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疏附县第一中学2022届高三上学期期中考试
数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知圆，则“且”是“圆C与轴相切于原点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．用阴影部分表示不等式所在的平面区域，是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
6．我国古代为了进行复杂的计算，曾经使用“算筹”表示数，后渐渐发展为算盘.算筹有纵式和横式两种排列方式，0~9各个数字及其算筹表示的对应关系如下表：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式 〇
横式
排列数字时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式……纵式和横式依次交替出现.如“”表示21，“〇”表示609.在“〇”、“”、“”、“”、“”按照一定顺序排列成的三位数中任取一个，取到偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
8．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ）
A．0条 B．1条
C．2条 D．4条
9．已知函数与的图象上存在关于直线对称的点，若点P，Q分别在，的图象上.当a取最大值时，的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知实数，，成公差不为0的等差数列，若函数满足，，成等比数列，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图所示，“伦敦眼（TheLondonEye）”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，同时也是伦敦的地标.“伦敦眼”为庆祝新千年2000年而建造，因此又称“千禧摩天轮”.乘客可以乘坐“伦敦眼”升上半空，鸟瞰伦敦.“伦敦眼”共有32个乘坐舱，按旋转顺序依次为1~33号（因宗教忌讳，没有13号），并且每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角均相等.已知乘客在乘坐舱距离地面最近时进入，后距离地面的高度，“伦敦眼”的旋转半径为，最高点距地面，旋转一周大约，现有甲乘客乘坐号乘坐舱，当甲乘坐“伦敦眼”时，乙距离地面的高度为，则乙所乘坐的舱号为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
12．已知双曲线的右焦点为，且双曲线的一条渐近线的斜率为.过双曲线左焦点且垂直于轴的直线交双曲线左支于，两点，双曲线上任意一点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最大值
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．在的展开式中，若含项的系数为，则正实数___________
14．下图是一个算法流程图，则输出的S的值是______________．
15．已知函数是定义在的偶函数，且当时，若函数有8个零点，分别记为，，，，，，，，则的取值范围是______.
16．等差数列的公差d≠0，a3是a2，a5的等比中项，已知数列a2，a4，，，……，，……为等比数列，数列的前n项和记为Tn，则2Tn＋9=_______
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分。
17．(本题10分)已知函数．
（I）求函数的单调递增区间；
（II）在中，角，，的对边分别是，，，且满足，求的取值范围．
18．(本题12分)如图，已知三棱柱，平面平面，，，分别是的中点．
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
19．(本题12分)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“合检测法”，即将个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有人，已知其中人感染病毒．
（1）①若采用“合检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知人分成一组，分组，两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量为总检测次数，求检测次数的分布列和数学期望；
（2）若采用“合检测法”，检测次数的期望为，试比较和的大小（直接写出结果）．
20．(本题12分)椭圆：的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；
21．(本题12分)已知函数.
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若存在，，使得不等式成立，求的取值范围.
22．(本题12分)（本小题满分12分）已知点（）为平面直角坐标系中的点，点S为线段AB的中点，当变化时，点S形成轨迹．
（1）求S点的轨迹的方程；
（2）若点M的坐标为，是否存在直线交S点的轨迹于P、Q两点，且使点为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由
答案第8页，共10页高三数学试卷答案
1．B 2．A 3．D 4．A 5．C 6．D 7．A 8．C 9．C 10．D 11．C 12．D
13．2
14．5
15． (144,225)
16．3n 2 2n
17．、
π 3 1
（I） f x 2sin xcos x cos 2x sin 2x cos 2x sin 2x
6
2 2
3 3 π
sin 2x cos 2x 3sin 2x
2 2 6
π π π
由 2kπ 2x 2kπ k Z
2 6 2
π π
可得： kπ x kπ k Z
6 3
（II）因为2bcos A 2c 3a，
b2 c2 a2
由余弦定理可得：2b 2c 3a ，即 3ac a2 c2 b2 ，
2bc
3ac a2 c2 b2 3
所以 cos B，所以 cos B ，
2ac 2ac 2
π
因为0 B π，可得：0 B ，
6
π π π 1 π 1
所以 2B ， sin 2B
6 6 6 2 6 2
π 3 3
所以 f (B) 3 sin 2B , ． 6 2 2
18．
（1）如图所示，连结 A1E, B1E
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3
在等边△AA1C 中， AE EC ，则sin A ， A1E AC
2
平面 ABC⊥平面 A1ACC1，且平面 ABC∩平面 A1ACC1 AC
由面面垂直的性质定理可得： A1E 平面 ABC，故 A1E BC
由三棱柱的性质可知 A1B1∥AB，而 AB BC，故 A1B1 BC，且 A1B1 I A1E A1
由线面垂直的判定定理可得：BC 平面 A1B1E
结合EF 在平面 A1B1E内，故EF BC .
（2）在底面 ABC 内作 EH⊥AC，以点 E 为坐标原点，EH,EC, EA1方向分别为 x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系
E xyz .
由△ AEH 和△ ABC相似可知EH 1， AE EC 3 ， AA1 CA1 2 3，BC 3, AB 3
3 3
据此可得： A 0, 3,0 , B , ,0 , A1 0,0,3 ,C 0, 3,0
2 2
答案第 2 页，共 6 页
uuur uuuur 3 3
由 AB A1B1 可得点B1的坐标为B1 , 3,3
2 2
3 3
利用中点坐标公式可得：F , 3,3 ，由于E 0,0,0
4 4
uuur 3 3
故直线 EF 的方向向量为：EF , 3,3
4 4
ur
设平面 A1BC的法向量为m x, y, z ，则：
v uuuv 3 3 3 3
m A1B x, y, z , , 3 x y 3z 0 2 2 2 2
v uuuv 3 3 3 3
m BC x, y, z , ,0 x y 0
2 2
2 2
ur uuur 3 3
据此可得平面 A1BC的一个法向量为m 1, 3,1 ，EF , 3,3
4 4
uuur ur
uuur ur EF m 6 4
cos EF ,m uuur ur
此时 EF m 3 5 5
5
2
uuur ur 4
设直线 EF 与平面 A1BC所成角为 ，则sin cos EF,m .
5
19．
（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次，
所以总检测次数为20次；
②由题意， X 可以取20、30，
1 1 10
P X 20 ，P X 30 1 ，则 X 的分布列如下表所示：
11 11 11
X 20 30
1 10
P
11 11
1 10 320
所以，E X 20 30 ；
11 11 11
（2）由题意，Y 可以取25、30，
20C2C3 4 95
两名感染者在同一组的概率为P 2 981 5 ，不在同一组的概率为P2 ， C100 99 99
4 95 2950
则E Y 25 30 E X .
99 99 99
20．
c2 y2 2
（1）把 x c
b
代入椭圆方程得 1，解得 y ，
a2 b2 a
因为过F1且垂直于 x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为 1，
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2b2
1
a a 2
2b2 c 3 2 2 2
所以 1，又e ，联立得 a b c ，解得 b 1 ，
a a 2
c 3
c 3
a 2
x2
所以椭圆C 的方程为 y2 1；
4
（2）如图所示，设 PF1 t ， PF2 n，
F1M PF1
在VF1PM 中，由正弦定理可得 sin F1PM sin PMF1
F2M PF2
在 VF2PM 中，由正弦定理可得 ， sin F2PM sin PMF2
因为sin F1PM sin F2PM ， sin PMF1 sin PMF2 ，
t PF1 MF1 m 3
两式相除可得 ，
n PF2 F2M 3 m
4 n 3 m 2 3 m
又 t n 2a 4，消去 t 得到 ，化为n ，
n 3 m 3
因为a c n a c，即 2 3 n 2 3，
2 3 m 3 3
也即2 3 2 3 ，解得： m ，
3 2 2
3 3
所以m的取值范围为 ， ．
2 2
21．
（1）当a 1时， f (x) ex x 1，
f ' x则 x e 1， f (0) 2， f ' 0 2，
所以曲线 y f (x)在点 (0， f (0))处的切线方程为 y 2 2(x 0)，即2x y 2 0；
（2）由题意知，存在 x [1， 2]，使得不等式成立，
x2
即存在 x [1， 2]，使得 alnx (a 1)x a 0成立，
2
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x2
令 h(x) alnx (a 1)x a， x [1， 2]，
2
a (x a)(x 1)
则 h (x) a 1 x ， x [1， 2]，
x x
①当a 1时，h (x) 0，所以函数h(x) 在[1， 2]上单调递减，
所以 h(x)min h（2） aln2 a 0成立，解得 a 0，所以 a 0 .
②当1 a 2时，令h (x) 0，解得1 x a；令h (x) 0，解得a x 2 .
所以函数h(x) 在[1， a)上单调递增，在 (a， 2]上单调递减，
1
又 h(1) ，所以h（2） aln2 a 0，解得 a 0，与1 a 2矛盾，舍去.
2
1
③当a…2时，h (x)…0，所以函数h(x) 在[1， 2]上单调递增，所以 h(x)min h(1) 0，不符合题意，舍去.
2
综上所述，a的取值范围为 ,0 .
22．
试题解析：（1）设 ( , ),因为 点为 (2√2cos , 0), (0, 2sin )的中点，
2
则{ = √2cos （ ∈ ），消去 得到 点的轨迹方程为 + 2 = 1； （5 分）
= sin 2
（2）假设存在直线 交椭圆于 ， 两点，设 ，
因为 为△ 的垂心，点 ，
故 ．于是设直线 的方程为 ，
由 得 ．
由 ，得 ， 且 , ．
由题意应有 ，又 = ( , 1) , 1 1 = ( 2 1, 2)，
故 ，得 ,
即 ,
整理得 ,
解得 或 ．
经检验，当 时，△ 不存在，故舍去 ,
答案第 5 页，共 6 页
当 时，满足 ，所求直线 存在， 的方程为 ．（12 分）
考点：参数方程与普通方程的转化、直线与椭圆的相交问题、韦达定理、向量的数量积．
答案第 6 页，共 6 页
