2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质同步练习
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质同步练习 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 239.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-28 08:54:25 | ||
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文档简介
3.3.2抛物线的简单几何性质
题型1：由抛物线的几何性质求其标准方程
例1：求与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程.
例2：（1）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，求的值、抛物线方程和准线方程.
（2）已知抛物线的焦点F在轴上，直线过F且垂直于轴，与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程.
变式训练1：已知抛物线，若直线被抛物线所截弦长为，则抛物线C的方程为（ ）
A. B. C. D.
题型2：抛物线的焦点弦问题
1.焦点弦长公式及其应用
例3：抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程.
2.用几何法解焦点弦相关问题
例4：已知抛物线的准线与轴相交于点K，BK与抛物线的焦点弦AB垂直，AH垂直于轴，求证：
变式训练2：设直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR，QS，垂足分别为R，S，设，M为RS的中点，则|MF|= .
3.用代数法解焦点弦相关问题
例5：如图所示，抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥轴.证明：直线AC经过原点O.
4.运用焦点弦求最大（小）值
例6：定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线上移动，求AB的中点到轴距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标.
题型3：直线和抛物线的位置关系
1.直线与抛物线交点个数问题
例7：（1）过定点P（0，1）可以作几条与抛物线只有一个公共点的直线？
（2）若直线：与曲线恰好有一个公共点，试求实数的取值集合.
例8：在平面直角坐标系中，点M到点F（1,0）的距离比它到轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
（1）求轨迹C的方程.
（2）设斜率为的直线过定点P（-2,1），求直线与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时的相应取值范围.
2.弦长问题
例9：设点为平面直角坐标系内的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M的距离比点P到轴的距离大
求点P的轨迹方程；
若直线：与点P的轨迹方程交于A，B两点，且，求实数的值.
例10：（1）设F为抛物线C：的焦点，过点P（-1,0）的直线交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点.若|FQ|=2，则直线的斜率等于 .
（2）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为 .
变式训练3：过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，，则= .
3.中点弦问题
例11：已知抛物线，过点Q（2,1）作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程.
例12：过点Q（4,1）所作抛物线的弦AB，恰被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为 .
例13：已知抛物线C：的焦点F，直线与轴的交点为P，与C的交点为Q，且.
求C的方程；
过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求直线的方程.
4.定值（定点）问题
例14：如图所示，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1,2），均在抛物线上.
求抛物线的方程及其准线方程；
当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值.
例15：过抛物线的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点.
用表示A，B之间的距离；
证明：∠AOB的大小是与无关的定值.
5.最值问题
例16：求抛物线上的点到直线的最小距离.
题型1：由抛物线的几何性质求其标准方程
例1：求与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程.
例2：（1）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，求的值、抛物线方程和准线方程.
（2）已知抛物线的焦点F在轴上，直线过F且垂直于轴，与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程.
变式训练1：已知抛物线，若直线被抛物线所截弦长为，则抛物线C的方程为（ ）
A. B. C. D.
题型2：抛物线的焦点弦问题
1.焦点弦长公式及其应用
例3：抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程.
2.用几何法解焦点弦相关问题
例4：已知抛物线的准线与轴相交于点K，BK与抛物线的焦点弦AB垂直，AH垂直于轴，求证：
变式训练2：设直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR，QS，垂足分别为R，S，设，M为RS的中点，则|MF|= .
3.用代数法解焦点弦相关问题
例5：如图所示，抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥轴.证明：直线AC经过原点O.
4.运用焦点弦求最大（小）值
例6：定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线上移动，求AB的中点到轴距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标.
题型3：直线和抛物线的位置关系
1.直线与抛物线交点个数问题
例7：（1）过定点P（0，1）可以作几条与抛物线只有一个公共点的直线？
（2）若直线：与曲线恰好有一个公共点，试求实数的取值集合.
例8：在平面直角坐标系中，点M到点F（1,0）的距离比它到轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
（1）求轨迹C的方程.
（2）设斜率为的直线过定点P（-2,1），求直线与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时的相应取值范围.
2.弦长问题
例9：设点为平面直角坐标系内的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M的距离比点P到轴的距离大
求点P的轨迹方程；
若直线：与点P的轨迹方程交于A，B两点，且，求实数的值.
例10：（1）设F为抛物线C：的焦点，过点P（-1,0）的直线交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点.若|FQ|=2，则直线的斜率等于 .
（2）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为 .
变式训练3：过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，，则= .
3.中点弦问题
例11：已知抛物线，过点Q（2,1）作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程.
例12：过点Q（4,1）所作抛物线的弦AB，恰被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为 .
例13：已知抛物线C：的焦点F，直线与轴的交点为P，与C的交点为Q，且.
求C的方程；
过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求直线的方程.
4.定值（定点）问题
例14：如图所示，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1,2），均在抛物线上.
求抛物线的方程及其准线方程；
当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值.
例15：过抛物线的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点.
用表示A，B之间的距离；
证明：∠AOB的大小是与无关的定值.
5.最值问题
例16：求抛物线上的点到直线的最小距离.