2021-2022学年高一数学人教B版(2019)必修第三册7.1任意角的概念与弧度制同步练习

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任意角的概念与弧度制
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．钟表的分针在1.5小时内转了（ ）
A．180° B．-180° C．540° D．-540°
2．下列各角，与330°角的终边相同的角是（ ）
A．510° B．150° C．-150° D．-390°
3．角的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，下列结论正确的是（ ）
A．小于的角一定是锐角 B．第二象限的角一定是钝角
C．始边相同且相等的角的终边一定重合 D．始边相同且终边重合的角一定相等
6．终边在直线上的角的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知集合，集合，则有（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法中，错误的是（ ）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．的角是周角的的角是周角的
C．的角比的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
9．已知角的终边与300°角的终边重合，则的终边不可能在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程端娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，在11月28日20时58分，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，11月29日20时23分，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月表400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为（）（ ）
A．1069千米 B．1119千米 C．2138千米 D．2238千米
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．与角的终边相同的最小正角是_________，最大负角是_______．
12．若角与角的终边相同，则_______．
13．角的终边落在第一、三象限角平分线上，则角的集合是_______．
14．一个半径为的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么该扇形的圆心角是______，面积是______.
15．直角坐标系中，以原点为顶点，以轴正半轴为始边，那么，角的终边与的终边关于___________对称；角的终边与的终边关于___________对称.
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．填写下表
的度数
的弧度数
所在的象限
在内与终边相同的角
17．已知角的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角的取值范围．
18．已知集合，求集合．
19．把下列各角化为的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．
（1）；
（2）；
（3）．
20．半径为1的圆的圆心位于坐标原点O，点P从点A（1，0）出发，按照逆时针方向沿圆周匀速旋转，已知点P在1秒内转过的角度为，经过2秒到达第三象限，经过14秒又回到出发点A处.求：
（1）的大小；
（2）线段OP每秒钟扫过的扇形的面积．
21．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示）,该扇环是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点,的两条线段围成．设圆弧和圆弧所在圆的半径分别为米,圆心角为θ（弧度）．
(1)若,,求花坛的面积；
(2)设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题,已知直线部分的装饰费用为60元/米,弧线部分的装饰费用为90元/米,预算费用总计1200元,问线段AD的长度为多少时,花坛的面积最大？
试卷第2页，共3页
试卷第6页，共6页
参考答案
1．D
【分析】
根据任意角的定义即可得出选项.
【详解】
根据顺时针为负角，则分针在1.5小时内转了 ，
故选：D
2．D
【分析】
根据终边相同角的表示即可求解.
【详解】
与330°角的终边相同的角为，
当时， ，
故选：D
3．C
【分析】
将角化为（）的形式，由此确定正确选项.
【详解】
，在第三象限.
故选：C
4．A
【分析】
由题可得分针需要顺时针方向旋转.
【详解】
分针需要顺时针方向旋转，即弧度数为.
故选：A.
5．C
【分析】
根据象限角的定义、终边相同的角的定义以及相关概念，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
对于选项A：小于的角不一定是锐角，如负角和零角均小于，但不是锐角，故A错误；
对于选项B：钝角是第二象限角，但是反过来不正确，比如是第二象限角但不是钝角，故B错误；
对于选项C：始边相同且相等的角的终边一定重合，故C正确；
对于选项D：始边相同且终边重合的角不一定相等，可以相差的整数倍，故D错误.
故选：C.
6．C
【分析】
根据终边相同的角的定义即可表示.
【详解】
终边在直线上的角可表示为，
故角的取值集合是.
故选：C.
7．C
【分析】
在集合中，，或，，能过说明的元素都是集合的元素，而集合中存在元素不在集合中，从而便得出．
【详解】
解：对于集合，，或，；
时，，；
又的元素，；
的元素都是的元素；
而时，；
中存在元素；
．
故选：C．
8．D
【分析】
利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可.
【详解】
根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，
的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正确；
1rad的角是，故C正确；
无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D错误.
故选：D
9．A
【分析】
先求得的表达式，进而可得的表达式，对k赋值，分析即可得答案
【详解】
因为角的终边与300°角的终边重合，
所以，所以，
令，，终边位于第二象限；
令，，终边位于第三象限，
令，，终边位于第四象限，
令，，终边位于第二象限
所以的终边不可能在第一象限，
故选：A
10．D
【分析】
利用弧长公式计算即可.
【详解】
嫦娥五号飞行时对应的半径为，
故选：D
11．
【分析】
由任意角的周期性有，即可知终边相同的最小正角、最大负角.
【详解】
由，则终边相同的最小正角是.
由，则终边相同的最大负角是.
故答案为：，
【分析】
根据终边相同的角的定义直接写出即可.
【详解】
因与角终边相同连同角在内的角的集合为，
而角与角的终边相同，则，即，
所以.
故答案为：
13．
【分析】
分别写出终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合，再求这两个集合的并集即可.
【详解】
终边落在第一象限角平分线上的角的集合为，
终边落在第三象限角平分线上的角的集合为，
于是有，
所以角的集合是.
故答案为：
14．
【分析】
设扇形的圆心角的弧度数为，根据题中条件可列等式求出的值，再利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.
【详解】
设扇形的圆心角的弧度数为，则，解得，
该扇形的面积为.
故答案为：；.
15．轴 直线.
【分析】
将两角相加再除以2，即可得到对称轴终边所在位置，即可得到对称轴方程；
【详解】
解：因为，所以角的终边与的终边关于轴对称；
因为，所以角的终边与的终边关于直线对称；
故答案为：轴；直线；
16．答案见解析
【分析】
根据弧度制与角度值的换算公式、象限角的定义以及终边相同的角的公式可得结果.
【详解】
的度数
的弧度数
所在的象限 二 一 二 二
在内与终边相同的角
【点睛】
17．
【分析】
分别写出终边落在x轴上方和下方的阴影部分的角的集合，再求这两个集合的并集即可.
【详解】
终边落在x轴上方阴影部分的角的集合为：
，
终边落在x轴下方阴影部分的角的集合为：
，
所以角的取值范围是集合．
18．
【分析】
根据给定条件把集合B写成用形式表示的集合，再与集合A求交集即可.
【详解】
依题意，
而，
所以．
19．（1）第二象限角，终边相同的角的集合为；（2）第四象限角．终边相同的角的集合为；（3）第四象限角，终边相同的角的集合为．
【分析】
利用与角终边相同的角的集合的结论，即可得出结果.
【详解】
（1），它是第二象限角，终边相同的角的集合为．
（2），它是第四象限角．终边相同的角的集合为．
（3），而．
所以是第四象限角，终边相同的角的集合为．
20．（1）.
（2）.
【分析】
（1）根据2秒到达第三象限，以及14秒又回到出发点A，分别求角对应的范围，然后分别考虑的取值；（2）根据面积计算公式：直接计算即可.
【详解】
（1）
又
∴①又.②
由①②可得
（2）由（1）知
又∵∴
即线段OP每秒钟扫过的扇形的面积是.
【点睛】
本题考查终边相同的角的计算，难度一般.已知终边所在位置以及的取值范围，可通过对中的进行赋值，得到的值.
21．（1）；（2）当线段的长为5米时，花坛的面积最大.
【分析】
(1)根据扇形的面积公式,求出两个扇形面积之差就是所求花坛的面积即可；
(2)利用弧长公式根据预算费用总计1200元可得到等式,再求出花坛的面积的表达式,结合得到的等式,通过配方法可以求出面积最大时, 线段AD的长度.
【详解】
(1)设花坛的面积为S平方米.
答：花坛的面积为；
(2) 圆弧的长为米，圆弧的长为米，线段的长为米
由题意知，
即 * ，
，
由*式知，，
记则
所以=
当时，取得最大值，即时，花坛的面积最大，
答：当线段的长为5米时，花坛的面积最大.
【点睛】
本题考查了弧长公式和扇形面积公式,考查了数学阅读能力,考查了数学运算能力.
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