业
P11 1.2.3
12.2实数与数轴（2）
知识技能目标
1.了解有理数的相反数和绝对值等概念、运算法则和运算律在实数范围内仍然适用；
2.能利用运算法则进行简单运算．
过程与方法目标：
让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握 “逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法
情感态度与价值观目标：
培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一、矛盾转化的辨证唯物主义观点
教学重点与难点
有理数中的相反数、倒数和绝对值等概念与运算法则和运算律在实数范围内仍成立，让学生体会到这是一种知识的迁移．
教学过程
一、创设情境
1.复习提问：
(1)用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律．
(2)用字母表示有理数的加法交换律和结合律．
(3)平方差公式？完全平方公式？
(4)有理数的相反数是什么？不为0的数的倒数是什么？有理数的绝对值等于什么？
二、探究归纳
在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用．
三、实践应用
例1 计算：（结果精确到0.01）．
分析 对于实数的运算,通常可以取他们的近似值来进行．
解 用计算器求得≈－0.778539072,
于是≈0.778539072,
所以≈1.570796327－0.778539072
＝0.792257255
四、交流反思
1.一个数的绝对值就是这个数在数轴上表示的点到原点的距离；
2.互为相反数的两数在数轴上表示的点在原点两侧且到原点的距离相等（除0以外）；
3.从有理数扩大到实数，有理数的运算法则和运算律适用于实数．
五、作业
1.借助计算器计算下列各题：
(1)； (2)；
(3)； (4).
仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律？你能解释这一规律吗？与同学交流一下想法．并用所发现的规律直接写出下面的结果：
单元复习（1）
知识技能目标
1.理解并掌握平方根和算术平方根、立方根的意义；
2.理解并掌握二次根式的意义和基本性质；
3.掌握二次根式乘法和除法运算法则，并能熟练应用.
教学重点与难点
经历本章知识结构图的认识过程，体会数学知识的前后连贯性，体验综合应用学过的数学知识解决问题的方式和方法.
教学过程
一、创设情境
本章知识结构如图所示：
实数 无理数 实际问题 平方 立方 平方根 立方根 算术平方根
二、探究归纳
1.平方根和算术平方根的意义：
(1)如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；
(2)正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根；
(3)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.
(4)求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方，它与平方运算互为逆运算．
2.立方根的意义：
(1)如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根．
(2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方，与立方运算互为逆运算．
(3)任何数都有立方根.
三、实践应用
例1 填空：
(1)的平方根是 ，的算术平方根是 ；
(2) 的平方等于，的算术平方根是 .
解 (1)，3；
(2)，.
例2 已知，y是的正的平方根，求代数式的值.
解 由题意可得
当时，
＝＝＝
当时，
＝＝＝
四、交流反思
1.平方根和算术平方根、立方根的意义；
五、作业
根据表格中所给信息填空；
2. 将下列各数按从小到大的顺序重新排成一列：
3.平方根等于本身的数是 ；
立方根等于本身的数是 ；
算术平方根等于本身的数是 .
单元复习（2）
知识技能目标
1.理解二次根式加减的实质就是合并同类二次根式.能熟练地进行二次根式的加减运算；
2.理解并掌握实数、无理数的意义，并能正确识别有理数和无理数；
3.正确理解实数与数轴上的点的一一对应关系.
教学重点与难点
经历实数分类的复习过程，进一步体验数学中的分类和类比思想，从数轴上的点与实数的关系中体会数形结合是研究数学问题的重要方法.
教学过程
一、创设情境
复习：
1.无限不循环小数叫做无理数．
2有理数与无理数统称为实数．
3.实数与数轴上的点一一对应，即数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示．
二、实践应用
例1 对实数进行分类.
解
例2 将下列实数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接.
π，，，0，.
解 ＜＜0＜＜π．
例3 数a、b在数轴上的位置如图所示：
化简：．
解 由图可得：-2＜a＜-1, 1＜b＜2，
所以 a+1＜0, b-1＞0, a-b＜0，
=
=
=-2．
三、交流反思
1.无限不循环小数叫做无理数，有理数与无理数统称为实数；
2.实数与数轴上的点一一对应，即数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示．
四、作业
1.填空：若 ，则＝ ，－的相反数是 ，－的绝对值是 ，
2.把下列各数填入相应的大括号内：
，－3，0，3.1415 , , , , ,,
1.121221222122221… （两个1之间依次多个2）
(1)正数集合：{ …}；
(2)负数集合：{ …}；
(3)无理数集合：{ …}；
(4)非负数集合：{ …}.
3.一个正方体的体积为285，求这个正方体的表面积（结果保留3个有效数字）.
--------颜鲁国
一、学生基本情况：
本班学生现有58人，其中女生26人，男生32人。上期期末考试成绩总体来看比较好，但是两极分化严重，对优生来说，能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，但仍然缺少大量的推理题训练，推理的思考方法与写法上均存在着一定的困难，对几何有畏难情绪，相关知识学得不很透彻。对后进生来说，简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差。学生在学习能力上，课外主动获取知识的能力较差，学生自主拓展知识面，向深处学习知识的能力没有得到培养。学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要得到加强，以提升学生的整体成绩，应在合适的时候补充课外知识，拓展学生的知识面，提升学生素质，以培养学生课外主动获取知识的能力。在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去。但也有一部分学生的学习目的不明确，心思根本没有用在学习上，对数学处于一种放弃的心态。课堂作业，大部分学生能认真完成，少数学生需要教师督促。学生的学习习惯养成还不理想，预习的习惯，进行总结的习惯，自习课专心致至学习的习惯，主动纠正(考试、作业后)错误的习惯，比较多的学生不具有，需要教师的督促才能做，陶行知说：教育就是培养习惯，这是本期教学中重点予以关注的。
二、教材分析
第12章 数的开方
（一）教学目标
1、让学生经历又一次数系扩张的过程，进一步体验数学的发展源于实际，又作用于实际的辩证关系。
2、理解平方根、算术平方根、立方根的概念；认识平方与开平方、立方与开立方间的关系；会用平方、立方的概念求某些数的平方根与立方根，并会用根号表示；会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根，并会用根号表示；会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根。
3、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
4、能估计某些无理数的大小，培养学生的数感与估算能力，会进行简单的实数运算。
（二）课时分配
12．1 平方根与立方根 4课时
12．2 实数与数轴 2课时
复习 2课时
第13章 整式的乘除
（一）教学目标
（1）掌握正整数幂的三个运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）的性质，会用他们熟练地进行计算。
（2）掌握单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，会用它们进行简单计算（其中多项式相乘，仅指一次多项式）。
（3）会推导平方差与完全平方公式，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。
（4）了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系。掌握提公因式法、运用公式法这两种分解因式的基本方法。
（5）通过练习、训练，提高数、式运算能力，发展思维灵活性。
（6）通过从有理数的乘法、乘方运算到正整数幂的运算与单项式乘多项式的运算的飞跃，初步获得“从具体到抽象”的认识规律与思维方法方面的经验。
（7）通过从幂运算到多项式的乘法，再到乘法公式的学习，初步理解“从特殊到一般，再从一般到特殊”的认识规律。
（8）通过对单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式间的关系的了解，再次学习“未知向已知转化”“复杂向简单转化”的转化思想方法。
（二）课时分配
13．1 幂的运算 4课时
13．2 整式的乘法 3课时
13．3 乘法公式 2课时
13．4 整式的除法 2课时
13．5 因式分解 3课时
复习 2课时
课题学习 面积与代数恒等式 1课时
第14章 勾股定理
（一）教学目标
（1）掌握勾股定理，会用拼图方法证勾股定理。
（2）掌握直角三角形的判别条件，并能运用这些条件解决实际问题，初步运用勾股定理解决简单的实际问题。
（二）课时分配
14．1 勾股定理 3课时
14．2 勾股定理的应用 1课时
复习 2课时
第15章 平移与旋转
（一）教学目标
（1）通过具体事例，认识平移、旋转、中心对称，掌握它们的基本特征。
（2）能按要求作出简单平面图形平移或旋转后的图形。
（3）能利用平移、中心对称进行简单的图案设计。
（4）能利用平移、旋转、中心对称的特征，解释或说明某些图形中角相等、线段相等的现象。
（5）能从具体事例中，抽象概括出平移、旋转、中心对称等概念，探索归纳出它们的特征，获得从哪些方面研究几何图形的一些初步经验。
（6）在探索图形的平移、旋转、中心对称的过程中，主动从事观察、试验、猜想、验证等活动，获得探索图形特征的一些初步经验。
（二）课时分配
15．1 平移 2课时
15．2 旋转 3课时
15．3 中心对称 2课时
15．4 图形的全等 1课时
复习 2课时
第十六章 平行四边形的认识
（一）教学目标
（1）掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的特征，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。
（2）掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件。
（3）掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和识别方法。
（4）了解等腰梯形的有关性质和识别方法。
（5）了解平行四边形是中心对称图形这一本质特征。
（6）能运用平行四形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定方法，解释、说明某些有关线段相等、角相等的问题。
（7）通过主动探索，领会分类思想、转化思想在探索几何图形性质等方面的应用。
（8）领会图形变换的思想方法，并获得一些图形旋转变换、对称变换的经验。
（二）课时分配
16．1 平行四边形的性质 2课时
16．2 矩形、菱形与正方形的性质 3课时
阅读材料 黄金矩形 1课时
16．3 梯形的性质 2课时
复习 2课时
三、提高学科教育质量的主要措施：
1、认真做好教学六认真工作。把教学六认真作为提高成绩的主要方法，认真研读新课程标准，钻研新教材，根据新课程标准，扩充教材内容，认真上课，批改作业，认真辅导，认真制作测试试卷，也让学生学会认真学习。
2、兴趣是最好的老师，爱因斯坦如是说。激发学生的兴趣，给学生介绍数学家，数学史，介绍相应的数学趣题，给出数学课外思考题，激发学生的兴趣。
3、引导学生积极参与知识的构建，营造民主、和谐、平等、自主、探究、合作、交流、分享发现快乐的高效的学习课堂，让学生体会学习的快乐，享受学习。
4、引导学生积极归纳解题规律，引导学生一题多解，多解归一，培养学生透过现象看本质，提高学生举一反三的能力，这是提高学生素质的根本途径之一，培养学生的发散思维，让学生处于一种思如泉涌的状态。
5、运用新课程标准的理念指导教学，积极更新自己脑海中固有的教育理念，不同的教育理念将带来不同的教育效果。
6、培养学生良好的学习习惯，陶行知说：教育就是培养习惯，有助于学生稳步提高学习成绩，发展学生的非智力因素，弥补智力上的不足。
7、指导成立“课外兴趣小组”的民间组织，开展丰富多彩的课外活动，开展对奥数题的研究，课外调查，操作实践，带动班级学生学习数学，同时发展这一部分学生的特长。
8、开展分层教学，布置作业设置A、B、C三类分层布置分别适合于差、中、好三类学生，课堂上的提问照顾好好、中、差三类学生，使他们都等到发展。
9、进行个别辅导，优生提升能力，扎实打牢基础知识，对差生，一些关键知识，辅导差生过关，为差生以后的发展铺平道路。
10、站在系统的高度，使知识构筑在一个系统，上升到哲学的高度，八方联系，浑然一体，使学生学得轻松，记得牢固。
四、教学进度安排
第12章 数的开方 第1——3周
12．1 平方根与立方根 4课时
12．2 实数与数轴 2课时
复习 2课时
第13章 整式的乘除 第4——7周
13．1 幂的运算 4课时
13．2 整式的乘法 3课时
13．3 乘法公式 2课时
13．4 整式的除法 2课时
13．5 因式分解 3课时
复习 2课时
课题学习 面积与代数恒等式 1课时
第14章 勾股定理 第8——9周
14．1 勾股定理 3课时
14．2 勾股定理的应用 1课时
复习 2课时
第15章 平移与旋转 第10——13周（含半期考试）
15．1 平移 2课时
15．2 旋转 3课时
15．3 中心对称 2课时
15．4 图形的全等 1课时
复习 2课时
第十六章 平行四边形的认识 第14——17周
16．1 平行四边形的性质 2课时
16．2 矩形、菱形与正方形的性质 3课时
阅读材料 黄金矩形 1课时
16．3 梯形的性质 2课时
复习 2课时
期末考试复习迎考 第17——20周
以上安排如有不当，请批评指正，将随时改进。
二零一零年八月三十日
第十二章 《数的开方》教学计划
一、教材分析：
《数的开方》这一章的主要内容有两节：平方根与立方根；实数与数轴。
《数的开方》可以看成其后的代数内容的起始章。一方面，平方根、立方根概念的产生，既是生产实际的需要，也是由于数字本身运算的需要。本章在数的开方的基础上引入了无理数的概念，从而引出了实数的概念，并说明在实数范围内可以进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算，而且在有理数范围内成立的运算律和运算性质在实数范围内仍然适用，这样就为今后在实数范围内研究各种问题作好了准备。虽然本章的内容不多，但在中学数学中占有重要地位，是今后学习二次根式、一元二次方程、解直角三角形、函数等知识的基础，在物理等自然科学中也有着十分广泛的应用。
另一方面，通过数的开方运算，引进无理数的概念，从而将数的概念从有理数扩张到了实数。实数是进一步学习数学的基础，实数与数轴上的点是一一对应的。学习实数的重要意义在于：在实数范围内可以更好地建立数与形的联系，并利用这种联系解决有关问题。
二、教学目标：
1、让学生经历又一次数系扩张的过程，进一步体验数学的发展源于实际，又作用于实际的辩证关系。
2、理解平方根、算术平方根、立方根的概念；认识平方与开平方、立方与开立方间的关系；会用平方、立方的概念求某些数的平方根与立方根，会用根号表示；会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根。
3、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
4、能估计某些无理数的大小，培养学生的数感与估算能力，会进行简单的实数运算。
三、教学重、难点、关键点：
本章的重点是平方根、算术平方根的概念及求法。要在教学中反复强调平方根与算术平方根这两个概念间的联系和区别，会用计算器正确、迅速求出一个数的平方根。
本章的难点是算术平方根的概念和实数的概念。算术平方根的概念难在学生对正数开平方有两个结果不习惯，容易将算术平方根与平方根的概念混淆；实数的概念比较抽象，初二学生较难理解，因此在教学时一定要把握住要求，对实数及其有关概念，采用浅显、直观的描述性讲法，力图通过对后面知识的学习逐步加深对它们的认识。
本章的概念较多，掌握平方根、算术平方根、立方根的意义是学好本章的关键。学习本章要抓住对其中平方根、算术平方根、无理数、实数等主要概念的学习，并运用对比手段弄清概念之间的联系和区别。
四、教学策略：
（一）突出主要概念，并注意讲清概念间的联系与区别
本章的特点是涉及的概念多，尤其是相互联系、成对出现的概念多。如乘方运算与开方运算，平方与平方根，立方与立方根，平方根与算术平方根，用计算器求平方根与立方根的方法，有理数与无理数，有理数范围与实数范围等。因此，为便于学生了解本章的概念，教学时一是要注意突出其中的主要概念，二是要注意讲清相关概念的联系与区别。
例如，本章的主要概念是平方根、算术平方根、无理数等。为便于讲清平方根和算术平方根的概念，教材将这两个概念并入一个小节，先讲平方根，后讲算术平方根。指出由于算术平方根的值唯一确定，可用符号 表示，而由于正数a的两个平方根互为相反数，其负平方根可以表示为 ，这样就可以用算术平方根来表示和研究平方根，通过这种对其间联系与区别的提示，有助于加深对它们的了解。
（二）注意加强与几何知识的联系
从教学进度的安排看，在代数里先讲数的开平方的概念及其计算，接着几何里以此为基础讲勾股定理，然后又在代数里根据勾股定理来说明无理数的几何意义。此外，在引入平方根概念时，注意联系几何里已知面积求边长的需要；在引入立方根概念时，注意联系几何里已知体积求边长的需要。在习题配备方面，适当安排了一些需要用到数的开方的几何问题。上述做法，有助于学生从整体上去认识所学习的代数、几何知识，将它们有机地联系起来。
（三） 注意启发学生的思维
在本章的教学中，我们要使教材既具有规范性，又具有启发性，从而使教材能够吸引学生，达到既学习知识，又启发思维、培养能力的目的。
例如，讲正数的平方根的情况时，在提出了平方根的概念后，先让学生“想一想”，某些具体的正数的平方根是什么。正数的两个平方根之间有什么关系，然后再说出这个问题的结论。随后，在讨论负数的平方根的情况时，也是先发问：“负数有平方根吗？”让学生自己去发现规律并用自己的言语加以表达。在教学中，充分让学生体会到如何抓住平方根的意义，利用平方运算来寻求一个非负数的平方根，用平方运算求平方根是一个逆向思维的过程。
（四）注意培养学生数感
在实数的大小比较和运算时，学生可以通过计算器来比较大小，也可以先让学生进行估算，然后得出结论，培养学生的估算能力。又如，在认识 是一个无理数时，按照计算器显示的结果来想象 在数轴上的位置，这实际上是对无理数的一个估计，同时也能让学生从数的方面体会到：一个无理数，可以在数轴上找到一个对应点。
本章的内容概念性比较强，我们要利用反复强化的方法使学生尽快熟悉有关的数学符号，并且密切注意学生可能出现的问题，尽可能给机会展现他们的思考，有的放矢地进行教学。
五、课时安排建议
本章教学时间约需6课时，建议分配如下（仅供参考）：
12．1 平方根与立方根 约2课时
12．2 实数与数轴 约2课时
复习小结 约2课时
第12章 数的开方
12.1平方根与立方根（1）
知识技能目标：
1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，培养学生辩证唯物主义观点；
2.从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性；
3.扣住定义去思考问题，重视解题技巧；
4.以旧引新，以新带旧，从旧知识引进新知识，讲新知识时尽可能复习一些旧知识．
过程与方法目标：
让学生经历从实际例子归纳出平方根概念的过程，理解概念的本质.
情感态度与价值观目标：
就是让学生体验数学与生活息息相关，从生活中来，到生活中去体验数学的作用与价值，使人人学到有用的数学.
教学重点与难点
通过实际问题的研究，认识平方根；正确区分平方根与算术平方根的关系；会用计算器求任意正数的算术平方根。
教学过程
一、创设情境
问题1 要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？
问题2 已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长．
(学生探索，回答问题)
二、探究归纳
问题1解 设正方形纸片的边长为xcm，依题意有：x2＝25，
求出满足x2＝25的x值，就可得正方形纸片的边长．
因52＝25，(-5)2＝25，故满足x2＝25的x的值可以是5，也可以是－5，但正方形边长只能取正值．所以x＝5．
答 正方形纸片的边长为5cm．
这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25．
问题2解 设圆的半径为R cm，依题意有：
πR2=16π，即R2=16，
求出满足R2＝16的R的值即可求出圆的半径．
因42＝16，(－4)2＝16，故满足R2＝16的R的值为4或－4，但圆的半径只能取正值．所以数R＝4．
答 圆的半径为4cm．
这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于16．
刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x2＝a，求x的值．
概括 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(square root)（也叫a的二次方根）．
在上述例1问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根．又因为(－5)2＝52＝25，所以－5也是25的一个平方根．这就是说，25的平方根有两个：5与－5． 在上述例2问题中，因为42＝16，所以4是16的一个平方根．又因为(－4)2＝42＝16，所以－4也是16的一个平方根．这就是说，16的平方根有两个： 4与－4． 所以，根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根．
三、实践应用
例1 求100的平方根．
解 因为102＝100，(-10)2＝100，除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－10，也可以说，100的平方根是±10.
学生试一试：
(1) 144的平方根是什么？(2) 0的平方根是什么？(3)的平方根是什么？(4)－4有没有平方根？为什么？请学生也编三道求平方根的题目，并给出解答．与同学交流，你发现了什么？
1．平方根的性质：
问(1) 正数的平方根是什么？．
问(2) 0的平方根是什么？
问(3) 负数有平方根吗？为什么？
请同学概括数的平方根的性质．
答 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
2.一个非负数a的平方根的表示法．
3.开平方．
求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方．
例2 将下列各数开平方：(1)49， (2)1.69．
分析 开方运算就是求平方根，我们可以通过平方运算来解决．
例3 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由．
(1)－64；(2)0；(3)(－4)2．
分析 因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或0．
四、交流反思
1.一般地，如果＝a，那么叫做a的平方根．(也叫a的二次方根)．当a＝0时，a有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根．
2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方和开平方运算有区别又有联系．区别在于，平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幂；而在开平方运算中，已知的是指数和幂，求的是底数．在平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果是唯一的；在开平方运算中，被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的．
3.平方和开平方运算又有联系，二者互为逆运算．
4.求一个数的平方根，可以通过平方运算来解决．
五、作业
P4 1
12.1平方根与立方根（2）
知识技能目标：
1.引导学生建立清晰的概念系统，在学生正确理解平方根的概念的意义和平方根的表示方法基础上，专门讨论算术平方根的概念及其表示方法；
2.对于表示的算术平方根中的a的条件和的本身的意义作合理性的说明，例如：面积为a(a＞0)的正方形的边长为，从而直观形象地说明算术平方根约定的合理性；
3.针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中．
过程与方法目标：
让学生经历从实际例子归纳出立方根概念的过程，理解概念的本质.
情感态度与价值观目标：
就是让学生体验数学与生活息息相关，从生活中来，到生活中去体验数学的作用与价值，使人人学到有用的数学.
教学重点与难点：
1.理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；
2.体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别，进一步熟练地进行平方根与算术平方根的运算；
3.用计算器求一个非负数的算术平方根．
教学过程
一、创设情境
1.在(-5)2、-52、52中，哪个有平方根？平方根是多少？哪个没有平方根？为什么？
2.0.49的平方根记作____＝____；
3. ＝ ；
4.说出平方根的概念和性质．
二、探究归纳
1.算术平方根：
9的平方根是 ，9的正的平方根是 ，表示的意义是什么？
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根．记作，读作“a的算术平方根”．
这里应强调两点：
(1)这里的不仅表示开平方运算，而且表示正值的根．
(2)这里中有两个“正”字，即被开方数必须为正，算术平方根也是正的．
0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0．即．从以上可知，当a是正数或是0时，表示a的算术平方根．
例1 求100的算术平方根．
解 因为102=100，
所以100的算术平方根是10．即．
注意 100的平方根是±10，而100的算术平方根是10．
例2 求下列各数的平方根和算术平方根：
(1) 36 ； (2) 2.89 ； (3) ．
．
说明 求一个数的平方根时，根号前的“±”号一定要写，它是区别平方根和算术平方根的主要特征．
例3 求下列各式的值：
分析 (1)、(2)、(3)题主要在于理解各题所表示的含义，是求平方根还是求算术平方根，第(4)、(5)题除了分清各题所表示含义之外，还有掌握好运算顺序．
2.用计算器求一个非负数的算术平方根．
例4 用计算器求下列各数的算术平方根：
(1) 529； (2) 1225； (3) 44.81．
三、实践应用
1.下列各式中哪些有意义？哪些无意义？
2.求下列各数的平方根和算术平方根：
3.求下列各式的值，并说明它们各表示的意义：
4.用计算器计算：
(1)； (2)； (3)（精确到0.01）．
四、交流反思
1.平方根和算术平方根的区别：
2.平方根和算术平方根的联系：．
五、作业
P4 3 P7 4
12.1平方根与立方根（3）
知识技能目标
1.在学方根的概念的基础上学习立方根的概念，重点放在讨论立方的概念，立方根的个数的唯一性及立方根的求法；
2.在学生对数的立方根的概念及个数的唯一性有了一定的理解的基础上，提出数的立方根与数平方根的区别；
3.渗透特殊──一般──特殊的思想方法．通过特例研究等式，运用归纳的思想方法，让学生理解“一个负数的立方根是它的绝对值的立方根的相反数”，运用这一关系式求一个负数的立方根．
过程与方法目标：
让学生经历从实际例子归纳出平方根、立方根概念的过程，理解概念的本质.
情感态度与价值观目标：
就是让学生体验数学与生活息息相关，从生活中来，到生活中去体验数学的作用与价值，使人人学到有用的数学.
教学重点与难点
1.掌握立方根的概念，掌握由立方运算，求一个数的立方根的方法；
2.明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别；
3.会用计算器求数的立方根．
教学过程
一、创设情境
计算下列各题：
强调指出 上述各题都是已知一个数，求这个数的立方，即a3＝x．其中，已知数a叫底数，它可为正数，也可为负数，也可是零；x叫做a的三次幂，同样可为正数，可为负数，也可是零．这种运算是乘方运算，是已知底数、指数，求幂的运算．
问题 现有一只体积为216 cm3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？
分析 上面所提出的问题，实质上就是要找一个数，这个数的立方等于216．
解 设正方体纸盒的棱长为xcm，则
，
因为63＝216，所以x＝6．
答 正方体的棱长应为6 cm．
二、探究归纳
问 这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题？从这里可以抽象出一个什么数学概念？
答 已知乘方指数和3次幂，求底数，也就是“已知某数的立方，求某数”．即x3＝a，a是已知数，求x．
1.立方根的概念：
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(cube root)（也叫做三次方根）．
试一试(1)27的立方根是什么？(2)－27的立方根是什么？
(3)0的立方根是什么？请学生也编三道求立方根的题目，并给出解答．
2.立方根的表示方法：
3.开立方：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求．
三、实践应用
例1 求下列各数的立方根：
(1)； (2)-125； (3)-0.008； (4)0．
根据上述练习提问：
(1)一个正数有几个立方根？是否任何负数都有立方根？如都有，一个负数有几个立方根？0的立方根是什么？
启发学生得出立方根的性质，并通过下表与平方根的有关性质进行比较．
(2)一个数的平方根和一个数的立方根，有什么相同点和不同点？
例2 用计算器求下列各数的立方根：
(1)1331； (2)－343； (3)9.263．
分析 用计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键．若被开方数为负数，“－”号的输入可以按，也可以按．
四、交流反思
请思考下面的问题：
1.什么叫一个数的立方根？怎样用符号表示数a的立方根？a的取值范围是什么？
2.数a的立方根与数a的平方根有什么区别？
3.求一个数的立方根，可以通过立方运算来求．
五、作业
P7 1.2.5
12.2实数与数轴（1）
知识技能目标
1.了解实数的意义，能对实数进行分类；
2.了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数；
3.会比较两个实数的大小．
过程与方法目标：
让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握 “逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法
情感态度与价值观目标：
培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一、矛盾转化的辨证唯物主义观点
教学重点与难点
1.通过探索，使学生从数和形两方面体会到无理数可以在数轴上找到一个对应点,从而认识到实数和数轴上的点一一对应；
2.通过计算器辅助，能比较两个无理数的大小．
教学过程
一、创设情境
1.做一做：(1)用计算器求；(2)利用平方关系验算所得结果．
这里，我们用计算器求得=1.414213562，再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2，只是接近2．这就是说，我们求得的的值，只是一个近似值．
2.如果用计算机计算，结果如何呢？
阅读课本第15页的计算结果，在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说， 不是有理数．那么，是怎样的数呢？
二、探究归纳
1.回顾有理数的概念．
(1)有理数包括整数和分数；
(2)任何一个分数写成小数形式，必定是有限小数或者无限循环小数．
2.无理数的概念．
与有理数比较, 计算结果是无限不循环小数，所以不是有理数．类似地，、圆周率π等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数．
无限不循环小数叫做无理数
有理数和无理数统称为实数
三、实践应用
1.试一试：你能在数轴上找到表示的点吗？
如图，将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为．
这就是说，边长为1的正方形的对角线长是，利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示的点，如图所示：
例1 试估计+与π的大小关系．
说明：正实数的大小比较和运算,通常可取它们的近似值来进行．
提问：若将本题改为“试估计－(+)与－π的大小关系” ，如何解答
例2 如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗 如果再将所有的无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗
答 如果将所有的有理数都标到数轴上，数轴未被填满；如果再将所有无理数都标到数轴上，那么数轴被填满．
四、交流反思
数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．数学上可以说明，数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数也都可以用数轴上的点来表示．换句话说，实数与数轴上的点一一对应．
五、作业
P11 1.2.3
12.2实数与数轴（2）
知识技能目标
1.了解有理数的相反数和绝对值等概念、运算法则和运算律在实数范围内仍然适用；
2.能利用运算法则进行简单运算．
过程与方法目标：
让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握 “逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法
情感态度与价值观目标：
培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一、矛盾转化的辨证唯物主义观点
教学重点与难点
有理数中的相反数、倒数和绝对值等概念与运算法则和运算律在实数范围内仍成立，让学生体会到这是一种知识的迁移．
教学过程
一、创设情境
1.复习提问：
(1)用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律．
(2)用字母表示有理数的加法交换律和结合律．
(3)平方差公式？完全平方公式？
(4)有理数的相反数是什么？不为0的数的倒数是什么？有理数的绝对值等于什么？
二、探究归纳
在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用．
三、实践应用
例1 计算：（结果精确到0.01）．
分析 对于实数的运算,通常可以取他们的近似值来进行．
解 用计算器求得≈－0.778539072,
于是≈0.778539072,
所以≈1.570796327－0.778539072
＝0.792257255
四、交流反思
1.一个数的绝对值就是这个数在数轴上表示的点到原点的距离；
2.互为相反数的两数在数轴上表示的点在原点两侧且到原点的距离相等（除0以外）；
3.从有理数扩大到实数，有理数的运算法则和运算律适用于实数．
五、作业
1.借助计算器计算下列各题：
(1)； (2)；
(3)； (4).
仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律？你能解释这一规律吗？与同学交流一下想法．并用所发现的规律直接写出下面的结果：
单元复习（1）
知识技能目标
1.理解并掌握平方根和算术平方根、立方根的意义；
2.理解并掌握二次根式的意义和基本性质；
3.掌握二次根式乘法和除法运算法则，并能熟练应用.
教学重点与难点
经历本章知识结构图的认识过程，体会数学知识的前后连贯性，体验综合应用学过的数学知识解决问题的方式和方法.
教学过程
一、创设情境
本章知识结构如图所示：
实数 无理数 实际问题 平方 立方 平方根 立方根 算术平方根
二、探究归纳
1.平方根和算术平方根的意义：
(1)如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；
(2)正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根；
(3)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.
(4)求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方，它与平方运算互为逆运算．
2.立方根的意义：
(1)如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根．
(2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方，与立方运算互为逆运算．
(3)任何数都有立方根.
三、实践应用
例1 填空：
(1)的平方根是 ，的算术平方根是 ；
(2) 的平方等于，的算术平方根是 .
解 (1)，3；
(2)，.
例2 已知，y是的正的平方根，求代数式的值.
解 由题意可得
当时，
＝＝＝
当时，
＝＝＝
四、交流反思
1.平方根和算术平方根、立方根的意义；
五、作业
根据表格中所给信息填空；
2. 将下列各数按从小到大的顺序重新排成一列：
3.平方根等于本身的数是 ；
立方根等于本身的数是 ；
算术平方根等于本身的数是 .
单元复习（2）
知识技能目标
1.理解二次根式加减的实质就是合并同类二次根式.能熟练地进行二次根式的加减运算；
2.理解并掌握实数、无理数的意义，并能正确识别有理数和无理数；
3.正确理解实数与数轴上的点的一一对应关系.
教学重点与难点
经历实数分类的复习过程，进一步体验数学中的分类和类比思想，从数轴上的点与实数的关系中体会数形结合是研究数学问题的重要方法.
教学过程
一、创设情境
复习：
1.无限不循环小数叫做无理数．
2有理数与无理数统称为实数．
3.实数与数轴上的点一一对应，即数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示．
二、实践应用
例1 对实数进行分类.
解
例2 将下列实数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接.
π，，，0，.
解 ＜＜0＜＜π．
例3 数a、b在数轴上的位置如图所示：
化简：．
解 由图可得：-2＜a＜-1, 1＜b＜2，
所以 a+1＜0, b-1＞0, a-b＜0，
=
=
=-2．
三、交流反思
1.无限不循环小数叫做无理数，有理数与无理数统称为实数；
2.实数与数轴上的点一一对应，即数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示．
四、作业
1.填空：若 ，则＝ ，－的相反数是 ，－的绝对值是 ，
2.把下列各数填入相应的大括号内：
，－3，0，3.1415 , , , , ,,
1.121221222122221… （两个1之间依次多个2）
(1)正数集合：{ …}；
(2)负数集合：{ …}；
(3)无理数集合：{ …}；
(4)非负数集合：{ …}.
3.一个正方体的体积为285，求这个正方体的表面积（结果保留3个有效数字）.