辽宁省抚顺市抚顺县高级中学2021-2022学年高二10月月考数学试题（Word版，含答案）

抚顺县高级中学2021-2022学年度上学期十月月考
高二数学试卷
考试时间：120分钟； 满分150分；
第I卷（选择题）
一、单选题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)
1．若直线、的方向向量分别为，，则与的位置关系是（ ）
A． B． C．、相交不垂直 D．不能确定
2．过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．已知空间向量，，两两夹角均为60°，其模均为1，则（ ）
A．5 B．6 C． D．
4．过点P(，m)，Q(m，4)的直线的倾斜角为60°，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
5．给出以下命题，其中正确的是（ ）
A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
B．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
C．平面α、β的法向量分别为，，则α∥β
D．平面α经过三个点A(1，0，-1)，B(0，-1，0)，C(-1，2，0)，向量是平面α的法向量，则u+t=1
6．已知过点的直线与轴、轴分别交于两点.若为线段的中点，则这条直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
8．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题(本大题共4小题，共20分．多选或选错不得分，少选得2分．)
9．已知直线，则直线（ ）．
A．过点 B．斜率为 C．倾斜角为60° D．在轴上的截距为1
10．设有一组圆，下列命题正确的是（ ）．
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为
11．下列说法中正确的是（ ）
A．平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果向量、与平面共面，且向量满足，，那么就是平面的一个法向量
12．在四棱锥中，底面是正方形，平面，点是棱的中点，，则（ ）
A．
B．直线与平面所成角的正弦值是
C．异面直线与所成的角是
D．四棱锥的体积与其外接球的体积的比值是
第II卷（非选择题）
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝，则m的值为________.
14．已知点到直线的距离为1，则等于______．
15．直线经过的定点为_______
16．若直线与直线互相平行，则实数______,若这两条直线互相垂直，则______.
四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分) 已知△的三个顶点坐标分别是，，．
（1）写出边所在直线方程，并化为一般式；
（2）求△的面积．
18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A﹣BCD中，顶点A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E为CD的中点．
(18题图) （21题图） （22题图）
（1）求证：AD⊥平面ABC； （2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值；
19．．(本小题满分12分)在平行四边形中，，，，点是线段的中点，线段与交于点．
（1）求直线的方程； （2）求点的坐标．
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状.
21．(本小题满分12分)如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，为中点.
（Ⅰ）设平面与直线交于点，求线段的长；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
22．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点满足.
（1）若，求二面角的大小；
（2）若直线与平面所成角的正弦值，求的值.
数学参考答案
1．A 2．D 3．C 4．C 5．A 6．C 7．B 8．D
9．BC 10．ABD11．ABC 12.AB
13. 或13
14．
15．．
16．
．17．（1）；（2）5.
(1) 所在直线的斜率，
∴BC边所在直线方程为，即. -----------------5分
（2）法一： ，
边的高为到直线，则，
∴△的面积.-------------------------10分
法二：∵，可知，
∴，即△是直角三角形，
又，，
∴△的面积.
18．（1）证明见解析；（2）；（1）因为顶点A在底面BCD上的投影O在棱BD上，
所以AO⊥平面BCD，
因为AO 平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BCD，--------------------------2分
因为∠CBD＝90°，
所以BC⊥BD，
因为平面ABD∩平面BCD＝BD，BC 平面BCD，
所以BC⊥平面ABD，
又AD 平面ABD，
所以BC⊥AD，------------------------------------------4分
由AB＝AD＝，BD＝2，得，
所以AD⊥AB，
因为AB∩BC＝B，AB 平面ABC，BC 平面ABC，
所以AD⊥平面ABC．------------------------------------------------------6分
（2）连接OE，因为O为BD的中点，E为CD的中点，OE∥BC，所以OE⊥BD，
如图，以O为坐标原点，分别以OE，OD，OA为x轴，y轴，z轴为正方向，建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），A（0，0，1），B（0，﹣1，0），C（2，﹣1，0），D（0，1，0），E
（1，0，0），
，，，
设平面ABE的一个法向量＝（x，y，z），
取x＝1，得＝（1，﹣1，1），
设平面ACE的一个法向量＝（a，b，c），---------------------8分
取c＝1，则，
设二面角B﹣AE﹣C的平面角为θ，由图知二面角为锐角，---------------10分
则cosθ＝＝．
所以二面角B﹣AE﹣C的余弦值为． ------------ 12分
19．（1）；（2）（6，4）．
（1）设点的坐标为．在平行四边形中，因为，所以，则．
又因为，所以，则．
联立两等式，解得所以．
因为为线段的中点，
所以点的坐标为（4，2）．
因为，，
所以直线的方程为，即．
（2）因为，，所以直线的方程为．
联立方程组解得
所以点的坐标为（6，4）．
20．矩形
由斜率公式，得，
，
，
，
，
.---------------------------------------6分
∴，，
∴，，
∴四边形为平行四边形.
又，∴.
又，∴与不垂直，
∴四边形为矩形.-------------------------------12分
21．（1）证明见解析；（2）.
（1）如图，取|的中点D，连接，.
∵D，E分别是，的中点∴且，
又，∴且.
∴四边形是平行四边形，∴.
∵平面，平面，
∴平面-----------6分
（2）解：依题意，知，，两两垂直，以点A为坐标原点，，所在直线为轴、轴，建立如图所示直角坐标系，则，，，，，
设平面的法向量为，则，取，平面的法向量为.-------------9分
设二面角的平面角的大小为，由图示可得角是锐角，则.
∴二面角的余弦值为.--------------12分
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
（Ⅰ）由棱柱特点知：平面平面，
平面，平面，
平面平面，平面，，
又为中点，为中点，；----------------------6分
（Ⅱ）以为坐标原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
，令，解得：，，，-------9分
，
即直线与平面所成角的正弦值为.------------------12分
22题（1）45度----------------6分
（2）0.5-------------------12分