中小学教育资源及组卷应用平台
姓名： 班级
2.6 正多边形与圆
本课重点 1.正多边形及有关概念（1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。（2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。（3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。（4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。（5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。（6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。
本课难点 1.正多边形的有关计算（1）正边形的每个内角都等于（2）正边形的每个中心角都等于（3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示，设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形的周长面积
一、单选题（共10小题）
1.边长为2的正六边形的边心距为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
【答案】C
【解答】解：如图，在Rt△AOG中，OA＝2，∠AOG＝30°，
∴OG＝OA cos 30°＝2×．
故选：C．
【知识点】正多边形和圆
2.若正六边形外接圆的半径为4，则它的边长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解答】解：正六边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，21教育网
故正六边形的外接圆半径等于4，则正六边形的边长是4．
故选：C．
【知识点】正多边形和圆
3.正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．互余或互补
【答案】A
【解答】解：设正多边形是正n边形，则它的一边所对的中心角是，
正多边形的外角和是360°，则每个外角也是，
所以正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角相等．
故选：A．
【知识点】正多边形和圆
4.如果一个正多边形的中心角是60°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解答】解：∵正多边形的中心角和为360°，正多边形的中心角是60°，
∴这个正多边形的边数＝＝6．
故选：C．
【知识点】正多边形和圆
5.对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 （ ）
A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴
B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心
C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
【答案】B
【解答】解：A、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故此选项错误；
B、正奇数多边形多边形不是中心对称图形，错误，故本选项正确；
C、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故本选项错误；
D、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故本选项错误．
故选：B．
【知识点】正多边形和圆
6.如图，在正十边形中，∠BAC的度数是（ ）
A．10° B．18° C．22.5° D．36°
【答案】B
【解答】解：设正十边形的中心为点O，连接OC，
则∠BOC＝＝36°，
由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝18°，
故选：B．
【知识点】正多边形和圆
7.已知正六边形的边心距为，则它的半径为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
【答案】A
【解答】解：如图，在Rt△AOG中，OG＝，∠AOG＝30°，
∴OA＝OG÷cos 30°＝÷＝2；
故选：A．
【知识点】正多边形和圆
8.正六边形的边长为2，则它的面积为（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】D
【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，连接OC、OD，
过O作OG⊥CD于G，
∵∠COD＝＝60°，OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝CD＝OD＝2，
∴CG＝DG＝1，
由勾股定理得：OG＝，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OCD＝6××CD×OG＝3×2×＝6，
故选：D．
【知识点】正多边形和圆
9.如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：如图，
∵三角形的斜边长为a，
∴两条直角边长为a，a，
∴S空白＝a a＝a2，
∵AB＝a，
∴OC＝a，
∴S正六边形＝6×a a＝a2，
∴S阴影＝S正六边形﹣S空白＝a2﹣a2＝a2，
∴＝＝5，
法二：因为是正六边形，所以△OAB是边长为a的等边三角形，即两个空白三角形面积为S△OAB，即＝521cnjy.com
故选：C．
【知识点】正多边形和圆
10.如图，圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（ ）
A．36° B．60° C．72° D．108°
【答案】C
【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108度，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝＝36°，
∴∠APB＝∠DBC+∠ACB＝72°，
故选：C．
【知识点】正多边形和圆
二、填空题（共6小题）
11.边长为6的正六边形的边心距为 ．
【答案】3
【解答】解：如图所示，此正六边形中AB＝6，
则∠AOB＝60°；
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∵OG⊥AB，
∴∠AOG＝30°，
∴OG＝OA cos30°＝6×＝3，
故答案为3．
【知识点】正多边形和圆
12.正六边形的中心角是 ．
【答案】60°
【解答】解：正六边形的中心角是：360°÷6＝60°．
故答案为：60°．
【知识点】正多边形和圆
13.已知正六边形的边心距为，则它的周长是 ．
【答案】12
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝×360°＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAH＝60°，
∵OH⊥A，OH＝，
∴OA＝＝2，
∴AB＝OA＝2，
∴它的周长是：2×6＝12．
故答案为：12．
【知识点】正多边形和圆
14.我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比，内外比为3的正多边形的边数为 ．
【答案】8
【解答】解：设正多边形的边数为n，
根据题意得，：＝3，
解得：n＝8，
答：内外比为3的正多边形的边数为8，
故答案为：8．
【知识点】正多边形和圆
15.为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为 ．
【答案】2a2
【解答】解：△ABC是等腰直角三角形，且AB=a，
则AC=BC=a，
则S△ABC=AC BC=× =，
中间的正方形的面积是：a2，
则阴影部分的面积是：4×+a2=2a2．
故答案是：2a2．
【知识点】正多边形和圆
16.如图，⊙O的半径为1，作两条互相垂直的直径AB、CD，弦AC是⊙O的内接正四边形的一条边．若以A为圆心，以1为半径画弧，交⊙O于点E，F，连接AE、CE，弦EC是该圆内接正n边形的一边，则该正n边形的面积为 ．21·cn·jy·com
【答案】3
【解答】解：如图，连接OE，
根据题意可知：
AB⊥CD，AE＝AO＝EO，
∴∠AOC＝90°，∠AOE＝60°，
∴∠EOC＝30°，
∴EC是该圆内接正12边形的一边，
∵△COE是顶角为30度的等腰三角形，
作EG⊥OC于点G，
∴EG＝OE＝，
∴正12边形的面积为：12S△COE＝12×OC EG＝12×1×＝3．
故答案为：3．
【知识点】正多边形和圆
三、解答题（共7小题）
17.正方形的边长为a，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积．
【解答】解：连接OC、OD、OA、OB，
∵正方形是圆内接正方形，
∴∠COD＝90°，
∴OC＝CD＝a，
∴AC＝OC＝a，
∴AB＝a，
△AOB的面积＝×AB×OC＝×a×a＝a2，
∴外接圆的外切正三角形的面积为a2×3＝a2．
【知识点】正多边形和圆
18.求半径为3的圆的内接正方形的边长．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠OBE＝45°；而OE⊥BC，
∴BE＝CE；而OB＝3，
∴sin45°＝，cos45°＝，
∴OE＝，BE＝，
∴BC＝3，
故半径为3的圆内接正方形的边长为3．
【知识点】正多边形和圆
19.如图．⊙O的半径为4．
（1）作圆的内接正方形ABCD；
（2）求正方形ABCD的面积．
【解答】解：（1）圆的内接正方形ABCD如图所示；
（2）∵⊙O的半径为4，
∴⊙O的直径为8，
∴正方形ABCD的面积＝×8×8＝32．
【知识点】正多边形和圆
20.如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB＝cm，求⊙O的半径．
【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴点O即是三角形内心也是外心，
∴∠OBD＝30°，BD＝CD＝BC＝AB＝，
∴cos30°＝＝＝，
解得：BO＝2，
即⊙O的半径为2cm．
【知识点】正多边形和圆
21.如图，⊙O的两条直径AB、CD互相垂直，弦MN垂直平分OB，交OB于点E，求证：MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二边形的边长．21世纪教育网版权所有
【解答】解：如图，连接OM；
∵弦MN垂直平分OB，
∴MB＝MO，OE＝，
∴∠OME＝30°；而BO＝MO，
∴△MOB是等边三角形，∠MOB＝60°；
∵⊙O内接正六边形的中心角＝＝60°，
∴MB为⊙O内接正六边形的边；
∵MN⊥AB，CD⊥AB，
∴MN∥CD，∠COM＝∠OME＝30°，
∵⊙O内接正十二边形的中心角＝＝30°，
∴CM为⊙O内接正十二边形的边．
【知识点】正多边形和圆
22.如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”．www.21-cn-jy.com
（1）角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为m°，将正n边形的“接近度”定义为|180﹣m|．于是，|180﹣m|越小，该正n边形就越接近于圆，2·1·c·n·j·y
①若n＝3，则该正n边形的“接近度”等于 ．
②若n＝20，则该正n边形的“接近度”等于 ．
③当“接近度”等于 ． 时，正n边形就成了圆．
（2）边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为．分别计算n＝3，n＝6时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】【第1空】120
【第2空】18
【第3空】0
【解答】解：（1）①120②18③0；
（2）当n＝3时，
∵∠CAB＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴sin∠OAD＝＝，
∴
当n＝6时，
∵∠CAD＝120°，
∴∠OAD＝60°，
∴sin∠OAD＝＝，
∴；
当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆．
【知识点】正多边形和圆
23.如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，
（1）试分别计算这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角的度数；
（2）探究正n边形相邻两条对角线的夹角满足的规律．
【解答】解：（1）解：由正方形ABCD，
可得：AC⊥BD，
∴α4＝90°；
由正五边形ABCDE，
可得：AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，
∴∠DBC＝∠ACB＝＝36°，
∴α5＝180°﹣∠DBC﹣∠ACB＝108°；
同理：α6＝120°；
（2）．
【知识点】正多边形和圆
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
姓名： 班级
2.6 正多边形与圆
本课重点 1.正多边形及有关概念（1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。（2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。（3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。（4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。（5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。（6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。
本课难点 1.正多边形的有关计算（1）正边形的每个内角都等于（2）正边形的每个中心角都等于（3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示，设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形的周长面积
一、单选题（共10小题）
1.边长为2的正六边形的边心距为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
2.若正六边形外接圆的半径为4，则它的边长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
3.正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．互余或互补
4.如果一个正多边形的中心角是60°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5.对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 （ ）
A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴
B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心
C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
6.如图，在正十边形中，∠BAC的度数是（ ）
A．10° B．18° C．22.5° D．36°
7.已知正六边形的边心距为，则它的半径为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
8.正六边形的边长为2，则它的面积为（ ）
A． B． C．3 D．6
9.如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10.如图，圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（ ）
A．36° B．60° C．72° D．108°
二、填空题（共6小题）
11.边长为6的正六边形的边心距为 ．
12.正六边形的中心角是 ．
13.已知正六边形的边心距为，则它的周长是 ．
14.我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比，内外比为3的正多边形的边数为 ．
15.为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为 ．
16.如图，⊙O的半径为1，作两条互相垂直的直径AB、CD，弦AC是⊙O的内接正四边形的一条边．若以A为圆心，以1为半径画弧，交⊙O于点E，F，连接AE、CE，弦EC是该圆内接正n边形的一边，则该正n边形的面积为 ．21世纪教育网版权所有
三、解答题（共7小题）
17.正方形的边长为a，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积．
18.求半径为3的圆的内接正方形的边长．
19.如图．⊙O的半径为4．
（1）作圆的内接正方形ABCD；
（2）求正方形ABCD的面积．
20.如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB＝cm，求⊙O的半径．
21.如图，⊙O的两条直径AB、CD互相垂直，弦MN垂直平分OB，交OB于点E，求证：MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二边形的边长．21教育网
22.如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”．21cnjy.com
（1）角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为m°，将正n边形的“接近度”定义为|180﹣m|．于是，|180﹣m|越小，该正n边形就越接近于圆，21·cn·jy·com
①若n＝3，则该正n边形的“接近度”等于 ．
②若n＝20，则该正n边形的“接近度”等于 ．
③当“接近度”等于 ． 时，正n边形就成了圆．
（2）边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为．分别计算n＝3，n＝6时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？www.21-cn-jy.com
23.如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，
（1）试分别计算这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角的度数；
（2）探究正n边形相邻两条对角线的夹角满足的规律．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
