2.3简单的轴对称图形 同步达标测评 2021-2022学年鲁教版（五四制）七年级数学上册（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2.3简单的轴对称图形 同步达标测评 2021-2022学年鲁教版（五四制）七年级数学上册（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 300.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-28 07:44:01 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版七年级数学上册《2.3简单的轴对称图形》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．如图，点P是∠AOB内的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，连接OP，CD．若PC＝PD，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠AOP＝∠BOP B．∠OPC＝∠OPD
C．PO垂直平分CD D．PD＝CD
2．如图，∠ABC＝90°，∠C＝15°，线段AC的垂直平分线DE交AC于D，交BC于E，D为垂足，CE＝10 cm，则AB＝（ ）
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．不能确定
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A═55°，点P是AB上的一个动点，则∠APC的度数可能是（ ）
A．55° B．62° C．80° D．130°
4．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若AB＝20，BC＝15，AC＝12，则△ADE的周长是（ ）
A．27 B．30 C．32 D．35
6．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE＝BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG、AD于点M、点N，连接GN，CN，下列结论：①EG⊥AB；②GF＝EF；③∠GNC＝120°；④GN＝GF．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列说法，不正确的是（ ）
A．用一个平面去截长方体，截面可能是正方形
B．用一个平面去截正方体，截面可能是等腰梯形
C．用一个平面去截圆锥，截面可能是梯形
D．用一个平面去截正方体，截面可能是等边三角形
8．在下列结论中：
①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；
④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形．
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（共8小题，满分24分）
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝4cm，则D到AB的距离是 cm．
10．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30，40，50，其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝ ．
11．已知，△ABC中，∠ABC＝30°，过线段AB的中点P作AB的垂线交直线BC于点Q，若PQ＝CQ＝1，则BC＝ ．
12．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE＝30°，则∠BAC等于 ．
13．已知等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm，那么这个等腰三角形的周长是 cm．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF．若∠CFE＝72°，则∠B＝ °．
15．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有 个．
16．如图，直线PQ上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有 个．
三．解答题（共10小题，满分72分）
17．如图，已知：在△ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P．
求证：点P在AC的垂直平分线上．
18．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，AB＝AE，点E在AC的垂直平分线上．
（1）请问：AB、BD、DC有何数量关系？并说明理由．
（2）如果∠B＝60°，证明：CD＝3BD．
19．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为10和18两部分，求腰长AB．
20．已知△ABC是等腰三角形．
（1）若∠A＝100°，求∠B的度数；
（2）若∠A＝70°，求∠B的度数；
（3）若∠A＝α（45°＜α＜90°），过顶点B的角平分线BD与过顶点C的高CE交于点F，求∠BFC的度数（用含α的式子表示）．
21．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．
（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．
22．请在下图方格中画出三个以AB为腰的等腰△ABC（要求：1、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各画一个；2、点C在格点上）
23．如图，△ABC中，AD平分∠CAB，BD⊥AD，DE∥AC．求证：AE＝BE．
24．（1）如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点D作ED∥BC．指出图中的等腰三角形，并说明理由．
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC．证明：EF＝BE+CF．
25．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．
（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；
（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．
26．数学理解
（1）如图1，在等边△ABC内，作DB＝DC，且∠BDC＝80°，E是△DBC内一点，且∠CBE＝10°，BE＝BD，求∠BCE的度数；
联系拓广（联系图1特点，解决下列问题）
（2）如图2，在△DBC中，DB＝DC，∠BDC＝80°，E是△DBC内一点，且∠CBE＝10°，∠BCE＝30°，连接DE，求∠CDE的度数．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．解：∵PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝PD，
∴点P在∠AOB的平分线上，即OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，故A选项正确；
∵∠PCO＝∠PDO＝90°，∠AOP＝∠BOP，
∴∠OPC＝∠OPD，故B选项正确；
∵∠OPC＝∠OPD，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，
∴OC＝OD，
∴点O在CD的垂直平分线上，
又∵PC＝PD，
∴点P在CD的垂直平分线上，
∴PO垂直平分CD，故C选项正确；
∵∠PDC的度数不一定是60°，
∴△CDP不一定是等边三角形，
∴PD＝CD不一定成立，故D选项错误；
故选：D．
2．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC＝10，
∴∠EAC＝∠C＝15°，
∴∠AEB＝30°，
∴AB＝AE＝5（cm），
故选：B．
3．解：∵AB＝AC，∠A═55°，
∴∠B＝∠ACB＝62.5°，
∵∠APC是△BCP的外角，
∴∠APC＝∠B+∠BCP，
又∵点P是AB上的一个动点，
∴0≤∠BCP≤62.5°，
∴62.5°≤∠APC≤125°，
∴∠APC的度数可能是80°，
故选：C．
4．解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
5．解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠OBC，∠COE＝∠OCB，
∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠OCE，
∴BD＝DO，OE＝CE，
∴△ADE的周长＝AD+DO+OE+AE＝AD+DB+AE+EC＝AB+AC．
∵AB＝20，AC＝12，
∴△ADE的周长＝20+12＝32．
故选：C．
6．解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠B＝60°，AC＝BC，
∵CE＝BC，F是AC的中点，
∴CF＝CE，
∴∠E＝∠CFE，
∵∠ACB＝∠E+∠CFE＝60°，
∴∠E＝30°，
∴∠BGE＝90°，
∴EG⊥AB，
故①正确；
②设AG＝x，则AF＝FC＝CE＝2x，
∴FG＝x，BE＝6x，
Rt△BGE中，BG＝3x，EG＝3x，
∴EF＝EG﹣FG﹣3x﹣x＝2x，
∴GF＝EF，
故②正确；
③如图，过N作NH⊥AC于H，连接BN，
在等边三角形ABC中，∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，BN＝CN，
∵MN⊥AB，
∴NH＝NM，
∵MN是BG的垂直平分线，
∴BN＝NG，
∴BN＝CN＝NG，
在Rt△NGM和Rt△NCH中，
，
∴Rt△NGM≌Rt△NCH（HL），
∴∠GNM＝∠CNH，
∴∠MNH＝∠CNG，
∵∠ANM＝∠ANH＝60°，
∴∠CNG＝120°，
故③正确；
④∵MN是BG的垂直平分线，
∴BM＝MG＝x，
∴AM＝x+x＝x，
在等边△ABC中，AD⊥BC，
∴∠BAD＝30°，
∴GN≠FG，
故④不正确；
其中正确的有：①②③，一共3个，
故选：C．
7．解：A．用一个平面去截长方体，截面可能是正方形，故该选项正确，不符合题意；
B．用一个平面去截正方体，截面可能是等腰梯形，故该选项正确，不符合题意；
C．用一个平面去截圆锥，截面不可能是梯形，故该选项错误，符合题意；
D．用一个平面去截正方体，截面可能是等边三角形，故该选项正确，不符合题意；
故选：C．
8．解：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，正确；
②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；
④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分24分）
9．解：∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴D到AB的距离是＝CD，
∵CD＝4cm，
∴D到AB的距离是4cm．
故答案为：4．
10．解：如图，作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∵三条角平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OD＝OE＝OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30，40，50，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：CA＝3：4：5，
故答案为：3：4：5．
11．解：分两种情况：
①当点Q在线段BC上时，如图1，
∵PQ⊥AB，∠ABC＝30°，
∴BQ＝2PQ＝2，
又∵PQ＝CQ＝1，
∴BC＝BQ+CQ＝2+1＝3；
②当点Q在线段BC的延长线上时，如图2，
∵PQ⊥AB，∠ABC＝30°，
∴BQ＝2PQ＝2，
又∵PQ＝CQ＝1，
∴BC＝BQ﹣CQ＝2﹣1＝1；
综上所述，BC＝1或3．
故答案为：1或3．
12．解：①如图，当∠BAC为锐角时，
∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，EC＝EA，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠DAE＝∠BAD+∠CAE﹣∠BAC，且∠DAE＝30°，
∴30°＝∠B+∠C﹣∠BAC，
即30°＝（180°﹣∠BAC）﹣∠BAC，
解得∠BAC＝75°．
②当∠BAC为钝角时，
∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
同理∠C＝∠EAC，
∵∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+∠DAE＝180°，
∴∠DAB+∠EAC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣75°＝105°，
故答案为：75°或105°．
13．解：∵等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm，
∴当此三角形的腰长为3cm时，3+3＜7，不能构成三角形，故排除，
∴此三角形的腰长为7cm，底边长为3cm，
∴此等腰三角形的周长＝7+7+3＝17cm，
故答案为：17．
14．解：∵AF＝EF，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，
∴∠A＝×72°＝36°，
在Rt△ABC中，∠A＝36°，
∴∠B＝90°﹣36°＝54°．
故答案为：54．
15．解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
16．解：如图所示，分别以A、O为圆心，AO长为半径画弧，与直线PQ的交点B1，B2，B3符合题意；作AO的垂直平分线，与直线PQ的交点B4符合题意，若B2，B3，B4不重合，则最多有4个．
故答案为：4．
三．解答题（共10小题，满分72分）
17．证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC．
∴PA＝PC．
∴点P在AC的垂直平分线上．
18．解：（1）AB+BD＝DC，
证明：∵AB＝AE，AD⊥BC，
∴BD＝DE，
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE＝CE，
∴AB+BD＝AE+DE＝CE+DE＝DC；
（2）证明：∵AB＝AE，AD⊥BC，∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴2BD＝AB，
∵DC＝AB+BD＝2BD+BD＝3BD，
∴DC＝3BD．
19．解：如图所示，设等腰三角形的腰长AB＝AC＝2x，BC＝y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD＝DC＝x，
若AB+AD的长为10，则2x+x＝10，
解得x＝，
则x+y＝18，
即+y＝18，
解得y＝，此时不能组成三角形，应舍去．
若AB+AD的长为18，则2x+x＝18，
解得x＝6，
则x+y＝10，
即6+y＝10，
解得y＝4；
所以等腰三角形的腰长可能为12．
故答案为：12．
20．解：（1）∵∠A＝100°是钝角，
∴∠B＝（180°﹣100°）＝40°．
故∠B的度数为40°；
（2）若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝55°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×70°＝40°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝70°；
故∠B＝55°或40°或70°；
（3）∵∠A＝α（45°＜α＜90°），
①当∠A为顶角时，如图：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣α），
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝ABC＝（180°﹣α），
∴∠BFC＝∠FEB+∠FBE＝90°+（180°﹣α）＝135°﹣α；
②当∠A为底角，∠B为底角时，如图：
∴∠BFC＝∠FEB+∠FBE＝90°+；
所以当∠A为底角时，最小值假设取45度，另一个底角也是45度，此时三角形ABC是直角三角形，
但是∠A 大于45°，所以两个底角的和一定大于90度，所以三角形ABC不可能是钝角三角形，
所以此种情况不存在．
当∠A为底角，∠B为底角时，∠C为顶角且为锐角时，如图：
∴∠BFC＝∠FEB+∠FBE＝90°+；
③当∠A为底角，∠B为顶角时，如图：
∵∠BFC+∠FBE＝90°，
∠A+∠ABD＝90°，
∵∠FBE＝∠ABD，
∴∠BFC＝∠A＝α．
∵∠A 大于45°，所以等腰三角形ABC一定是锐角三角形，
∴此种情况不符合题意；
当A为底角，三角形是锐角三角形时，
如图，
∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
∴∠ADF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠AEF＝90°，
根据四边形内角和定理，得
∴∠BFC＝180﹣a．
故∠BFC的度数为：135°﹣α；90°+；180°﹣α．
21．解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm．
依题意，得2x+2x+x＝18，
解得x＝．
∴2x＝．
∴三角形三边的长为cm、cm、cm．
（2）若腰长为4cm，则底边长为18﹣4﹣4＝10cm．
而4+4＜10，所以不能围成腰长为4cm的等腰三角形．
若底边长为4cm，则腰长为（18﹣4）＝7cm．
此时能围成等腰三角形，三边长分别为4cm、7cm、7cm．
22．解：如图：
23．证明：∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠EAD，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝ED，
∵BD⊥AD，
∴∠ADE+∠EDB＝90°，∠DAB+∠ABD＝90°，
又∠ADE＝∠DAB，
∴∠EDB＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴AE＝BE．
24．解：（1）∵BD平分∠ABC，ED∥BC，
∴∠EBD＝∠CBD，∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴DE＝BE，即△BDE是等腰三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，
∴∠CBO＝∠ABO，
∵EF∥BC，
∴∠BOE＝∠CBO，
∴∠ABO＝∠BOE，
∴BE＝OE，
同理可得CF＝OF，
∵EF＝EO+OF，
∴EF＝BE+CF．
25．解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴∠BCE＝30°，BE＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠BCE＝30°，
∵∠ABD＝120°，
∴∠DEB＝30°，
∴DB＝EB，
∴AE＝DB；
（2）如图1，E在线段AB上时，
∵AB＝2，AE＝1，
∴点E是AB的中点，
由（1）知，BD＝AE＝1，
∴CD＝BC+BD＝3；
如图2，E在线段AB的反向延长线上时，
∵AE＝1，AB＝2，
∴BE＝3，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2，
过E作EH∥AC交BC的延长线于H，
∴∠BEH＝∠BHE＝60°，
∴△BEH是等边三角形，
∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠B+∠BED＝∠H+∠HEC，
∴∠BED＝∠HEC，
在△BDE和△HCE中，
，
∴△BDE≌△HCE（SAS），
∴BD＝HC＝BH﹣BC＝3﹣2＝1，
∴CD＝BH﹣BD﹣HC＝3﹣1﹣1＝1．
综上所述，CD的长为1或3．
26．解：（1）如图1，连接AD，
∵AB＝AC，DB＝DC，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线，
∴AD平分∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∵∠BDC＝80°，
∴∠DBC＝50°，
∴∠ABD＝60°﹣50°＝10°＝∠CBE，
又∵AB＝BC，BE＝BD，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BCE＝∠BAD＝30°；
（2）如图2，作等边三角形ABC，连接AD，
由（1）解答知，∠BAD＝∠BCE＝30°，∠ABD＝∠CBE＝10°，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴BD＝BE，
∵∠DBE＝60°﹣10°﹣10°＝40°，
∴∠BDE＝70°，
∴∠CDE＝∠BDC﹣∠BDE＝80°﹣70°＝10°．
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．如图，点P是∠AOB内的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，连接OP，CD．若PC＝PD，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠AOP＝∠BOP B．∠OPC＝∠OPD
C．PO垂直平分CD D．PD＝CD
2．如图，∠ABC＝90°，∠C＝15°，线段AC的垂直平分线DE交AC于D，交BC于E，D为垂足，CE＝10 cm，则AB＝（ ）
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．不能确定
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A═55°，点P是AB上的一个动点，则∠APC的度数可能是（ ）
A．55° B．62° C．80° D．130°
4．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若AB＝20，BC＝15，AC＝12，则△ADE的周长是（ ）
A．27 B．30 C．32 D．35
6．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE＝BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG、AD于点M、点N，连接GN，CN，下列结论：①EG⊥AB；②GF＝EF；③∠GNC＝120°；④GN＝GF．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列说法，不正确的是（ ）
A．用一个平面去截长方体，截面可能是正方形
B．用一个平面去截正方体，截面可能是等腰梯形
C．用一个平面去截圆锥，截面可能是梯形
D．用一个平面去截正方体，截面可能是等边三角形
8．在下列结论中：
①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；
④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形．
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（共8小题，满分24分）
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝4cm，则D到AB的距离是 cm．
10．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30，40，50，其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝ ．
11．已知，△ABC中，∠ABC＝30°，过线段AB的中点P作AB的垂线交直线BC于点Q，若PQ＝CQ＝1，则BC＝ ．
12．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE＝30°，则∠BAC等于 ．
13．已知等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm，那么这个等腰三角形的周长是 cm．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF．若∠CFE＝72°，则∠B＝ °．
15．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有 个．
16．如图，直线PQ上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有 个．
三．解答题（共10小题，满分72分）
17．如图，已知：在△ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P．
求证：点P在AC的垂直平分线上．
18．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，AB＝AE，点E在AC的垂直平分线上．
（1）请问：AB、BD、DC有何数量关系？并说明理由．
（2）如果∠B＝60°，证明：CD＝3BD．
19．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为10和18两部分，求腰长AB．
20．已知△ABC是等腰三角形．
（1）若∠A＝100°，求∠B的度数；
（2）若∠A＝70°，求∠B的度数；
（3）若∠A＝α（45°＜α＜90°），过顶点B的角平分线BD与过顶点C的高CE交于点F，求∠BFC的度数（用含α的式子表示）．
21．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．
（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．
22．请在下图方格中画出三个以AB为腰的等腰△ABC（要求：1、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各画一个；2、点C在格点上）
23．如图，△ABC中，AD平分∠CAB，BD⊥AD，DE∥AC．求证：AE＝BE．
24．（1）如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点D作ED∥BC．指出图中的等腰三角形，并说明理由．
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC．证明：EF＝BE+CF．
25．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．
（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；
（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．
26．数学理解
（1）如图1，在等边△ABC内，作DB＝DC，且∠BDC＝80°，E是△DBC内一点，且∠CBE＝10°，BE＝BD，求∠BCE的度数；
联系拓广（联系图1特点，解决下列问题）
（2）如图2，在△DBC中，DB＝DC，∠BDC＝80°，E是△DBC内一点，且∠CBE＝10°，∠BCE＝30°，连接DE，求∠CDE的度数．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．解：∵PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝PD，
∴点P在∠AOB的平分线上，即OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，故A选项正确；
∵∠PCO＝∠PDO＝90°，∠AOP＝∠BOP，
∴∠OPC＝∠OPD，故B选项正确；
∵∠OPC＝∠OPD，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，
∴OC＝OD，
∴点O在CD的垂直平分线上，
又∵PC＝PD，
∴点P在CD的垂直平分线上，
∴PO垂直平分CD，故C选项正确；
∵∠PDC的度数不一定是60°，
∴△CDP不一定是等边三角形，
∴PD＝CD不一定成立，故D选项错误；
故选：D．
2．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC＝10，
∴∠EAC＝∠C＝15°，
∴∠AEB＝30°，
∴AB＝AE＝5（cm），
故选：B．
3．解：∵AB＝AC，∠A═55°，
∴∠B＝∠ACB＝62.5°，
∵∠APC是△BCP的外角，
∴∠APC＝∠B+∠BCP，
又∵点P是AB上的一个动点，
∴0≤∠BCP≤62.5°，
∴62.5°≤∠APC≤125°，
∴∠APC的度数可能是80°，
故选：C．
4．解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
5．解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠OBC，∠COE＝∠OCB，
∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠OCE，
∴BD＝DO，OE＝CE，
∴△ADE的周长＝AD+DO+OE+AE＝AD+DB+AE+EC＝AB+AC．
∵AB＝20，AC＝12，
∴△ADE的周长＝20+12＝32．
故选：C．
6．解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠B＝60°，AC＝BC，
∵CE＝BC，F是AC的中点，
∴CF＝CE，
∴∠E＝∠CFE，
∵∠ACB＝∠E+∠CFE＝60°，
∴∠E＝30°，
∴∠BGE＝90°，
∴EG⊥AB，
故①正确；
②设AG＝x，则AF＝FC＝CE＝2x，
∴FG＝x，BE＝6x，
Rt△BGE中，BG＝3x，EG＝3x，
∴EF＝EG﹣FG﹣3x﹣x＝2x，
∴GF＝EF，
故②正确；
③如图，过N作NH⊥AC于H，连接BN，
在等边三角形ABC中，∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，BN＝CN，
∵MN⊥AB，
∴NH＝NM，
∵MN是BG的垂直平分线，
∴BN＝NG，
∴BN＝CN＝NG，
在Rt△NGM和Rt△NCH中，
，
∴Rt△NGM≌Rt△NCH（HL），
∴∠GNM＝∠CNH，
∴∠MNH＝∠CNG，
∵∠ANM＝∠ANH＝60°，
∴∠CNG＝120°，
故③正确；
④∵MN是BG的垂直平分线，
∴BM＝MG＝x，
∴AM＝x+x＝x，
在等边△ABC中，AD⊥BC，
∴∠BAD＝30°，
∴GN≠FG，
故④不正确；
其中正确的有：①②③，一共3个，
故选：C．
7．解：A．用一个平面去截长方体，截面可能是正方形，故该选项正确，不符合题意；
B．用一个平面去截正方体，截面可能是等腰梯形，故该选项正确，不符合题意；
C．用一个平面去截圆锥，截面不可能是梯形，故该选项错误，符合题意；
D．用一个平面去截正方体，截面可能是等边三角形，故该选项正确，不符合题意；
故选：C．
8．解：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，正确；
②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；
④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分24分）
9．解：∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴D到AB的距离是＝CD，
∵CD＝4cm，
∴D到AB的距离是4cm．
故答案为：4．
10．解：如图，作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∵三条角平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OD＝OE＝OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30，40，50，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：CA＝3：4：5，
故答案为：3：4：5．
11．解：分两种情况：
①当点Q在线段BC上时，如图1，
∵PQ⊥AB，∠ABC＝30°，
∴BQ＝2PQ＝2，
又∵PQ＝CQ＝1，
∴BC＝BQ+CQ＝2+1＝3；
②当点Q在线段BC的延长线上时，如图2，
∵PQ⊥AB，∠ABC＝30°，
∴BQ＝2PQ＝2，
又∵PQ＝CQ＝1，
∴BC＝BQ﹣CQ＝2﹣1＝1；
综上所述，BC＝1或3．
故答案为：1或3．
12．解：①如图，当∠BAC为锐角时，
∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，EC＝EA，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠DAE＝∠BAD+∠CAE﹣∠BAC，且∠DAE＝30°，
∴30°＝∠B+∠C﹣∠BAC，
即30°＝（180°﹣∠BAC）﹣∠BAC，
解得∠BAC＝75°．
②当∠BAC为钝角时，
∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
同理∠C＝∠EAC，
∵∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+∠DAE＝180°，
∴∠DAB+∠EAC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣75°＝105°，
故答案为：75°或105°．
13．解：∵等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm，
∴当此三角形的腰长为3cm时，3+3＜7，不能构成三角形，故排除，
∴此三角形的腰长为7cm，底边长为3cm，
∴此等腰三角形的周长＝7+7+3＝17cm，
故答案为：17．
14．解：∵AF＝EF，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，
∴∠A＝×72°＝36°，
在Rt△ABC中，∠A＝36°，
∴∠B＝90°﹣36°＝54°．
故答案为：54．
15．解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
16．解：如图所示，分别以A、O为圆心，AO长为半径画弧，与直线PQ的交点B1，B2，B3符合题意；作AO的垂直平分线，与直线PQ的交点B4符合题意，若B2，B3，B4不重合，则最多有4个．
故答案为：4．
三．解答题（共10小题，满分72分）
17．证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC．
∴PA＝PC．
∴点P在AC的垂直平分线上．
18．解：（1）AB+BD＝DC，
证明：∵AB＝AE，AD⊥BC，
∴BD＝DE，
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE＝CE，
∴AB+BD＝AE+DE＝CE+DE＝DC；
（2）证明：∵AB＝AE，AD⊥BC，∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴2BD＝AB，
∵DC＝AB+BD＝2BD+BD＝3BD，
∴DC＝3BD．
19．解：如图所示，设等腰三角形的腰长AB＝AC＝2x，BC＝y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD＝DC＝x，
若AB+AD的长为10，则2x+x＝10，
解得x＝，
则x+y＝18，
即+y＝18，
解得y＝，此时不能组成三角形，应舍去．
若AB+AD的长为18，则2x+x＝18，
解得x＝6，
则x+y＝10，
即6+y＝10，
解得y＝4；
所以等腰三角形的腰长可能为12．
故答案为：12．
20．解：（1）∵∠A＝100°是钝角，
∴∠B＝（180°﹣100°）＝40°．
故∠B的度数为40°；
（2）若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝55°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×70°＝40°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝70°；
故∠B＝55°或40°或70°；
（3）∵∠A＝α（45°＜α＜90°），
①当∠A为顶角时，如图：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣α），
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝ABC＝（180°﹣α），
∴∠BFC＝∠FEB+∠FBE＝90°+（180°﹣α）＝135°﹣α；
②当∠A为底角，∠B为底角时，如图：
∴∠BFC＝∠FEB+∠FBE＝90°+；
所以当∠A为底角时，最小值假设取45度，另一个底角也是45度，此时三角形ABC是直角三角形，
但是∠A 大于45°，所以两个底角的和一定大于90度，所以三角形ABC不可能是钝角三角形，
所以此种情况不存在．
当∠A为底角，∠B为底角时，∠C为顶角且为锐角时，如图：
∴∠BFC＝∠FEB+∠FBE＝90°+；
③当∠A为底角，∠B为顶角时，如图：
∵∠BFC+∠FBE＝90°，
∠A+∠ABD＝90°，
∵∠FBE＝∠ABD，
∴∠BFC＝∠A＝α．
∵∠A 大于45°，所以等腰三角形ABC一定是锐角三角形，
∴此种情况不符合题意；
当A为底角，三角形是锐角三角形时，
如图，
∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
∴∠ADF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠AEF＝90°，
根据四边形内角和定理，得
∴∠BFC＝180﹣a．
故∠BFC的度数为：135°﹣α；90°+；180°﹣α．
21．解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm．
依题意，得2x+2x+x＝18，
解得x＝．
∴2x＝．
∴三角形三边的长为cm、cm、cm．
（2）若腰长为4cm，则底边长为18﹣4﹣4＝10cm．
而4+4＜10，所以不能围成腰长为4cm的等腰三角形．
若底边长为4cm，则腰长为（18﹣4）＝7cm．
此时能围成等腰三角形，三边长分别为4cm、7cm、7cm．
22．解：如图：
23．证明：∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠EAD，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝ED，
∵BD⊥AD，
∴∠ADE+∠EDB＝90°，∠DAB+∠ABD＝90°，
又∠ADE＝∠DAB，
∴∠EDB＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴AE＝BE．
24．解：（1）∵BD平分∠ABC，ED∥BC，
∴∠EBD＝∠CBD，∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴DE＝BE，即△BDE是等腰三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，
∴∠CBO＝∠ABO，
∵EF∥BC，
∴∠BOE＝∠CBO，
∴∠ABO＝∠BOE，
∴BE＝OE，
同理可得CF＝OF，
∵EF＝EO+OF，
∴EF＝BE+CF．
25．解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴∠BCE＝30°，BE＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠BCE＝30°，
∵∠ABD＝120°，
∴∠DEB＝30°，
∴DB＝EB，
∴AE＝DB；
（2）如图1，E在线段AB上时，
∵AB＝2，AE＝1，
∴点E是AB的中点，
由（1）知，BD＝AE＝1，
∴CD＝BC+BD＝3；
如图2，E在线段AB的反向延长线上时，
∵AE＝1，AB＝2，
∴BE＝3，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2，
过E作EH∥AC交BC的延长线于H，
∴∠BEH＝∠BHE＝60°，
∴△BEH是等边三角形，
∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠B+∠BED＝∠H+∠HEC，
∴∠BED＝∠HEC，
在△BDE和△HCE中，
，
∴△BDE≌△HCE（SAS），
∴BD＝HC＝BH﹣BC＝3﹣2＝1，
∴CD＝BH﹣BD﹣HC＝3﹣1﹣1＝1．
综上所述，CD的长为1或3．
26．解：（1）如图1，连接AD，
∵AB＝AC，DB＝DC，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线，
∴AD平分∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∵∠BDC＝80°，
∴∠DBC＝50°，
∴∠ABD＝60°﹣50°＝10°＝∠CBE，
又∵AB＝BC，BE＝BD，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BCE＝∠BAD＝30°；
（2）如图2，作等边三角形ABC，连接AD，
由（1）解答知，∠BAD＝∠BCE＝30°，∠ABD＝∠CBE＝10°，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴BD＝BE，
∵∠DBE＝60°﹣10°﹣10°＝40°，
∴∠BDE＝70°，
∴∠CDE＝∠BDC﹣∠BDE＝80°﹣70°＝10°．