2021-2022学年沪科版七年级数学上册3.1～3.2一元一次方程及其解法、应用（word版含解析）

第三章 阶段培优练习题（练习范围3.1～3.2一元一次方程及其解法、应用）2021-2022学年沪科版七年级数学上册
一、选择题
1、下列方程：①；②；③；④；⑤.其中，属于一元一次方程的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、下列等式的变形，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3、若x=-3是方程的解，则的值是（ ）
A．6 B．－6 C．12 D．－12
4、在有理数范围内定义运算“”：，如：．
如果成立，则的值是（ ）
A． B．5 C．0 D．2
5、小亮在做作业时，不小心把方程中的一个常数污染了看不清，被污染的方程为：，他翻看答案，解为，请你帮他补出这个常数是（ ）
A． B．8 C． D．12
6、下列解方程过程中，变形正确的是(　　)
A．由5x﹣1＝3，得5x＝3﹣1 B．由+1＝+12，得+1＝+12
C．由3﹣＝0，得6﹣x+1＝0 D．由＝1，得2x﹣3x＝1
7、关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．5
8、解方程，较简便的是（ ）
A．先去分母 B．先去括号 C．先两边都除以 D．先两边都乘
9、为了鼓励市民节约用水，某区居民生活用水按阶梯式水价计费．居民在一年内用水在不同的定额范围内，执行不同的水价，其中水价＝供水价格＋污水处理费．具体价格如表：
类别 户年用水量（立方米） 水价（立方米）
供水价格（元/立方米） 污水处理费（元/立方米）
居民生活用水 一户一表 阶梯一 0--216（含） 1.90 1.00
阶梯二 216—300（含） 2.85
阶梯三 300以上 5.70
该区一居民家发现2020年7月份比6月份多用10立方米水，7月份水费为86.4元，比6月份多了55.6元，则该居民家7月份属阶梯二的用水量为（ ）
A．22立方米 B．18立方米 C．13立方米 D．12立方米
10、如图，是由7块正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，则这个长方形的面积为（　　）
A．63 B．72 C．99 D．110
二、填空题
11、已知方程是关于的一元一次方程，则应满足的条件是_______．
12、已知方程（a＋1）x＋2＝0的解是正整数时，整数a取值为________.
13、解方程，有下列步骤：①，②，
③，④，⑤，其中首先发生错误的一步是_________．
14、若方程与方程的解相同，则______________．
15、若方程与关于的方程的解互为相反数，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
16、小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染得看不清楚，被污染的方程是小明翻看了书后的答案，此方程的解是y＝，则这个常数是_____
17、小明在解关于的方程时，误将“”看作“”，得到方程的解为，则此方程正确的解为________
18、已知关于的方程的解为x=4，那么关于的方程的解为___________．
19、船在静水中的速度为50千米/时，水流速度为10千米/时，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了12小时（中途不停留），则甲、乙两码头的距离为______千米．
20、如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重复地放在一个底面为长方形的盒子底部，其中小长方形卡片较短边长为厘米，盒子底面长为10厘米，宽为厘米，盒子底面中未被卡片覆盖的部分用阴影，表示，若阴影和的面积相等，则的值为______厘米.
三、解答题
21、解方程：
（1）． （2）．
(3) (4)
22、在做解方程练习时，有一个方程“y﹣＝y+■”题中■处不清晰，李明问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当x＝2时整式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4的值相同．”依据老师的提示，请你帮李明找到“■”这个有理数，并求出方程的解．
23、（1）方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值．
（2）已知关于x的方程与方程的解的和为，求a的值．
（3）当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大2？
24、先看例子，再解类似的题目：
例：解方程：．
解法一：当时，原方程化为，解方程，得；当时，原方程化为，解方程，得．所以方程的解为或．
解法二：移项，得，合并同类项，得，由绝对值的意义知，．所以原方程的解为或．
问题：用你发现的规律解方程．
25、一个装满稻谷的圆柱形粮屯，底面积是3.2平方米，高是1.8米．若把这些稻谷堆成高是0.9米的圆锥形谷堆，占地面积是多少平方米？
26、如图，A、B两地相距90千米，从A到B的地形依次为：60千米平直公路，10千米上坡公路，20千米平直公路．甲从A地开汽车以120千米/小时的速度前往B地，乙从B地骑摩托车以60千米/小时的速度前往A地，汽车上坡的速度为100千米/小时，摩托车下坡的速度为80千米/小时，甲、乙两人同时出发．
（1）求甲从A到B地所需要的时间．
（2）求两人出发后经过多少时间相遇？
（3）求甲从A地前往B地的过程中，甲、乙经过多少时间相距10千米？
27、某种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠．该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）．
问：（1）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？
（2）购买15盒、30盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？
28、如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝20，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点B表示的数　 　；点P表示的数　 　（用含t的代数式表示）
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？
（3）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速到家动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上Q？
（4）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．
第三章 阶段培优练习题（练习范围3.1～3.2一元一次方程及其解法、应用）2021-2022学年沪科版七年级数学上册（解析）
一、选择题
1、下列方程：①；②；③；④；⑤.其中，属于一元一次方程的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】一元一次方程为，含有一个未知数，未知数的最高次数为1的等式.根据概念去判断.
【解析】①,含有两个未知数，排除.②，分母含有未知数，为分式方程，排除.
③，未知数的最高次数为2，排除.④,含有一个未知数，次数为1，是等式，符合.
⑤,含有一个未知数，次数为1，是等式，符合.故答案为：B.
2、下列等式的变形，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A．当a=0时，根据a2=5a不能推出a=5，故本选项不符合题意；
B．当x=±1，根据a=b不能推出，故本选项不符合题意；
C．∵a=b+2，∴乘以2得：2a=2b+4，故本选项不符合题意；
D．∵x+y=2y，∴x+y-y=2y-y，即x=y，故本选项符合题意；故选：D．
3、若x=-3是方程的解，则的值是（ ）
A．6 B．－6 C．12 D．－12
【答案】B
【分析】把x=-3，代入方程得到一个关于m的方程，即可求解．
【解析】解：把x=-3代入方程得：2（-3-m）=6，解得：m=-6．故选：B．
4、在有理数范围内定义运算“”：，如：．
如果成立，则的值是（ ）
A． B．5 C．0 D．2
【答案】B
【分析】根据新定义，将变形为方程，解之即可．
【详解】解：∵，∴可化为，解得：x=5，故选B．
5、小亮在做作业时，不小心把方程中的一个常数污染了看不清，被污染的方程为：，他翻看答案，解为，请你帮他补出这个常数是（ ）
A． B．8 C． D．12
【答案】B
【分析】将代入被污染的方程，即可求出污染处的常数.
【解析】将代入被污染的方程，得：
解得： 故选B
6、下列解方程过程中，变形正确的是(　　)
A．由5x﹣1＝3，得5x＝3﹣1 B．由+1＝+12，得+1＝+12
C．由3﹣＝0，得6﹣x+1＝0 D．由＝1，得2x﹣3x＝1
【答案】C
【分析】各方程变形得到结果，即可作出判断．
【解析】解：A、由5x﹣1＝3，得到5x＝3+1，不符合题意；
B、由+1＝+12，得+1＝+12，不符合题意；
C、由3﹣＝0，得6﹣x+1＝0，符合题意；
D、由＝1，得2x﹣3x＝6，不符合题意，故选：C．
7、关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．5
【答案】C
【分析】先根据一元一次方程的定义可得出a的值，再根据一元一次方程的解定义可求出m的值，然后代入求值即可．
【解析】方程是关于的一元一次方程
解得，方程为，
又是方程的解，，
解得，则，故选：C．
8、解方程，较简便的是（ ）
A．先去分母 B．先去括号 C．先两边都除以 D．先两边都乘
【答案】B
【分析】根据方程的特点应先去括号解答．
【详解】解：由于括号外的与括号内的每一项都可以约分，化成整数，所以，较简便的是先去括号．
故选：B．
9、为了鼓励市民节约用水，某区居民生活用水按阶梯式水价计费．居民在一年内用水在不同的定额范围内，执行不同的水价，其中水价＝供水价格＋污水处理费．具体价格如表：
类别 户年用水量（立方米） 水价（立方米）
供水价格（元/立方米） 污水处理费（元/立方米）
居民生活用水 一户一表 阶梯一 0--216（含） 1.90 1.00
阶梯二 216—300（含） 2.85
阶梯三 300以上 5.70
该区一居民家发现2020年7月份比6月份多用10立方米水，7月份水费为86.4元，比6月份多了55.6元，则该居民家7月份属阶梯二的用水量为（ ）
A．22立方米 B．18立方米 C．13立方米 D．12立方米
【答案】D
【分析】根据题意，阶梯一、二、三阶段的水价，分别计算6、7月份用水量同在第一、二、三阶段时10方水的价格，得到7月份用水量跨二、三阶段，而六月份用水量在第二阶段，从而得到6月份用水量为8立方米，7月份用水量为18立方米，设7月份第二阶段用水量为立方米，则第三阶段用水量为立方米．根据题意列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，阶梯一、二、三阶段的水价分别为：2.90/立方米、3.85/立方米、6.70元/立方米；
若6、7月份用水量同在第一阶段，则两月水费差应为元；
若6、7月份用水量同在第二阶段，则两月水费差应为元；
若6、7月份用水量同在第三阶段，则两月水费差应为元；
由于两实际水费差为55.6元，38.5＜55.6＜67，由题意可知，7月份用水量跨二、三阶段，而六月份用水量在第二阶段，易算出6月份用水量为立方米，则7月份用水量则为18立方米．
设7月份第二阶段用水量为立方米，则第三阶段用水量为立方米．
列出方程：；解得：．故选D．
10、如图，是由7块正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，则这个长方形的面积为（　　）
A．63 B．72 C．99 D．110
【答案】A
【分析】设出正方形的边长，进而表示出其他正方形的边长，根据长方形的长相等列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出长方形的面积即可．
【详解】解：设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
根据图形得：，
解得：，
则长方形的面积为．
故选：A．
二、填空题
11、已知方程是关于的一元一次方程，则应满足的条件是_______．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义判断求解即可；
【解析】方程化为，，∴；故答案是．
12、已知方程（a＋1）x＋2＝0的解是正整数时，整数a取值为________.
【答案】-2或-3
【分析】先解含a的方程，用a表示x，根据方程的解是正整数，求出a的值.
【解析】解：（a＋1）x＋2＝0 x= ，
∵方程的解是正整数，∴-(a+1)=1或-(a+1)=2，∴a=-2或a=-3 故答案为：-2或-3
13、解方程，有下列步骤：①，②，
③，④，⑤，其中首先发生错误的一步是_________．
【解析】解：去分母得：3（3x+1）=12-（2x-1），
去括号得：9x+3=12-2x+1，移项得：9x+2x=12+1-3，合并得：11x=10，
解得：【答案】③
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，得到结果，即可做出判断．
x=，其中首先发生错误的是③．故答案为：③．
14、若方程与方程的解相同，则______________．
【答案】
【分析】先解方程求出x的值，再代入方程可得关于a的一元一次方程，然后解方程即可得．
【解析】，，，，由题意得：是方程的解，
则，，，，故答案为：．
15、若方程与关于的方程的解互为相反数，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分别求出两个方程的解，然后根据两个方程的解互为相反数即可计算得到答案.
【详解】解：∵∴解得
∵，∴解得
∵与的解互为相反数，
∴，解得，.故选A.
16、小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染得看不清楚，被污染的方程是小明翻看了书后的答案，此方程的解是y＝，则这个常数是_____
【答案】2
【分析】设所缺的部分为x，2y+＝y-x，把y=- 代入，即可求得x的值．
【详解】解：设所缺的部分为x， 则2y+＝y-x， 把y=- 代入， 求得x=2．
17、小明在解关于的方程时，误将“”看作“”，得到方程的解为，则此方程正确的解为________
【答案】
【分析】把x=1代入错误方程中计算即可求出a的值，把a的值代入方程，求出解即可．
【详解】解：把x=1代入得：2+1=3a+2，解得：a=；
把a=代入原方程得：，
去分母得：6-（x-4）=3-6x，
去括号得：6-x+4=3-6x，
移项得：-x+6x=3-6-4，
合并同类项得：5x=-7，
解得：，
18、已知关于的方程的解为x=4，那么关于的方程的解为___________．
【答案】
【分析】结合题意，根据一元一次方程和绝对值的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：∵关于的方程的解为x=4∴
∵，且 ∴ ∴故答案为：．
19、船在静水中的速度为50千米/时，水流速度为10千米/时，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了12小时（中途不停留），则甲、乙两码头的距离为______千米．
【答案】288
【分析】设甲、乙两码头的距离为x千米，根据顺流速度＝静水速度＋水流速度，逆流速度＝静水速度﹣水流速度，由时间的等量关系列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设甲、乙两码头的距离为x千米，
依题意：，
解得：x＝288，
故答案为：288．
20、如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重复地放在一个底面为长方形的盒子底部，其中小长方形卡片较短边长为厘米，盒子底面长为10厘米，宽为厘米，盒子底面中未被卡片覆盖的部分用阴影，表示，若阴影和的面积相等，则的值为______厘米.
【答案】
【分析】根据图形表示出A、B的长与宽，再根据阴影和的面积相等，列方程解答即可.
【详解】根据题意得：阴影A的长为3a厘米，宽为2a厘米；
阴影B的长为（10-3a）厘米，宽为5a-3a=2a厘米
∵阴影和的面积相等
∴3a=10-3a
a=
故答案为：
三、解答题
21、解方程：
（1）． （2）．
(3) (4)
【答案】（1）；（2）．(3) (4)．
【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可得；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可得．
(3)此题考查一元一次方程的解法，根据方程依次去分母，去括号，合并同类项求解即可．
(4)先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．
【解析】（1），
两边同乘以12去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2），
两边同乘以10去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
(3)去分母，可得：6（4x﹣1．5）﹣150（0．5x﹣0．3）=2
去括号，可得：24x﹣9﹣75x+45=2
移项，合并同类项，可得：51x=34
解得x= ．
(4)原方程可以化成：．
去分母，得：30x－7(17－20x)＝21．
去括号、移项、合并同类项，得：170x＝140．
系数化成1，得：．
22、在做解方程练习时，有一个方程“y﹣＝y+■”题中■处不清晰，李明问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当x＝2时整式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4的值相同．”依据老师的提示，请你帮李明找到“■”这个有理数，并求出方程的解．
【答案】“■”这个有理数为，方程的解为：y＝1．
【解析】解：当x＝2时，整式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4＝5×（2﹣1）﹣2×（2﹣2）﹣4＝1
∵方程的解与当x＝2时整式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4的值相同
∴方程的解为：y＝1
当y＝1时，1﹣＝×1+■，解得：■＝．
答：“■”这个有理数为，方程的解为：y＝1．
23、（1）方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值．
（2）已知关于x的方程与方程的解的和为，求a的值．
（3）当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大2？
【答案】（1）1；（2）-3；（3）
【分析】（1）先求出第一个方程的解，把x=-3代入第二个方程，即可求出k．
（2）首先解两个关于x的方程，利用a表示出方程的解，然后根据两个方程的解的和是，列方程求得a的值．（3）分别解两个方程求得方程的解，然后根据x的方程5m+3x=1+x的解比关于x的方程2x+m=3m的解大2，即可列方程求得m的值．
【详解】解：（1）解方程2-3（x+1）=0得：x=，的倒数为x=-3，
把x=-3代入方程得：，解得：k=1．
（2）解2x-a=1得x=，解得x=，
由题知，解得a=-3．
（3）解方程5m+3x=1+x得：x=，
解2x+m=3m得：x=m，根据题意得：，解得：m=．
24、先看例子，再解类似的题目：
例：解方程：．
解法一：当时，原方程化为，解方程，得；当时，原方程化为，解方程，得．所以方程的解为或．
解法二：移项，得，合并同类项，得，由绝对值的意义知，．所以原方程的解为或．
问题：用你发现的规律解方程．
【答案】
【分析】解法一：讨论x≥0与x＜0时两种情况，即可求出解；
解法二：方程变形后，利用绝对值的代数意义化简，即可求出解．
【解析】解法一：当时，原方程化为，解得，
当时，原方程化为，解得．
综上，x=±5.
解法二：．
移项得并合并同类项得，∴.
25、一个装满稻谷的圆柱形粮屯，底面积是3.2平方米，高是1.8米．若把这些稻谷堆成高是0.9米的圆锥形谷堆，占地面积是多少平方米？
【答案】19.2
【分析】根据体积相等列方程．
【解析】设圆锥形谷堆占地面积为x
则3.2×1.8=x×0.9÷3
x=19.2
26、如图，A、B两地相距90千米，从A到B的地形依次为：60千米平直公路，10千米上坡公路，20千米平直公路．甲从A地开汽车以120千米/小时的速度前往B地，乙从B地骑摩托车以60千米/小时的速度前往A地，汽车上坡的速度为100千米/小时，摩托车下坡的速度为80千米/小时，甲、乙两人同时出发．
（1）求甲从A到B地所需要的时间．
（2）求两人出发后经过多少时间相遇？
（3）求甲从A地前往B地的过程中，甲、乙经过多少时间相距10千米？
【答案】（1）小时；（2）小时；（3）或小时
【分析】（1）分段求出所需时间，相加即可得到甲从A到B地所需要的时间；
（2）先判断在哪段相遇，再根据题意列出正确的方程即可求解；
（3）先判定甲从A地前往B地的过程中，甲、乙有两次相距10千米的机会，分情况求解即可．
【详解】（1）甲在段所需时间为：小时，
甲在段所需时间为：小时，甲在段所需时间为：小时，
所以甲从A到B地所需要的时间为小时．
答：甲从A到B地所需要的时间为小时．
（2）乙在段所需时间为：小时，乙在段所需时间为：小时，
，甲在段所需时间为，甲乙会在段相遇，
同时出发，则甲走了小时，走了千米，甲乙相遇时间为小时．
答：两人出发后经过小时相遇．
（3）设甲，乙经过小时后，两人相距10千米，
①相遇前，相距10千米，甲在上，乙在上，
此时，甲走的路程为：，乙走的路程为：，
，解得：
②相遇后，相距10千米，甲在上，乙在上，
此时，甲的路程为，乙的路程为，
，解得：
甲从地前往地的过程中，甲，乙经过或小时相距10千米．
答：甲从地前往地的过程中，甲，乙经过或小时相距10千米．
27、某种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠．该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）．
问：（1）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？
（2）购买15盒、30盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？
【答案】（1）盒；（2）买盒时去甲店较合算，买盒时，去乙店较合算
【解析】解：（1）设购买盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样．
根据题意：，解得．
所以，购买盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样．
（2）当购买盒时：甲店需付款（元），
乙店需付款（元）．
因为，所以，购买盒乒乓球时， 去甲店较合算．
当购买盒时：甲店需付款（元）；
乙店需付款（元）．
因为，所以购买盒乒乓球时，去乙店较合算．
答：购买15盒乒乓球，去甲店较合算，购买30盒乒乓球，去乙店较核算．
28、如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝20，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点B表示的数　 　；点P表示的数　 　（用含t的代数式表示）
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？
（3）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速到家动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上Q？
（4）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．
解：（1）数轴上点B表示的数为8﹣20＝﹣12；点P表示的数为8﹣5t；
故答案为：﹣12，8﹣5t
（2）若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．
根据题意，得3t+5t＝20﹣2或3t+5t＝20+2
解得t＝或t＝
答：若点P、Q同时出发，秒或秒时P、Q之间的距离恰好等于2；
（3）设点P运动t秒时追上Q，
根据题意，得5t﹣3t＝20，
解得t＝10．
答：若点P、Q同时出发，点P运动10秒时追上Q、
（4）线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由如下：
①当点P在点A、B两点之间运动时：
MN＝MP+NP＝AP+BP＝（AP+BP）＝AB＝×20＝10，
②当点P运动到点B的左侧时：
MN＝MP﹣NP＝AP﹣BP＝（AP﹣BP）＝AB＝＝10，
∴线段MN的长度不发生变化，其值为10．