高二数学试卷答案
1．D 2．A 3．D 4．C 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．A 11．D 12．B
113．[1, 5)
81
14．
25
15． 或
2 2 2
16．4
17．
（1）由 z1＝a﹣1+（3﹣a）i，z2＝b+（2b﹣1）i，由 z1＝z2，
a 1 b a 2
得 ，解得 ，
3 a 2b 1 b 1
∴a＝2，b＝1；
（2）证明：∵z＝m﹣2+（1﹣m）i，m∈R，
∴|z+a+bi|＝|m﹣2+（1﹣m）i+2+i|＝ | m (2 m)i | m2 (2 m)2
＝ 22m2 4m 4 ＝ 2(m 1) 2 2 ．
当且仅当 m＝1 时上式取等号，
∴|z+a+bi| 2 ．
18．
（1）如图所示：
连接 AC 与 BD 交于点 O，连接 OE，
因为E 是PC 的中点，底面 ABCD是正方形，
所以PA / /OE，又PA 平面EBD，OE 平面EBD，
所以PA / / 平面EBD；
（2）以 D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设PD DC 1，
1 1
则D 0,0,0 , P 0,0,1 , B 1,1,0 , E 0, , ，
2 2
uuur uuur uuur 1 1
所以 PB 1,1, 1 , DB 1,1,0 , DE 0, , ，
2 2
r
设平面 EBD 的一个法向量为n x, y, z ，
uuuv v x y 0
DB n 0
则 uuuv v ，即 1 1 ，
DE n 0 y z 0
2 2
r
令 y 1，得 z 1, x 1，则n 1,1, 1 ，
设 PB与平面EBD所成的角为 ，
uuur r
uuur r PB n 1
所以 sin cos PB,n uuur r ，
PB n 3
19．
c sinC
（1）因为 cos A，由正弦定理可得 cos A，
b sin B
因为B (0, )，可得sin B 0，所以sinC sin Bcos A ,
由 sinC sin(A B) sin Acos B cos Asin B，
可得sin Acos B cos Asin B sin Bcos A，即sin Acos B 0，
又由 A (0, )，可得sin A 0，所以cos B 0，
因为B (0, )，所以 B 为钝角.
2 2
a c 1
（2） i)若满足①②③，由正弦定理可得 ，即 2 sin C ，所以sin C ，
sin A sinC 2
2
又由a c，所以 A C ，
2 3
在VABC中，sin A ，所以 A 或 A ，
2 4 4
7
而由（1）可得 A ，所以可得C ， B A C ，
4 6 4 6 12
所以 2 2 6 2b a c 2ac cos B 4 2 2 2 2 ( ) 3 1．
4
2 3
ii)若满足①②④，由（1）B 为钝角，A ，C 为锐角，及sin A ，sinC ，可得 A ，
2 2 4
5
C ，所以B 不符合 B 为钝角，故这种情况不成立；
3 12
3
iii)若满足②③④，由 B 为钝角， sinC ，所以C ，而a c，所以 A C ，
2 3
这时B ，不符合 B 为钝角的情况，所以这种情况不成立；
3
综上所述：只有满足①②③时VABC存在，b 3 1．
20．
（1）Q 直三棱柱 ABC A1B1C1的底面为直角三角形，
两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 AA1的长为 5.
1
三棱柱 ABC A1B1C1的体积：V SVABC AA1 AB AC AA1
2
1
4 2 5 20 .
2
（2）连接 AM，
Q 直三棱柱 ABC A1B1C1的底面为直角三角形，
两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 AA1的长为 5，M 是 BC 中点，
1 1
AA1 底面 ABC， AM BC 16 4 5 ，
2 2
A1MA是直线 A1M 与平面 ABC 所成角，
AA 5
tan A1MA
1 5 ，
AM 5
直线 A1M 与平面 ABC 所成角的正切值为 5 .
21．
(1)当点 P 在点 B 处时，直线 l 与e C 相切，理由如下：
3
2 2
1 3 1 3 5
∵点P 1,
，∵圆心的坐标为C , ，∴e C 的半径为 r
4 2 8
．
2 8 8
又抛物线的顶点坐标为 0, 1 ，即直线 l 上所有点的纵坐标均为 1，从而圆心 C 到直线 l
3 8
的距离为d 1 r．
8 5
∴直线 l 与e C 相切．
在点 P 运动的过程中，直线 l 与e C 始终保持相切的位置关系，理由如下：
3 x 3
设点P x0 , 2t ，则圆心的坐标为C
0
, t ，∴圆心 C 到直线 l 的距离为
4 2 8
3 5
d t 1 t ，
8 8
3 1
又∵ 2t x
2
0 1，
4 4
∴ x
2
0 8t 1，
则 e C 的半径为
2 2 2
x0 3 8t 1 2 3 9 5 5r t t t t t d ，
2 8 4 4 64 8 8
∴直线 l 与e C 始终相切.
5
(2)由（1）知，圆 C 的半径为 r t ．
8
3
又∵圆心 C 的纵坐标为 t ，直线 l 上的点的纵坐标为 1 3t，
8
5
所以圆心 C 到直线 l 的距离是 2t ，
8
∵直线 l 与圆 C 相交，
5 5 5
∴ 2t t ，∴0 t ．
8 8 4
5
综上所述，当0 t 时，直线 l 与e C 相交.
4
22．
（1）①如图，PM，PN 是⊙T 的两条切线，M，N 为切点，连接 TM，TN.
当 MPN 60 时，∵PT 平分∠MPN，
∵∠TPM=∠TPN=30°，
∵TM⊥PM，TN⊥PN，
∴∠PMT=∠PNT=90°，
∴TP=2TM，
以 T 为圆心，TP 为半径作⊙T，
观察图象可知：当 60°≤∠MPN<180°时，⊙T 的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆上的点不
包括小圆上的点).
如图中，以 O 为圆心 2 为半径作⊙O，观察图象可知，P1，P3 是⊙O 的环绕点，
故答案为 P1，P3.
②如图，设小圆交 y 轴的正半轴与于 E.
1
当直线 y x b 经过点 E 时，b=1.
2
1
当直线 y x b 与大圆相切于 K(在第二象限)时，连接 OK，
2
由题意 B(0，b)，A(-2b，0)，
∴OB=b，OA=2b， AB OA2 OB2 (2b)2 b2 5b，
1 1
∵OK=2， AB OK= OA OB，
2 2
1 1
∴ 5b 2 2b b，
2 2
解得b 5 ，
观察图象可知，当1＜b 5 时，线段 AB 上存在⊙O 的环绕点，
根据对称性可知：当 5 b＜ 1时，线段 AB 上存在⊙O 的环绕点，
综上所述，满足条件的 b 的值为1＜b 5 或 5 b＜ 1；
3 3
（2）如图 3 中，不妨设 E(m， m)，则点 E 在直线 y= x 上，
3 3
∵m>0，
∴点 E 在射线 OE 上运动，作 EM⊥x 轴，
3
∵E(m， m)，
3
3
∴OM=m，EM= ，
3
3 3
∴以 E(m， m)(m>0)为圆心， m 为半径的⊙E 与 x 轴相切，作⊙E 的切线 ON，观察
3 3
3 3
图象可知，以 E(m， m)(m>0)为圆心， m 为半径的所有圆构成图形 H，图形 H 即为
3 3
∠MON 的内部，包括射线 OM，ON 上.
当⊙T 的圆心在 y 轴的正半轴上时，假设以 T 为圆心，2 为半径的圆与射线 ON 相切于 D，
连接 TD.
EM 3
∵ tan EOM ，
OM 3
∴∠EOM=30°，
∵ON，OM 是⊙E 的切线，
∴∠EON=∠EOM=30°，
∴∠TOD=30°，
∴OT=2DT=4，
∴T(0，4)，
当⊙T 的圆心在 y 轴的负半轴上时，且经过点 O(0，0)时，T(0，-2)，
观察图象可知，当-2疏附县第一中学2021-2022学年度高二上学期期中考试
数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数（是虚数单位），则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（ ）
A．1 B． C．﹣2 D．﹣1
3．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是（ ）
A．10 m B．10m C．10m D．10m
4．函数，，对，，，，使成立，则的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知平面向量、满足，且与的夹角为，若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为、、，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．已知四边形ABCD为正方形GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，H为BF的中点，有下述四个结论：
①DE⊥BF；②EF与CH所成角为；③EC⊥平面DBF；④BF与平面ACFE所成角为．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①②③
C．①③④ D．①②③④
10．设，复数在复平面内对应的点位于实轴上，又函数，若曲线与直线：有且只有一个公共点，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
11．如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，平面平面，二面角，已知，，直线与平面，平面所成角均为，与所成角为，若，则的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知复数的对应点在复平面的第二象限，则||的取值范围是________．
14．已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为____________
15．如图∶已知A是所在平面外一点，，E、F分别是AB、CD的中点，若异面直线AD与BC所成角的大小为，AD与EF所成角的大小为_______________．
16．△内接于半径为2的圆，三个内角，，的平分线延长后分别交此圆于，，.则的值为_____________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分。
17．(本题10分)已知i是虚数单位，a，b∈R，z1＝a﹣1+（3﹣a）i，z2＝b+（2b﹣1）i，z1＝z2.
（1）求a，b的值；
（2）若z＝m﹣2+（1﹣m）i，m∈R，求证：|z+a+bi|≥.
18．(本题12分)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点
（1）求证：平面
（2）求与平面所成的角的正弦值
19．(本题12分)已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求证：是钝角；
（2）请从下列四个条件中选择三个；
①；②；③；④．
是否存在满足您选择的这三个条件，若存在，求边长的值；若不存在，请说明理由．
20．(本题12分)如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱的长为5.
（1）求三棱柱的体积；
（2）设M是BC中点，求直线与平面ABC所成角的正切值.
21．(本题12分)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数，直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q．设抛物线上有一动点P从点处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标随时间的变化规律为．现以线段为直径作．
(1)点P在起始位置点B处时，试判断直线l与的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由；
(2)若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足Q的纵坐标随时间t的变化规律为，则当t在什么范围内变化时，直线l与相交？
22．(本题12分)如图，在平面直角坐标系中，过外一点引它的两条切线，切点分别为，若，则称为的环绕点.
（1）当O半径为1时，
①在中，的环绕点是__________.
②直线与轴交于点，与轴交于点，若线段上存在的环绕点，求的取值范围；
（2）的半径为1，圆心为，以为圆心，为半径的所有圆构成图形，若在图形上存在的环绕点，直接写出的取值范围.
答案第10页，共11页
