2021-2022学年北京课改新版九年级上册数学《第21章 圆（上）》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年北京课改新版九年级上册数学《第21章 圆（上）》单元测试卷
一．选择题
1．下列语句中正确的是（　　）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
2．如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为（　　）
A．20° B．30° C．45° D．60°
3．如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与M，N重合，当P点在上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（　　）
A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．不能确定
4．下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤完全重合的两条弧是等弧．正确的命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为7，那么点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
6．如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
7．在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，CD是圆O的直径，AB是圆O的弦，且AB＝10，若CD⊥AB于点E，则AE的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
9．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝21，BC＝20．若有一半径为10的圆分别与AB、BC相切，则下列何种方法可找到此圆的圆心（　　）
A．∠B的角平分线与AC的交点
B．AB的中垂线与BC中垂线的交点
C．∠B的角平分线与AB中垂线的交点
D．∠B的角平分线与BC中垂线的交点
10．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（　　）
A． B．7﹣4 C． D．1
二．填空题
11．当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件　 　．
12．如图，在Rt△ABC中，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，∠BCD＝40°，则∠A＝　 　．
13．如图，在⊙O中，半径为5，∠AOB＝60°，则弦长AB＝　 　．
14．将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则∠ACO＝　 　度．
15．如图△ABC中外接圆的圆心坐标是　 　．
16．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，EB＝2，则⊙O的半径为　 　．
17．如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB，当△PAB的面积最大时，点P的坐标为　 　．
18．如图，AD是△ABC的角平分线，以D为圆心，AD为半径作⊙D交AB于E，交AC于F，AD＝AE＝2，BE＝1．则AC的长是　 　．
19．如图所示，抛物线y＝x2﹣6x+8与x轴交于A、B两点，过点B的直线与抛物线交于点C（C在x轴上方），过A、B、C三点的⊙M满足∠MBC＝45°，则点C的坐标为　 　．
20．如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP＝1，CD是⊙O的一条弦，CD＝6，以PC，PD为相邻两边作 PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最大值与最小值的积等于　 　．
三．解答题
21．如图，AC是Rt△OAB斜边上的高，到点O的距离等于OA的所有点组成的图形记为G，图形G与OB交于点D，连接AD．
（1）依题意补全图形，并求证：AD平分∠BAC；
（2）如果OC＝6，tanB＝，求BD的长．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的长．
23．如图，在 ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求证：A、E、C、F四点共圆；
（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N．求证：BM＝ND．
24．已知，如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．
25．爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人员需要跑到离爆破点120m以外的完全区域，已知这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？
26．已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．
27．如图，⊙O的半径均为R．
（1）请在图①中画出弦AB，CD，使图①为轴对称图形而不是中心对称图形；请在图②中画出弦AB，CD，使图②仍为中心对称图形；
（2）如图③，在⊙O中，AB＝CD＝m（0＜m＜2R），且AB与CD交于点E，夹角为锐角α．求四边形ACBD的面积（用含m，α的式子表示）；
（3）若线段AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD＝R，你认为在以点A，B，C，D为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图④说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以A选项错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项错误；
D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以D选项正确．
故选：D．
2．解：连接OD，如图，则∠DOC＝70°﹣45°＝25°，∠AOD＝160°﹣70°＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝45°，
∵∠ADO＝∠B+∠DOB，
∴∠B＝45°﹣25°＝20°．
故选：A．
3．解：∵直角△PAB中，AB2＝PA2+PB2，
又∵矩形PAOB中，OP＝AB，
∴PA2+PB2＝AB2＝OP2．
故选：C．
4．解：①根据弦的概念，直径是一条线段，且两个端点在圆上，满足弦是连接圆上两点的线段这一概念，所以①正确．
②弦是连接圆上两点的线段，只有过圆心的弦才是直径，其它的弦不是直径，所以②错误．
③圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆．所以③正确．
④等弧是能完全重合的弧，只有长度相等的两条弧不一定能重合．所以④错误．
⑤根据等弧的概念，能够完全重合的两条弧叫等弧．所以⑤是正确的．
故选：C．
5．解：∵OP＝7＞5，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：C．
6．解：如图所示，
∵AW＝1，WH＝3，
∴AH＝＝；
∵BQ＝3，QH＝1，
∴BH＝＝；
∴AH＝BH，
同理，AD＝BD，
所以GH为线段AB的垂直平分线，
易得EF为线段AC的垂直平分线，
H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，
则BH＝AH＝HC，
H为圆心．
则该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．
故选：C．
7．解：作OC⊥AB于C，连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝5，
∴OC＝，
即圆心O到AB的距离为3．
故选：A．
8．解：∵CD⊥AB，CD是直径，
∴AE＝EB＝AB＝5，
故选：B．
9．解：∵圆分别与AB、BC相切，
∴圆心到AB、CB的距离都等于半径，
∵到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
∴圆心定在∠B的角平分线上，
∵因为圆的半径为10，
∴圆心到AB的距离为10，
∵BC＝20，
又∵∠B＝90°，
∴BC的中垂线上的点到AB的距离为10，
∴∠B的角平分线与BC的中垂线的交点即为圆心．
故选：D．
10．解：如图，连接CE．
∵AP∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的上运动，
连接O'A交于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'．
∵∠BE'C＝120°
∴所对圆周角为60°，
∴∠BOC＝2×60°＝120°，
∵△BO′C是等腰三角形，BC＝4，
∴O′B＝O′C＝4，
∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，
∴∠ACO'＝90°
∴O'A＝＝5，
∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1．
故选：D．
二．填空题
11．解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），
∴
解得：k＝﹣，b＝，
∴直线AB的解析式为y＝﹣+，
∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，
∴5m+2n≠9，
故答案为：5m+2n≠9．
12．解：∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB，
∵∠B+∠CDB+∠BCD＝180°，
∴∠B＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝20°．
故答案为20°．
13．解：∵OA＝OB＝5，∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
故AB＝5．
故答案为：5．
14．解：由图可知，∠OBC＝60°
∵OC＝OB
∴△OBC是等边三角形
∴∠BCO＝60°
则∠ACO＝120°．
15．解：分别作三角形的三边的垂直平分线，可知相交于点（6，2），
即△ABC中外接圆的圆心坐标是（6，2）．
故答案为：（6，2）．
16．解：连接OC，
设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣2，
∵CD⊥AB，
∴CE＝CD＝4，
由勾股定理得，OC2＝OE2+CE2，即R2＝（R﹣2）2+42，
解得，R＝5，
则⊙O的半径为5，
故答案为：5．
17．解：过C作CM⊥AB于M，交x轴于E，MC的延长线交⊙C于D，作DN⊥x轴于N，则DM是圆上到直线AB的最大距离，
∵直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A，B两点，
∴A（4，0），B（0，﹣3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
∵∠CMB＝∠COE＝90°，∠CEO＝∠AEM，
∴∠OAB＝∠OCE，
∴△COE∽△AOB，
∴＝＝，即＝＝，
∴OE＝，CE＝，
∴ED＝1+＝，
∵DN⊥x轴，
∴DN∥OC，
∴△COE∽△DNE，
∴＝＝，即，
∴DN＝，NE＝，
∴ON＝NE﹣OE＝﹣＝，
∴D（﹣，），
∴当△PAB的面积最大时，点P的坐标为（﹣，），
18．解：连接DF、DE，易证△ADE、AFD为等边三角形．
所以DF∥BA．
∴△CFD∽△CAB
DF：AB＝FC：AC
2：3＝（AC﹣2）：AC
解得AC＝6．
19．解：∵抛物线y＝x2﹣6x+8与x轴交于A、B两点，
∴A（2，0），B（4，0），
∴AB＝2，
连接MC，过C作CE⊥x轴于E，过M作MD⊥AB于D，MH⊥CE于H，
则四边形MDEH是矩形，AD＝BD＝1，
∴DM＝HE，MH＝DE，∠DMH＝90°，
∵∠BBC＝45°，BM＝MC，
∴∠MCB＝∠MBC＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∴∠DMB＝∠HMC，
∵∠MDB＝∠MHC＝90°，
∴△MDB≌△MHC（AAS），
∴DM＝MH，CH＝BD＝1，
∴矩形MDEH是正方形，
∴MH＝HE，
设MH＝EH＝a，
∴C（3+a，a+1），
∵抛物线过点C，
∴a+1＝（a+3）2﹣6（a+3）+8，
解得：a1＝2，a2＝﹣1（不合题意舍去），
∴点C的坐标为（5，3），
故答案为：（5，3）．
20．解：连接OC．设CD交PE于点K，连接OK．
∵四边形PCED是平行四边形，
∴EK＝PK，CK＝DK，
∴OK⊥CD，
在Rt△COK中，∵OC＝5，CK＝3，
∴OK＝＝4，
∵OP＝OB+PB＝6，
∴6﹣4≤PK≤6+4，
∴2≤PK≤10，
∴PK的最小值为2，最大值为10，
∵PE＝2PK，
∴PE的最小值为4，最大值为20，
∴线段PE长的最大值与最小值的积等于80．
故答案为80．
三．解答题
21．（1）证明：如图，∵∠OAB＝90°，
∴∠OAD+∠DAB＝90°，
∵AC是Rt△OAB斜边上的高，
∴AC⊥OB，
∴∠ACD＝∠DAC+∠ADO＝90°，
∵图形G是圆O，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠DAB＝∠DAC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵tanB＝，
∴＝，
设AC＝3x，BC＝4x，则AB＝5x，
∴＝，OA＝，
Rt△AOC中，∵OC＝6，
∴，
解得：x＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∴BD＝OC+BC﹣OD＝6+4×﹣＝．
22．解：连接OC，
∵AB＝5cm，
∴OC＝OA＝AB＝cm，
Rt△CDO中，由勾股定理得：DO＝＝cm，
∴AD＝﹣＝1cm，
由勾股定理得：AC＝＝，
则AD的长为1cm，AC的长为cm．
23．证明：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°．
∴∠AEC+∠AFC＝180°．
∴A、E、C、F四点共圆；
（2）由（1）可知，∠AEC＝90°，则AC是直径，
设AC、BD相交于点O；
∵ABCD是平行四边形，
∴O为圆心，OB＝OD，
∴OM＝ON，
∴OB﹣OM＝OD﹣ON，
∴BM＝DN．
24．解：∵OA、OB是⊙O的两条半径，
∴AO＝BO，
∵C、D分别是半径OA、BO的中点，
∴OC＝OD，
在△OCB和△ODA中，
，
∴△OCB≌△ODA（SAS），
∴AD＝BC．
25．解：点导火索的人非常安全．理由如下：
导火索燃烧的时间为＝20（s），此时人跑的路程为20×6.5＝130（m），
因为130＞120，所以点导火索的人非常安全；
答：点导火索的人非常安全．
26．证明：∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠1＝∠2．（1分）
又∵DE∥AC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3．（2分）
∴AE＝DE．（3分）
又∵BD⊥AD于点D，
∴∠ADB＝90°．（4分）
∴∠EBD+∠1＝∠EDB+∠3＝90°．（5分）
∴∠EBD＝∠EDB．（6分）
∴BE＝DE．（7分）
∴AE＝BE＝DE．（8分）
∴点E是A，B，D所在的圆的圆心．（10分）
27．解：（1）答案不唯一，如图①、②
（2）过点A，B分别作CD的垂线，垂足分别为M，N，
∵S△ACD＝CD AM＝CD AE sinα，S△BCD＝CD BN＝CD BE sinα，
∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△BCD＝CD AE sinα+CD BE sinα
＝CD （AE+BE）sinα＝CD AB sinα＝m2 sinα．
（3）存在．分两种情况说明如下：
①当AB与CD相交时，由（2）及AB＝CD＝知S四边形ACBD＝AB CD sinα＝R2sinα，
②当AB与CD不相交时，如图④．
∵AB＝CD＝，OC＝OD＝OA＝OB＝R，
∴∠AOB＝∠COD＝90°．
而S四边形ABCD＝SRt△AOB+SRt△OCD+S△AOD+S△BOC＝R2+S△AOD+S△BOC
延长BO交⊙O于点E，连接EC，
则∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°．
∴∠1＝∠2．
∴△AOD≌△COE．
∴S△AOD＝S△OCE
∴S△AOD+S△BOC＝S△OCE+S△BOC＝S△BCE
过点C作CH⊥BE，垂足为H，
则S△BCE＝BE CH＝R CH．
∴当CH＝R时，S△BCE取最大值R2
综合①、②可知，当∠1＝∠2＝90°．
即四边形ABCD是边长为的正方形时，S四边形ABCD＝R2+R2＝2R2为最大值．