2020－2021学年度第一学期期中高中二年级质量测试
数学科试题
本试题共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟
说明：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填
写在答题卡上，并在“考场号”、“座位号”栏内填涂考场号、座位号。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内
的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅
笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己保存。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．设集合 M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x| x 1}，则 M∩N等于（ * ）。
A．(-1,1] B．[-1,1) C．[0,1) D．(0,1]
1
2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝ ，则公比 q 等于（ * ）。
4
1 1
A．－ B．－2 C．2 D.
2 2
3．设 a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（ * ）。
1 1 1 1
A. B. C．|a|>－b D. －a> －b
a b a b a
5
4．在等腰△ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 A ,b 2，则△ABC面
6
积为（ * ）。
A.1 B. 2 C. 3 D.4
an－1
5．若数列{an}满足 a1＝2，a2＝3，an＝ (n≥3且 n
*
∈N )，则 a2 018等于（ * ）。
an－2
1 2
A． B．2 C. 3 D.
2 3
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6．设△ABC 2的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C＋ccos B＝asin A，且 sin B
2
＝sin C，则△ABC的形状为（ * ）。
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2 1 1 2
7. 已知不等式 ax －bx－1≥0的解集是 － ，－ ，则不等式 x－bx－a<0的解集是（ * ）。
2 3
1 1 1 1
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞) C. ( , ) D. ( , ) ( , )
3 2 3 2
n2 (当n为奇数时)，
8．已知函数 f(n)＝ 2 且 an＝f(n)＋f(n＋1)，则 a1＋a2＋a3＋…＋
－n (当n为偶数时)，
a100等于（ * ）。
A．0 B．100 C．－100 D．10 200
二、多项选择题:本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5分，漏选的得 3分，错选或不选的得 0分。
9．下列命题说法正确的是（ * ）。
A.在△ABC中，若 sin A＞sin B，则 A＞B。
a a＋b－c
B.在△ABC中， ＝ .。
sin A sin A＋sin B－sin C
C.在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积。
D.在△ABC中，已知 b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形有一解。
10．下列结论不正确的是（ * ）。
A.若一个数列从第二项起每 一项与它的前一项的差都是同一个常数，则这个数列是等差数列。 B.等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0的二次函数。
C.等比数列{an}的前 n项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列。
*
D. 如果数列{an}的前 n项和为 Sn，则对 n∈N ，都有 an＋1＝Sn＋1－Sn。
11．若a 0，b 0，a b 2，则（ * ）。
1 1
A. ab 1 B. a b 2 C. a2 b2 2 D. 2
a b
*
12．设 an (n N )是等差数列，d 是其公差， Sn 是其前n 项和.若 S5 S6 ,S6 S7 S8,
则（ * ）。
A. d 0 B. a7 0 C. S9 S5 D. S6与S7均为Sn的最大值
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第Ⅱ卷
三、填空题:本题共 4小题每小题 5分，其中第 16题共两空答对一空得 3分，答对两空得 5分。
x－1
13．不等式 1的解集为 * 。
2x＋1
n 1
14．等比数列{an}（q≠1）的前 n项和为 Sn 2A B 2 ，则 A+B= * 。
15．△ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， asin B－ 3bcos A＝0，bc 4 3，
内切圆半径为 1，则△ABC的周长为 * 。
16．已知 a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n
*
∈N )，{bn}是等差数列，且 an＝bn＋bn＋1则数列{bn}的通项
n 1
a
公式 bn= * ，令cn
n ，则数列{cn}的前 n 项和为 * 。
1
(bn )
n
4
四、解答题：本题共 6 小题，满分 70分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分 10分)
在△ABC 2 2 2中，内角 A，B ，C 所对的边分别为a ，b ， c ，若b c a 3bc,。
（1）求sin A ;
（2）若△ABC外接圆的面积为16 ，求边长a 。
18．(本小题满分 12分)
设 S nn 为数列 an 的前 项和，已知a2 3，an 1 2an 1.
（1）证明 an 1 为等比数 列；
（2）判断n，an ， Sn 是否成等差数列？并说明理由。
19．(本小题满分 12分)
1
（1）已知 x＜2，求 4 x 的最大值；
x 2
（2）已知 x，y均为正实数，若 x 4y xy 5，求 xy的最大值。
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20．(本小题满分 12分)
如图，A，B 是海面上位于东西方向相距5 3 3 海里的两个观测点，现位于 A 点北偏
东 45°，B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B
点相距20 3海里的 C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为 30海里/小时，该救援
船到达 D点需要多长时间？
21．(本小题满分 12分)
1 *
已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足 an＝ Sn＋1（n∈N ）；
2
（1）求数列{an}的通项公式；
1 k k 13
（2）若bn log2 an ， cn＝ ，且{cn}的前 n项和为 Tn，求使得 Tn 对
bnbn 2 24 24
*
n∈N都成立的所有正整数 k的值。
22．(本小题满分 12分)
求不等式ax2 (a 1)x 1 0的解集。
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数学科试题参考答案
一、填空题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B A C D A B
二、多选题
9 10 11 12
ABC BC ACD ABD
三、填空题
（13）． （14）0.（15）6 .（16）
四、解答题:
17（本小题满分10分）
解：（1）由余弦定理得……………………………………… 1分
又
∴ …………………………………………… 3分
∴，又A为三角形ABC的内角…………………………………………… 4分
∴ …………………………………………… 5分
（2）∵外接圆的面积为，设该圆半径为R
∴R=4 …………………………………………… 6分
∴由正弦定理得：，…………………………………………… 9分
由(1)得 …………………………………………… 10分
18. （本小题满分12分）
解（1）证明：∵，，∴，…………………………………… 1分
由题意得，，…………………………………… 4分
∴是首项为2，公比为2的等比数列. …………………………………… 5分
（2）由（1），…………………………………………… 6分
∴. ……………………………………… 7分
∴，…………………………………………… 9分
∴，……………………………… 11分
∴，即，，成等差数列.………………………………… 12分
19. （本小题满分12分）
解：(1)已知x＜2，∴x-2＜0. …………………………………………… 1分
∴4 …………………………………………… 2分
，…………………………………………… 3分
当且仅当，即x＝时等号成立．………………… 4分
…………………………………………… 5分
∴4 …………………………………… 6分
∴x＜2，求4的最大值为4 …………………………………………… 7分
（2）解： ∵，
∴ …………………………………………… 8分
当且仅当x＝4y，
即时，等号成立。…………………………………………… 9分
∴ …………………………………………… 11分
∴
∴xy的最大值为1 …………………………………………… 12分
20解：由题意知海里，
…………………………………… 1分
…………………………………………… 2分
在中，由正弦定理得 …………………………3分
=（海里），…………………………………………… 7分
又海里，………8分
在中，由余弦定理得
=
…………………………………………… 10分
30（海里），则需要的时间（小时）．………………… 11分
答：救援船到达D点需要1小时．…………………………………………… 12分
21．（本小题满分12分）
解、(Ⅰ) an＝Sn＋1 ①
an-1＝Sn-1＋1（n≥2） ②…………………………………………… 1分
①-②得：an＝2an-1（n≥2），又易得a1＝2 ∴an＝2n …………………… 4分
(Ⅱ) bn＝n, …………………………… 6分
裂项相消可得 ……… 8分
∵ …………………………………………… 10分
∴欲对n∈N*都成立，须，
又k正整数，∴k=5、6、7 …………………………………………… 12分
22解： 若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1. ……………………… 2分
若a<0，原不等式等价于(x－)(x－1)>0，
解得x<或x>1. …………………………………………… 4分
若a>0，原不等式等价于(x－)(x－1)<0. …………………………………………… 5分
①当a＝1时，＝1，(x－)(x－1)<0无解；………………………………………… 7分
②当a>1时，<1，解(x－)(x－1)<0，得
③当01，解(x－)(x－1)<0，得1综上所述，当a<0时，解集为{x|x<或x>1}；
当a＝0时，解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，解集为 ；
当a>1时，解集为{x|