天津三中2021~2022学年度第一学期高三阶段检测数学试卷
数学
第I卷（选择题）
一、单选题
1．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出，再求交集即可.
【详解】
据题意，所以
故选：C
2．“成立”是“成立”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x＜3，由x（x-3）＜0得0＜x＜3，所以“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的必要不充分条件
考点：1．解不等式；2．充分条件与必要条件
3．已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题，得，由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，可得最小正周期，从而求得，得到函数的解析式，又因为当时，，由此即可得到本题答案.
【详解】
由题，得，
因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，
所以函数的最小正周期，则，
所以，
当时，，
所以是函数的一条对称轴，
故选：D
【点睛】
本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.
4．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】
D
试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．
解：，
∴y′（0）=a﹣1=2，
∴a=3．
故答案选D．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
5．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为
A．-24 B．-3 C．3 D．8
【答案】A
【解析】】设等差数列的公差为，，，，所以，，故选A.
6．已知，，与的夹角为，则（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B
【分析】
根据的坐标求出，再由平面向量夹角公式列方程即可求解.
【详解】
因为，
所以，
又因为，与的夹角为，
所以，
所以
故选：B.
7．已知函数，，给出下列四个命题：
①函数的最小正周期为；
②函数的最大值为1；
③函数在上单调递增；
④将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为．
其中正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
利用三角恒等变换公式将整理为，根据的图象与性质、平移变换分别判断四个命题，从而得到结果.
【详解】
最小正周期，可知①错误；
，即的最大值为，可知②正确；
当时，，此时不单调，可知③错误；
向左平移个单位，即，可知④正确.
故正确命题个数为个
本题正确选项：
【点睛】
本题考查的最小正周期、最值、单调性、平移变换的相关知识，关键是能够首先通过两角和差公式、诱导公式、辅助角公式将函数整理为的形式.
8．在等腰梯形中，，，，为的中点，为线段上的点，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】B
【分析】
以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，设，用数量积的坐标表示求得数量积，然后由二次函数知识得最小值．
【详解】
由题意等腰梯形的高为，
如图，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，，，设，则，，
，
所以时，取得最小值．
故选：B．
第II卷（非选择题）
二、填空题
9．i是虚数单位，则复数___________.
【答案】
【分析】
对复数进行分母实数化即可化简.
【详解】
10．已知，则___________.
【答案】
【分析】
根据，利用诱导公式求解.
【详解】
因为，
所以，
故答案为：
11．已知向量，若B，C，D三点共线，则________.
【答案】
【分析】
根据三点共线得出向量共线，从而得到，然后根据诱导公式求的值.
【详解】
因为，
所以，
，
因为B，C，D三点共线，
所以，即，
所以.
故答案为：.
12．已知等差数列的前项和为，则数列的前2019项和为_______．
【答案】；
【分析】
先根据等差数列的通项公式和求和公式可列出关于和的方程组，解出和的值，即可得到数列的通项公式，即求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出前2019项和．
【详解】
解：由题意可设等差数列的公差为，
则，
解得：．
∴数列的通项公式为，
∴，
设数列的前n项和为，
则
，
.
故答案为：．
13．在△ABC中，BC＝2，AC＝3，∠BAC＝2∠B，D是BC上一点且AD⊥AC，则sin∠BAC＝________，△ABD的面积为________．
【答案】
【分析】
在△ABC中根据正弦定理可求cos∠B＝，sin∠B＝，从而可求sin∠BAC的值；根据条件AD⊥AC和cos∠BAC＝可求出in∠BAD＝，cos∠BAD＝，从而求出sin∠ADB＝.在△ABC中，由余弦定理可求AC的值，从而求的面积.
【详解】
∵BC＝2，AC＝3，∠BAC＝2∠B，
∴在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝，解得cos∠B＝，
因为，所以sin∠B＝，
∴cos∠BAC＝cos2∠B＝2cos2∠B－1＝，
又因为因为，所以sin∠BAC＝＝．
∵AD⊥AC，∴sin∠BAD＝sin＝－cos∠BAC＝，可得cos∠BAD＝，
∴sin∠ADB＝sin(∠BAD＋∠B)＝×＋×＝．
在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠B，
即32＝AB2＋(2)2－2AB×2×，解得AB＝1或3．
当AB＝AC＝3时，由∠BAC＝2∠B，可得∠B＝∠C＝∠BAC＝，
∴BC＝＝3，与BC＝2矛盾，∴AB＝1．
在△ABD中，由正弦定理得＝，所以AD＝＝，
∴S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD＝×1××＝．
故答案为：；.
三、解答题
14．在中，内角，，所对的边分别是，，，，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）根据正弦定理先求得边c，然后由余弦定理可求得边b；
（Ⅱ）结合二倍角公式及和差公式，即可求得本题答案.
【详解】
（Ⅰ）因为，
由正弦定理可得，，
又，所以，
所以根据余弦定理得，，
解得，；
（Ⅱ）因为，所以，
，，
则．
【点睛】
本题主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，属基础题.
15．已知函数.
（1）求的最小正周期和的单调递减区间；
（2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.
【答案】（1）π；；（2）当时，函数取得最小值，最小值为．
【分析】
（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标；解不等式，可得出函数的单调递减区间；
（2）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的的值.
【详解】
（1），
所以，函数的最小正周期为.
由，可得，
函数的对称中心为；
解不等式，解得.
因此，函数的单调递减区间为；
（2）当时，，
当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．
【点睛】
本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
16．已知函数（为自然数对数的底数）.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.
【答案】(1)递减区间是和，递增区间是；(2).
【分析】
(1)当时，求出函数的导数，再求出导数值大于0及小于0的x取值区间即可得解；
(2)求出函数的导数，由给定条件转化成恒成立的不等式即可求解作答.
【详解】
(1)当时，，求导得，
解得或，解得，
所以函数的单调递减区间是和，单调递增区间是；
(2)依题意，，
因函数在上单调递增，则，
令，，显然在上单调递增，于是得时，，则，
所以的取值范围是.
17．已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求；
（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，1.
【分析】
（1）利用基本量法直接计算即可；
（2）利用错位相减法计算；
（3），令可得，，讨论即可.
【详解】
（1）设数列的公差为，数列的公比为，
因为，
所以，即，解得，或（舍去）.
所以.
（2），
，
所以，
所以.
（3）由（1）可得，，
所以.
因为是数列或中的一项，所以，
所以，因为，
所以，又，则或.
当时，有，即，令.
则.
当时，；当时，，
即.
由，知无整数解.
当时,有，即存在使得是数列中的第2项，
故存在正整数，使得是数列中的项.
【点睛】
本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n项和，数列中的存在性问题，是一道较为综合的题.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页天津市第三中学2021~2022学年度第一学期
高三年级阶段性测试试卷(2021.10)
数学
第I卷 选择题
一、单选题（共8题，每题4分，共32分）
1．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．“成立”是“成立”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
4．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为 ( )
A．-24 B．-3 C．3 D．8
6．已知，，与的夹角为，则（ ）
A．2 B．3 C, 4 D.5
7．已知函数，，给出下列四个命题：
①函数的最小正周期为；
②函数的最大值为1；
③函数在上单调递增；
④将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为．
其中正确命题的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在等腰梯形中，，，，为的中点，为线段上的点，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．1
第II卷 非选择题
（共9道题，共68分）
二、填空题（共5道题，每题4分，共20分）
9．i是虚数单位，则复数___________.
10．已知，则___________.
11．已知向量，若B，C，D三点共线，则________.
12．已知等差数列的前项和为，则数列的前2019项和为_______．
13．在△ABC中，BC＝2，AC＝3，∠BAC＝2∠B，D是BC上一点且AD⊥AC，则sin∠BAC＝________，△ABD的面积为________．
三、解答题（共4道题，每题12分，共48分）
14．在中，内角，，所对的边分别是，，，，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
15．已知函数.
（1）求的最小正周期和的单调递减区间；
（2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.
16．已知函数（为自然数对数的底数）.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.
17．已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求；
（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
高年级年级 学科试卷
