苏科版九年级数学上册 1.1 一元二次方程（表格式教案）

一元二次方程的解法巩固
教学目标 1．巩固直接开平方法、配方法（公式法）、因式分解法等方法解一元二次方程； 2．理解“降次”将一元二次方程化为一元一次方程，体会化归的数学思想方法． 3．类比一元一次方程、分式方程、二元一次方程组的解法，运用从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法探索一元二次方程的解法。
教学重点 用直接开平方法、配方法（公式法）、因式分解法等方法解一元二次方程．
教学难点 运用从特殊到一般、从具体到抽象的方法探索一元二次方程的解法．
教学过程（教师） 学生活动 设计思路
问题情境 问题1 我们已经学过哪些方程（或组）？ 问题2 如何解这些方程？ 例：如何解方程(或组)：－x＝1，－1＝0， 思考：解这些方程（或组）的过程中，每一步的变形依据是什么？ 同学们回忆一元一次方程、分式方程、二元一次方程的解法， 体会解方程中的转化过程和求解目标，明晰解方程的基本思路，为归纳一元二次方程解法探索做好经验的准备．
探索活动 问题3　如何研究方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解法？ （1）可以从特殊到一般、从具体到抽象研究一元二次方程的解法． （2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的特殊形式有 ax2＋c＝0（a≠0）、ax2＋bx＝0（a≠0）等． 独立思考、 提出了从特殊到一般、从具体到抽象的研究思路，并提出b＝0和c＝0两种特殊形式． 通过设计这个问题，讨论探索一元二次方程解法的一般路径，
问题4　如何解方程ax2＋c＝0（a≠0）？ 具体地，（1）如何解方程x2－1＝0？ （2）如何解方程2x2－1＝0？ （3）如何解方程x2＋1＝0？ 思考：（1）通过哪些方法将一元二次方程转化为一元一次方程？ （2）在什么情况下，方程ax2＋c＝0（a≠0）有实数解？有几个实数解？ 同学们思考如（1）(x－1)(x＋1)＝0，或 x2＝1，x＝±1， （2）x2＝，x＝±， （3）x2＝－1，而x2≥0，所以原方程无实数解． 探索得到利用因式分解和直接开平方 将ax2＋c＝0（a≠0）降次， 第（3）题发现方程无实数解 ，进而讨论得到当－≥0时方程有两个实数解 ．
问题5　如何解方程ax2＋bx＝0（a≠0）？ 具体地，（1）如何解方程x2－2x＝0？ （2）如何解方程2x2＋x＝0？ 思考：（1）在解方程的过程中利用什么方法进行降次的？这种情况的方程解有什么特点？ （2）能否利用直接开平方法进行降次？如何变形才能进行开平方？ 比如： x(ax＋b)＝0(a≠0)， 在思考第（2）个问题时，同学们发现将x2－2x＝0变形为x2－2x＋1＝1，(x－1)2＝1， 探索方程ax2＋bx＝0（a≠0）的解法过程， 为后续研究一般形式的解法作好铺垫．
问题6　如何解方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）？ 具体地，（1）如何解方程x2－2x＋1＝0？ （2）如何解方程x2－2x－3＝0？ （3）如何解方程x2－2x－1＝0？ （4）如何解方程2x2－4x－3＝0？ 思考：（1）在解方程的过程中利用什么方法进行降次？ （2）如何选择方法解方程？ 变化：如何解方程2x2－4x＋3＝0？ 如何解ax2＋bx＋c＝0（a≠0）？ 对于一般形式，则可以通过配方，将方程变形为下列形式：x2＋x＋＝0，x2＋x＋()2＝－＋()2，(x＋)2＝． 当b2－4ac≥0时，再开平方，求解，x＋＝±． x1＝， x2＝．当b2－4ac＜0时，无实数解． 同学们在前面研究的基础上，如： （1）(x－1)2＝0，x－1＝0或x－1＝0，x1＝x2＝1（因式分解或配方、开平方）； （2）(x－3)(x＋1)＝0，x－3＝0或x＋1＝0，（因式分解）； （3）x2－2x＋1－2＝0，(x－1)2＝2， （配方、开平方）； （4）x2－2x－＝0，(x－1)2＝， 配方、开平方）． 变式题2x2－4x＋3＝0，配方(x－1)2＝－≤0，原方程无实数解． 在探索方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）解法中，引导学生从具体方程入手，利用配方、开平方或因式分解等方法，将方程降次化为一次方程，进一步明确方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解法的一般过程，最终获得一元二次方程解法的降次方法，导出公式法，体会了化归的数学思想方法，形成求解二次方程的基本活动经验，即降次——化归——求解
知识延伸：对二次三项式x2－10x＋36，小聪同学认为：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11；小颖同学认为：可以取两个不同的值，使它的值等于11.你认为(　　) A．小聪对，小颖错 B．小聪错，小颖对 C．他们两人都对 D．他们两人都错 思考：值为9或12如何？ 练习 解方程：（1）x2－4＝0；（2）x2＋2＝0；（3）(x－3)2＝4；（4）x2－x－2＝0；（5）－2x2＋4x－1＝0．(6)　　　　　　　　　x2－5x＋1＝0. x2－10x＋36=11有等实根 x2－10x＋36=9无实根 x2－10x＋36=12不相等实根 学生自主选择方法，灵活应用，独立完成，加深理解．
课堂小结 问题7　解一元二次方程的基本经验是什么？ 同学们自主总结， 因式分解、直接开平方、配方（公式法），将二次 降次为一次 后求解． 在回顾本节课的基础上整理探究思路，最终获得一般方法和经验．
作业布置 略 略
第 4 页 共 4 页 2021-10-25