3.4二次函数y=ax2 bx c的图象与性质 同步练习题 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 3.4二次函数y=ax2 bx c的图象与性质 同步练习题 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 312.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-28 10:45:12 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《3.4二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+1）2+1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝x2+2 D．y＝x2
2．点P1（﹣2，y1），P2（2，y2），P3（4，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＝y3 C．y1＝y3＞y2 D．y1＝y2＞y3
3．若函数y＝x2﹣4x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜2，则（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．y1，y2的大小不确定
4．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②4a+2b+c＜0；③﹣2b+c＝0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b＞m（am+b）（其中m≠）．其中说法正确的是（ ）
①③④⑤ B．①②④
C．①④⑤ D．③④⑤
5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0，②2a+b＝0，③b＜a+c，④3a+c＝0，其中错误的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①a﹣b+c＝0；②2a+b＝0； ③4ac﹣b2＞0；④a+b≥am2+bm（m为实数）；⑤3a+c＞0．则其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．已知抛物线y＝ax2+bx+m是由抛物线y＝﹣x2+2x+2先关于y轴作轴对称图形，再将所得的图象向下平移3个单位长度得到的，点Q1（﹣2.5，q1）、Q2（1，q2）都在抛物线y＝ax2+bx+m上，则q1，q2的大小关系是（ ）
A．q1＞q2 B．q1＝q2 C．q1＜q2 D．不能确定
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+1的顶点在直线y＝kx+1上，对称轴为直线x＝1，有以下四个结论：①ab＜0，②b＜，③a＝﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
9．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，有最小值﹣2.5
B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5
D．有最大值2，无最小值
二．填空题
10．把二次函数y＝x2+bx+c的图象向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），则b﹣c的值为 ．
11．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣3的最大值是 ．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为 cm2．
13．已知二次函数y＝x2﹣mx+3在x＝0和x＝2时的函数值相等，那么m的值是 ．
14．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ．
15．如图已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝An﹣1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…An′作x轴的垂线交二次函数y＝x2（x＞0）的图象于点P1，P2，P3，…Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3，…依次进行下去，则S3＝ ，最后记△Pn﹣1Bn﹣1Pn（n＞1）的面积为Sn，则Sn＝ ．
16．如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O，A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P1的纵坐标为 ，P10的坐标为 ．
17．已知二次函数y＝x2﹣2x+2在t≤x≤t+1时的最小值是t，则t的值为 ．
18．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为 ．
19．抛物线y＝（k﹣1）x2+2kx+3k﹣2的图象最高点在x轴上，则k的值为 ．
20．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是 ．
21．二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为 ．
三．解答题
22．如图，矩形ABCD的两边长AB＝16cm，AD＝4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动设运动时间为x（秒），设△BPQ的面积为ycm2．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当△BPQ面积有最大值时，求x的值．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝ ，PB＝ ；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，PQ的长度等于3cm？
（3）当t为何值时，五边形APQCD的面积有最小值？最小值为多少？
24．将二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象
（1）向右平移3个单位，向下平移2个单位得到的函数解析式是 ；
（2）绕它的顶点旋转180°所得抛物线解析式为 ；
（3）绕原点旋转180°所得抛物线解析式为 ；
（4）求沿x轴翻折所得抛物线解析式；
（5）求沿y轴翻折所得抛物线解析式为．
25．对实数a，b，定义运算“*”为：a*b＝
（1）求函数y＝x*（2x﹣1）的解析式；
（2）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）在函数y＝x*（2x﹣1）的图象上，且A、B两点关于坐标原点成中心对称，求点A的坐标；
（3）关于x的方程x*（2x﹣1）＝m恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，设t＝x1+2x2+x3+x1x2x3，则t的取值范围是 ．
26．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上两点，且CE＝CF，AB＝4．
（1）设CE＝x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；
（2）当x取何值时，△AEF面积最大？求出此时△AEF的面积．
27．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，点P，Q分别从A，B两点同时出发，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度匀速运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度匀速运动，设运动时间为xs，△PBQ的面积为ycm2．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）求△PBQ的面积的最大值．
28．阅读下面的材料，回答问题：
爱动脑筋的小明发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．
例如：x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1≥1；因此x2﹣2x+2有最小值是1．
（1）尝试：﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+3＝﹣2（x+1）2+5，因此﹣2x2﹣4x+3有最大值是 ；
（2）拓展：已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3＝0，则y﹣x的最大值为 ；
（3）应用：有长为28米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），围成一个长方形的花圃．能围成面积最大的花圃吗？如果能，请求出最大面积．
参考答案
1．解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为：y＝（x+1）2+1，
故选：A．
2．解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，
A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点为（4，y1），
∵2＜4，
∴y2＞y1＝y3，
故选：B．
3．解：∵y＝x2﹣4x+m，
∴此函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝2，
∵x1＜x2＜2，两点都在对称轴左侧，a＝1＞0，
∴对称轴左侧y随x的增大而减小，
∴y1＞y2．
故选：A．
4．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线经过点（2，0），
∴x＝2时，y＝0，
∴4a+2b+c＝0，所以②错误；
∵对称轴为x＝，且经过点（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴＝﹣1×2＝﹣2，
∴c＝﹣2a，
∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0，所以③正确；
∵点（﹣，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴要远，
∴y1＜y2，所以④正确．
∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴当x＝时，y有最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c（其中m≠），
∴a+b＞m（am+b）（其中m≠），
∵a＝﹣b，
∴﹣b+b＞m（am+b），
∴b＞m（am+b），所以⑤正确；
故选：A．
5．解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴2a+b＝0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①②正确；
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴y＝a﹣b+c＝0，
∴b＝﹣2a，
∴a+c＝b，a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，所以③错误；④正确．
故选：A．
6．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴点A（3，0）关于直线x＝1对称点为（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0．故①正确；
∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故③错误；
∵当x＝1时，函数有最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥am2+bm，故④正确；
∵b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故⑤错误；
综上，正确的有①②④．
故选：B．
7．解：∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
∴顶点为（1，3）
∴抛物线y＝﹣x2+2x+2先作关于y轴的轴对称抛物线的顶点为（﹣1，3），再向下平移3个单位长度顶点为（﹣1，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+m的解析式为y＝﹣（x+1）2，
∵点Q1（﹣2.5，q1）、Q2（1，q2）都在物线y＝ax2+bx+m上，
∴q1＝﹣（﹣2.5+1）2＝﹣，q2＝﹣（1+1）2＝﹣4，
∴q1＞q2，
故选：A．
8．解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴ab＜0，所以①正确，符合题意；
②∵x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+1＜0，
∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣，
∴﹣﹣b+1＜0，
∴b＞，所以②错误，不符合题意；
③当x＝1时，y＝a+b+1＝a﹣2a+1＝﹣a+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣a+1），
把（1，﹣a+1）代入y＝kx+1得﹣a+1＝k+1，
∴a＝﹣k，所以③正确，符合题意；
④当0＜x＜1时，ax2+bx+1＞kx+1，
即ax2+bx＞kx，
∴ax+b＞k，所以④正确，符合题意．
故选：B．
9．解：观察图象可得，在0≤x≤4时，图象有最高点和最低点，
∴函数有最大值2和最小值﹣2.5，
故选：A．
10．解：根据题意y＝x2+bx+c＝（x+）2+c﹣下平移2个单位，再向左平移1个单位，得y＝（x++1）2+c﹣﹣2．
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），
∴﹣﹣1＝﹣2，c﹣﹣2＝1，
解得：b＝2，c＝4，
∴b﹣c＝﹣2，
故答案为：﹣2．
11．解：y＝﹣2（x﹣1）2﹣3，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝1时，y有最大值，最大值为﹣3．
故答案为﹣3．
12．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC＝＝6cm．
设运动时间为ts（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，
∴S四边形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝AC BC﹣PC CQ＝×6×8﹣（6﹣t）×2t＝t2﹣6t+24＝（t﹣3）2+15，
∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．
故答案为15．
13．解：∵当x＝0和x＝2时的函数值相等，
∴二次函数图象的对称轴x＝＝1，
∵对称轴x＝﹣＝m，
∴m＝1，即m＝2，
故答案为：2．
14．解：当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），
∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，
∴点P为直线y＝2与抛物线y＝﹣x2+2x+3的交点，
当y＝2时，﹣x2+2x+3＝2，解得x1＝1+，x2＝1﹣，
∴P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2）．
故答案为（1+，2）或（1﹣，2）．
15．解：当x＝1时，y＝x2＝，则P1（1，），所以S1＝×1×＝；
当x＝2时，y＝x2＝2，则P2（2，2），所以S2＝×1×（2﹣）＝；
当x＝3时，y＝x2＝，则P3（3，），所以S3＝×1×（﹣2）＝，
同样方法可得S4＝，
所以Sn＝．
故答案为，．
16．解：∵m1为y＝﹣x（x﹣1）＝﹣（x﹣）2+（0≤x≤1），
∴则P1的纵坐标为，
∵OA1＝1，OA2＝2，
∴P2（，﹣），
∴P10的横坐标是＝，
p10的纵坐标是﹣，
故答案为，（，﹣）．
17．解：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，分类讨论：
（1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时，有t+1＜1，即t＜0，此时y随x的增大而减小，
∴当x＝t+1时，函数取得最小值，y最小值＝t＝（t+1）2﹣2（t+1）+2，
方程无解．
（2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时，即有t≤1≤t+1，
解这个不等式，即 0≤t≤1．此时当x＝1时，函数取得最小值，y最小值＝1，
∴t＝1．
（3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大，
∵当x＝t时，函数取得最小值，y最小值＝t＝t2﹣2t+2，解得t＝2或1（舍弃），
∴t＝1或2．
故答案为：1或2．
18．解：二次函数对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，不合题意，舍去；
②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，
解得m＝±，
∵m＝不满足﹣2≤m≤1的范围，
∴m＝﹣；
③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2．
综上所述，m＝2或﹣时，二次函数有最大值4．
故答案是：2或﹣．
19．解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2+2kx+3k﹣2的图象最高点在x轴上，
∴k﹣1＜0且△＝4k2﹣4（k﹣1）（3k﹣2）＝0，解得k1＝2（舍去），k2＝，
即k的值为．
20．解：联立，
解得，，
所以，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．
故答案为：．
21．解：分三种情况：
当﹣a＜﹣1，即a＞1时，二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为增函数，
所以当x＝﹣1时，y有最小值为﹣4，把（﹣1，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a＝5；
当﹣a＞2，即a＜﹣2时，二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为减函数，
所以当x＝2时，y有最小值为﹣4，把（2，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a＝﹣＞﹣2，舍去；
当﹣1≤﹣a≤2，即﹣2≤a≤1时，此时抛物线的顶点为最低点，
所以顶点的纵坐标为＝﹣4，解得：a＝或a＝＞1，舍去．
综上，a的值为5或．
故答案为：5或
22．解：（1）∵S△PBQ＝PB BQ，PB＝AB﹣AP＝16﹣2x，BQ＝x，
∴y＝（16﹣2x）x，
即y＝﹣x2+8x（0＜x≤4）；
（2）由（1）知：y＝﹣x2+8x，
∴y＝﹣（x﹣4）2+16，
∴当x＝4时，y有最大值，
即△BPQ面积有最大值时，x的值为4．
23．解：（1）由题意：BQ＝2t cm，PB＝（6﹣t）cm，
故答案为2t，（6﹣t）．
（2）由题意，得．
解得（不合题意，舍去），t2＝3．
所以当t＝3秒时，PQ的长度等于；
（3）存在．理由如下：
设五边形APQCD的面积为S．
∵S矩形ABCD＝6×8＝48（cm2），
∴，
∴当t＝3秒时，五边形APQCD的面积有最小值，最小值为39cm2．
24．解：（1）y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，将二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象向右平移3个单位，向下平移2个单位得到的函数解析式为：y＝﹣（x﹣1﹣3）2+2﹣2，即y＝﹣（x﹣4）2；
故答案为y＝﹣（x﹣4）2；
（2）y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，将原抛物线绕顶点旋转180°后，得：y＝（x﹣1）2+2；
故答案为：y＝（x﹣1）2+2；
（3）二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象绕原点旋转180°后，得到的图象的解析式为﹣y＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）+1
即y＝x2+2x﹣1，
故答案为：y＝x2+2x﹣1；
（4）y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
此抛物线的顶点坐标为：（1，2），
∵将二次函数的图象沿x轴翻折，得到一个新的抛物线，
∴新的抛物线顶点坐标为：（1，﹣2），a＝1，
∴新抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣2，
故答案为y＝（x﹣1）2﹣2；
（5）y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
此抛物线的顶点坐标为：（1，2），
∵将二次函数的图象沿y轴翻折，得到一个新的抛物线，
∴新的抛物线顶点坐标为：（﹣1，2），a＝﹣1，
∴新抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+2，
故答案为y＝﹣（x+1）2+2．
25．解：（1）当x≥2x﹣1时，即x≤1时，x*（2x﹣1）＝x2+2x﹣1，
当x＜2x﹣1时，即x＞1时，x*（2x﹣1）＝；
（2）∵函数y＝x*（2x﹣1）的图象的图象由抛物线，反比例函数各一部分构成，
又∵A、B两点关于坐标原点成中心对称，
∴x2＝1，
∴A（﹣1，﹣2）；
（3）由图象可知，x1＜﹣1﹣，1＞x2＞﹣1+，x3＞1，
x2+2x﹣1＝m，则x1，x2＝﹣m﹣1，
＝m，则x3＝，
∴t＝x1+2x2+x3+x1x2x3＝﹣2+x2++（﹣m﹣1）＝x2，
∴﹣1+＜t＜1，
故答案为﹣1+＜t＜1．
26．解：（1）∵BC＝DC，CE＝CF＝x，
∴BE＝DF＝4﹣x，
∴y＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△CEF，
∴y＝42﹣×（4﹣x）﹣×4×（4﹣x）﹣x2
∴y＝﹣2+4x（0＜x≤4）．
（2）∵y＝﹣2+4x＝﹣（x﹣4）2+8，
∴当x＝4时，△AEF的面积最大，此时△AEF的面积是8．
27．解：（1）∵动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动．动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，
∴根据题意得出：
y＝PB×BQ＝（12﹣2x）×4x＝﹣4x2+24x（0≤x＜6）；
（2）因为S＝﹣4x2+24x＝﹣4（x﹣3）2+36，
所以3秒后△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．
28．解：（1）﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+3＝2（x+1）2+5≤5，
∴﹣2x2﹣4x+3有最大值是5，
故答案为：5；
（2）解：由x2+3x+y﹣3＝0得
y＝﹣x2﹣3x+3，把y代入x+y得：
y﹣x＝x2﹣3x+3﹣x＝﹣x2﹣4x+3＝﹣（x+2）2+3+4≤7，
∴y﹣x的最大值为7．
故答案为：7．
（3）解：设利用墙的一边长为x，则x≤16，
由题意知：S花圃＝x ＝﹣x2+14x＝﹣（x﹣14）2+98
当x＝14时，花圃面积最大，最大面积为98m2．
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+1）2+1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝x2+2 D．y＝x2
2．点P1（﹣2，y1），P2（2，y2），P3（4，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＝y3 C．y1＝y3＞y2 D．y1＝y2＞y3
3．若函数y＝x2﹣4x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜2，则（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．y1，y2的大小不确定
4．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②4a+2b+c＜0；③﹣2b+c＝0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b＞m（am+b）（其中m≠）．其中说法正确的是（ ）
①③④⑤ B．①②④
C．①④⑤ D．③④⑤
5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0，②2a+b＝0，③b＜a+c，④3a+c＝0，其中错误的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①a﹣b+c＝0；②2a+b＝0； ③4ac﹣b2＞0；④a+b≥am2+bm（m为实数）；⑤3a+c＞0．则其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．已知抛物线y＝ax2+bx+m是由抛物线y＝﹣x2+2x+2先关于y轴作轴对称图形，再将所得的图象向下平移3个单位长度得到的，点Q1（﹣2.5，q1）、Q2（1，q2）都在抛物线y＝ax2+bx+m上，则q1，q2的大小关系是（ ）
A．q1＞q2 B．q1＝q2 C．q1＜q2 D．不能确定
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+1的顶点在直线y＝kx+1上，对称轴为直线x＝1，有以下四个结论：①ab＜0，②b＜，③a＝﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
9．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，有最小值﹣2.5
B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5
D．有最大值2，无最小值
二．填空题
10．把二次函数y＝x2+bx+c的图象向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），则b﹣c的值为 ．
11．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣3的最大值是 ．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为 cm2．
13．已知二次函数y＝x2﹣mx+3在x＝0和x＝2时的函数值相等，那么m的值是 ．
14．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ．
15．如图已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝An﹣1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…An′作x轴的垂线交二次函数y＝x2（x＞0）的图象于点P1，P2，P3，…Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3，…依次进行下去，则S3＝ ，最后记△Pn﹣1Bn﹣1Pn（n＞1）的面积为Sn，则Sn＝ ．
16．如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O，A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P1的纵坐标为 ，P10的坐标为 ．
17．已知二次函数y＝x2﹣2x+2在t≤x≤t+1时的最小值是t，则t的值为 ．
18．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为 ．
19．抛物线y＝（k﹣1）x2+2kx+3k﹣2的图象最高点在x轴上，则k的值为 ．
20．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是 ．
21．二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为 ．
三．解答题
22．如图，矩形ABCD的两边长AB＝16cm，AD＝4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动设运动时间为x（秒），设△BPQ的面积为ycm2．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当△BPQ面积有最大值时，求x的值．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝ ，PB＝ ；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，PQ的长度等于3cm？
（3）当t为何值时，五边形APQCD的面积有最小值？最小值为多少？
24．将二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象
（1）向右平移3个单位，向下平移2个单位得到的函数解析式是 ；
（2）绕它的顶点旋转180°所得抛物线解析式为 ；
（3）绕原点旋转180°所得抛物线解析式为 ；
（4）求沿x轴翻折所得抛物线解析式；
（5）求沿y轴翻折所得抛物线解析式为．
25．对实数a，b，定义运算“*”为：a*b＝
（1）求函数y＝x*（2x﹣1）的解析式；
（2）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）在函数y＝x*（2x﹣1）的图象上，且A、B两点关于坐标原点成中心对称，求点A的坐标；
（3）关于x的方程x*（2x﹣1）＝m恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，设t＝x1+2x2+x3+x1x2x3，则t的取值范围是 ．
26．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上两点，且CE＝CF，AB＝4．
（1）设CE＝x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；
（2）当x取何值时，△AEF面积最大？求出此时△AEF的面积．
27．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，点P，Q分别从A，B两点同时出发，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度匀速运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度匀速运动，设运动时间为xs，△PBQ的面积为ycm2．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）求△PBQ的面积的最大值．
28．阅读下面的材料，回答问题：
爱动脑筋的小明发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．
例如：x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1≥1；因此x2﹣2x+2有最小值是1．
（1）尝试：﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+3＝﹣2（x+1）2+5，因此﹣2x2﹣4x+3有最大值是 ；
（2）拓展：已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3＝0，则y﹣x的最大值为 ；
（3）应用：有长为28米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），围成一个长方形的花圃．能围成面积最大的花圃吗？如果能，请求出最大面积．
参考答案
1．解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为：y＝（x+1）2+1，
故选：A．
2．解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，
A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点为（4，y1），
∵2＜4，
∴y2＞y1＝y3，
故选：B．
3．解：∵y＝x2﹣4x+m，
∴此函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝2，
∵x1＜x2＜2，两点都在对称轴左侧，a＝1＞0，
∴对称轴左侧y随x的增大而减小，
∴y1＞y2．
故选：A．
4．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线经过点（2，0），
∴x＝2时，y＝0，
∴4a+2b+c＝0，所以②错误；
∵对称轴为x＝，且经过点（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴＝﹣1×2＝﹣2，
∴c＝﹣2a，
∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0，所以③正确；
∵点（﹣，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴要远，
∴y1＜y2，所以④正确．
∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴当x＝时，y有最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c（其中m≠），
∴a+b＞m（am+b）（其中m≠），
∵a＝﹣b，
∴﹣b+b＞m（am+b），
∴b＞m（am+b），所以⑤正确；
故选：A．
5．解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴2a+b＝0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①②正确；
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴y＝a﹣b+c＝0，
∴b＝﹣2a，
∴a+c＝b，a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，所以③错误；④正确．
故选：A．
6．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴点A（3，0）关于直线x＝1对称点为（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0．故①正确；
∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故③错误；
∵当x＝1时，函数有最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥am2+bm，故④正确；
∵b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故⑤错误；
综上，正确的有①②④．
故选：B．
7．解：∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
∴顶点为（1，3）
∴抛物线y＝﹣x2+2x+2先作关于y轴的轴对称抛物线的顶点为（﹣1，3），再向下平移3个单位长度顶点为（﹣1，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+m的解析式为y＝﹣（x+1）2，
∵点Q1（﹣2.5，q1）、Q2（1，q2）都在物线y＝ax2+bx+m上，
∴q1＝﹣（﹣2.5+1）2＝﹣，q2＝﹣（1+1）2＝﹣4，
∴q1＞q2，
故选：A．
8．解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴ab＜0，所以①正确，符合题意；
②∵x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+1＜0，
∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣，
∴﹣﹣b+1＜0，
∴b＞，所以②错误，不符合题意；
③当x＝1时，y＝a+b+1＝a﹣2a+1＝﹣a+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣a+1），
把（1，﹣a+1）代入y＝kx+1得﹣a+1＝k+1，
∴a＝﹣k，所以③正确，符合题意；
④当0＜x＜1时，ax2+bx+1＞kx+1，
即ax2+bx＞kx，
∴ax+b＞k，所以④正确，符合题意．
故选：B．
9．解：观察图象可得，在0≤x≤4时，图象有最高点和最低点，
∴函数有最大值2和最小值﹣2.5，
故选：A．
10．解：根据题意y＝x2+bx+c＝（x+）2+c﹣下平移2个单位，再向左平移1个单位，得y＝（x++1）2+c﹣﹣2．
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），
∴﹣﹣1＝﹣2，c﹣﹣2＝1，
解得：b＝2，c＝4，
∴b﹣c＝﹣2，
故答案为：﹣2．
11．解：y＝﹣2（x﹣1）2﹣3，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝1时，y有最大值，最大值为﹣3．
故答案为﹣3．
12．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC＝＝6cm．
设运动时间为ts（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，
∴S四边形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝AC BC﹣PC CQ＝×6×8﹣（6﹣t）×2t＝t2﹣6t+24＝（t﹣3）2+15，
∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．
故答案为15．
13．解：∵当x＝0和x＝2时的函数值相等，
∴二次函数图象的对称轴x＝＝1，
∵对称轴x＝﹣＝m，
∴m＝1，即m＝2，
故答案为：2．
14．解：当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），
∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，
∴点P为直线y＝2与抛物线y＝﹣x2+2x+3的交点，
当y＝2时，﹣x2+2x+3＝2，解得x1＝1+，x2＝1﹣，
∴P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2）．
故答案为（1+，2）或（1﹣，2）．
15．解：当x＝1时，y＝x2＝，则P1（1，），所以S1＝×1×＝；
当x＝2时，y＝x2＝2，则P2（2，2），所以S2＝×1×（2﹣）＝；
当x＝3时，y＝x2＝，则P3（3，），所以S3＝×1×（﹣2）＝，
同样方法可得S4＝，
所以Sn＝．
故答案为，．
16．解：∵m1为y＝﹣x（x﹣1）＝﹣（x﹣）2+（0≤x≤1），
∴则P1的纵坐标为，
∵OA1＝1，OA2＝2，
∴P2（，﹣），
∴P10的横坐标是＝，
p10的纵坐标是﹣，
故答案为，（，﹣）．
17．解：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，分类讨论：
（1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时，有t+1＜1，即t＜0，此时y随x的增大而减小，
∴当x＝t+1时，函数取得最小值，y最小值＝t＝（t+1）2﹣2（t+1）+2，
方程无解．
（2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时，即有t≤1≤t+1，
解这个不等式，即 0≤t≤1．此时当x＝1时，函数取得最小值，y最小值＝1，
∴t＝1．
（3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大，
∵当x＝t时，函数取得最小值，y最小值＝t＝t2﹣2t+2，解得t＝2或1（舍弃），
∴t＝1或2．
故答案为：1或2．
18．解：二次函数对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，不合题意，舍去；
②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，
解得m＝±，
∵m＝不满足﹣2≤m≤1的范围，
∴m＝﹣；
③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2．
综上所述，m＝2或﹣时，二次函数有最大值4．
故答案是：2或﹣．
19．解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2+2kx+3k﹣2的图象最高点在x轴上，
∴k﹣1＜0且△＝4k2﹣4（k﹣1）（3k﹣2）＝0，解得k1＝2（舍去），k2＝，
即k的值为．
20．解：联立，
解得，，
所以，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．
故答案为：．
21．解：分三种情况：
当﹣a＜﹣1，即a＞1时，二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为增函数，
所以当x＝﹣1时，y有最小值为﹣4，把（﹣1，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a＝5；
当﹣a＞2，即a＜﹣2时，二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为减函数，
所以当x＝2时，y有最小值为﹣4，把（2，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a＝﹣＞﹣2，舍去；
当﹣1≤﹣a≤2，即﹣2≤a≤1时，此时抛物线的顶点为最低点，
所以顶点的纵坐标为＝﹣4，解得：a＝或a＝＞1，舍去．
综上，a的值为5或．
故答案为：5或
22．解：（1）∵S△PBQ＝PB BQ，PB＝AB﹣AP＝16﹣2x，BQ＝x，
∴y＝（16﹣2x）x，
即y＝﹣x2+8x（0＜x≤4）；
（2）由（1）知：y＝﹣x2+8x，
∴y＝﹣（x﹣4）2+16，
∴当x＝4时，y有最大值，
即△BPQ面积有最大值时，x的值为4．
23．解：（1）由题意：BQ＝2t cm，PB＝（6﹣t）cm，
故答案为2t，（6﹣t）．
（2）由题意，得．
解得（不合题意，舍去），t2＝3．
所以当t＝3秒时，PQ的长度等于；
（3）存在．理由如下：
设五边形APQCD的面积为S．
∵S矩形ABCD＝6×8＝48（cm2），
∴，
∴当t＝3秒时，五边形APQCD的面积有最小值，最小值为39cm2．
24．解：（1）y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，将二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象向右平移3个单位，向下平移2个单位得到的函数解析式为：y＝﹣（x﹣1﹣3）2+2﹣2，即y＝﹣（x﹣4）2；
故答案为y＝﹣（x﹣4）2；
（2）y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，将原抛物线绕顶点旋转180°后，得：y＝（x﹣1）2+2；
故答案为：y＝（x﹣1）2+2；
（3）二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象绕原点旋转180°后，得到的图象的解析式为﹣y＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）+1
即y＝x2+2x﹣1，
故答案为：y＝x2+2x﹣1；
（4）y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
此抛物线的顶点坐标为：（1，2），
∵将二次函数的图象沿x轴翻折，得到一个新的抛物线，
∴新的抛物线顶点坐标为：（1，﹣2），a＝1，
∴新抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣2，
故答案为y＝（x﹣1）2﹣2；
（5）y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
此抛物线的顶点坐标为：（1，2），
∵将二次函数的图象沿y轴翻折，得到一个新的抛物线，
∴新的抛物线顶点坐标为：（﹣1，2），a＝﹣1，
∴新抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+2，
故答案为y＝﹣（x+1）2+2．
25．解：（1）当x≥2x﹣1时，即x≤1时，x*（2x﹣1）＝x2+2x﹣1，
当x＜2x﹣1时，即x＞1时，x*（2x﹣1）＝；
（2）∵函数y＝x*（2x﹣1）的图象的图象由抛物线，反比例函数各一部分构成，
又∵A、B两点关于坐标原点成中心对称，
∴x2＝1，
∴A（﹣1，﹣2）；
（3）由图象可知，x1＜﹣1﹣，1＞x2＞﹣1+，x3＞1，
x2+2x﹣1＝m，则x1，x2＝﹣m﹣1，
＝m，则x3＝，
∴t＝x1+2x2+x3+x1x2x3＝﹣2+x2++（﹣m﹣1）＝x2，
∴﹣1+＜t＜1，
故答案为﹣1+＜t＜1．
26．解：（1）∵BC＝DC，CE＝CF＝x，
∴BE＝DF＝4﹣x，
∴y＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△CEF，
∴y＝42﹣×（4﹣x）﹣×4×（4﹣x）﹣x2
∴y＝﹣2+4x（0＜x≤4）．
（2）∵y＝﹣2+4x＝﹣（x﹣4）2+8，
∴当x＝4时，△AEF的面积最大，此时△AEF的面积是8．
27．解：（1）∵动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动．动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，
∴根据题意得出：
y＝PB×BQ＝（12﹣2x）×4x＝﹣4x2+24x（0≤x＜6）；
（2）因为S＝﹣4x2+24x＝﹣4（x﹣3）2+36，
所以3秒后△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．
28．解：（1）﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+3＝2（x+1）2+5≤5，
∴﹣2x2﹣4x+3有最大值是5，
故答案为：5；
（2）解：由x2+3x+y﹣3＝0得
y＝﹣x2﹣3x+3，把y代入x+y得：
y﹣x＝x2﹣3x+3﹣x＝﹣x2﹣4x+3＝﹣（x+2）2+3+4≤7，
∴y﹣x的最大值为7．
故答案为：7．
（3）解：设利用墙的一边长为x，则x≤16，
由题意知：S花圃＝x ＝﹣x2+14x＝﹣（x﹣14）2+98
当x＝14时，花圃面积最大，最大面积为98m2．