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专题22.8 二次函数与最值的六种考法-重难点题型
【人教版】
【知识点1 定轴定区间】
对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：
（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值．
（2）若，如图②，当，；当，．
（3）若，如图③，当，；当，．
（4）若，，如图④，当，；当，．
【知识点2 动轴或动区间】
对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小．
【题型1 二次函数中的定轴定区间求最值】
【例1】（2021春 瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值﹣4
C．有最大值4，有最小值﹣4 D．有最大值5，有最小值﹣4
【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．
【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，
∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，
故选：D．
【变式1-1】（2020秋 龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝ ．
【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．
【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣3x+m＝（x）2+m，
∴该函数开口向上，对称轴为x，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m，
解得m＝1，
故答案为：1．
【变式1-2】（2021 哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为 ．
【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．
【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，
∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，
∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，
∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，
∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，
故答案为：9．
【变式1-3】（2020秋 番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝ ．
【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m和M的值，从而求出M﹣m的值．
【解答过程】解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，
可知函数顶点坐标为（3，﹣4），
当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，
即（x﹣1）（x﹣5）＝0，
解得x1＝1，x2＝5．
如图：m＝﹣4，
当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．
则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．
【题型2 二次函数中的动轴定区间求最值】
【例2】（2021 雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（ ）
A．3 B．﹣3或 C．3或 D．﹣3或
【解题思路】先求出对称轴为x＝﹣1，分m＞0，m＜0两种情况讨论解答即可求得m的值．
【解答过程】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，
解得：m＝3；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，
解得：m；
故选：C．
【变式2-1】（2021 瓯海区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x≤1时，y随x的增大而增大，可以得到a的正负情况，然后根据﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，即可得到a的值．
【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，
∴该函数的对称轴是直线x＝2，
又∵当x≤1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
∵当﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，
∴x＝6时，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4，
解得a，
故选：D．
【变式2-2】（2021 章丘区模拟）已知二次函数y＝2ax2+4ax+6a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x≤1时，y的最小值为15，则a的值为（ ）
A．1或﹣2 B．或 C．﹣2 D．1
【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a＜0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最小值为15，可得x＝1时，y＝15，即可求出a．
【解答过程】解：∵二次函数y＝2ax2+4ax+6a2+3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x1，
∵当x≥2时，y随x的增大而减小，
∴a＜0，
∵﹣2≤x≤1时，y的最小值为15，
∴x＝1时，y＝2a+4a+6a2+3＝15，
∴6a2+6a﹣12＝0，
∴a2+a﹣2＝0，
∴a＝1（不合题意舍去）或a＝﹣2．
故选：C．
【变式2-3】（2021 滨江区三模）已知二次函数y（m﹣1）x2+（n﹣6）x+1（m≥0，n≥0），当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，则mn的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m，n的取值范围，将mn转化为含一个未知数的整式求最值．
【解答过程】解：抛物线y（m﹣1）x2+（n﹣6）x+1的对称轴为直线x，
①当m＞1时，抛物线开口向上，
∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴2，即2m+n≤8．
解得n≤8﹣2m，
∴mn≤m（8﹣2m），
m（8﹣2m）＝﹣2（m﹣2）2+8，
∴mn≤8．
②当0≤m＜1时，抛物线开口向下，
∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴1，即m+n≤7，
解得m≤7﹣n，
∴mn≤n（7﹣n），
n（7﹣n）＝﹣（n）2,
∴mn，
∵0≤m＜1，
∴此情况不存在．
综上所述，mn最大值为8．
故选：C．
【题型3 二次函数中的定轴动区间求最值】
【例3】（2020秋 马鞍山期末）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为 ．
【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答过程】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，
解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，
∴a﹣1＝2或a＝0，
∴a＝3或a＝0，
故答案为：0或3．
【变式3-1】（2021 济南模拟）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m＜2 B．0≤m≤5 C．m＞5 D．2≤m≤5
【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．
【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），
∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，
∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，
∴2≤m≤5，
故选：D．
【变式3-2】（2021 宁波模拟）若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（ ）
A．﹣6≤t≤2 B．t≤﹣2 C．﹣6≤t≤﹣2 D．﹣2≤t≤2
【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范围．
【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），
∴﹣1＝a×22﹣2+2，
解得a，
∴yx2﹣x+2（x+2）2+3，
∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，该函数取得最大值3，
∵当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，
∴﹣6≤t≤﹣2，
故选：C．
【变式3-3】（2021 莱芜区二模）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（ ）
A．2 B． C．2 D．0
【解题思路】根据a的取值范围分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．
【解答过程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，
∴a，b异号，
∴a＜0，b＞0，
由二次函数的对称性，b关于对称轴的对称点为﹣b﹣2，
若﹣1≤a＜0，
则（a+1）2﹣4＝2a，
解得（舍），
若﹣b﹣2≤a＜﹣1，
则﹣4＝2a，a＝﹣2，
且（b+1）2﹣3＝2b，
解得b，
∴，
若a＜﹣b﹣2，
则2a＝﹣4，a＝﹣2，
2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，
∴（舍），
故选：C．
【题型4 二次函数中求线段最值】
【例4】（2020春 海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为 ．
【解题思路】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．
【解答过程】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），
当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣4，0），C（0，4）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+4，
设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），
∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）
＝﹣t2﹣4t
＝﹣（t+2）2+4，
∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．
故答案为4．
【变式4-1】（2020秋 镇平县期末）如图，直线yx+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线yx+3经过B，C两点，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，则EM的最大值为 ．
【解题思路】设出E的坐标，表示出M坐标，进而表示出EM，化成顶点式即可求得EM的最大值．
【解答过程】解：∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，
∴点E的坐标是（m，m2m+3），点M的坐标是（m，m+3），
∴EMm2m+3﹣（m+3）m2m（m2﹣4m）（m﹣2）2，
∴当m＝2时，EM有最大值为，
故答案为．
【变式4-2】（2021 埇桥区模拟）对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝x2+bx+c，与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标．
（2）点C是抛物线与y轴的交点，点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
【解题思路】（1）利用二次函数对称性即可得出B点坐标；
（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC的解析式，再利用QD＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）进而求出最值．
【解答过程】解：（1）∵点A（﹣3，0）与点B关于直线x＝﹣1对称，
∴点B的坐标为（1，0）．
（2）∵a＝1，∴y＝x2+bx+c．
∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1，
∴
∴解得：，
∴y＝x2+2x﹣3，
且点C的坐标为（0，﹣3）．
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
则，
解得：，
∴y＝﹣x﹣3
如图，设点Q的坐标为（x．y），﹣3≤x≤0．
则有QD＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x）2
∵﹣30，∴当x时，QD有最大值．
∴线段QD长度的最大值为．
【变式4-3】（2020秋 滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；
（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
【解题思路】（Ⅰ）用待定系数法即可求解；
（Ⅱ）△AMC的面积＝S△MHC+S△MHAMH×OA，即可求解；
（Ⅲ）点D在直线AC上，设点D（m，m），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解．
【解答过程】解：（Ⅰ）令x＝0，则y，即C（0，）
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），
将点C的坐标代入上式得：a（0﹣5）（0+1），
解得a，
故抛物线的表达式为y（x﹣5）（x+1）x2+2x；
（Ⅱ）由抛物线的表达式得顶点M（2，），
过点M作MH∥y轴交AC于点H，
设直线AC的表达式为y＝kx+t，则，
解得，
故直线AC的表达式为yx，
当x＝2时，y，则MH3，
则△AMC的面积＝S△MHC+S△MHAMH×OA3×5；
（Ⅲ）点D在直线AC上，设点D（m，m），
由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，
则EF2＝OD2＝m2+（m）2m2m，
∵0，故EF2存在最小值（即EF最小），此时m＝1，
故点D（1，2），
∵点P、D的纵坐标相同，
故2x2+2x，解得x＝2±，
故点P的坐标为（2，2）或（2，2）．
【题型5 二次函数中求线段和最值】
【例5】（2020秋 安居区期末）如图，在抛物线y＝﹣x2上有A，B两点，其横坐标分别为1，2，在y轴上有一动点C，当BC+AC最小时，则点C的坐标是（ ）
A．（0，0） B．（0，﹣1） C．（0，2） D．（0，﹣2）
【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于点C，此时BC+AC最小，由点B的坐标可得出点B′的坐标，由点A，B′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点C的坐标．
【解答过程】解：当x＝1时，y＝﹣12＝﹣1，
∴点A的坐标为（1，﹣1）；
当x＝2时，y＝﹣22＝﹣4，
∴点B的坐标为（2，﹣4）．
作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于点C，此时BC+AC最小，如图所示．
∵点B的坐标为（2，﹣4），
∴点B′的坐标为（﹣2，﹣4）．
设直线AB′的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（1，﹣1），B（﹣2，﹣4）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直线AB′的解析式为y＝x﹣2．
当x＝0时，y＝0﹣2＝﹣2，
∴点C的坐标为（0，﹣2），
∴当BC+AC最小时，点C的坐标是（0，﹣2）．
故选：D．
【变式5-1】（2021 铁岭模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（，0）
C．（0，2）或（，0） D．以上都不正确
【解题思路】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使△PMN的周长最小，MN的长度一定，所以只需（PM+PN）取最小值即可．
然后，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P（如图2）．
【解答过程】解：如图，∵抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，点N（﹣1，1）是抛物线上的一点，
∴，
解得．
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣4＝﹣（x+3）2+5，
∴M（﹣3，5）．
∵△PMN的周长＝MN+PM+PN，且MN是定值，所以只需（PM+PN）最小．
如图1，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P．则M′（3，5）．
设直线M′N的解析式为：y＝ax+t（a≠0），则，
解得，
故该直线的解析式为y＝x+2．
当x＝0时，y＝2，即P（0，2）．
同理，如图2，过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P（，0）．
如果点P在y轴上，则三角形PMN的周长；如果点P在x轴上，则三角形PMN的周长；
所以点P在（0，2）时，三角形PMN的周长最小．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（0，2）．
故选：A．
【变式5-2】（2021 包头）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 ．
【解题思路】解方程x2﹣2x﹣3＝0得A（﹣1，0），B（3，0），则抛物线的对称轴为直线x＝1，再确定C（0，﹣3），D（4，5），连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE+DE的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD的解析式为y＝x+1，则F（0，1），然后根据三角形面积公式计算．
【解答过程】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），
抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），
当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣3＝5，则D（4，5），
连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，
∵BE+DE＝EA+DE＝AD，
∴此时BE+DE的值最小，
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，0），D（4，5）代入得，解得，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
当x＝1时，y＝x+1＝2，则E（1，2），
当x＝0时，y＝x+1＝1，则F（0，1），
∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF4×14×1＝4．
故答案为4．
【变式5-3】（2021 涪城区模拟）如图，抛物线yx2x+5与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，在其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是 ．
【解题思路】点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，即可求解．
【解答过程】解：点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，
理由：连接AC，由点的对称性知，MA＝MB，
△MAC的周长＝AC+MA+MC＝AC+MB+MC＝CA+BC为最小，
令yx2x+5＝0，解得x＝1或3，令x＝0，则y＝5，
故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），
则函数的对称轴为x（1+3）＝2，
设直线BC的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线BC的表达式为yx+5，
当x＝2时，yx+5，
故点M的坐标为（2，）．
【题型6 二次函数中求面积最值】
【例6】（2020秋 盐城期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m），点P是线段AC上一个动点，过点P做x轴的垂线交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当P在何处时，△ACE面积最大．
【解题思路】（1）利用交点式写出抛物线解析式；
（2）先利用二次函数解析式确定C（2，﹣3），再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，设E（t，t2﹣2t﹣3）（﹣1≤t≤2），则P（t，﹣t﹣1），利用三角形面积公式得到△ACE的面积（2+1）×PE（﹣t2+t+2），然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答过程】解：（1）抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）把C（2，m）代入y＝x2﹣2x﹣3得m＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C（2，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1；
设E（t，t2﹣2t﹣3）（﹣1≤t≤2），则P（t，﹣t﹣1），
∴PE＝﹣t﹣1﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+t+2，
∴△ACE的面积（2+1）×PE
（﹣t2+t+2）
（t）2，
当t时，△ACE的面积有最大值，最大值为，此时P点坐标为（，）．
【变式6-1】（2021春 金塔县月考）如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大，若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）根据题意设出抛物线的交点式，用待定系数法求解即可；
（2）根据题意作出相关辅助线，用待定系数法求得直线AC解析式为yx﹣2，因为点D在抛物线上，所以可设其坐标为（x，x2x﹣2），点E在直线AC上则设点E坐标为（x，x﹣2），由图形可知S△DCA＝S△DCE+S△DAE，将相关坐标及线段的长度代入求解，再根据二次函数的性质即可得出△DCA面积的最大值．
【解答过程】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），
将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a，
∴y（x﹣4）（x﹣1）x2x﹣2，
故该抛物线的解析式为：yx2x﹣2，
（2）如图，
设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，
设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：
，解得，
∴直线AC：yx﹣2，
设点D坐标为（x，x2x﹣2），则点E坐标为（x，x﹣2），
S△DCA＝S△DCE+S△DAEDE×xEDE×（xA﹣xE）DE×xADE×4＝2DE，
∵DE＝（x2x﹣2）﹣（x﹣2）x2+2x，
∴S△DCA＝2DE＝2×（x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，yx2x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），
此时△DCA的面积最大，最大值为4．
【变式6-2】（2021春 无为市月考）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标m的函数解析式，并求S的最大值．
【解题思路】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；
（2）过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，求得C的坐标和D的坐标，然后根据S＝S△ABC+S△ABP得到S关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．
【解答过程】解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），
∴0＝﹣3+n，
∴n＝3，
∴直线解析式为：y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴点B（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
∵点D在直线AB上，
∴点D的坐标为（m，﹣m+3），
∴PD＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
在y＝﹣x2+2x+3中．令y＝0．则﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴点C的坐标为（﹣1，0），
∴S＝S△ABC+S△ABP4×3（﹣m2+3m）×3（m）2，
∴当m时，S最大，最大值为．
【变式6-3】（2021春 无棣县月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP'C．是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
【解题思路】（1）先根据点C坐标求出c＝﹣3，再将点B坐标代入二次函数解析式中求出b，即可得出结论；
（2）连接PP'交y轴于E，根据菱形的性质判断出点E是OC的中点，进而求出点P的纵坐标，最后代入二次函数解析式中求解，即可得出结论；
（3）设出点P的坐标，进而利用梯形的面积+三角形的面积得出S四边形ABPC（m）2，即可得出结论．
【解答过程】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，
∵点B（3，0）在二次函数图象上，
∴9+3b﹣3＝0，
∴b＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由：如图1，
连接PP'交y轴于E，
∵四边形POP'C为菱形，
∴PP'⊥OC，OE＝CEOC，
∵点C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴OE，
∴E（0，），
∴点P的纵坐标为，
由（1）知，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴x2﹣2x﹣3，
∴x或x，
∵点P在直线BC下方的抛物线上，
∴0＜x＜3，
∴点P（，）；
（3）如图2，过点P作PF⊥x轴于F，则PF∥OC，
由（1）知，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∴设P（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜3），
∴F（m，0），
∴S四边形ABPC＝S△AOC+S梯形OCPF+S△PFBOA OC（OC+PF） OFPF BF
1×3（3﹣m2+2m+3） m（﹣m2+2m+3） （3﹣m）
（m）2，
∴当m时，四边形ABPC的面积最大，最大值为，此时，P（，），
即点P运动到点（，）时，四边形ABPC的面积最大，其最大值为．
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专题22.8 二次函数与最值的六种考法-重难点题型
【人教版】
【知识点1 定轴定区间】
对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：
（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值．
（2）若，如图②，当，；当，．
（3）若，如图③，当，；当，．
（4）若，，如图④，当，；当，．
【知识点2 动轴或动区间】
对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小．
【题型1 二次函数中的定轴定区间求最值】
【例1】（2021春 瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值﹣4
C．有最大值4，有最小值﹣4 D．有最大值5，有最小值﹣4
【变式1-1】（2020秋 龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝ ．
【变式1-2】（2021 哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为 ．
【变式1-3】（2020秋 番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝ ．
【题型2 二次函数中的动轴定区间求最值】
【例2】（2021 雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（ ）
A．3 B．﹣3或 C．3或 D．﹣3或
【变式2-1】（2021 瓯海区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式2-2】（2021 章丘区模拟）已知二次函数y＝2ax2+4ax+6a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x≤1时，y的最小值为15，则a的值为（ ）
A．1或﹣2 B．或 C．﹣2 D．1
【变式2-3】（2021 滨江区三模）已知二次函数y（m﹣1）x2+（n﹣6）x+1（m≥0，n≥0），当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，则mn的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
【题型3 二次函数中的定轴动区间求最值】
【例3】（2020秋 马鞍山期末）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为 ．
【变式3-1】（2021 济南模拟）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m＜2 B．0≤m≤5 C．m＞5 D．2≤m≤5
【变式3-2】（2021 宁波模拟）若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（ ）
A．﹣6≤t≤2 B．t≤﹣2 C．﹣6≤t≤﹣2 D．﹣2≤t≤2
【变式3-3】（2021 莱芜区二模）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（ ）
A．2 B． C．2 D．0
【题型4 二次函数中求线段最值】
【例4】（2020春 海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为 ．
【变式4-1】（2020秋 镇平县期末）如图，直线yx+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线yx+3经过B，C两点，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，则EM的最大值为 ．
【变式4-2】（2021 埇桥区模拟）对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝x2+bx+c，与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标．
（2）点C是抛物线与y轴的交点，点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
【变式4-3】（2020秋 滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；
（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
【题型5 二次函数中求线段和最值】
【例5】（2020秋 安居区期末）如图，在抛物线y＝﹣x2上有A，B两点，其横坐标分别为1，2，在y轴上有一动点C，当BC+AC最小时，则点C的坐标是（ ）
A．（0，0） B．（0，﹣1） C．（0，2） D．（0，﹣2）
【变式5-1】（2021 铁岭模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（，0）
C．（0，2）或（，0） D．以上都不正确
【变式5-2】（2021 包头）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 ．
【变式5-3】（2021 涪城区模拟）如图，抛物线yx2x+5与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，在其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是 ．
【题型6 二次函数中求面积最值】
【例6】（2020秋 盐城期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m），点P是线段AC上一个动点，过点P做x轴的垂线交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当P在何处时，△ACE面积最大．
【变式6-1】（2021春 金塔县月考）如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大，若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【变式6-2】（2021春 无为市月考）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标m的函数解析式，并求S的最大值．
【变式6-3】（2021春 无棣县月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP'C．是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
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