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姓名： 班级
2.5 直线与圆的位置关系
本课重点 1. 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线与相交从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数圆心到直线的距离与半径的关系公共点名称交点切点—直线名称割线切线—2.切线长（1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
本课难点 1.切线的判定与性质（1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。（2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。拓展推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。2.结论：
一、单选题（共10小题）
1.已知⊙O的直径为12cm，如果圆心O到一条直线的距离为7cm，那么这条直线与这个圆的位置关系是（ ）21教育网
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
2.下列说法错误的是（ ）
A．过圆上一点可以作一条直线和圆相切
B．过圆外一点可以作两条直线和圆相切
C．从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等
D．从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等
3.如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，若PA＝3，则PB＝（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4.如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是AB边上一点，⊙O经过B点且与AI相切于I点．若tan∠BAC＝，则sin∠C的值为（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
5.已知圆O的半径是4，圆心O到直线L的距离d＝6，则直线L与圆O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
6.如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
7.如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（ ）www.21-cn-jy.com
A．97° B．104° C．116° D．142°
8.如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB＝3，PB＝2．则PC等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9.如图，PQ、PB、QC是⊙O的切线，切点分别为A、B、C，点D在上，若∠D＝100°，则∠P与∠Q的度数之和是（ ）2·1·c·n·j·y
A．160° B．140° C．120° D．100°
10.如图，Rt△ABC中，AB=10cm，BC=8cm，若点C在⊙A上，则⊙A的半径是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
二、填空题（共6小题）
11.已知⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系为 ．
12.如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝70°，则∠BAC等于 ．
13.如图PA切⊙O于点A，∠PAB＝30°，则∠AOB＝ 度，∠ACB＝ 度．
14.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝ ．
15.如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以2cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
16.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB＝ cm时，BC与⊙A相切．21·世纪*教育网
三、解答题（共7小题）
17.证明：如果圆的两条切线互相平行，则连接两个切点的线段是圆的直径．
18.如图，∠AOB＝30°，点M在OB上，且OM＝5cm，以M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画⊙M和射线OA的公共点个数之间的对应关系．www-2-1-cnjy-com
19.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，AB＝10cm，以C为圆心作图，当半径r为多长时：
（1）AB与⊙C相切；
（2）AB与⊙C相交；
（3）AB与⊙C相离．
20.如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E，DE＝6，AC＝16．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求直径AB的长．
21.如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
22.如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．
（1）连接OA、OB，则∠AOB＝ ．
（2）若BD＝6，AD＝4，求⊙O的半径r．
23.如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，过A、C两点的圆⊙O切AB于A，BC的延长线交⊙O于D，∠ABD的角平分线交AC于E，交AD于F．21世纪教育网版权所有
（1）求证：AE＝AF；（2）若AC＝CD＝2，求AD．
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2.5 直线与圆的位置关系
本课重点 1. 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线与相交从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数圆心到直线的距离与半径的关系公共点名称交点切点—直线名称割线切线—2.切线长（1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
本课难点 1.切线的判定与性质（1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。（2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。拓展推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。2.结论：
单选题（共10小题）
1.已知⊙O的直径为12cm，如果圆心O到一条直线的距离为7cm，那么这条直线与这个圆的位置关系是（ ）21世纪教育网版权所有
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【答案】A
【解答】解：∵⊙O的直径为12cm，
∴⊙O的半径为6cm，
∵圆心O到一条直线的距离为7cm＞6cm，
∴直线和圆相离．
故选：A．
【知识点】直线与圆的位置关系
2.下列说法错误的是（ ）
A．过圆上一点可以作一条直线和圆相切
B．过圆外一点可以作两条直线和圆相切
C．从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等
D．从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等
【答案】C
【解答】解：A、过圆上一点可以作一条直线和圆相切，所以A选项的说法正确；
B、过圆外一点可以作两条直线和圆相切，所以B选项的说法正确；
C、从圆外一点引圆的两条切线，切线长长相等，所以C选项的说法错误；
D、从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，所以D选项的说法正确．
故选：C．
【知识点】切线的判定与性质
3.如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，若PA＝3，则PB＝（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解答】解：∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴PA＝PB，
∵PA＝3，
∴PB＝3，
故选：D．
【知识点】切线的性质
4.如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是AB边上一点，⊙O经过B点且与AI相切于I点．若tan∠BAC＝，则sin∠C的值为（ ）21教育网
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：延长AI交BC于D，连结OI，作BH⊥AC于H，如图，
∵I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，即∠OBI＝∠DBI，
∵OB＝OI，
∴∠OBI＝∠OIB，
∴∠DBI＝∠OIB，
∴OI∥BD，
∵AI为⊙O的切线，
∴OI⊥AI，
∴BD⊥AD，
∵AI平分∠BAC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴AB＝AC，
在Rt△ABH中，tan∠BAH＝＝，
设BH＝24x，AH＝7x，
∴AB＝＝25x，
∴AC＝AB＝25x，
∴CH＝AC﹣AH＝25x﹣7x＝18x，
在Rt△BCH中，BC＝＝30x，
∴sinC＝＝＝．
故选：B．
【知识点】三角形的内切圆与内心
5.已知圆O的半径是4，圆心O到直线L的距离d＝6，则直线L与圆O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
【答案】A
【解答】解：根据圆心到直线的距离6大于圆的半径4，则直线和圆相离．
故选：A．
【知识点】直线与圆的位置关系
6.如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（ ）21·世纪*教育网
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，
∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB
∵△PCD的周长等于3，
∴PA+PB＝3，
∴PA＝．
故选：A．
【知识点】切线长定理
7.如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（ ）www-2-1-cnjy-com
A．97° B．104° C．116° D．142°
【答案】C
【解答】解：∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD＝90°，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵直线ED为圆O的切线，
∴∠ADE＝∠ABD＝19°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．
故选：C．
【知识点】弦切角定理、圆周角定理
8.如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB＝3，PB＝2．则PC等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：∵PC、PB分别为⊙O的切线和割线，
∴PC2＝PB PA，
∵OB＝3，PB＝2，
∴PA＝8，
∴PC2＝PB PA＝2×8＝16，
∴PC＝4．
故选：C．
【知识点】切割线定理
9.如图，PQ、PB、QC是⊙O的切线，切点分别为A、B、C，点D在上，若∠D＝100°，则∠P与∠Q的度数之和是（ ）2-1-c-n-j-y
A．160° B．140° C．120° D．100°
【答案】A
【解答】解：连接OA，OB，OC，AB，AC，
∵∠D＝100°，
∴∠BAC＝180°﹣∠D＝80°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝160°，
∴∠AOB+∠AOC＝360°﹣160°＝200°，
∵PQ、PB、QC是⊙O的切线，
∴∠PBO＝∠PAO＝∠QAO＝∠QCO＝90°，
∴∠P+∠Q＝2×360°﹣∠PBO﹣∠PAO﹣∠QAO﹣∠QCO﹣∠AOB﹣∠AOC＝720°﹣4×90°﹣200°＝160°，21*cnjy*com
故选：A．
【知识点】圆周角定理、切线的性质
10.如图，Rt△ABC中，AB=10cm，BC=8cm，若点C在⊙A上，则⊙A的半径是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴AC===6（cm），
∵点C在⊙A上，
∴⊙A的半径为6cm．
故选：B．
【知识点】切线的判定
二、填空题（共6小题）
11.已知⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系为 ．
【答案】相交
【解答】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线L的距离为3，
∵5＞3，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故答案为：相交．
【知识点】直线与圆的位置关系
12.如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝70°，则∠BAC等于 ．
【答案】20°
【解答】解：根据题意知，OA＝OB，
∴∠BAO＝∠B＝70°，
∴在△AOB中，∠O＝40°；
∵AC为切线，
∴∠O＝2∠BAC，
∴∠BAC＝20°．
【知识点】弦切角定理
13.如图PA切⊙O于点A，∠PAB＝30°，则∠AOB＝ 度，∠ACB＝ 度．
【答案】【第1空】60
【第2空】30
【解答】解：由弦切角定理知，∠C＝∠BAP＝30°；
由圆周角定理知，∠AOB＝2∠C＝60°．
【知识点】弦切角定理
14.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝ ．
【答案】1
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
根据勾股定理，得AB＝5，
如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，
连接OD、OE、OF，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴四边形EOFC是矩形，
根据切线长定理，得
CE＝CF，
∴矩形EOFC是正方形，
∴CE＝CF＝r，
∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，
BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，
∵AD+BD＝AB，
∴3﹣r+4﹣r＝5，
解得r＝1．
则△ABC的内切圆半径r＝1．
故答案为：1．
【知识点】三角形的内切圆与内心
15.如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以2cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为 ．21cnjy.com
【答案】2cm或6cm
【解答】解：∵直线a⊥b，O为直线b上一动点，
∴⊙O与直线a相切时，切点为H，
∴OH＝2cm，
当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示：
OP＝PH﹣OH＝4﹣2＝2（cm）；
当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示：
OP＝PH+OH＝4+2＝6（cm）；
∴⊙O与直线a相切，OP的长为2cm或6cm，
故答案为：2cm或6cm．
【知识点】切线的性质
16.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB＝ cm时，BC与⊙A相切．21·cn·jy·com
【答案】6
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴AD＝AB，即AB＝2AD．
又∵BC与⊙A相切，
∴AD就是圆A的半径，
∴AD＝3cm，
则AB＝2AD＝6cm．
故答案是：6．
【知识点】切线的判定
三、解答题（共7小题）
17.证明：如果圆的两条切线互相平行，则连接两个切点的线段是圆的直径．
【解答】已知：AB和CD是⊙O的两条平行切线，切点分别为E、F，如图，
求证：EF为⊙O的直径．
证明：连结OE、OF，如图，
∵AB和CD是⊙O的切线，
∴OE⊥AB，OF⊥CD，
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD，
∴点E、O、F共线，
∴EF为⊙O的直径．
【知识点】切线的性质
18.如图，∠AOB＝30°，点M在OB上，且OM＝5cm，以M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画⊙M和射线OA的公共点个数之间的对应关系．2·1·c·n·j·y
【解答】解：作MN⊥OA于N，如图，
∵∠AOB＝30°，
∴MN＝OM＝×5＝，
∴当r＝时，⊙M与射线OA只有一个公共点；
当0＜r＜时，⊙M与射线OA没有公共点；
当＜r≤5时，⊙M与射线OA有两个公共点；
当r＞5时，⊙M与射线OA只有一个公共点．
所以当0＜r＜时，⊙M与射线OA没有公共点；当r＝或r＞5时，⊙M与射线OA只有一个公共点；当＜r≤5时，⊙M与射线OA有两个公共点．【来源：21·世纪·教育·网】
【知识点】直线与圆的位置关系
19.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，AB＝10cm，以C为圆心作图，当半径r为多长时：
（1）AB与⊙C相切；
（2）AB与⊙C相交；
（3）AB与⊙C相离．
【解答】解：由勾股定理得BC＝5cm，再根据三角形的面积公式得，5×5＝10×斜边上的高，
∴斜边上的高＝，
（1）∵AB与⊙C相切，
∴r＝．
（2）∵AB与⊙C相交，
∴r＞．
（3）∵AB与⊙C相离，
∴r＜．
【知识点】直线与圆的位置关系
20.如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E，DE＝6，AC＝16．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求直径AB的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，BC；
∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴BC∥DE；
∵D为弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：设BC与DO交于点F，
由（1）可得四边形CFDE为矩形；
∴CF＝DE＝6，
∵OD⊥BC，
∴BC＝2CF＝12，
在Rt△ABC中，
AB＝．
【知识点】切线的判定
21.如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
【解答】解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA＝CE，
同理DE＝DB，PA＝PB，
∴三角形PDE的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，
即PA的长为6；
（2）∵∠P＝60°，
∴∠PCE+∠PDE＝120°，
∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，
∵CA，CE是圆O的切线，
∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD；
同理：∠ODE＝∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE＝（∠ACD+∠CDB）＝120°，
∴∠COD＝180﹣120°＝60°．
【知识点】切线长定理
22.如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．
（1）连接OA、OB，则∠AOB＝ ．
（2）若BD＝6，AD＝4，求⊙O的半径r．
【答案】135°
【解答】解：（1）
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴O为△ACB的内心，
∴∠OBA＝∠ABC，∠OAB＝∠CAB，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∴∠OBA+∠OAB＝×90°＝45°，
∴∠AOB＝180°﹣∠45°＝135°，
故答案为：135°；
（2）连接EO，FO，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，BD＝BE，AD＝AF，EC＝CF，
又∵∠C＝90°，
∴四边形ECFO是矩形，
又∵EO＝FO，
∴矩形OECF是正方形，
设EO＝x，
则EC＝CF＝x，
在Rt△ABC中
BC2+AC2＝AB2
故（x+6）2+（x+4）2＝102，
解得：x＝2，
即⊙O的半径r＝2．
【知识点】三角形的内切圆与内心、切线的性质
23.如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，过A、C两点的圆⊙O切AB于A，BC的延长线交⊙O于D，∠ABD的角平分线交AC于E，交AD于F．www.21-cn-jy.com
（1）求证：AE＝AF；（2）若AC＝CD＝2，求AD．
【解答】（1）证明：∵BF平分∠ABD，
∴∠AEF＝∠BAC+∠ABC，∠AFE＝∠ADB+∠ABC，
又∵∠BAC＝∠ADB，
∴AE＝AF；
（2）解：∵AB是⊙O切线，AC＝CD＝2，
∴AB2＝BC BD
∴4＝BC×（BC+2）
∴BC＝﹣1，BC＝﹣﹣1（舍去），
∵AC＝CD＝2，
∴∠CAD＝∠D，
∵AB是⊙O切线，
∴∠BAC＝∠D，
∴AC是∠BAD的平分线，
∴＝，
∴＝
∴AD＝．
答；AD的长为．
【知识点】弦切角定理、切割线定理
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