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3.1.2 椭圆的离心率常考题精选
2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修第一册）
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。)
1．(本题5分)己知椭圆的左、右焦点分别为，，点M是椭圆上一点，点A是线段上一点，且，，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．(本题5分)已知椭圆的离心率为，直线与圆相切，则实数m的值是（ ）
A． B．
C． D．
3．(本题5分)若椭圆：（）满足，则该椭圆的离心率（ ）．
A． B．
C． D．
4．(本题5分)椭圆的中心O与一个焦点F及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形FBO，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
5．(本题5分)已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．(本题5分)已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，使得过点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．(本题5分)如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．(本题5分)已知F是椭圆的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
二、选择题(本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。)
9．(本题5分)椭圆的离心率为，则的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
10．(本题5分)已知a，b，c分别是椭圆E的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于x的方程有实根，则椭圆E的离心率e可能是（ ）
A． B． C． D．
11．(本题5分)已知椭圆的左 右焦点分别为是圆上且不在x轴上的一点，且的面积为.设C的离心率为e，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．(本题5分)已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分。)
13．(本题5分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程为__
14．(本题5分)已知为轴上一点，，是椭圆的两个焦点，△为正三角形，且的中点恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为______．
15．(本题5分)已知椭圆， 焦点F1（-c，0）， F2（c，0）（c> 0），若过F1的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率是_______.
16．(本题5分)已知，为椭圆：的左、右顶点，点在上，在中，，，则椭圆的离心率为________．
17．(本题5分)若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为________．
18．(本题5分)如图，椭圆：=1(a>b>0)的离心率为e，F是的右焦点，点P是上第一象限内任意一点且，．，若λ>e，则离心率e的取值范围是__________．
四、解答题(本大题共5小题，每题12分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
19．(本题12分)已知椭圆的标准方程为：，若右焦点为且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，是上的两点，直线与曲线相切且，，三点共线，求线段的长．
20．(本题12分)已知圆和椭圆，F是椭圆C的左焦点．
（1）求椭圆C的离心率和点F的坐标；
（2）点P在椭圆C上，过P作x轴的垂线，交圆O于点Q（P，Q不重合），l是过点Q的圆O的切线．圆F的圆心为点F，半径长为．试判断直线l与圆F的位置关系，并证明你的结论．
(本题12分)已知椭圆的左、右焦点分别为，，斜率为的直线过，且与椭圆的交点为，，与轴的交点为，为线段的中点．若，求椭圆的离心率的取值范围．
22．(本题12分)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，，分别为椭圆的左、右、下、上顶点，为其右焦点，直线与交于点，若为钝角，求该椭圆的离心率的取值范围．
23．(本题12分)已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，且|F1F2|＝2，左、右顶点为M，N．
（1）若椭圆E的离心率e＝，设点P（﹣4，n）（n≠0），直线PN交椭圆E于点Q，且直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；
（2）斜率为k的直线l过F2，且与曲线E交于A，B两点，当k变化时，△ABF1的内切圆面积有最大值，求椭圆E的离心率e的取值范围．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页绝密★启用前
3.1.2 椭圆的离心率常考题精选
2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修第一册）
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。)
1．(本题5分)己知椭圆的左、右焦点分别为，，点M是椭圆上一点，点A是线段上一点，且，，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用余弦定理，结合三角形的面积转化求解椭圆的几何量，然后求解离心率即可 .
【详解】
设，则
由余弦定理得
所以
因为，
所以
整理得即
整理得所以
故选：B .
2．(本题5分)已知椭圆的离心率为，直线与圆相切，则实数m的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据椭圆的离心率为，得，从而得到直线方程，再根据直线与圆的位置关系代数解法即可求出．
【详解】
由题意知，，则，∵直线，即，代入得，，由解得．
故选：B．
3．(本题5分)若椭圆：（）满足，则该椭圆的离心率（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由题意构建齐次式即可得到结果.
【详解】
由题意知，又，
∴
∴，即或（舍），
故选:B．
4．(本题5分)椭圆的中心O与一个焦点F及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形FBO，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设椭圆半焦距为c，根据给定条件可得b=c，再确定a与c的关系即可得解.
【详解】
设椭圆半焦距为c，因椭圆的中心O与一个焦点F及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形FBO，则有b=c，
而，于是得，
所以椭圆的离心率是.
故选：D
5．(本题5分)已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
结合椭圆的对称性以及椭圆的定义得到，在中结合余弦定理可得，进而结合离心率的公式可以求出结果.
【详解】
取椭圆的右焦点，连接，由椭圆的对称性以及直线经过原点，所以，且，所以四边形为平行四边形，故，又因为，则，而，因此，由于，则，
在中结合余弦定理可得，
故，即，所以，因此，
故选：A.
6．(本题5分)已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，使得过点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
若长轴端点，由椭圆性质：过的两条切线互相垂直可得，结合求椭圆离心率的范围.
【详解】
在椭圆的长轴端点处向圆引两条切线，，
若椭圆上存在点，使过的两条切线互相垂直，则只需，即，
∴，得，
∴，又，
∴，即．
故选：C
7．(本题5分)如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由切线的性质，可得，，再结合椭圆定义，即得解
【详解】
因为过点的直线圆的切线，，，所以．
由椭圆定义可得，可得椭圆的离心率．
故选：A
8．(本题5分)已知F是椭圆的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【分析】
设在轴上方，在轴下方，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，联立直线的方程与椭圆方程可求的坐标，同理可求的坐标，利用三点共线可得，利用离心率的范围可得，从而可判断为锐角.
【详解】
不失一般性，设在轴上方，在轴下方，
设直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，
则，，，且.
又.
又直线的方程为，
由可得，
故，所以，故，
同理，故，
因为共线，故，
整理得到即，
若，，
因为，，故，所以，
故.
故选：A.
【点睛】
思路点睛：与椭圆有关的角的计算，一般利用其正切来刻画，因为角的正切与直线的斜率相关，注意运算结果的准确性.
二、选择题(本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。)
9．(本题5分)椭圆的离心率为，则的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】
讨论焦点位置，进而利用离心率计算公式计算即得结论．
【详解】
①，，则，则，即，解得，
②，，则，则，即，解得，
故选：BD．
10．(本题5分)已知a，b，c分别是椭圆E的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于x的方程有实根，则椭圆E的离心率e可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】
根据判别式不小于0可求的关系，从而可求离心率的取值范围.
【详解】
由题意有，
由
可得，
故，解得，
而，
∴.
故选：AB
11．(本题5分)已知椭圆的左 右焦点分别为是圆上且不在x轴上的一点，且的面积为.设C的离心率为e，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
由题意画出图形，由椭圆定义及三角形两边之和大于第三边判断；设出的参数坐标，利用向量数量积运算判断；求出三角形的面积范围，结合已知列式求得椭圆离心率的范围判断；由数量积及三角形面积公式求得判断．
【详解】
如图，
连接，，设交椭圆于，则，
，故正确；
设，，，
，，
，故错误；
设，，则，
又△的面积为，，即，
，又，，故正确；
由，，
两式作商可得：，故错误．
故选：AC
12．(本题5分)已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
设出右焦点，根据椭圆定义结合对称性以及余弦定理可求得的关系，则离心率可求；设出的坐标，根据对称性写出的坐标，利用点差法可求得的表示，结合的关系可求解出的值.
【详解】
设椭圆的右焦点，
连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，
则，且由，可得，
所以，则，．
由余弦定理可得，
所以，所以椭圆的离心率．
设，，则，，，
所以，又，，相减可得．
因为，所以，所以．
故选：AC．
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于合理运用焦点三角形的知识以及点差法设而不求的思想去计算；椭圆是一个对称图形，任何过原点的直线（不与焦点所在轴重合）与椭圆相交于两点，这两点与椭圆的焦点构成的四边形为平行四边形.
三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分。)
13．(本题5分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程为__
【分析】
由离心率求得，再求得后可得椭圆方程．
【详解】
设长轴长为，短轴长为，焦距为，则，，，，
所以，又焦点在轴，
所以椭圆方程为．
故答案为：．
14．(本题5分)已知为轴上一点，，是椭圆的两个焦点，△为正三角形，且的中点恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为______．
【答案】
【分析】
连接，由题设易知且，结合椭圆的定义得到，即可求离心率.
【详解】
如图，连接．由△为正三角形，且为线段的中点，
∴．又，，
∴，，由椭圆的定义，得，即，
∴，即椭圆的离心率．
故答案为：
15．(本题5分)已知椭圆， 焦点F1（-c，0）， F2（c，0）（c> 0），若过F1的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率是_______.
【答案】
【分析】
由几何关系可得为，结合相似三角形可得的比例关系，联立焦点三角形公式即可求解
【详解】
由题可知，，，故，因为过F1的直线和圆相切，所以，又PF2⊥x轴，故，即，设则，椭圆离心率
故答案为：
16．(本题5分)已知，为椭圆：的左、右顶点，点在上，在中，，，则椭圆的离心率为________．
【答案】
【分析】
设，进而根据，求出m,n，然后将m,n代入椭圆方程进而得到a,b的关系，然后求出离心率.
【详解】
根据椭圆的对称性不妨设点在x轴上方，设，
由，，
联立解得：，代入到椭圆方程得：，
所以.
故答案为：.
17．(本题5分)若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为________．
【答案】.
【分析】
根据椭圆和圆的对称性可以判断，当椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外时，椭圆和圆有四个交点，进而列出不等式解出答案.
【详解】
由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，
则，整理得，解得.
故答案为：.
四、解答题(本大题共5小题，每题12分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
18．(本题5分)如图，椭圆：=1(a>b>0)的离心率为e，F是的右焦点，点P是上第一象限内任意一点且，．，若λ>e，则离心率e的取值范围是__________．
【答案】
【分析】
由已知得，设直线的斜率为，则联立直线与椭圆的方程求得点P，Q的坐标，根据向量垂直的关系建立关于不等式，可求得离心率的范围．
【详解】
因为点是上第一象限内任意一点，故为锐角且，所以，
设直线的斜率为，则
由可得，故，
所以，
因为，故，所以，
解得，因为对任意的恒成立，
故，整理得到对任意的恒成立，
故，即，即．
故答案为：．
【点睛】
方法点睛：(1)求椭圆的离心率时，将提供的椭圆的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
（2）对于焦点三角形，要注意椭圆定的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．
四、解答题(本大题共5小题，每题12分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
19．(本题12分)已知椭圆的标准方程为：，若右焦点为且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，是上的两点，直线与曲线相切且，，三点共线，求线段的长．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.
（2）由（1）知曲线为，讨论直线的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可.
【详解】
（1）由题意，椭圆半焦距且，则，又，
∴椭圆方程为；
（2）由（1）得，曲线为
当直线的斜率不存在时，直线，不合题意：
当直线的斜率存在时，设，又，，三点共线，
可设直线，即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立，得，则，，
∴.
20．(本题12分)已知圆和椭圆，F是椭圆C的左焦点．
（1）求椭圆C的离心率和点F的坐标；
（2）点P在椭圆C上，过P作x轴的垂线，交圆O于点Q（P，Q不重合），l是过点Q的圆O的切线．圆F的圆心为点F，半径长为．试判断直线l与圆F的位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1），；（2）直线l与圆F相切，证明见解析.
【分析】
（1）由椭圆标准方程直接写出离心率、焦点坐标即可；
（2）设求Q坐标，写出圆O上过Q点的切线方程，利用点线距离公式、两点距离公式及直线与圆相切的判定，即可证直线l与圆F的位置关系为相切.
【详解】
（1）由题设，椭圆标准方程为，
∴，故，左焦点坐标.
（2）直线l与圆F相切，由题设知：P不在椭圆C长轴端点上，
若在第一象限，由圆的对称性，不妨假设Q在第一象限，则，又l是过点Q的圆O的切线．
∴直线l为，
∴到直线l的距离为，而且，
∴，即.
∴直线l与圆F相切.
21．(本题12分)已知椭圆的左、右焦点分别为，，斜率为的直线过，且与椭圆的交点为，，与轴的交点为，为线段的中点．若，求椭圆的离心率的取值范围．
【答案】.
【分析】
写出直线方程，求得点坐标，由中点坐标公式得点坐标，代入椭圆方程得的齐次等式，转化为的等式后，求出，利用的范围得出关于的不等式，解得可得．
【详解】
设直线的方程为，
则，．
因为B在椭圆上，所以，即，
变形得
所以，
所以，又，解得．
，
故椭圆的离心率的取值范围为．
22．(本题12分)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，，分别为椭圆的左、右、下、上顶点，为其右焦点，直线与交于点，若为钝角，求该椭圆的离心率的取值范围．
【答案】．
【分析】
根据为钝角转化为，从而得到关于，的不等式，即可求解.
【详解】
设椭圆的标准方程为，．
由题意，得，，，
则，．
因为为向量与的夹角，且为钝角，
所以，所以．
又，所以，
即，解得或，
因为，所以，
即该椭圆的离心率的取值范围为．
23．(本题12分)已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，且|F1F2|＝2，左、右顶点为M，N．
（1）若椭圆E的离心率e＝，设点P（﹣4，n）（n≠0），直线PN交椭圆E于点Q，且直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；
（2）斜率为k的直线l过F2，且与曲线E交于A，B两点，当k变化时，△ABF1的内切圆面积有最大值，求椭圆E的离心率e的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）求出c，求出a，b的值，求出椭圆的方程，联立直线和椭圆分别求出MP和MQ的斜率，作积即可证明；
（2）联立直线和椭圆，表示出内切圆的半径，根据r取到最大值，求出a的范围，从而求出椭圆E的离心率e的取值范围．
【详解】
解：（1），，又，，，
故椭圆的方程是：，
故，设的直线方程为，
代入得：，故，
的方程为：，
联立，得：，
设，则，
由，
故，，
故，则，
而，故，是定值；
（2）内切圆的半径，
设直线AB的方程是：，，，
，
联立，
得，
则：，，
，
故，
，
设，则，
故
，
由，则，
的内切圆面积有最大值，即内切圆的半径取到最大值，
故函数能取到最大值，
故对称轴，故，解得：，
故，故，
故的取值范围是．
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
