苏科版九年级数学上册 1.3 一元二次方程的根与系数的关系（课件）(共16张PPT)

(共16张PPT)
1.3 一元二次方程的根与系数的关系
知识回顾
1.一元二次方程的求根公式是什么？
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是
2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
（1）把它化为一般形式，确定a、b、c的值。
（2）再求出b2-4ac的值。
（3）当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解；
当b2-4ac＜0时，方程无实数解(根) 。
观察上面解一元二次方程的过程，想一想：一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？
知识回顾
3.用公式法解下列方程：
⑴ x2＋x－1 = 0
⑵ x2－2
⑶ 2x2－2x＋1 = 0
x＋3 = 0
可以根据b2-4ac值的符号来判断一元二次方程根的情况。
能否根据这个关系，我们不解方程就能得出方程的解的情况呢？
思考
概括总结
一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况如下：
当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根
当b2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根
当b2－4ac ＜ 0时，方程没有实数根
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0
（a≠0）的根的判别式。
若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到
判别式的值的符号呢？
当方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0
当b2－4ac ≥ 0时，方程
有两个实数根
当有方程两个相等的实数根时， b2－4ac = 0
当方程没有实数根时， b2－4ac ＜ 0
当方程有两个实数根时， b2－4ac ≥ 0
按要求完成下列表格：
b2-4ac 的值
小试牛刀
根的 情况
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
方程
判别式
与根
0
-15
17
= 0
< 0
> 0
典型例题
例1、不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）-x2+ x-6=0
（2）x2+4x=2
（3）4x2+1=-3x
解（1）∵a=-1，b= ，c=-6
（2） 移项：x2+4x-2=0
方程要先化为一般形式，再求判别式。
b2-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0
∴该方程有两个相等的实数根
∵b2-4ac=16-4×1×（-2）
=16+8=24＞0
∴该方程有两个不相等的实数根
典型例题
例1不解方程，判断下列方程根的情况：
（3）4x2+1=-3x
解（3）移项：4x2+3x+1=0
∵b2-4ac=9-4×4×1=9-16=-7＜0
∴该方程没有实数根
典型例题
例2：m为何值时，关于x的一元二次方程
2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
解：∵a=2，b=-(4m+1)，c=2m2-1
∴b2-4ac=[-(4m+1)]2-4×2(2m2-1)=8m+9
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0 ∴m＞
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0 ∴m=
（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0 ∴m＜
∴当m＞ 时，方程有两个不相等的实数根；当m= 时，
方程有两个相等的实数根；当m＜ 时，方程没有实数根
拓展延伸
例3 ：m为任意实数，试说明关于x的一元二次方程x2-2mx+4（m-1）=0 恒有两个的实数根。
解：
∴不论m取任何实数，上述方程恒有两个实数根。
∵b2-4ac=(-2m)2-4×1×4（m-1）
=4m2-16（m-1）
=4m2-16m+16
=(2m-4)2≥0
变式
已知：m为任意实数，试说明关于x的方程
x2-（m-1）x-3（m+3）=0 恒有两个不相等的
实数根。
解：
∵（m+5）2≥0
∴b2-4ac=（m+5）2+12＞0
∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根 。
强化纠错
例4：已知关于x的方程 kx2－(2k＋1)x＋k＋3 = 0
有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
解：∵方程有两个不相等的实数根
即k＜
（2k+1）2-4k（k+3）＞0
4k2+4k+1-4k2-12k＞0
-8k+1＞0
k≠0
综上所述，k＜ 且k≠0
｛
∴
课堂小结
本节课你有什么收获？谈谈你的感受。
根据b2- 4ac的值的符号，可以确定一元二次方程根的情况。反过来，也可由一元二次方程根的情况来确定b2- 4ac的值的符号。即有：
b2- 4ac ＞０
方程有两个不相等的实数根
b2- 4ac ＝０
方程没有实数根
方程有两个相等的实数根
b2- 4ac＜０
若方程有两个实数根，则b2-4ac≥0
归纳总结
一元二次方程的根的情况与系数的关系？
结束寄语
学无止境！
没有最好,只有更好！
谢 谢