2021-2022学年高一上学期数学人教B版(2019)必修第三册7.3.4正切函数的性质与图像同步练习

北京·高一·同步练习
正切函数的性质与图像
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．函数的图像的对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的值是（ ）
A．0 B．1
C．-1 D．
3．已知函数f(x)＝tan x，则下列结论不正确的是（ ）
A．2π是f(x)的一个周期
B．＝
C．f(x)的值域为R
D．f(x)的图象关于点对称
4．若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
7．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．最小正周期为
C．为图象的一个对称中心 D．其图象由的图象右移个单位得到
8．设、，那么“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
9．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
10．直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．函数的周期是______.
12．函数的定义域为__________最小正周期为__________．
13．已知函数的图象关于点对称，且，则实数的值为___________.
14．若函数，的图象都在轴上方，则实数的取值范围为___________.
15．①函数在它的定义域内是增函数；②若、是第一象限角，且，则；③函数一定是奇函数；④函数的最小正周期为．上列四个命题中，正确的命题是_____．
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．观察正切曲线，写出满足下列条件的x的取值范围.
（1）；
（2）.
17．已知函数，
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的单调区间及对称中心．
18．已知函数
（1）求的定义域与单调区间
（2）比较与的大小
19．已知函数的图像与x轴相交的两相邻点的坐标分别为和，且过点.求：
（1）函数的解析式；
（2）满足的x的取值范围.
20．已知函数．
（1）当时，求的最小正周期及单调区间；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
21．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．
（1）求f(x)的解析式；
（2）求f(x)的单调区间；
（3）求不等式－1≤f(x)≤的解集．
试卷第2页，共3页
试卷第6页，共6页
参考答案
1．D
【分析】
根据正切函数的对称中心是，求出的图像的对称中心，即可得到答案.
【详解】
解：根据正切函数的对称中心是，
令，解得，；
所以函数的图像的对称中心为
故选：D
2．A
【分析】
根据给定条件求出函数的周期可得，再代入即可求.
【详解】
因函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的周期为，
则，解得，即，于是得，
所以的值是0.
故选：A
3．B
【分析】
根据正切函数的性质判断．
【详解】
A．(x)＝tan x的最小正周期为π，所以2π是f(x)的一个周期，所以该选项正确；
B．，＝－1，所以该选项不正确；
C．f(x)＝tan x的值域为R，所以该选项正确；
D．f(x)＝tan x的图象关于点对称，所以该选项正确．
故选：B．
4．C
【分析】
由正切函数的单调性与周期性可得结论．
【详解】
在上，，因此在上，的解是，．
故选：C．
5．C
【分析】
根据正切函数的单调性可得，根据正余弦函数的单调性可得，从而可得答案.
【详解】
，，，
，，
所以.
故选：C
6．D
【分析】
由，解不等式可得结果.
【详解】
由函数由意义得，
所以，，
所以，，
所以函数的定义域是.
故选：D
7．C
【分析】
根据正切函数的性质逐一判断即可.
【详解】
A，由，则，
解得，定义域为，
定义域不关于原点对称，故A错误.
B，由解析式可得，故B错误；
C，由正切函数的中心对称点可得，
解得，当时，，故C正确；
D，的图象右移个单位得到，故D错误.
故选：C
8．C
【分析】
由正切函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】
由、，若，由正切函数的单调性可得，充分性成立；
若，则也成立，必要性成立；
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
9．D
【分析】
根据正切函数的周期与绝对值的性质求解．
【详解】
函数的图象是由的图象先向右平移个单位长度，再把轴下方的图象翻折到轴上方得到，故的最小正周期与的相同，为，
故选：D.
10．B
【分析】
由条件可得，即，然后求出的单调递增区间可得答案.
【详解】
因为直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，
所以，所以，即
由可得
当时可得在上单调递增
因为函数在区间上是增函数，所以实数的取值范围是
故选：B
11．
【分析】
由正切函数的周期公式直接即可求得.
【详解】
由.
故答案为：.
12．
【分析】
利用正切函数定义域和周期公式即可求解.
【详解】
令，可得，
即函数的定义域是，
最小正周期为，
故答案为：；.
13．或1
【分析】
根据正切函数的性质，代入点，求解参数的值.
【详解】
∵函数的图象关于点对称，且，
∴，，或，
则令，可得实数或，
故答案为：或1.
14．
【分析】
由题意可得对于恒成立，分离转化为最值问题即可求解.
【详解】
因为函数，的图象都在轴上方，
所以对于恒成立，
所以对于恒成立，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以实数的取值范围为，
故答案为：.
15．④
【分析】
对于①，举特值：，可得答案；对于②，举特值：，可得答案；对于③，举特值：可得答案；对于④，利用的最小正周期和图象的翻折变换可得答案.
【详解】
对于①，函数的定义域为，当时，；当时，，所以函数在它的定义域内不是增函数，故①不正确；
对于②，当，时，满足、是第一象限角，且，但是，故②不正确；
对于③，当时，为偶函数，故③不正确；
对于④，因为的最小正周期为，而函数的图象是由函数的图象保留轴上方的图象，将轴下方的图象沿轴翻折到轴上方而得到的，所以函数的最小正周期是函数的最小正周期的一半，即函数的最小正周期是，故④正确.
故答案为：④
【点睛】
关键点点睛：熟练掌握三角函数的单调性、奇偶性和周期性是解题关键.
16．（1）；（2）.
【分析】
根据正切函数性质结合函数的周期性即可求出答案.
【详解】
（1）在内满足的x的取值范围是，
所以满足的x的取值范围是.
（2）在内满足的x的取值范围是，
所以满足的x的取值范围是.
17．（1），；（2）单调区间是，，；对称中心，，．
【分析】
（1）根据正切函数有意义的条件确定定义域；
（2）根据正切函数的性质求解.
【详解】
（1）函数，
，，
解得，，
函数的定义域，；
（2）函数，
令，，
解得，，
的单调区间是，，，
令，，
解得，，
函数的对称中心是，，．
18．（1）的定义域为，单调递增区间为;（2）.
【分析】
（1）根据正切型函数定义域和单调区间的求法，求得的定义域和单调区间.
（2）利用诱导公式、两角和的正切公式化简求得与的值，由此比较出两者的大小.
【详解】
（1）由解得，故的定义域为，单调递增区间为.
（2），，所以.
【点睛】
本小题主要考查正切型函数的定义域、单调区间的求法，考查诱导公式、两角和的正切公式，属于基础题.
19．（1）；（2）
【分析】
（1）根据函数的最小正周期求出，根据它的图像过点求出，根据它的图像过点，求出的值即得解；
（2）利用正切函数的图象得到，化简即得解.
【详解】
（1）由题意可得的周期为，所以，所以，
因为它的图像过点，所以，即，
所以，即.又，所以，于是.
又它的图像过点，所以，得.
所以.
（2）由（1）得，所以，即.
解得.
所以满足的x的取值范围是
20．（1）4，，；（2）.
【分析】
（1）当时，利用正切函数的周期公式和单调性即可求出的最小正周期及单调区间；
（2）根据在上恒成立，建立周期与最值的关系，解不等式即可求出的取值范围.
【详解】
（1）当时，的最小正周期,故最小正周期为4；
要求的单调区间，只需，解得：，
故的增区间为，，无单减区间.
（2）∵，∴函数的周期．∵在上恒成立，∴在上为严格增函数，∴，∴．
∵，∴，即，即，∴，∴．
21．（1）f(x)＝tan；（2）单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间；（3）.
【分析】
（1）根据函数周期性，结合函数图象过的点的坐标，代值计算即可求得参数，则解析式可求；
（2）利用整体法，即可求得函数的单调区间；
（3）根据（1）中所求解析式，利用正切函数的单调性，即可求得不等式.
【详解】
（1）由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，
即，
因为ω>0，所以ω＝2，
从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，
即φ＝＋，k∈Z.
因为0<φ<，所以φ＝，
故f(x)＝tan.
（2）令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，
得，
即
所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．
（3）由（1）知，f(x)＝tan.
由－1≤tan≤，
得
即
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为.
【点睛】
本题考查正切型三角函数解析式的求解，单调性的求解，以及三角不等式的求解，属综合基础题.
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