2021-2022学年高一上学期数学人教B版(2019)必修第三册7.3三角函数的性质与图像 同步练习

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三角函数的性质与图像
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．设，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．设函数（为常数），则“”是“为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．将函数的图象沿轴向右平移个单位后得到的图象关于原点对你，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．下列函数中，是奇函数且最小正周期为的是（ ）
A． B． C． D．
5．sin1，tan2，cos3的大小关系是（ ）
A．sin1＞tan2＞cos3 B．sin1＞cos3＞tan2
C．tan2＞sin1＞cos3 D．cos3＞sin1＞tan2
6．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的图象由的图象向右平移个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图象关于直线对称，则t的值可以为（ ）
A． B． C． D．
9．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
10．关于函数有下述四个结论：其中所有正确结论的编号是（ ）
①是偶函数；② 在区间上单调递增；
③的最大值为1；④ 在区间上有3个零点.
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．己知函数部分图象如图所示，则图中的值为___________.
12．函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期____________，函数的解析式为___________．
13．已知函数在区间上单调，且对任意实数x均有成立，则φ=___________
14．已知函数图象上的最高点为，与点相邻的一个最低点为，则___________，___________，___________.
15．已知函数，若函数在上具有单调性，且，则___________.
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．已知函数
（1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
（2）求的单调递增区间；
（3）求在区间上的最大值和最小值及相应的值
17．已知函数的部分图像如图所示．
（1）写出的最小正周期及其单调递减区间；
（2）求的解析式；
（3）若要得到的图像，只需要函数的图像经过怎样的图像变换？
18．已知函数的部分图象如图所示.
（1）直接写出的值；
（2）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数在区间上的最小值.条件①：直线为函数的图象的一条对称轴；条件②：为函数的图象的一个对称中心
19．已知函数由下列四个条件中的三个来确定：
①最小正周期为；②最大值为2；③；④．
（1）写出能确定的三个条件，并求的解析式；
（2）求的单调递增区间．
20．已知函数，且图象的相邻对称轴和对称中心之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.
（Ⅰ）确定的解析式；
（Ⅱ）若图象的对称中心只有一个落在区间上，求a的取值范围.
条件①：的最小值为-2；
条件②：图象的一个对称中心为；
条件③：的图象经过点.
21．已知函数，其图象中相邻的两个对称中心的距离为，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知
（1）直接写出的解析式
（2）将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若在区间上存在满足，求实数的取值范围
条件①：函数的图象关于直线对称；条件②：函数的图象关于点对称；条件③：对任意实数，恒成立.
试卷第6页，共6页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．C
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值，求解即可.
【详解】
∵且，
∴.
2．C
【分析】
根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断.
【详解】
当 时，, 为偶函数；
当为偶函数时，对任意的恒成立，
∴
即 ，得对任意的恒成立，从而.
从而“”是“为偶函数”的充分必要条件.
故选：C.
3．B
【分析】
求出平移后的函数解析式，根据已知条件可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值.
【详解】
将函数的图象沿轴向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为，
由题意可知，函数为奇函数，则，
所以，，，因此，.
故选：B.
4．B
【分析】
根据三角函数奇偶性和周期公式逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
对于A：是偶函数，周期为，故选项A不正确；
对于B：是奇函数，周期为，故选项B正确；
对于C：是奇函数，周期为，故选项C不正确；
对于D：是奇函数，周期为，故选项D不正确；
故选：B.
5．B
【分析】
利用中间数结合正切函数、余弦函数的单调性可比较三者的大小.
【详解】
因为，故，
故为三个数中的最大的数.
又，故，
但，故，故，
故选：B
6．A
【分析】
根据的图象求得，求得，再根据，求得，求得的值，即可求解.
【详解】
根据函数的图象，可得，可得，
所以，
又由，可得，即，
解得，
因为，所以.
故选：A.
7．D
【分析】
根据图像，利用正弦型函数的对称性，求得其图象上的右侧的第一个等值点，即可得到φ的值.
【详解】
如图所示，对各点依次标记为A,B,C，根据正弦型函数的对称性，A右侧的第一条对称轴为,易得C的横坐标为,C到B需要向右平移,
故选：D.
8．B
【分析】
令，可求得对称轴方程，对k赋值，即可得答案.
【详解】
令，解得，
所以对称轴，
令，得，无论k取任何整数，t无法取、、，
故选：B
9．D
【分析】
由函数的部分图象得到函数的最小正周期，求出，代入求出值，可得的解析式，将可得的值.
【详解】
由图象可得函数的最小正周期为，则，
又，则，
则，，则，，
，则，，则，
.
故选：D.
10．A
【分析】
先化简函数解析式再结合三角函数性质进行求解．
【详解】
由函数解析式易得的定义域，
且对任意，有，
为偶函数，故①正确；
当，易得，，
当时，，易知此时单调递增，故②正确；
由函数解析式易得函数在，上的最大值为2，故③错误；
当，函数，有无数解，故④错误．
故选：．
11．
【分析】
由图象可知，可求出的值，再由结合函数图象可求得结果
【详解】
由图象可知，所以，，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
由图象可知，所以，
故答案为：
12．
【分析】
先由图形特点求出A，周期为，即可求出，利用当时 ，，即可求出 ，从而得到表达式.
【详解】
由图可知 , ，即 ，所以 ，
，令 ， ，
那么 ，即 ，因为，
所以 ，即.
故答案为：（1） ；（2）.
13．
【分析】
由不等式恒成立得函数的最大值和最小值，结合单调性得函数周期，从而可得，则最大值（或最小值）点可求得．
【详解】
因为对任意实数x均有成立，所以是最小值，是最大值，
又函数在区间上单调，所以，，
所以，又，所以．
故答案为：．
14．2
【分析】
（1）根据函数的最值求出的值；
（2）由题得函数的最小正周期为4，即得解；
（3）解方程即得解.
【详解】
（1）由题得；
（2）由题得；
（3）由题得，所以，
因为，所以.
故答案为：2；；.
15．0
【分析】
首先根据已知条件求出对称中心，进而可得的值，以及的解析式，将代入解析式即可求解.
【详解】
的最小正周期为，
因为，所以的对称中心为 即，
令，可得，
因为，所以时，，
所以满足在上单调递减，
所以，
故答案为：0
16．（1）答案见解析；（2）；（3）当时, 取最小值0；当时, 取最大值1.
【分析】
（1）利用“五点法”列表，然后作出一个周期的图象即可；
（2）利用整体代换以及正弦函数的单调递增区间进行求解即可；
（3）由x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求解最值即可.
【详解】
（1）分别令，可得：
x
0
0 1 0 -1 0
画出在一个周期的图像如图所示：
（2）要求的单调递增区间，
只需令，
解得：，
所以函数的单调递增区间为;
(3)因为,所以，所以当,即时, 取最小值0；当,即时, 取最大值1.
17．（1）最小正周期为，递减区间； （2）； （3）答案见解析.
【分析】
（1）根据函数的图象，求得函数的解析式，进一步求得函数的周期和单调递减区间；
（3）利用函数的图象，结合（1）即可求得函数的解析式；
（3）利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换，即可求解.
【详解】
（1）根据给定的函数的图象，可得，解得，所以，
由，且，可得，所以，
所以函数的最下正周期为，
令，解得，
即函数的递减区间为.
（2）由（1）可得函数的解析式为.
（3）要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位，再将得到的函数图象的横坐标缩短为原来的倍，即可得到函数的图象.
18．（1）；（2）条件选择见解析，在区间上的最小值为.
【分析】
（1）求出函数的最小正周期，由此可求得的值；
（2）根据所选条件求得的表达式，结合的取值范围可求得的值，再由求得的值，由求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】
（1）由图象可知，函数的最小正周期满足，，则；
（2）选择条件①：因为直线为函数的图象的一条对称轴，
所以，，即，
，，则，，，
当时，，
所以当或时，即当或时，函数取得最小值，即；
选择条件②：因为是函数图象的一个对称中心，
则，解得，
，，则，，，
当时，，
所以当或时，即当或时，函数取得最小值，即.
【点睛】
方法点睛：求函数在区间上最值的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；
第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.
19．（1）条件①②③，；（2）增区间是，．
【分析】
（1）条件①必须有，否则不能确定函数的周期，从而求不出，有了①可求得，在周期确定的情况下，加上条件③④不能确定最大值和最小值，确定不了，这样条件必须条件②，确定出值，选④选，在范围内无值满足题意，这样只能选③，求出．
（2）结合正弦函数的增区间可求得结论．
【详解】
（1）选条件②③④，不能确定周期，求不出；选①③④，不能确定最大值和最小值，求不出；选①②④，求得的不满足已知条件．只能选①②③．
条件①②③，
，，，由，又得，
所以；
（2），，，
所以增区间是，．
【点睛】
方法点睛：本题考查求三角函数的解析式，考查三角函数的单调性．求三角函数解析式，通常与“五点法”联系，由周期确定，由最值确定，由点的坐标确定．也可能由某点的坐标确定，这时需要求出值，才可得出函数解析式．
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）先根据已知求出的最小正周期，即可求解ω，再根据所选条件，利用正弦函数的性质求解A和φ的值，从而可得的解析式；
（Ⅱ）由正弦函数的图象与性质可得关于a的不等式，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）因为图象的相邻对称轴和对称中心之间的距离为，
所以的最小正周期，.
此时.
选条件①②：
因为的最小值为-A，所以.
因为图象的一个对称中心为，
所以，
所以，
因为，所以，此时，
所以.
选条件①③：
因为的最小值为-A，所以.
因为函数的图象过点，
则，即，.
因为，所以，
所以，
所以.
选条件②③：
因为函数的一个对称中心为，
所以，
所以.
因为，所以，此时.
所以.
因为函数的图象过点，
所以，即，，
所以，
所以.
（Ⅱ）因为，所以，
因为图象的对称轴只有一条落在区间上，
所以，
得，
所以a的取值范围为.
21．（1）；（2）.
【分析】
（1）通过相邻对称中心的距离可得周期，进而可得，再根据条件①可得，则可求出，则的解析式就出来了；
（2）先根据平移变换求出，再通过整体法，利用正弦函数的图像可得的最小值，则实数的取值范围也出来了.
【详解】
解：（1）函数的解析式为.
下面为说明：
因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为，
所以，即周期，
所以.
所以.
若选择①：
因为函数的图象关于直线轴对称，
所以，，
即，.
因为，所以.
所以函数的解析式为.
若选择②：
因为函数的图象关于点中心对称，
所以，，即，.
因为，所以.
所以函数的解析式为.
若选择③：
对任意实数，恒成立，
所以当时，取得最大值.
从而，
即，
因为，所以.
所以函数的解析式为.
（2）将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，
所以.
当时，，
当，即时，有最小值.
因为在区间上存在满足，
所以，即的取值范围是.
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