绝密★启用前
3.2 函数的基本性质能力提升卷-2021-2022学年高一数学（人教A版2019必修第一册）
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。)
1．(本题5分)（2019·北京五十五中高一期中）函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
2．(本题5分)（2021·福建省福州延安中学高一期中）已知定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，2）内为减函数，且f（x+2）为偶函数，则 f（﹣1），f（4），f（）的大小为（ ）
A．f（4）＜f（﹣1）＜f（）
B．f（﹣1）＜f（4）＜f（）
C．f（）＜f（4）＜f（﹣1）
D．f（﹣1）＜f（）＜f（4）
3．(本题5分)（2021·全国高一课时练习）若函数在区间上的最小值为4，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
4．(本题5分)（2021·四川成都外国语学校高一月考）定义在R上的偶函数满足对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
5．(本题5分)（2021·宁夏中卫一中高一月考）已知函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则（ ）
A． B． C． D．
6．(本题5分)（2021·全国）奇函数在定义域上是减函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．(本题5分)（2021·河南郑州·高一月考）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．(本题5分)（2020·山东泰安·高一期末）已知定义域为的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足.若，当时，总有，则满足的实数的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
二、选择题(本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。)
9．(本题5分)（2021·海南海口一中高一月考）下列说法正确的序号是（ ）
A．已知集合，若，则
B．若函数是偶函数，则实数的值为1
C．已知函数的定义域为，则的定义域为
D．已知单调函数，对任意的都有，则
10．(本题5分)（2020·南京市第十三中学）有下列几个命题，其中正确的命题是（ ）
A．函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数；
B．函数y＝的单调区间是[－2，＋∞)；
C．已知f(x)在R上是增函数，若a＋b＞0，则有f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；
D．已知函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝2x＋3．
11．(本题5分)（2021·全国高一专题练习）已知函数的定义域是，当时，，且，且，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．
D．满足不等式的的取值范围为
12．(本题5分)（2021·浙江）定义：若函数在区间上的值域为 ，则称区间是函数的“完美区间”，另外，定义区间 的“复区间长度”为，已知函数，则（ ）
A．是的一个“完美区间”
B．是 的一个“完美区间”
C．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分。)
13．(本题5分)（2021·全国高一专题练习）已知函数是偶函数，则的值为______．
14．(本题5分)（2021·陕西长安一中高一月考）奇函数满足:①在内单调递增;②.则不等式的解集为__________．
15．(本题5分)（2021·全国高一课时练习）已知函数，，若对任意，总存在，使成立，则实数的取值范围为______．
16．(本题5分)（2021·陕西长安一中高一月考）设函数的最大值为，最小值为，则_______．
17．(本题5分)（2021·河南郑州·高一月考）已知函数满足：对任意都有成立，那么实数的取值范围是_______________________．
18．(本题5分)（2021·全国高一专题练习）已知函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围是________．
四、解答题(本大题共5小题，每题12分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
19．(本题12分)（2021·海南海口一中高一月考）已知函数．
（1）直接写出函数的值域．（不需要写解答过程）
（2）用定义证明在区间上是增函数；
（3）求该函数在区间上的最大值与最小值．
20．(本题12分)（2021·宁夏中卫一中高一月考）定义在上的函数，当时，且对任意的，有，．
（1）求的值；
（2）求证：对任意，都有；
（3）解不等式．
21．(本题12分)（2021·河南郑州·高一月考）已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求实数，的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
22．(本题12分)（2020·宝山·上海交大附中高一月考）已知函数（为常数）
（1）若函数图象上动点P到定点Q（0，2）的距离的最小值为，求实数的值；
（2）设，若不等式在有解，求的取值范围；
（3）定义：区间（）的长度为，若，问是否存在区间，使得的值域为[6，7]，若存在，求出此区间长度的最大值与最小值的差.
23．(本题12分)（2021·全国高一专题练习）已知函数，
（1）当时
①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域；
（2）当时，记函数的最大值为，求的表达式．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页绝密★启用前
3.2 函数的基本性质能力提升卷-2021-2022学年高一数学（人教A版2019必修第一册）
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。)
1．(本题5分)（2019·北京五十五中高一期中）函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由函数为偶函数转化为，，再利用函数在上的单调性比较即可.
【详解】
因为函数是定义域为的偶函数，
则，，
又因为函数在上单调递减，且，
所以，
即；
故选：D.
2．(本题5分)（2021·福建省福州延安中学高一期中）已知定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，2）内为减函数，且f（x+2）为偶函数，则 f（﹣1），f（4），f（）的大小为（ ）
A．f（4）＜f（﹣1）＜f（）
B．f（﹣1）＜f（4）＜f（）
C．f（）＜f（4）＜f（﹣1）
D．f（﹣1）＜f（）＜f（4）
【答案】A
【分析】
为偶函数，可得，所以（4），，利用定义在上的函数在内为减函数，即可得出结论．
【详解】
解：为偶函数，，
（4），，
，定义在上的函数在内为减函数，
（4），
故选：．
3．(本题5分)（2021·全国高一课时练习）若函数在区间上的最小值为4，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出函数的对称轴，按对称轴与区间的关系分类讨论求解即可.
【详解】
函数图象对称轴为，
当，即时，在上单调递减，则，解得或，于是得，
当时，在上单调递增，则，解得或，于是得，
当时，，即无解，
综上得：或
所以实数的取值集合为.
故选：C
4．(本题5分)（2021·四川成都外国语学校高一月考）定义在R上的偶函数满足对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知可得函数在上单调递减，由为偶函数，可得在上单调递增，进而可得，然后利用单调性即可求解不等式．
【详解】
由对任意的，，，可知函数在上单调递减，因为为偶函数，所以在上单调递增，因为，所以，所以当或时，，当时，，不等式可转化为，
所以或，所以或．
故选：C．
5．(本题5分)（2021·宁夏中卫一中高一月考）已知函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意可得两个函数的图象都关于直线对称；所以两个函数的图象的交点也关于直线对称，分是偶数和奇数，结合对称性即可求解.
【详解】
因为，所以，
所以图象关于直线对称；
的图象如图所示：
由图知的图象关于直线对称；
所以函数与图象的交点也关于直线对称，
设关于对称的点的横坐标为，则，
所以当是偶数时，，
当是奇数时，，
所以，
故选：B.
6．(本题5分)（2021·全国）奇函数在定义域上是减函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将已知不等式化为，解不等式组即得解.
【详解】
原不等式可化为，
因为函数是奇函数，所以可得．
又因为函数在定义域（-1，1）上是减函数，所以
解得. 所以的取值范围是.
故选：A．
7．(本题5分)（2021·河南郑州·高一月考）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由是奇函数，可得，由是偶函数，可得，令，，结合，可求出的值，然后结已知条件对化简可求得结果
【详解】
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
从定义入手．，
，
所以．
故选：．
8．(本题5分)（2020·山东泰安·高一期末）已知定义域为的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足.若，当时，总有，则满足的实数的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据，当，时，总有，转化为，当，时，总有，令，则在上递增，再根据，得到在上是偶函数，将，转化为求解.
【详解】
令，
因为，当时，总有，
即，当时，总有，
即，当时，总有，
所以在上递增，
又因为，
所以在上是偶函数，
又因为，
所以，即，
所以即，
解得，
所以实数的取值范围为
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题令是关键，利用在上递增，结合在上是偶函数，将问题转化为求解.
二、选择题(本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。)
9．(本题5分)（2021·海南海口一中高一月考）下列说法正确的序号是（ ）
A．已知集合，若，则
B．若函数是偶函数，则实数的值为1
C．已知函数的定义域为，则的定义域为
D．已知单调函数，对任意的都有，则
【答案】BCD
【分析】
A.，，则或者，根据集合元素的互异性进行排除即可；
B.由题意得到进而求出参数值即可；
C.据题意得到，即可得到结果；
D.设，结合函数的单调性得到，进而得到函数表达式，和 .
【详解】
A.已知集合，,则或者，
当时，不满足集合元素的互异性，故舍去这种情况；
当时，时由以上分析知不成立，
当时集合元素为，符合题意，故最终，故A错误；
B.函数是偶函数，根据偶函数的定义得到
代入函数表达式得到
化简得到故B正确；
C.函数的定义域为，的定义为，
函数的定义域为，最终得到的定义域为，故C正确；
D.设，，且，令，则，
是单调函数，（2），，即，则（2），故D正确；
故选：BCD.
10．(本题5分)（2020·南京市第十三中学）有下列几个命题，其中正确的命题是（ ）
A．函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数；
B．函数y＝的单调区间是[－2，＋∞)；
C．已知f(x)在R上是增函数，若a＋b＞0，则有f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；
D．已知函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝2x＋3．
【答案】CD
【分析】
根据反比例函数的单调性即可判断A；
求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可判断B；
根据函数的单调性即可判断C；
当时，，则，再根据函数的奇偶性即可得解，从而判断D.
【详解】
对于A，函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
令在定义域上递增，
又在和是减函数，
所以函数y＝在(－∞，－1)和(－1，＋∞)每个区间上递减，故A错误；
对于B，由函数y＝，则，解得，
令在上递增，上递减，
又在定义域内是增函数，
所以函数y＝在上递增，上递减，故B错误；
对于C，因为f(x)在R上是增函数，若a＋b＞0，则，故；，故，所以f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，故C正确；
对于D，当时，，
则当时，，则，
因为为奇函数，所以，
所以f(x)＝2x＋3，故D正确．
故选：CD.
11．(本题5分)（2021·全国高一专题练习）已知函数的定义域是，当时，，且，且，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．
D．满足不等式的的取值范围为
【答案】ABD
【分析】
令求出的值可判断A；令可得，利用函数单调性的定义证明单调性可判断B；由以及可判断C；通过计算可得，原不等式等价于，利用单调性求出的取值范围可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：令，得，所以，故选项A正确；
对于B：令，得，所以，
任取，，且，则，
因为，所以，所以，所以在上单调递增，故选项B正确；
对于C：
，
故选项C不正确；
对于D：因为，由可得，所以，所以不等式等价于即，因为在上单调递增，
所以 解得：，所以原不等式的解集为，故选项D正确；
故选：ABD．
12．(本题5分)（2021·浙江）定义：若函数在区间上的值域为 ，则称区间是函数的“完美区间”，另外，定义区间 的“复区间长度”为，已知函数，则（ ）
A．是的一个“完美区间”
B．是 的一个“完美区间”
C．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
【答案】AC
【分析】
根据定义，当时求得的值域，即可判断A；对于B，结合函数值域特点即可判断；对于C、D，讨论与两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项.
【详解】
对于A，当时，，则其值域为，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A正确；
对于B，因为函数，所以其值域为，而，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B错误；
对于C，由定义域为，可知，
当时，，此时，所以在内单调递减，
则满足，化简可得，
即，所以或，
解得（舍）或，
由解得或（舍），
所以，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；
当时，①若，则，此时.当在的值域为，则，因为 ，所以，即满足，解得，（舍）.所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；
②若，则，，此时在内单调递增，若的值域为，则，则为方程的两个不等式实数根，
解得，， 所以，与矛盾，所以此时不存在完美区间.
综上可知，函数的“复区间长度”的和为，所以C正确，D错误；
故选：AC.
【点睛】
本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.
三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分。)
13．(本题5分)（2021·全国高一专题练习）已知函数是偶函数，则的值为______．
【答案】0或1或0
【分析】
直接利用偶函数定义计算得到答案.
【详解】
，
，
因为函数为偶函数，故，
即，
故，解得或，
故答案为：0或1.
14．(本题5分)（2021·陕西长安一中高一月考）奇函数满足:①在内单调递增;②.则不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】
利用奇函数在对称区间上的单调性，求解不等式即可得出结果.
【详解】
因为在内单调递增，且，所以时，；时，；
又因为为奇函数，所以在内单调递增，且，所以时，；时，；
而或，解得或，
所以不等式的解集为，
故答案为：.
15．(本题5分)（2021·全国高一课时练习）已知函数，，若对任意，总存在，使成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】
求出函数在上的值域A，再分情况求出在上的值域，利用它们值域的包含关系即可列式求解.
【详解】
“对任意，总存在，使成立”等价于“函数在上 的值域包含于在上的值域”，
函数，当时，，，即在的值域，
当时，，不符合题意，
当时，在上单调递增，其值域，于是有，即有，解得，则，
当时，在上单调递减，其值域，于是有，即有，解得，则，
综上得：或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
16．(本题5分)（2021·陕西长安一中高一月考）设函数的最大值为，最小值为，则_______．
【答案】
【分析】
构造函数，由奇偶性定义可知为奇函数，知，由此可求得结果.
【详解】
，
令，则，
为上的奇函数，，即，
.
故答案为：.
17．(本题5分)（2021·河南郑州·高一月考）已知函数满足：对任意都有成立，那么实数的取值范围是_______________________．
【答案】
【分析】
根据题意得到函数在上单调递增，然后根据分段函数单调性的判断方法求实数的取值范围即可.
【详解】
由函数单调性定义可得函数在上单调递增，
则根据分段函数单调性的判断方法，得，解得．
故答案为：.
18．(本题5分)（2021·全国高一专题练习）已知函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】
设，求出函数的两个零点，且，将函数化为分段函数，分类讨论，当时，可知函数在区间上不可能单调递增；当时，根据的范围可知恒满足函数在区间上单调递增，根据解析式可知在上单调递增，再由可解得结果.
【详解】
设，其判别式，所以函数一定有两个零点，
设函数的两个零点为，且，
由得，，
所以函数，
①当时，在上单调递减或为常函数，从而在不可能单调递增，故，
②当时，，
，所以，
所以，
因为在上单调递增，所以在上也单调递增，
因为在和上都单调递增，且函数的图象是连续的，所以在上单调递增，
欲使在上单调递增，只需，得，
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：求解关键有2个：①利用的零点将函数化为分段函数；②分类讨论，利用分段函数的单调性求解.
四、解答题(本大题共5小题，每题12分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
19．(本题12分)（2021·海南海口一中高一月考）已知函数．
（1）直接写出函数的值域．（不需要写解答过程）
（2）用定义证明在区间上是增函数；
（3）求该函数在区间上的最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）化简函数，即可求得函数的值域；
（2）根据函数的单调性的定义和判定方法，即可求解；
（2）由（1）知函数在区间上是增函数，进而求得函数的最值.
【详解】
（1）由题意，函数，
因为，所以，所以的值域为.
（2）任取，且，
则，
因为，所以，
所以，即，
故函数在区间上是增函数．
（2）由（1）知函数在区间上是增函数，
所以，．
20．(本题12分)（2021·宁夏中卫一中高一月考）定义在上的函数，当时，且对任意的，有，．
（1）求的值；
（2）求证：对任意，都有；
（3）解不等式．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）令，，结合即可求解；
（2）分别讨论、、时的范围即可求证；
（3）先令可得，再利用单调性的定义证明在上单调递增，利用单调性去掉解不等式即可求解.
【详解】
（1）令，，得，
因为，所以，可得；
（2）当时，，
当时，，
当时，，所以，因为，
所以，
综上所述：对任意，都有；
（3）令，得，
任取，且，则，所以，
所以，
所以在上单调递增，
由可得，
可得：，解得：，
所以原不等式的解集为.
21．(本题12分)（2021·河南郑州·高一月考）已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求实数，的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）在上递增，证明见解析；（3）或．
【分析】
（1）利用奇函数的性质可求得,再由的值，可求得.（2）用定义法证明即可.（3）由题意可得，函数的值域为函数的值域的子集，并由集合的包含关系建立关于参数的不等式，从而得解.
【详解】
（1）依题意函数是定义在上的奇函数，所以，所以
，
所以，经检验，该函数为奇函数．
故，.
（2）在上递增，证明如下：任取，
其中，，所以，
故在上递增．
（3）由于对任意的，总存在，使得成立，
所以的值域为的值域的子集．
而由（2）知：，
当时，在上递增，，所以，即；
当时，在上递减，，所以，即．
综上所述，或．
故若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为：或．
22．(本题12分)（2020·宝山·上海交大附中高一月考）已知函数（为常数）
（1）若函数图象上动点P到定点Q（0，2）的距离的最小值为，求实数的值；
（2）设，若不等式在有解，求的取值范围；
（3）定义：区间（）的长度为，若，问是否存在区间，使得的值域为[6，7]，若存在，求出此区间长度的最大值与最小值的差.
【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）存在，最大值3，最小值1，差为2.
【分析】
（1）根据题意，设点，结合两点之间的距离公式和均值不等式，即可求解；
（2）根据题意，可知在有解，令，则等价于在上恒成立，再结合开口向下的二次函数的图象性质，讨论即可求解；
（3）根据题意，结合的图象性质，可知，进而可求解.
【详解】
（1）设点，
则点P到定点Q（0，2）的距离，
当时，，不合题意；
当时，由，得，
又因，所以，即，
解得.
（2）由不等式在有解，
得在有解，
令，则，
此时在有解，等价于在上恒成立，
令，，
因，所以在端点处取得最小值，
①当，即时，，故；
②当，即时，，故.
综上，当时，；当时，.
（3）由题意得，结合图象可知，在上单调递减，在上单调递增，且，，
因在区间上，的值域为[6，7]，
所以，，区间长度的最大值与最小值的差为，
故存在，且最大值3，最小值1，差为2.
【点睛】
求函数最值和值域的常用方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
23．(本题12分)（2021·全国高一专题练习）已知函数，
（1）当时
①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域；
（2）当时，记函数的最大值为，求的表达式．
【答案】（1）①，；②；（2）.
【分析】
（1）①分别在和两种情况下，结合二次函数的单调性可确定结果；
②根据①中单调性可确定最值点，由最值可确定值域；
（2）分别在、、三种情况下，结合二次函数对称轴位置与端点值的大小关系可确定最大值，由此得到.
【详解】
（1）当时，；
①当时，，在上单调递增；
当时，，
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：的单调递增区间为，.
②由①知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，；
，，，，，，
在上的值域为.
（2）由题意得：
①当，即时，，对称轴为；
当，即时，在上单调递增，；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，；
②当，即时，若，；若，；
当时，，对称轴，
在上单调递增，；
③当，即时，，
当，即时，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
；
当，即时，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，
若，即时，；
若，即时，；
综上所述：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查与二次函数有关的函数的单调性、最值和值域的求解问题，解题关键是能够结合对称轴位置、分段函数的分段处对参数进行讨论，在参数不同范围的情况下确定最值点的位置.
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