2021-2022学年高一上学期数学人教B版(2019)必修第三册7.3.3余弦函数的性质与图像同步练习

北京·高一·同步练习
余弦函数的性质与图像
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
2．函数，的最小正周期是（ ）
A．2π B．π
C． D．
3．关于，，下列叙述正确的是（ ）
A．若，则是的整数倍
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上为增函数.
4．已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为，则有（ ）
A．最小值 B．最小值
C．最大值 D．最大值
5．已知函数，则（ ）
A．在区间上单调递减 B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称 D．在区间上的最大值为，最小值为
6．设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的周期为
B．在上单调递减
C．在上单调递增
D．的图象关于直线对称
7．已知函数（，）的图象的相邻两条对称轴间的距离为，．则下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
8．已知．在内的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ）
A．为奇函数 B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称 D．在上单调递减
10．已知函数的大致图象如下所示；将函数的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．的定义域为________．
12．已知函数在处取得最小值，则_________
13．若函数和都是减函数，则x的取值范围是______.
14．已知（），，且在区间内有最小值，无最大值，则______．
15．设函数，若函数在内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是___________.
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）当时，求的值域.
17．已知函数的最小正周期为．
（1）求的对称轴．
（2）若，求的最值，并求取得最值时的．
18．已知函数（，，，）的图象的一部分如下图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求取最大值时相应的的值．
19．函数（，）的部分图像如图所示．
（1）求的表达式；
（2）求的单调递减区间与对称中心．
20．已知函数
（1）在该函数的图像的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；
（2）把该函数的图像向右平移个单位后，图像关于原点对称，求的最小正值.
21．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若，函数的值域为，求的取值范围．
试卷第4页，共4页
试卷第9页，共9页
参考答案
1．B
【分析】
利用周期的求解公式可求.
【详解】
因为，所以其最小正周期为,
故选:B.
2．B
【分析】
根据公式直接求解即可.
【详解】
解：根据三角函数的周期公式得函数的最小正周期为.
故选：B
3．B
【分析】
由题意利用余弦函数的图象和性质，逐一判断各个结论是否正确，从而得出结论.
【详解】
对于A，的周期为,若，则是的整数倍,故A错误；
对于B,当 时，，则函数的图象关于点中心对称，B正确；
对于C,当 时，，不是函数最值，函数的图象不关于直线对称， C错误；
对于D，，，则不单调，D错误
故选：B.
4．A
【分析】
利用对称轴求出取4，，利用对称中心求出为，即得解.
【详解】
因为函数的一条对称轴为，
所以
因为，此时取4，
因为一个对称中心为，所以
因为，所以此时为，
所以的最小值为4，没有最大值.
故选：A
5．B
【分析】
利用余弦函数的性质逐项判断.
【详解】
由，得，故在区间上不单调，A不正确．
因为，所以，故的图象关于直线对称，B正确，C不正确．
由，得，则在区间上的最小值为，无最大值，D不正确．
故选：B
6．D
【分析】
对于选项A：利用最小正周期公式即可判断命题；对于选项BCD：利用余弦函数图像性质即可判断命题.
【详解】
对于选项A：由最小正周期公式可得，，故A正确；
对于选项B：结合余弦函数图像性质，单调减区间求法如下：
令，即，
当时，即在单调递减，而，故B正确；
对于选项C：结合余弦函数图像性质，单调增区间求法如下：
令，即，
当时，即在单调递增，而，故C正确；
对于选项D：结合余弦函数图像性质，对称轴求法如下：
令，即，
故的对称轴：，
不妨令，解得，，故D错误.
故选：D.
7．D
【分析】
由题意可得的周期可得的值，再由可得的值，进而可得的解析式，利用余弦函数的单调递增区间逐一检验四个选项即可得正确选项.
【详解】
因为函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，
所以的周期，可得，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
令，
可得，
所以在单调递增，在上单调递减，
因为，，
所以选项A，B不正确；
在上单调递减，在上单调递增，
故选项C不正确；
因为，所以在上单调递增，故选项D正确；
故选：D.
8．D
【分析】
根据题意作出余弦函数图象，分析值域为时对应的定义域，由此得到关于的不等式并求解出结果.
【详解】
因为，所以，
又因为的值域为，结合余弦函数图象（如下图）：
可知，所以解得，
故选：D.
9．D
【分析】
根据三角函数平移变换可得，由此可得，知其不是奇函数，A错误；利用代入检验法可判断出BCD的正误.
【详解】
由题意得：；
对于A，，不是奇函数，A错误；
对于B，当时，，不是的对称轴，B错误；
对于C，当时，，不是的对称中心，C错误；
对于D，当时，，在上单调递减，D正确.
故选：D.
10．C
【分析】
根据三角函数的图象求的解析式，再由平移过程写出解析式，最后结合余弦函数的性质求的单调递增区间.
【详解】
依题意，，解得
故，而，
∴，故，则；
∴，故，又，故，
∴；
将函数的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，得到，
再向左平移个单位，得到，
令，故，
故函数的单调递增区间为，
故选：C.
11．
【分析】
由题意列不等式组，即可求出定义域.
【详解】
要使函数有意义，
只需，即，
解得：，
即函数的定义域为.
故答案为：.
12．
【分析】
由求得，结合的取值范围求得的值.
【详解】
∵函数在处取得最小值，
∴，∴，
又，令解求得.
故答案为：
13．
【分析】
利用诱导公式化简，再利用正弦函数余弦函数的性质即求.
【详解】
∵，
∴函数的单调减区间为，
又，
∴函数的单调减区间为，
∴所求x的取值范围为两个区间的公共部分，即.
故答案为：
14．
【分析】
根据已知条件可得在时取得最小值，再由以及即可求解.
【详解】
因为，所以的一条对称轴为，
又因为在区间内有最小值，无最大值，
所以在时取得最小值，
所以，可得：，
因为，可得，
所以，，
故答案为：.
15．
【分析】
转化为函数的图象与函数的图象恰有四个不同的交点，作出函数的图象，观察图象可得结果.
【详解】
因为函数在内恰有4个不同的零点，
所以函数的图象与函数的图象恰有四个不同的交点，
作出函数的图象如图：
由图可知：.
故答案为：
16．（1）；（2）
【分析】
（1）观察图像，通过可得的值，通过图象经过点可得的值，进而得到函数的解析式；
（2）通过的范围求出的范围，结合余弦函数的性质可得值域.
【详解】
（1）因为，所以.
因为的图象经过点，所以，即,则.
又，所以.
故的解析式为.
（2）因为，所以，
从而，
故当时，的值域为.
17．（1）；（2）当时，的最大值为2，当时，的最小值为.
【分析】
（1）根据最小正周期，可求得值，即可得解析式，令，即可求得的对称轴.
（2）根据x的范围，求得的范围，根据余弦型函数的性质，即可求得答案.
【详解】
（1）因为的最小正周期
所以，解得，
所以，
令，解得，
所以的对称轴为
（2）因为，所以，
所以当，即时，，的最大值为2，
当，即时，，的最小值为.
综上当时，的最大值为2，当时，的最小值为.
18．(1)；(2)最大值为2，对应的.
【分析】
(1)由函数图像的顶点坐标求出A，由周期求出，由特殊点的坐标求出，即可得出函数的解析式.
(2)由得出，根据(1)令，画出的图像，进而得到的最大值和对应的x值.
【详解】
(1)由图像可知A=2，T=8，
因为，所以，
又图像过点，所以，
因为，所以，
所以；
(2)由(1)得，，
当时，，
设，
则，
的最大值为时，即，
此时.
19．（1）；（2）单调递减区间为：，，对称中心为，．
【分析】
（1）结合图象，由求得，再由图象过点求解；
（2）由（1）利用余弦函数的性质，分别令，，，，求解.
【详解】
（1）由题意可得，得．
所以，
又当时，．
即，
则，．
所以，．
所以．
（2）由，，得，，
所以的单调递减区间为：，．
由，，得，．
所以的对称中心为，．
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用余弦函数的性质可得函数对称轴，即得；
（2）由题可求平移后解析式，再利用对称中心即求.
【详解】
（1）令，，解得，.
令，；令，.
所以函数的图像的对称轴中，离y轴距离最近的那条对称轴的方程是.
（2）设该函数的图像向右平移个单位后对应的函数的解析式为，
则.
因为函数的图像关于原点对称，
所以.
所以，.
解得，.
令，得.
所以的最小正值是.
21．（1）；（2）．
【分析】
（1）利用最高点求出A，利用4分之一周期长度求出，利用函数过求出即可：（2）利用整体换元法求解函数值域即可求解
【详解】
解：（1）由图可得，．
因为，
所以，
所以．
因为的图象经过点，
所以，
所以，
所以．
因为，
所以．
故．
（2）因为，
所以．
因为的值域为，
所以．
解得．
故的取值范围为．
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