2021-2022学年高一数学人教B版(2019)必修第三册7.2.2单位圆与三角函数线同步练习
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高一数学人教B版(2019)必修第三册7.2.2单位圆与三角函数线同步练习 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 788.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-28 09:01:40 | ||
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文档简介
北京·高一·同步练习
单位圆与三角函数线
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．如果，则角与的终边除了可能重合外，还有可能（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于直线对称 D．关于原点对称
3．若θ∈（，），则下列各式中正确的有的个数是（ ）
①sinθ+cosθ<0；②sinθ﹣cosθ>0；③|sinθ|<|cosθ|；④sinθ+cosθ>0.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则下列关于角α的说法正确的是（ ）
A．正弦线是PM，正切线是A′T′
B．正弦线是MP，正切线是A′T′
C．正弦线是MP，正切线是AT
D．正弦线是PM，正切线是AT
5．已知角的正弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边（ ）
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在直线上 D．在直线或上
6．如图，已知单位圆O与y轴相交于A、B两点．角θ的顶点为原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在射线OC上．过点A作直线AC垂直于y轴且与角θ的终边交于点C，则有向线段AC的函数值是（ ）
A．sinθ B．cosθ C．tanθ D．cotθ
7．已知，且，则的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
8．已知，那么下列命题成立的是（ ）
A．若是第一象限角，则
B．若是第二象限角，则
C．若是第三象限角，则
D．若是第四象限角，则
9．在单位圆中，可以用线段表示，和，当时，它们从小到大排序为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
10．在平面坐标系中， 是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧最有可能的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知，在单位圆中角的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的模从大到小的顺序为_____________.
12．若，则下列各式错误的有______.（填序号）
①； ②；
③； ④
13．在内，则满足不等式的取值集合是_______________.
14．如图，、是单位圆上的点，是单位圆与轴正半轴的交点，点的坐标为，三角形为等边三角形，则点的坐标是____________
15．不等式组的解集为_______________________．
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．画出的正弦线、余弦线和正切线，并求出相应的函数值.
17．若，利用三角函数线证明：，且．
18．已知点在第一象限,在内求角的取值范围.
19．利用单位圆中的正弦线、余弦线或三角函数图像解下列各题.
（1）求满足不等式的x的集合；
（2）求函数的定义域.
20．利用单位圆和三角函数线证明：若为锐角，则
（1）；
（2）．
21．如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动.
（1）若点B的横坐标为，求的值；
（2）若为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合；
（3）若，求弓形的面积S与的函数关系式.
试卷第4页，共4页
试卷第6页，共6页
参考答案
1．D
【分析】
作出的三角函数线即得解.
【详解】
设的终边与单位圆相交于点，
根据三角函数线的定义可知，，，
显然.
所以.
故选：D
2．A
【分析】
由单位圆中的余弦线即可求解.
【详解】
如图：角的终边与单位圆相交于点，过点作轴于点，
由三角函数线的定义可知：，
由图知：设角的终边与单位圆相交于点，当角的终边与角的终边关于轴对称时，
过点作轴的垂线，则垂足为点，所以，
所以当角与的终边关于轴对称时，，
故选：A.
3．B
【分析】
在单位圆中利用三角函数线比较大小即可
【详解】
如图，因为θ∈（，），所以，且，
所以，，，
所以①错误，②正确，③错误，④正确，
故选：B
4．C
【分析】
根据正弦线、正切线的定义即可判断.
【详解】
由正弦线、正切线的定义可知，MP是正弦线，AT是正切线.
故选：C
【点睛】
本题主要考查正弦线、正切线的定义，属于基础题.
5．B
【分析】
根据三角函数的定义和三角函数线的定义，即可得到答案.
【详解】
根据题意，角的正弦线是单位长度的有向线段，故
只有当角的终边落在轴上时满足条件，所以角的终边在轴上.
故选：B
6．D
【分析】
直接利用三角函数线的定义判断.
【详解】
由余切线的定义可得有向线段AC表示cotθ
7．D
【分析】
利用三角函数线，数形结合，即可容易求得结果.
【详解】
画出单位圆以及，，，
∵，且，
从图中可知的取值范围是
故选：D.
【点睛】
本题考查利用三角函数线解三角不等式，属基础题.
8．D
【分析】
根据选项中角度所处象限，结合三角函数线即可比较大小.
【详解】
如图(1)，α、β的终边分别为OP、OQ，，
此时，故A错；
如图(2)，OP、OQ分别为角α、β的终边，，
∴，故B错；
如图(3)，角α，β的终边分别为OP、OQ，，
∴，故C错.
如图（4），角α，β的终边分别为OP、OQ，
∴，故D正确.
故选：D.
故选：.
【点睛】
本题考查三角函数线的应用，属基础题.
9．B
【分析】
在单位圆中用线段分别表示出三个量，由观察可得三个量的大小关系
【详解】
上图所示圆为单位圆，设，则，，，观察可得，当时，
故选：B
10．A
【分析】
根据三角函数线的定义，分别进行判断排除即可得答案．
【详解】
若P在AB段,正弦小于正切,正切有可能小于余弦;
若P在CD段，正切最大，则cosα若P在EF段，正切，余弦为负值，正弦为正，tanα若P在GH段，正切为正值，正弦和余弦为负值，cosα∴P所在的圆弧最有可能的是.
故选：A.
【点睛】
本题任意角的三角函数的应用，根据角的大小判断角的正弦、余弦、正切值的正负及大小，为基础题.
11．
【分析】
画出之间的任意角，在单位圆中画出角的正弦线、余弦线、正切线，即可比较大小．
【详解】
解:由图可知，当时，，即，，所以，故当时，.
故答案为：
【点睛】
本题考查了单位圆中角的正弦线、余弦线、正切线，正确画图是关键，属于基础题．
12．④
【分析】
利用三角函数的定义和值域，不等式的基本性质，得出结论.
【详解】
若，则，
所以，，①正确，④错误，，②正确，
，③正确，
故答案为：④
13．或
【分析】
作出图形，根据三角函数线找出使得对应的角的集合.
【详解】
作出单位圆如下图所示：
满足不等式的角的区域如图中的阴影部分所示（位于直线的下方），
故在内，则满足不等式的取值集合是或.
故答案为：或.
14．
【分析】
根据点的坐标，得到，.由图知：，，所以点的坐标是.
【详解】
由题知：，.
.
.
所以点的坐标是
故答案为：
【点睛】
本题主要考查三角函数的定义，同时考查了两角和差的正弦，余弦公式，属于中档题.
15．
【分析】
由得在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合，结合三角函数线即可得答案．
【详解】
由得在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合，如图所示，由三角函数线可得解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为．
【点睛】
本题考查借助三角函数线解三角不等式，属于一般题．
16．答案见解析
【分析】
根据三角函数线的定义，即可得到的正弦线、余弦线和正切线和函数值.
【详解】
根据三角函数线的定义，可得，，分别为正弦线、余弦线和正切线，
如图所示，其中，，
.
17．证明见解析
【分析】
在单位圆中作出角及角的正弦线，余弦线和正切线．由图即可证明.
【详解】
在单位圆中作出角及角的正弦线，余弦线和正切线．
在中，
∵，，
∴，∴，即．
在中，∵，，
∴，，即．
18．或.
【分析】
由点所象限确定坐标的正负，然后再由三角函数性质确定的范围．
【详解】
解:由题意,知,解得.或.
【点睛】
本题考查三角函数的定义．可利用三角函数性质解题，也可用三角函数线求解．
19．（1）；（2）
【分析】
（1）由得，在单位圆中确定余弦线为的角度有：，，即可确定角x的范围是：
（2）由的定义域得，在单位圆中确定正弦线为的角度有：，，即可确定角x的范围是：
【详解】
(1)由得
在直角坐标系单位圆中，把角x顶点为原点，其始边在x轴的正半轴上；在范围内余弦线为的角度有：，
所以满足条件的角x的范围是：
(2) 函数的定义域满足，即
在直角坐标系单位圆中，把角x顶点为原点，其始边在x轴的正半轴上；在范围内正弦线为的角度有：，
所以满足条件的角x的范围是：
【点睛】
本题考查了由已知三角函数值确定角的范围，结合单位圆找到正余弦线，进而确定角的范围
20．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
如图，记角的两边与单位圆的交点分别为点，，点在轴正半轴上，过点作轴于点，则，．
（1）由三角形的两边之和大于第三边即可得答案；
（2）由勾股定理即可得答案．
【详解】
证明：如图，记角的两边与单位圆的交点分别为点，，点在轴正半轴上，过点作轴于点，则，．
（1）在中，，∴．
（2）在中，，∴．
【点睛】
本题考查利用三角函数线和三角形的边长关系证明三角不等式与等式问题，属于一般题．
21．（1）；（2）；（3），.
【分析】
（1）由已知，,根据三角函数的定义可得；
（2）由题意可知：，则，由此可得答案；
（3）由扇形的面积减去三角形的面积可得答案.
【详解】
（1）由已知，，由三角函数的定义：.
（2）若△AOB是正三角形，则，于是，
故与终边相同的角的集合为.
（3）若，则扇形面积，而，
所以弓形的面积.
北京·高一·
单位圆与三角函数线
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．如果，则角与的终边除了可能重合外，还有可能（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于直线对称 D．关于原点对称
3．若θ∈（，），则下列各式中正确的有的个数是（ ）
①sinθ+cosθ<0；②sinθ﹣cosθ>0；③|sinθ|<|cosθ|；④sinθ+cosθ>0.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则下列关于角α的说法正确的是（ ）
A．正弦线是PM，正切线是A′T′
B．正弦线是MP，正切线是A′T′
C．正弦线是MP，正切线是AT
D．正弦线是PM，正切线是AT
5．已知角的正弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边（ ）
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在直线上 D．在直线或上
6．如图，已知单位圆O与y轴相交于A、B两点．角θ的顶点为原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在射线OC上．过点A作直线AC垂直于y轴且与角θ的终边交于点C，则有向线段AC的函数值是（ ）
A．sinθ B．cosθ C．tanθ D．cotθ
7．已知，且，则的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
8．已知，那么下列命题成立的是（ ）
A．若是第一象限角，则
B．若是第二象限角，则
C．若是第三象限角，则
D．若是第四象限角，则
9．在单位圆中，可以用线段表示，和，当时，它们从小到大排序为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
10．在平面坐标系中， 是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧最有可能的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知，在单位圆中角的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的模从大到小的顺序为_____________.
12．若，则下列各式错误的有______.（填序号）
①； ②；
③； ④
13．在内，则满足不等式的取值集合是_______________.
14．如图，、是单位圆上的点，是单位圆与轴正半轴的交点，点的坐标为，三角形为等边三角形，则点的坐标是____________
15．不等式组的解集为_______________________．
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．画出的正弦线、余弦线和正切线，并求出相应的函数值.
17．若，利用三角函数线证明：，且．
18．已知点在第一象限,在内求角的取值范围.
19．利用单位圆中的正弦线、余弦线或三角函数图像解下列各题.
（1）求满足不等式的x的集合；
（2）求函数的定义域.
20．利用单位圆和三角函数线证明：若为锐角，则
（1）；
（2）．
21．如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动.
（1）若点B的横坐标为，求的值；
（2）若为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合；
（3）若，求弓形的面积S与的函数关系式.
试卷第4页，共4页
试卷第6页，共6页
参考答案
1．D
【分析】
作出的三角函数线即得解.
【详解】
设的终边与单位圆相交于点，
根据三角函数线的定义可知，，，
显然.
所以.
故选：D
2．A
【分析】
由单位圆中的余弦线即可求解.
【详解】
如图：角的终边与单位圆相交于点，过点作轴于点，
由三角函数线的定义可知：，
由图知：设角的终边与单位圆相交于点，当角的终边与角的终边关于轴对称时，
过点作轴的垂线，则垂足为点，所以，
所以当角与的终边关于轴对称时，，
故选：A.
3．B
【分析】
在单位圆中利用三角函数线比较大小即可
【详解】
如图，因为θ∈（，），所以，且，
所以，，，
所以①错误，②正确，③错误，④正确，
故选：B
4．C
【分析】
根据正弦线、正切线的定义即可判断.
【详解】
由正弦线、正切线的定义可知，MP是正弦线，AT是正切线.
故选：C
【点睛】
本题主要考查正弦线、正切线的定义，属于基础题.
5．B
【分析】
根据三角函数的定义和三角函数线的定义，即可得到答案.
【详解】
根据题意，角的正弦线是单位长度的有向线段，故
只有当角的终边落在轴上时满足条件，所以角的终边在轴上.
故选：B
6．D
【分析】
直接利用三角函数线的定义判断.
【详解】
由余切线的定义可得有向线段AC表示cotθ
7．D
【分析】
利用三角函数线，数形结合，即可容易求得结果.
【详解】
画出单位圆以及，，，
∵，且，
从图中可知的取值范围是
故选：D.
【点睛】
本题考查利用三角函数线解三角不等式，属基础题.
8．D
【分析】
根据选项中角度所处象限，结合三角函数线即可比较大小.
【详解】
如图(1)，α、β的终边分别为OP、OQ，，
此时，故A错；
如图(2)，OP、OQ分别为角α、β的终边，，
∴，故B错；
如图(3)，角α，β的终边分别为OP、OQ，，
∴，故C错.
如图（4），角α，β的终边分别为OP、OQ，
∴，故D正确.
故选：D.
故选：.
【点睛】
本题考查三角函数线的应用，属基础题.
9．B
【分析】
在单位圆中用线段分别表示出三个量，由观察可得三个量的大小关系
【详解】
上图所示圆为单位圆，设，则，，，观察可得，当时，
故选：B
10．A
【分析】
根据三角函数线的定义，分别进行判断排除即可得答案．
【详解】
若P在AB段,正弦小于正切,正切有可能小于余弦;
若P在CD段，正切最大，则cosα
故选：A.
【点睛】
本题任意角的三角函数的应用，根据角的大小判断角的正弦、余弦、正切值的正负及大小，为基础题.
11．
【分析】
画出之间的任意角，在单位圆中画出角的正弦线、余弦线、正切线，即可比较大小．
【详解】
解:由图可知，当时，，即，，所以，故当时，.
故答案为：
【点睛】
本题考查了单位圆中角的正弦线、余弦线、正切线，正确画图是关键，属于基础题．
12．④
【分析】
利用三角函数的定义和值域，不等式的基本性质，得出结论.
【详解】
若，则，
所以，，①正确，④错误，，②正确，
，③正确，
故答案为：④
13．或
【分析】
作出图形，根据三角函数线找出使得对应的角的集合.
【详解】
作出单位圆如下图所示：
满足不等式的角的区域如图中的阴影部分所示（位于直线的下方），
故在内，则满足不等式的取值集合是或.
故答案为：或.
14．
【分析】
根据点的坐标，得到，.由图知：，，所以点的坐标是.
【详解】
由题知：，.
.
.
所以点的坐标是
故答案为：
【点睛】
本题主要考查三角函数的定义，同时考查了两角和差的正弦，余弦公式，属于中档题.
15．
【分析】
由得在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合，结合三角函数线即可得答案．
【详解】
由得在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合，如图所示，由三角函数线可得解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为．
【点睛】
本题考查借助三角函数线解三角不等式，属于一般题．
16．答案见解析
【分析】
根据三角函数线的定义，即可得到的正弦线、余弦线和正切线和函数值.
【详解】
根据三角函数线的定义，可得，，分别为正弦线、余弦线和正切线，
如图所示，其中，，
.
17．证明见解析
【分析】
在单位圆中作出角及角的正弦线，余弦线和正切线．由图即可证明.
【详解】
在单位圆中作出角及角的正弦线，余弦线和正切线．
在中，
∵，，
∴，∴，即．
在中，∵，，
∴，，即．
18．或.
【分析】
由点所象限确定坐标的正负，然后再由三角函数性质确定的范围．
【详解】
解:由题意,知,解得.或.
【点睛】
本题考查三角函数的定义．可利用三角函数性质解题，也可用三角函数线求解．
19．（1）；（2）
【分析】
（1）由得，在单位圆中确定余弦线为的角度有：，，即可确定角x的范围是：
（2）由的定义域得，在单位圆中确定正弦线为的角度有：，，即可确定角x的范围是：
【详解】
(1)由得
在直角坐标系单位圆中，把角x顶点为原点，其始边在x轴的正半轴上；在范围内余弦线为的角度有：，
所以满足条件的角x的范围是：
(2) 函数的定义域满足，即
在直角坐标系单位圆中，把角x顶点为原点，其始边在x轴的正半轴上；在范围内正弦线为的角度有：，
所以满足条件的角x的范围是：
【点睛】
本题考查了由已知三角函数值确定角的范围，结合单位圆找到正余弦线，进而确定角的范围
20．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
如图，记角的两边与单位圆的交点分别为点，，点在轴正半轴上，过点作轴于点，则，．
（1）由三角形的两边之和大于第三边即可得答案；
（2）由勾股定理即可得答案．
【详解】
证明：如图，记角的两边与单位圆的交点分别为点，，点在轴正半轴上，过点作轴于点，则，．
（1）在中，，∴．
（2）在中，，∴．
【点睛】
本题考查利用三角函数线和三角形的边长关系证明三角不等式与等式问题，属于一般题．
21．（1）；（2）；（3），.
【分析】
（1）由已知，,根据三角函数的定义可得；
（2）由题意可知：，则，由此可得答案；
（3）由扇形的面积减去三角形的面积可得答案.
【详解】
（1）由已知，，由三角函数的定义：.
（2）若△AOB是正三角形，则，于是，
故与终边相同的角的集合为.
（3）若，则扇形面积，而，
所以弓形的面积.
北京·高一·