第六章 一次函数 新定义型试题 专项训练 （含解析）
文档属性
| 名称 | 第六章 一次函数 新定义型试题 专项训练 （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-28 09:02:54 | ||
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文档简介
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专项训练
新定义型试题
类型一 实数运算中的新定义
1.定义新运算“＠”的运算法则为x＠y＝，如1＠2＝，那么4＠8＝___________.
2.在实数范围内定义一种新运算“ ”，其运算规则为a b＝-2ab，如：1 5＝-2×1×5＝-10，则式子____________.
3.定义一种新运算：对于任意实数m、n，都有m◎n＝m2-mn-5，等式右边是通常的减法、乘法及乘方运算，比如：2◎3＝22-2×3-5＝4-6-5＝-7，试求◎4的值.
4.定义新运算：ab＝a（1-b），其中等号右边是常规的乘法和减法运算，例如：（-1）1＝（-1）×（1-1）＝0.
（1）计算：（1＋）；
（2）小嘉说：“若a＋b＝0，则aa＋bb＝2ab.”你是否同意他的观点？请说明理由.
类型二 坐标与函数中的新定义
5.定义新运算：a＆b＝，例如：3＆4＝12，3＆（-4）＝12，则函数y＝2＆x（x≠0）的图象大致是（ ）
6.我们把［a，b］称为一次函数y＝ax＋b的“特征数”.如果“特征数”是［2，n＋1］的一次函数为正比例函数，则n的值为___________.
7.新定义：［a，b］为一次函数y＝ax＋b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”若“关联数”为［3，m-2］的一次函数是正比例函数，则点（1-m，1＋m）在第________象限.
类型三 一次函数与几何图形综合中的新定义
8.在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积的数值相等，则这个点叫做和谐点，如图所示，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形OAPB的周长与面积的数值相等，则点P是和谐点.
（1）请判断点M（1，3），N（3，6）是不是和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点P（a，3）在直线y＝x＋3b（b为常数）上，求a、b的值.
9.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“衍生矩形”.下图为点P，Q的“衍生矩形”的示意图.
（1）已知点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（2，4），求点A，B的“衍生矩形”的面积；
（2）已知点A的坐标为（-1，0），点C在直线x＝2上，若点A，C的“衍生矩形”为正方形，求直线AC的解析式.
参考答案
1. 6 解析 ∵，∴.
2. -2 解析 根据题中新定义的运算得原式＝.
3.解析 ◎4＝（）2-×4-5＝5-4-5＝-4.
4.解析 （1）（1＋）＝（1＋）×（1-）＝1-2＝-1.
（2）同意.理由如下：
a＋b＝0，∴a＝-b，b＝-a，
∴aa＋bb＝a（-b）＋b（-a）＝a（1＋b）＋b（1＋a）＝（a＋b）＋2ab＝2ab，∴小嘉的观点正确.
5.C 由题意，得y＝2＆x＝，
当x＞0时，正比例函数y＝2x的图象在第一象限，
当x＜0时，正比例函数y＝-2x的图象在第二象限，
又因为正比例函数图象是直线，所以C选项符合.
故选C.
6. -1
解析 由题意得n＋1＝0，解得n＝-1.
7.答案 二
解析 ∵“关联数”为［3，m-2］的一次函数是正比例函数，∴y＝3x＋m-2是正比例函数，∴.m-2＝0，解得m＝2，则1-m＝-1，1＋m＝3，故点（1-m，1＋m）在第二象限.故答案为二.
8.解析 （1）点M不是和谐点，点N是和谐点.
理由：M（1，3），∵C＝（1＋3）×2＝8，S＝1×3＝3，
∵8≠3，∴M（1，3）不是和谐点；
∵N（3，6），∴C＝（3＋6）×2＝18，S＝3×6＝18，
∵18＝18，∴N（3，6）是和谐点.
（2）∵P（a，3）是和谐点，
∴（a＋3）×2＝3a或（-a＋3）×2＝-3a，解得a＝6或a＝-6.
把P（6，3）代入y＝x＋3b，得3＝6＋3b，解得b＝-1.
把P（-6，3）代入y＝x＋3b，得3＝-6＋3b，解得b＝3.
综上所述，a＝6，b＝-1或a＝-6，b＝3.
9.解析 （1）∵点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（2，4）
∴由定义可知点A，B的“衍生矩形”的宽与长分别为3和4，
∴点A，B的“衍生矩形”的面积为3×4＝12.
（2）由定义可知AC是点A，C的“衍生矩形”的对角线，
又∵点A，C的“衍生矩形”为正方形，∴直线AC与x轴所夹的锐角为45°，
∴C（2，3）或（2，-3），
设直线AC的解析式为y＝kx＋b（k≠0），
把A，C坐标分别代入得，0＝-k＋b，3＝2k＋b或0＝-k＋b，-3＝2k＋b，
解得k＝1，b＝1或k＝-1，b＝-1.
∴y＝x＋1或y＝-x-1.
综上所述，若点A，C的“衍生矩形”为正方形，则直线AC的解析
式为y＝x＋1或y＝-x-1.
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专项训练
新定义型试题
类型一 实数运算中的新定义
1.定义新运算“＠”的运算法则为x＠y＝，如1＠2＝，那么4＠8＝___________.
2.在实数范围内定义一种新运算“ ”，其运算规则为a b＝-2ab，如：1 5＝-2×1×5＝-10，则式子____________.
3.定义一种新运算：对于任意实数m、n，都有m◎n＝m2-mn-5，等式右边是通常的减法、乘法及乘方运算，比如：2◎3＝22-2×3-5＝4-6-5＝-7，试求◎4的值.
4.定义新运算：ab＝a（1-b），其中等号右边是常规的乘法和减法运算，例如：（-1）1＝（-1）×（1-1）＝0.
（1）计算：（1＋）；
（2）小嘉说：“若a＋b＝0，则aa＋bb＝2ab.”你是否同意他的观点？请说明理由.
类型二 坐标与函数中的新定义
5.定义新运算：a＆b＝，例如：3＆4＝12，3＆（-4）＝12，则函数y＝2＆x（x≠0）的图象大致是（ ）
6.我们把［a，b］称为一次函数y＝ax＋b的“特征数”.如果“特征数”是［2，n＋1］的一次函数为正比例函数，则n的值为___________.
7.新定义：［a，b］为一次函数y＝ax＋b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”若“关联数”为［3，m-2］的一次函数是正比例函数，则点（1-m，1＋m）在第________象限.
类型三 一次函数与几何图形综合中的新定义
8.在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积的数值相等，则这个点叫做和谐点，如图所示，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形OAPB的周长与面积的数值相等，则点P是和谐点.
（1）请判断点M（1，3），N（3，6）是不是和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点P（a，3）在直线y＝x＋3b（b为常数）上，求a、b的值.
9.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“衍生矩形”.下图为点P，Q的“衍生矩形”的示意图.
（1）已知点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（2，4），求点A，B的“衍生矩形”的面积；
（2）已知点A的坐标为（-1，0），点C在直线x＝2上，若点A，C的“衍生矩形”为正方形，求直线AC的解析式.
参考答案
1. 6 解析 ∵，∴.
2. -2 解析 根据题中新定义的运算得原式＝.
3.解析 ◎4＝（）2-×4-5＝5-4-5＝-4.
4.解析 （1）（1＋）＝（1＋）×（1-）＝1-2＝-1.
（2）同意.理由如下：
a＋b＝0，∴a＝-b，b＝-a，
∴aa＋bb＝a（-b）＋b（-a）＝a（1＋b）＋b（1＋a）＝（a＋b）＋2ab＝2ab，∴小嘉的观点正确.
5.C 由题意，得y＝2＆x＝，
当x＞0时，正比例函数y＝2x的图象在第一象限，
当x＜0时，正比例函数y＝-2x的图象在第二象限，
又因为正比例函数图象是直线，所以C选项符合.
故选C.
6. -1
解析 由题意得n＋1＝0，解得n＝-1.
7.答案 二
解析 ∵“关联数”为［3，m-2］的一次函数是正比例函数，∴y＝3x＋m-2是正比例函数，∴.m-2＝0，解得m＝2，则1-m＝-1，1＋m＝3，故点（1-m，1＋m）在第二象限.故答案为二.
8.解析 （1）点M不是和谐点，点N是和谐点.
理由：M（1，3），∵C＝（1＋3）×2＝8，S＝1×3＝3，
∵8≠3，∴M（1，3）不是和谐点；
∵N（3，6），∴C＝（3＋6）×2＝18，S＝3×6＝18，
∵18＝18，∴N（3，6）是和谐点.
（2）∵P（a，3）是和谐点，
∴（a＋3）×2＝3a或（-a＋3）×2＝-3a，解得a＝6或a＝-6.
把P（6，3）代入y＝x＋3b，得3＝6＋3b，解得b＝-1.
把P（-6，3）代入y＝x＋3b，得3＝-6＋3b，解得b＝3.
综上所述，a＝6，b＝-1或a＝-6，b＝3.
9.解析 （1）∵点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（2，4）
∴由定义可知点A，B的“衍生矩形”的宽与长分别为3和4，
∴点A，B的“衍生矩形”的面积为3×4＝12.
（2）由定义可知AC是点A，C的“衍生矩形”的对角线，
又∵点A，C的“衍生矩形”为正方形，∴直线AC与x轴所夹的锐角为45°，
∴C（2，3）或（2，-3），
设直线AC的解析式为y＝kx＋b（k≠0），
把A，C坐标分别代入得，0＝-k＋b，3＝2k＋b或0＝-k＋b，-3＝2k＋b，
解得k＝1，b＝1或k＝-1，b＝-1.
∴y＝x＋1或y＝-x-1.
综上所述，若点A，C的“衍生矩形”为正方形，则直线AC的解析
式为y＝x＋1或y＝-x-1.
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