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姓名： 班级
2.2 圆的对称性
本课重点 （1）对称中心：
圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。3.将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
（2）对称轴:
经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。
（3）垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
本课难点 1几何语言： 2垂径定理的几个基本图形：3垂径定理在基本图形中的应用：4.知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径．
一、单选题（共10小题）
1.下列说法中，正确的是（ ）
A．周长相等的圆是等圆
B．过任意三点可以画一个圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弦的直径垂直于弦
2.在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长弦的长为8cm，最短的弦的长为4cm，则OP的长为（ ）
A．cm B．cm C．2cm D．1cm
3.已知⊙O的直径为cm，弦AB为8cm，P为弦AB上的一动点，若OP的长度为整数，则满足条件的点P有（ ）21教育网
A．2个 B．3个 C．5个 D．7个
4.如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若CD＝，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6.往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）21·cn·jy·com
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
7.如图是某石圆弧形（劣弧）拱桥，其中跨度AB＝24米，拱高CD＝8米，则该圆弧的半径r＝（ ）
A．8 米 B．12 米 C．13米 D．15 米
8.如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．x+y＝90 B．2x+y＝90 C．2x+y＝180 D．x＝y
9.如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连结AB，AD，若AD＝2，则半径R的长为（ ）2·1·c·n·j·y
A．1 B． C．2 D．2
10.如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题）
11.请同学们认真书写出圆的垂径定理： ．
12.在⊙O中，弦AB垂直并且平分一条半径，则劣弧AB的度数等于 ．
13.将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数之间的关系为2：3：4，则这三个扇形中圆心角最小的度数是 度．【来源：21·世纪·教育·网】
14.如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么 2（填“＞，＜或＝”）．
15.如图，⊙O是一个油罐的截面图．已知⊙O的直径为5m，油的最大深度CD＝4m（CD⊥AB），则油面宽度AB为 m．21·世纪*教育网
16.如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA是 米．www-2-1-cnjy-com
三、解答题（共7小题）
17.如图，已知⊙O中，点A，B，C，D在圆上，且AB＝CD，求证：AC＝BD．
18.如图，已知⊙O的直径AC为20cm，的度数为120°，求弦AB的弦心距的长．
19.如图，在⊙O中，OA、OB是半径，OA⊥OB，C、D是的三等分点，OC、OD分别交AB于点E、F，求证：AE＝CD＝BF．21世纪教育网版权所有
20.如图，在⊙O中，弦AB、DC的延长线交于点E，且DC＝CE，C是的中点．求证：AD是⊙O的直径．
21.一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？21cnjy.com
22.有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB为7.2米，拱顶高出水面CD，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？
23.一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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姓名： 班级
2.2 圆的对称性
本课重点 （1）对称中心：
圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。3.将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
（2）对称轴:
经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。
（3）垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
本课难点 1几何语言： 2垂径定理的几个基本图形：3垂径定理在基本图形中的应用：4.知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径．
一、单选题（共10小题）
1.下列说法中，正确的是（ ）
A．周长相等的圆是等圆
B．过任意三点可以画一个圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弦的直径垂直于弦
【答案】A
【解答】解：A、周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项正确；
B、经过任意不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故本选项错误；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；
D、平分弦的直径垂直于弦（非直径），故本选项错误．
故选：A．
【知识点】垂径定理、圆心角、弧、弦的关系
2.在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长弦的长为8cm，最短的弦的长为4cm，则OP的长为（ ）
A．cm B．cm C．2cm D．1cm
【答案】A
【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P．
根据题意，得：AB＝8cm，CD＝4cm．
∵CD⊥AB，
∴CP＝CD＝2．
根据勾股定理，得
OP＝＝2（cm）．
故选：A．
【知识点】垂径定理
3.已知⊙O的直径为cm，弦AB为8cm，P为弦AB上的一动点，若OP的长度为整数，则满足条件的点P有（ ）21教育网
A．2个 B．3个 C．5个 D．7个
【答案】C
【解答】解：①当点P与点A或点P重合时，OP＝r＝2cm；
②如图所示：
∵OP⊥AB，
∴AP＝PB＝AB＝4，
在Rt△OPB中，OP＝＝＝2（cm）．
综上可得OP的取值范围为：2cm≤OP≤2cm．
则OP的整数值是2，3，4．其中长度是2cm的只有当OP⊥AB时一种情况，当OP＝3cm、4cm各自有2种情况．则总计有5种．2·1·c·n·j·y
故选：C．
【知识点】垂径定理
4.如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若CD＝，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：连接OA，
∵⊙O的弦AB垂直平分半径OC，CD＝，
∴OC＝，
∴OA＝，
∵OC⊥AB，
∴AD＝，
∵AB＝2AD，
∴AD＝．
故选：D．
【知识点】垂径定理
5.如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM⊥AB时，为最小值4，
连接OA，
根据垂径定理，得：BM=AB=3，
根据勾股定理，得：OA==5，
即⊙O的半径为5．
故选：D．
【知识点】垂径定理
6.往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
【答案】C
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
故选：C．
【知识点】垂径定理的应用
7.如图是某石圆弧形（劣弧）拱桥，其中跨度AB＝24米，拱高CD＝8米，则该圆弧的半径r＝（ ）
A．8 米 B．12 米 C．13米 D．15 米
【答案】C
【解答】解：拱桥的跨度AB＝24m，拱高CD＝8m，
∴AD＝12m，
利用勾股定理可得：122＝AO2﹣（AO﹣8）2，
解得AO＝13m．
即圆弧半径为13米．
故选：C．
【知识点】垂径定理的应用
8.如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（ ）21cnjy.com
A．x+y＝90 B．2x+y＝90 C．2x+y＝180 D．x＝y
【答案】A
【解答】解：连接BC，
由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝x°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣x°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠B＝90°+x°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝x°，
∵AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA＝x°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D，即y＝180°﹣x°﹣（90°+x°）＝90°﹣x°，
∴x+y＝90，
故选：A．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
9.如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连结AB，AD，若AD＝2，则半径R的长为（ ）2-1-c-n-j-y
A．1 B． C．2 D．2
【答案】C
【解答】解：连接OA，OD，
∵弦AC＝BD，
∴＝，
∴＝，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，
∵AC⊥BD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，
∵OA＝OD，
∴AD＝R，
∵AD＝2，
∴R＝2，
故选：C．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
10.如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于F，如图，
∵∠DOC＝90°，∠BOE＝90°，
∴∠DOE＝∠AOC，
∴DE＝AC＝2，
∵∠BDE＝180°﹣×90°＝135°，
∴∠BDF＝45°，
∴DF＝BF＝BD＝×2＝2，
在Rt△BEF，BE＝＝2，
∵△BOE为等腰直角三角形，
∴OB＝×2＝．
故选：D．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
二、填空题（共6小题）
11.请同学们认真书写出圆的垂径定理： ．
【答案】垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
【解答】解：圆的垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
故答案是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
【知识点】垂径定理
12.在⊙O中，弦AB垂直并且平分一条半径，则劣弧AB的度数等于 ．
【答案】120°
【解答】
解：
如图弦AB交半径OC于点E，
因为AB垂直并且平分半径OC，
所以OE＝OA，
所以∠OAE＝30°，
且OA＝OB，
所以∠AOB＝120°，
所以劣弧AB的度数等于120°，
故答案为：120°．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系、垂径定理
13.将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数之间的关系为2：3：4，则这三个扇形中圆心角最小的度数是 度．21·世纪*教育网
【答案】80
【解答】解：∵周角的度数是360°，
∴这三个扇形中圆心角最小的度数是，
故答案为：80．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
14.如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么 2（填“＞，＜或＝”）．
【答案】＞
【解答】解：如图，过点O作OM⊥AB，垂足为N，交⊙O于点M，连接MA，MB，
由垂径定理得，AN＝BN，＝，
∵AB＝2CD，
∵AN＝BN＝CD，
又∵MA＞AN，
∴MA＞CD，
∴＞，
∴2＞2，
即，＞2，
故答案为：＞．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
15.如图，⊙O是一个油罐的截面图．已知⊙O的直径为5m，油的最大深度CD＝4m（CD⊥AB），则油面宽度AB为 m．21·cn·jy·com
【答案】4
【解答】解：连接OA，
由题意得，OA＝2.5m，OD＝1.5m，
∵CD⊥AB，
∴AD＝＝2m，
∴AB＝2AD＝4m，
故答案为：4．
【知识点】垂径定理的应用
16.如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA是 米．www.21-cn-jy.com
【答案】5
【解答】解：因为CD为高，
根据垂径定理：CD平分AB，
又路面AB宽为8米
则有：AD＝4 m，
设圆的半径是x米，
在Rt△AOD中，有OA2＝AD2+OD2，
即：x2＝42+（8﹣x）2，
解得：x＝5，
所以圆的半径长是 5米．
故答案为5．
【知识点】垂径定理的应用
三、解答题（共7小题）
17.如图，已知⊙O中，点A，B，C，D在圆上，且AB＝CD，求证：AC＝BD．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴AC＝BD．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
18.如图，已知⊙O的直径AC为20cm，的度数为120°，求弦AB的弦心距的长．
【解答】解：∵⊙O的直径AC为20cm，
∴AO＝BO＝10cm，
∵的度数为120°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
过O作OD⊥AB于D，
∴∠DOB＝30°，
∴OD＝OB＝5．
【知识点】垂径定理、圆心角、弧、弦的关系
19.如图，在⊙O中，OA、OB是半径，OA⊥OB，C、D是的三等分点，OC、OD分别交AB于点E、F，求证：AE＝CD＝BF．21世纪教育网版权所有
【解答】解：连接AC、BD，如图所示：
∵C，D是的三等分点，
∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD，OA＝OC＝OD，
在△ACO与△DCO中，，
∵∴△ACO≌△DCO（SAS），
∴∠ACO＝∠OCD．
∵∠OEF＝∠OAE+∠AOE＝45°+30°＝75°，∠OCD＝75°，
∴∠OEF＝∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC＝∠OCD，
∴∠ACO＝∠AEC，
∴AC＝AE，
同理，BF＝BD．
又∵AC＝CD＝BD，
∴AE＝CD＝BF．
【知识点】垂径定理
20.如图，在⊙O中，弦AB、DC的延长线交于点E，且DC＝CE，C是的中点．求证：AD是⊙O的直径．
【解答】解：∵C是的中点，
∴DC＝BC．
∵DC＝CE，
∴BC＝CE，
∴∠E＝∠EBC．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠EBC＝∠D，
∴∠E＝∠D，
∴AE＝AD．
∵DC＝CE，
∴AD⊥DE，
∴∠ACD是直角，
∴AD是⊙O的直径．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
21.一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB
由垂径定理得：BC＝AB＝30cm，
在Rt△OBC中，OC＝＝40cm，
当水位上升到圆心以下时 水面宽80cm时，
则OC′＝＝30cm，
水面上升的高度为：40﹣30＝10cm；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30＝70cm，
综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．
【知识点】垂径定理的应用
22.有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB为7.2米，拱顶高出水面CD，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？
【解答】解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB=7.2m，
∴BD=AB=3.6m．
又∵CD=2.4m，
∴设OB=OC=ON=r，则OD=（r﹣2.4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=（r﹣2.4）2+3.62，
解得r=3.9．
（2）能．
∵CD=2.4m，船舱顶部为长方形并高出水面AB=2m，
∴CE=2.4﹣2=0.4（m），
∴OE=r﹣CE=3.9﹣0.4=3.5（m），
在Rt△OEN中，EN2=ON2﹣OE2=3.92﹣3.52=2.96（m2），
∴EN=（m）．
∴MN=2EN=2×≈3.44m＞3，
∴此货船能顺利通过这座弧形拱桥．
【知识点】垂径定理的应用
23.一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
【解答】解：（1）作半径OD⊥AB于C，连接OB，
由垂径定理得：BC＝AB＝0.3，
在Rt△OBC中，OC＝＝0.4
CD＝0.5﹣0.4＝0.1，
此时的水深为0.1米；
（2）当水位上升到圆心以下时 水面宽0.8 米
则OC＝＝0.3，
水面上升的高度为：0.3﹣0.2＝0.1米；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：0.4+0.3＝0.7米，
综上可得，水面上升的高度为 0.1米或 0.7米．
【知识点】垂径定理的应用
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