2021-2022学年高一上学期数学人教B版(2019)必修第三册7.3.1正弦函数的性质与图像 同步练习

北京·高一·同步练习
正弦函数的性质与图像
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．若函数（）的相邻两个极小值点之间的距离为，最大值与最小值之差为2，且为奇函数，则函数的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．已知函数（）的图象过点，将的图象向左平移（）个单位长度得到的函数图象也过点，那么（ ）
A．，t的最小值为 B．，t的最小值为
C．，t的最小值为 D．，t的最小值为
3．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
6．已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象若函数为奇函数，则t的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的部分图象如图所示，则的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
8．对于函数的图象与性质，有下列四个说法：
甲：函数图象经过点；
乙：函数图象两条相邻对称轴之间的距离为；
丙：当时，函数的最小值为
丁：点是函数图象的一个对称中心.
若上述四个说法中，有且只有一个是错误的，则该说法是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．已知函数的最小正周期，且是函数的一条对称轴，是函数的一个对称中心，则函数在上的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称.给出下面四个结论：①将的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于y轴对称；②点为图象的一个对称中心；③；④在区间上单调递增.其中正确的结论为（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知函数（其中，，）的部分图像如图所示，则函数的解析式为___________.
12．某同学利用描点法画函数（其中）的图象，列出的部分数据如下表：
x 0 1 2 3 4
y 1 0 1
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数的解析式应是__________．
13．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点：
①向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）；
②向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）；
③向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）；
④向右平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）.
其中正确的是___________（填序号）
14．设函数（A，，是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为___________.
15．函数的部分图象如图所示，若，且，则________．
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若在区间上不单调，求的取值范围．
17．已知函数的部分图象如图所示.
（1）写出的最小正周期及其单调递减区间；
（2）若要得到的图象，只需要函数的图象经过怎样的图象变换？
18．已知函数f(x)=sin2x．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若将函数的图象上每一点向右平移个单位得到函数的图象，求函数的解析式，并在区间上求出g(x)的值域．
19．某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：
0
x
0 0
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
20．已知函数，若函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且图象上一个最低点为.
(1)求的表达式；
(2)求函数在上的最大值与最小值及相应的值.
21．已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为2；②函数的图象可由的图象平移得到；③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）请写出这两个条件序号，说明理由，并求出的解析式；
（2）求方程在区间上所有解的和.
试卷第6页，共6页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．C
【分析】
根据题意，结合正弦型函数的性质，即可容易求得函数解析式，再求函数值即可.
【详解】
因为相邻两个极小值点之间的距离为，故可得，则；
又因为最大值与最小值之差为2，故可得，则；
又因为是奇函数，故可得；
故.
故选：C.
【点睛】
本题考查由正弦型三角函数的性质求解析式，属综合基础题.
2．C
【分析】
先求出，再得到的图象向左平移（）个单位长度得到的函数，接着建立方程，最后求的最小值即可.
【详解】
解：因为函数的图象过点，所以，
因为，所以，所以函数
的图象向左平移（）个单位长度得到的函数，
因为函数的图象也过点，所以，
则的最小值满足，解得.
故选：C
【点睛】
本题考查利用三角函数的图象变换求参数值、利用三角函数值求角，是基础题.
3．D
【详解】
函数的周期为，
将函数的图象向右平移个周期即个单位，
所得图象对应的函数为，
故选D.
4．C
【分析】
根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点求出初相即可得解.
【详解】
由题意可知，A＝，32＋2＝52，
则T＝8，ω＝＝，
y＝sin.
由sin φ＝，得sin φ＝.
∵|φ|＜，
∴φ＝.
因此频率是，初相为.
故选：C
5．C
【分析】
先由诱导公式化简函数解析式，根据最小正周期公式求函数的最小正周期；根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.
【详解】
函数, 其最小正周期为
由，可得函数为奇函数.
故选：C
6．B
【分析】
由图象可得时，函数的函数值为0，可以解出的表达式，再利用平移的知识可以得出的最小值．
【详解】
解：由图象可得时，函数的函数值为0，即，
，
，将此函数向左平移个单位得，
，又因为为奇函数，
，
，
因为
．
故选：．
【点睛】
已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
7．A
【分析】
先由两相邻最值点与周期关系求解，再代入最值点求解.
【详解】
由图象知，，解得，
将最大值点代入得，，
解得，又，则，即.
故选：A.
【点睛】
已知函数图象，确定其解析式的步骤：
（1）求，，确定函数的最大值M和最小值m，则.
（2）求，确定函数的周期T，则.
（3）求，将图象上的已知点代入解析式，求解时注意点在上升区间还是下降区间. 如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解.
8．D
【分析】
根据题意，假设甲 乙正确得，进而再讨论边角丙、丁即可得答案.
【详解】
对于甲，该函数图象经过点，可得；
对于乙，该函数图象两条相邻对称轴之间的距离为，可得，.
此时，函数解析式为，
假设甲 乙正确，
对于丙，当时，，
此时，函数的最小值为，正确；
对于丁，当时，，错误.
故选：D
9．B
【分析】
依题意求出的解析式，再根据的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：函数的最小正周期，
所以：，解得，
由于是函数的一条对称轴，且为的一个对称中心，
所以，，
则，，
则，
又因为，，
由于，
所以，
故，
因为，所以，所以，所以
故选：B
10．A
【分析】
根据题设条件，结合三角函数的性质，求得函数的解析式，再结合三角函数的图象变换和三角函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
因为函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，
所以 ，解得，
因为，所以，因此，
①将的图象向左平移个单位长度后函数解析式为，
是偶函数，故得到的函数图象关于轴对称，故①正确；
②由，解得，即函数的对称中心为，令，则，故②正确；
③由，故③错误；
④当时，,令，∵在上不单调(先增后减），因此在区间上不单调，故④错误.
故选：A.
11．
【分析】
根据图象得，，再代点，可求得函数的解析式.
【详解】
解：由图象得，又，，所以，点，代入解析式得
，∴，因为，所以，所以，
故答案为：.
12．
【分析】
先由，两组的数据的对称轴可知对称轴，且可排除更改为代入可得，再根据，可得函数的一个对称中心，根据正弦函数相邻对称轴与对称中心距离为这一性质可求，进一步求，，即可．
【详解】
由题意可知，关于对称轴对称，且对称轴，
由三角函数的对称性可知，正弦函数在对称轴处取得最值，且过，
从而可得第二组错误
把代入可得，
，关于对称，所以可得是函数的对称轴相邻一个对称中心
从而函数的周期，根据周期公式，
函数
把函数图象上的点代入函数解析式可得，
故答案为：
13．③
【分析】
按照平移变换和周期变换的结论，分别求出四个选项中得到的函数解析式可得答案.
【详解】
对于①，把函数，的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故①不正确；
对于②，把函数，的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故②不正确；
对于③，把函数，的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故③正确；
对于④，把函数，的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故④不正确.
故答案为：③.
14．
【分析】
根据给定条件可确定周期，再由给定等式确定的一个对称中心和一条对称轴，由此计算即得.
【详解】
令的周期为T，又在区间上具有单调性可得，即，
由在区间上具有单调性，且，可知函数的一个对称中心为，
由知函数的一条对称轴为直线，而，即点与直线是的对称中心与相邻对称轴，
于是得，解得.
故答案为：
15．﹔
【分析】
由图象和周期公式可得，代入点可得，进而可
得，结合题意可得，代入函数解析式计算即可.
【详解】
由题意知，函数中，
周期，所以，
又函数图象过点，
即，得，
又，所以，
所以；
由，得图象的最高点坐标为，
因为且，
所以，故.
故答案为：.
16．（1）；（2）．
【分析】
（1）利用最值求出，根据得出，再由特殊值求出即可求解.
（2）根据三角函数的图象变换得出，再由正弦函数在上单调即可求解.
【详解】
解：（1）由图可知，．
的最小正周期，所以．
因为，
所以，，，．
又，所以，
故．
（2）由题可知，．
当时，．
因为在区间上不单调，
所以，解得．
故的取值范围为．
17．（1）最小正周期为，单调递减区间为：；（2）答案见解析.
【分析】
（1）首先由函数的图象，求得函数的解析式，再求解函数的性质；
（2）利用三角函数图象变换规律，即可求解.
【详解】
（1）根据函数的图象：，解得，故，
由于，由于，故.
所以.
所以函数的最小正周期为；
令，
整理得，
故函数的单调递减区间为：，
（2）要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位，再将函数图象的横标压缩为原来的即可.
18．(1)；(2)的解析式为，的值域为.
【分析】
(1)把看作是一个整体，令，解不等式即可得函数的单调递减区间；(2)由函数的图象变换可得函数的解析式，根据正弦函数的性质即可求解在区间上的值域.
【详解】
(1)由题意得，令得，则函数的单调递减区间为；
(2)由题意得，，
因为，
所以，
由于正弦函数在上单调递增，
从而，函数在上也单调递增，
所以函数在上的值域为.
19．（1）数据补充见解析，；（2）最小值为，最大值为.
【分析】
（1）根据表中数据列式即可求出解析式，进而补全表格；
（2）根据三角函数的性质直接求解即可.
【详解】
（1）根据表中数据可得，，解得，
则数据补充如下：
0
x
0 0 0
函数的解析式为；
（2）当时，，
则当，即时，取得最小值为；
当，即时，取得最大值为.
20．(1) 的表达式为：；(2)的最大值为，此时；的最小值，此时.
【分析】
(1)由最低点求出的值，然后由相邻两条对称轴之间的距离求出最小正周期，结合最小正周期公式进而求出，再将代入函数并结合的取值范围求出值即可求解；
(2)利用换元法并结合三角函数性质即可求解.
【详解】
因为为 图像上的一个最低点，且，所以，
设函数的最小正周期，
又因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
故，从而，故，
从而，
将代入，得，
故，，即，，
又因为，所以，
故的表达式为：；
(2)结合(1)中结论，当时，令，
所以
故的最大值为，此时，即；
的最小值，此时，即.
21．(1) 满足的条件为①③，；（2）
【分析】
（1）根据题意，条件①②互相矛盾，所以③为函数满足的条件之一，根据条件③，可以确定函数的最小正周期，进而求得的值，并对条件①②作出判断，最后求得函数解析式；
（2）将代入方程，求得，从而确定出或，结合题中所给的范围，得到结果.
【详解】
（1）函数满足的条件为①③；
理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，
故③为函数满足的条件之一，
由③可知，，所以，故②不合题意，
所以函数满足的条件为①③；
由①可知，所以；
（2）因为，所以，
所以或，
所以或，
又因为，所以x的取值为
所以方程在区间上所有的解的和为.
【点睛】
解题关键在于，利用三角函数的图像性质进行求解即可，解题时注意的取值要与的取值范围相结合，难度属于基础题
北京·高一·