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姓名： 班级
2.4 圆周角
本课重点 1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
本课难点 3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。
一、单选题（共10小题）
1.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（ ）
A．40° B．140° C．160° D．170°
【答案】B
【解答】解：∵∠BOC＝2∠BDC＝2×20°＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°．
故选：B．
【知识点】圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系
2.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝70°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．40° C．55° D．70°
【答案】A
【解答】解：∵如图，∠BOC＝70°，
∴∠A＝∠BOC＝35°．
故选：A．
【知识点】圆周角定理
3.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠CAB＝35°，则∠D等于（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
【答案】B
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣35°＝55°，
∴∠D＝∠B＝55°．
故选：B．
【知识点】圆周角定理
4.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠ABC＝125°，则∠AOC等于（ ）
A．55° B．110° C．105° D．125°
【答案】B
【解答】解：∵∠ABC＝125°
∴∠D＝180°﹣∠B＝55°
∴∠AOC＝2∠D＝110°．
故选：B．
【知识点】圆内接四边形的性质、圆周角定理
5.如图，⊙O中，∠ABC＝45°，则∠AOC等于（ ）
A．55° B．80° C．90° D．135°
【答案】C
【解答】解：∵∠ABC与∠AOC是一条弧所对的圆周角与圆心角，∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×45°＝90°．
故选：C．
【知识点】圆周角定理
6.下列图形中，∠B＝2∠A的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A中，∠A＝∠B；
B中，∠A与∠B的大小无法判定；
C中，∠A+∠B＝180°；
D中，∠B＝2∠A．
故选：D．
【知识点】圆周角定理
7.如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解答】解：由相交弦定理得：PA PB＝PC PD，
∴DP＝＝＝6．
故选：D．
【知识点】相交弦定理
8.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故选：C．
【知识点】圆周角定理、圆内接四边形的性质
9.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A的度数等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
【答案】C
【解答】解：设∠A、∠C分别为x、2x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴x+2x＝180°，
解得，x＝60°，即∠A＝60°，
故选：C．
【知识点】圆内接四边形的性质
10.如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD＝9，BD＝4，以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则PE EQ的值是（ ）
A．24 B．9 C．6 D．27
【答案】D
【解答】解：延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N．
∵CD2＝AD DB，AD＝9，BD＝4，
∴CD＝6．
在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知，PE EQ＝DE EM＝CE EN，
设CE＝x，则DE＝6﹣x，EN＝6﹣x+6
则（6﹣x）（x+6）＝x（6﹣x+6），
解得x＝3．
所以，CE＝3，DE＝6﹣3＝3，EM＝6+3＝9．
所以PE EQ＝3×9＝27．
故选：D．
【知识点】垂径定理、相交弦定理
二、填空题（共6小题）
11.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD＝ °．
【答案】140
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，
∴∠BOD＝2∠C＝140°．
故答案为：140．
【知识点】圆周角定理、圆内接四边形的性质
12.如图，⊙O中，∠ACB＝110°，则∠AOB＝ ．
【答案】140°
【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD、BD，
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，
∴根据圆内接四边形的性质可知，∠ACB+∠ADB＝180°，
又∵∠ACB＝110°，
∴∠ADB＝70°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝140°，
故答案为：140°．
【知识点】圆周角定理
13.如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝100°，则∠α＝ ．
【答案】160°
【解答】解：如图，在优弧上取一点E，连接AE、BE，
∵A、C、B、E四点共圆，
∴∠ACB+∠AEB＝180°，
∵∠ACB＝100°，
∴∠AEB＝80°，
∵由圆周角定理得：∠AEB＝AOB＝，
∴∠α＝2∠AEB＝160°，
故答案为：160°．
【知识点】圆周角定理
14.如图，已知圆周角∠ACB＝130°，则圆心角∠AOB＝ ．
【答案】100°
【解答】解：∵2∠ACB＝260°，
∴∠AOB＝360°﹣260°＝100°．
故答案为100°．
【知识点】圆周角定理
15.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝110°，则∠BOD等于 °．
【答案】140
【解答】解：∵∠A＝110°
∴∠C＝180°﹣∠A＝70°
∴∠BOD＝2∠C＝140°．
故答案为：140．
【知识点】圆周角定理、圆内接四边形的性质
16.如图，在⊙O中，弦AB平分弦CD于E，若CD＝8，AE：EB＝1：4，则弦AB＝ ．
【答案】10
【解答】解：设AE＝x，则EB＝4x，
∵弦AB平分弦CD于E，
∴CE＝DE＝CD＝×8＝4，
∵AE BE＝CE DE，
即x 4x＝4 4，解得x＝2或x＝﹣2（舍去），
∴AB＝AE+BE＝5x＝10．
故答案为10．
【知识点】相交弦定理
三、解答题（共7小题）
17.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC．
求证：∠ACO＝∠BCD．
【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴，
∴∠A＝∠∠BCD，
又∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A．
∴∠ACO＝∠BCD．
【知识点】圆周角定理
18.在⊙O中，弦AB＝8cm，P为弦AB上一点，且AP＝2cm，则经过点P的最短弦长为多少？
【解答】解：如图，设过P点最短的弦为CD，则OP⊥CD，
由垂径定理可知CP＝PD，
∵AB＝8，AP＝2，
∴PB＝8﹣2＝6，
由相交弦定理可知，CP PD＝AP PB，
即CP2＝2×6，解得CP＝2，
∴CD＝2CP＝4．
答：经过点P的最短弦长为4cm．
【知识点】垂径定理、相交弦定理
19.如图，AB为⊙O的直径，弦DA，BC的延长线相交于点P，且BC＝PC，求证：∠BAD＝2∠P．
【解答】证明：连接AC，
∵AB为圆心O的直径，
∴∠ACB＝90°，即AC⊥BP．
∵BC＝PC，
∴AC为BP的垂直平分线，
∴AB＝AP，
∴∠P＝∠B，
∴∠BAD＝∠P+∠B＝2∠P．
【知识点】圆周角定理
20.如图，点A、B、C、D分别是⊙O上四点，∠ABD＝20°，BD是直径，求∠ACB的度数．
【解答】解：∵连接AD，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠ADB＝70°，
∴∠ADB＝∠ACB＝70°．
【知识点】圆周角定理、圆内接四边形的性质
21.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，求⊙O的半径长．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，
∴∠D＝180°﹣∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠D＝90°，
∵OA＝OC，且AC＝4，
∴OA＝OC＝AC＝2，
即⊙O的半径长为2．
【知识点】圆周角定理、圆内接四边形的性质
22.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点 E．求证：EC＝AC．21世纪教育网版权所有
【解答】证明：∵AE∥BC，
∴∠E+∠ECB＝180°，∠BCA＝∠CAE，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠ECB＝180°，
∴∠E＝∠BAD，
∵∠BCA＝∠BAD，
∴∠E＝∠CAE，
∴EC＝AC．
【知识点】圆周角定理、圆内接四边形的性质
23.如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．
【解答】解：设EC＝x，则ED＝CD﹣CE＝4﹣x，
根据题意得AE BE＝CE DE，
所以x（4﹣x）＝5 1，
整理得x2﹣4x+5＝0，
解得x＝2±，
即EC的长为2+或2﹣．
【知识点】相交弦定理
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姓名： 班级
2.4 圆周角
本课重点 1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
本课难点 3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。
一、单选题（共10小题）
1.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（ ）
A．40° B．140° C．160° D．170°
2.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝70°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．40° C．55° D．70°
3.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠CAB＝35°，则∠D等于（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
4.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠ABC＝125°，则∠AOC等于（ ）
A．55° B．110° C．105° D．125°
5.如图，⊙O中，∠ABC＝45°，则∠AOC等于（ ）
A．55° B．80° C．90° D．135°
6.下列图形中，∠B＝2∠A的是（ ）
A． B．
C． D．
7.如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
9.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A的度数等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
10.如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD＝9，BD＝4，以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则PE EQ的值是（ ）
A．24 B．9 C．6 D．27
二、填空题（共6小题）
11.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD＝ °．
12.如图，⊙O中，∠ACB＝110°，则∠AOB＝ ．
13.如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝100°，则∠α＝ ．
14.如图，已知圆周角∠ACB＝130°，则圆心角∠AOB＝ ．
15.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝110°，则∠BOD等于 °．
16.如图，在⊙O中，弦AB平分弦CD于E，若CD＝8，AE：EB＝1：4，则弦AB＝ ．
三、解答题（共7小题）
17.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC．
求证：∠ACO＝∠BCD．
18.在⊙O中，弦AB＝8cm，P为弦AB上一点，且AP＝2cm，则经过点P的最短弦长为多少？
19.如图，AB为⊙O的直径，弦DA，BC的延长线相交于点P，且BC＝PC，求证：∠BAD＝2∠P．
20.如图，点A、B、C、D分别是⊙O上四点，∠ABD＝20°，BD是直径，求∠ACB的度数．
21.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，求⊙O的半径长．
22.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点 E．求证：EC＝AC．21世纪教育网版权所有
23.如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．
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