第3章二次函数 选择题专题训练 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 第3章二次函数 选择题专题训练 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 296.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-28 10:47:21 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《第3章二次函数》选择题专题训练（附答案）
一．选择题
1．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b＝0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，
其中正确结论是（ ）
A．②④ B．①④ C．①③ D．②③
2．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤
3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ）
A．a＜0 B．b＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．a+b+c＜0
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正确的个数是（ ）
①a＞0；②b＞0；③c＜0；④b2﹣4ac＞0．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，下面是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，则下列结论中，正确的个数是（ ）
①2（a+1）＞2
②4a﹣2b+c＞0
③方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根
④9a﹣3b+c＝0．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b＝0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x＝1．
①b2＞4ac；
②4a﹣2b+c＜0；
③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；
④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．
上述4个判断中，正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，记m＝|a﹣b+c|+|2a+b+c|，n＝|a+b+c|+|2a﹣b﹣c|．则下列选项正确的是（ ）
A．m＜n
B．m＞n
C．m＝n
D．m、n的大小关系不能确定
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＝0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a＝0；⑤方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（ ）
A．①③④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤
12．如图二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＞8a；其中正确的结论是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
13．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（ ）
A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0
14．如图，是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0）．有下列结论：
①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③4a+b＝0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．③④⑤
15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：
①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0
其中正确结论的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，则下列四个结论错误的是（ ）
A．c＞0 B．2a+b＝0 C．b2﹣4ac＞0 D．a﹣b+c＞0
17．二次函数y＝x2+bx+c，若b+c＝0，则它的图象一定过点（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，1）
18．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x＝﹣1是对称轴，有下列判断：
①b﹣2a＝0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：
①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：
①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为（ ）
①bc＞0；
②2a﹣3c＜0；
③2a+b＞0；
④ax2+bx+c＝0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0；
⑤a+b+c＞0；
⑥当x＞1时，y随x增大而减小．
A．2 B．3 C．4 D．5
22．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
23．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（﹣1，0）．下列结论：
①a﹣b+c＝0；
②b2＞4ac；
③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；
④抛物线的对称轴为x＝﹣．
其中结论正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤
25．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．c＞﹣1 B．b＞0 C．2a+b≠0 D．9a+c＞3b
26．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（ ）
A．abc＜0 B．﹣3a+c＜0
C．b2﹣4ac≥0
D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y＝ax2+c
27．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①②④ B．③④ C．①③④ D．①②
28．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），
其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
29．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：
①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；③当x＝1时，y＝2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案
1．解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，
故①正确
由图象可知：对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴2a﹣b＝0，
故②错误；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0
由图象可知：当x＝1时y＝0，
∴a+b+c＝0；
故③错误；
由图象可知：若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，
故④正确．
故选：B．
2．解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x＝1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；
∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选：C．
3．解：A、抛物线开口向下，则a＜0，所以A选项的关系式正确；
B、抛物线的对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0，所以B选项的关系式正确；
C、抛物线与x轴有2个交点，则Δ＝b2﹣4ac＞0，所以D选项的关系式正确；
D、当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0，所以D选项的关系式错误．
故选：D．
4．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，所以③错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以④正确．
故选：B．
5．解：∵二次函数的图象的开口向下，
∴a＜0，
∴2a＜0，
∴2a+2＜2，
即2（a+1）＜2，∴①错误；
∵二次函数的对称轴是直线x＝﹣1，和x轴一个交点是（1，0），则当x＝﹣2时，y＞0，
把x＝﹣2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a﹣2b+c＞0，∴②正确；
∵函数和x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，∴③正确；
∵二次函数的对称轴是直线x＝﹣1，和x轴一个交点是（1，0），
∴另一个交点坐标是（﹣3，0），
把x＝﹣3代入y＝ax2+bx+c得：y＝9a﹣3b+c＝0，∴④正确；
故选：C．
6．解：①图象开口向下，能得到a＜0；
②对称轴在y轴右侧，x＝＝1，则有﹣＝1，即2a+b＝0；
③当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0；
④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故选：C．
7．解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故①正确；
②x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，由图形可知4a﹣2b+c＞0，故②错误；
③如果设ax2+bx+c＝0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，故③错误；
④∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，
∴x＝﹣2与x＝4时的函数值相等，
∵4＜5，
∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，故④正确．
故选：B．
8．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右边，
∴b＞0，
∵抛物线经过原点，
∴c＝0，
∵当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0；
∵当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∵c＝0，
∴a+b＞0．
∵x＝﹣＞1，a＜0，
∴b＞﹣2a，
∴2a+b＞0，
m＝|a﹣b+c|+|2a+b+c|
＝b﹣a+（2a+b）
＝a+2b
n＝|a+b+c|+|2a﹣b﹣c|
＝a+b+（b﹣2a）
＝2b﹣a
m﹣n＝（a+2b）﹣（2b﹣a）
＝2a
∵a＜0，
∴2a＜0，
即m﹣n＜0，
∴m＜n．
故选：A．
9．解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴左边，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）的上方，
∴c+2＞2，
∴c＞0，
∴abc＞0，
∴结论①不正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ＝0，
即b2﹣4a（c+2）＝0，
∴b2﹣4ac＝8a≠0，
∴结论②错误；
∵对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵b2﹣4ac＝8a，
∴4a2﹣4ac＝8a，
∴a＝c+2，
∵c＞0，
∴a＞2，
∴结论③正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，而且x＝0时，y＞2，
∴x＝﹣2时，y＞2，
∴4a﹣2b+c+2＞2，
∴4a﹣2b+c＞0．
∴结论④正确．
综上，可得
正确结论的个数是2个：③④．
故选：B．
10．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过原点，
∴c＝0，
∴abc＝0
∴①正确；
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②不正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣，
∴﹣，b＜0，
∴b＝3a，
又∵a＜0，b＜0，
∴a＞b，
∴③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，
∴④正确；
综上，可得
正确结论有3个：①③④．
故选：C．
11．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＝﹣2，
∴b＝4a，ab＞0，
∴①错误，④正确，
∵抛物线与x轴交于﹣4，0处两点，
∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，
∴②⑤正确，
∵当x＝﹣3时y＞0，即9a﹣3b+c＞0，
∴③错误，
故正确的有②④⑤．
故选：B．
12．解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），当x＞3时，y＜0，故①正确；
②抛物线开口向下，故a＜0，
∵x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0．
∴3a+b＝0+a＝a＜0，故②正确；
③设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），则y＝ax2﹣2ax﹣3a，
令x＝0得：y＝﹣3a．
∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤﹣3a≤3．
解得：﹣1≤a≤﹣，故③正确；
④．∵抛物线y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤c≤3，
由4ac﹣b2＞8a得：4ac﹣8a＞b2，
∵a＜0，
∴c﹣2＜
∴c﹣2＜0
∴c＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．
故选：B．
13．解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以B选项错误；
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，∴2a+b＝0，所以C选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，所以D选项正确；
故选：D．
14．解：①∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，
∴c＜0，
∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a＜0，
∴abc＞0．
故①正确；
②把x＝﹣2代入y＝ax2+bx+c
得：y＝4a﹣2b+c，
由图象可知，当x＝﹣2时，y＞0，
即4a﹣2b+c＞0．
故②错误；
③∵b＝﹣4a，
∴4a+b＝0．
故③正确；
④∵抛物线的对称轴为x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）．
故④正确；
⑤∵（﹣3，y1）关于直线x＝2的对称点的坐标是（7，y1），
又∵当x＞2时，y随x的增大而增大，7＞6，
∴y1＞y2．
故⑤错误；
综上所述，正确的结论是①③④．
故选：C．
15．解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x＝2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；
把x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c得：y＝a﹣b+c，由函数图象可以看出当x＝﹣1时，二次函数的值为正，即a﹣b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；
把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c，由函数图象可以看出当x＝2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；
由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c＝0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；
故选：B．
16．解：A、因为二次函数的图象与y轴的交点在y轴的上方，所以c＞0，正确；
B、由已知抛物线对称轴是直线x＝﹣＝1，得2a+b＝0，正确；
C、由图知二次函数图象与x轴有两个交点，故有b2﹣4ac＞0，正确；
D、直线x＝﹣1与抛物线交于x轴的下方，即当x＝﹣1时，y＜0，即y＝ax2+bx+c＝a﹣b+c＜0，错误．
故选：D．
17．解：对二次函数y＝x2+bx+c，由题意b+c＝0，
∴c＝﹣b，把c＝﹣b代入可得：y＝x2+b（x﹣1），
则它的图象一定过点（1，1）．
故选：D．
18．解：∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
b＝2a，
∴b﹣2a＝0，
故①正确；
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），
∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），
∴把x＝﹣2代入得：y＝4a﹣2b+c＞0，
故②错误；
∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c＝0，
又∵b＝2a，
∴c＝﹣4a﹣2b＝﹣8a，
∴a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，
故③正确；
根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小，
∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（1，y1），
∵（，y2），1＜，
∴y1＞y2，
故④正确；
即正确的有①③④，
故选：B．
19．解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；
②由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故②正确；
③当x＝﹣3，y＜0时，即9a﹣3b+c＜0 （1）
当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2）
（1）+（2）×3得：12a+4c＜0，
即4（3a+c）＜0
又∵4＞0，
∴3a+c＜0．
故③错误；
④∵x＝1时，y＝a+b+c＜0，x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，
即[（a+c）+b][（a+c）﹣b]＝（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2，
故④正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
20．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，（故①正确）；
∵当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
即9a+c＜3b，（故②错误）；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣4a，
∴a+4a+c＝0，即c＝﹣5a，
∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）；
∵对称轴为直线x＝2，
∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，
当x＞2时，y随x的增大而减小，（故④错误）．
故选：B．
21．解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号即b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在负半轴，
∴c＜0，
∴bc＞0，故①正确；
②∵a＞0，c＜0，
∴2a﹣3c＞0，故②错误；
③∵对称轴x＝﹣＜1，a＞0，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，故③正确；
④由图形可知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点分别在原点的左右两侧，
即方程ax2+bx+c＝0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0，故④正确；
⑤由图形可知x＝1时，y＝a+b+c＜0，故⑤错误；
⑥∵a＞0，对称轴x＝1，
∴当x＞1时，y随x增大而增大，故⑥错误．
综上所述，正确的结论是①③④，共3个．
故选：B．
22．解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确；
②∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴x＝﹣＞0，
∴ab＜0，
∵a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故②正确；
③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，
∴y＝ax2+bx+c和y＝m没有交点，
由图可得，m＞2，故③正确．
故选：D．
23．解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，故①正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1），∴a+b+c＝1，又a﹣b+c＝0，
两式相加，得2（a+c）＝1，a+c＝，
两式相减，得2b＝1，b＝．
∵b2﹣4ac＝﹣4a（﹣a）＝﹣2a+4a2＝（2a﹣）2，
当2a﹣＝0，即a＝时，b2﹣4ac＝0，故②错误；
③当a＜0时，∵b2﹣4ac＝（2a﹣）2＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，
则﹣1 x＝＝＝﹣1，即x＝1﹣，
∵a＜0，∴﹣＞0，
∴x＝1﹣＞1，
即抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧，故③正确；
④抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣，故④正确．
故选：B．
24．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，所以⑤正确．
故选：D．
25．解：∵抛物线与y轴的交点在点（0，﹣1）的下方．
∴c＜﹣1；
故A错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴b＜0；
故B错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣，
∴若x＝1，即2a+b＝0；
故C错误；
∵当x＝﹣3时，y＞0，
∴9a﹣3b+c＞0，
即9a+c＞3b．
故选：D．
26．解：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0，故本选项错误；
B．根据图知对称轴为直线x＝2，即＝2，得b＝﹣4a，再根据图象知当x＝1时，y＝a+b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＜0，故本选项正确；
C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
D．y＝ax2+bx+c＝，
∵＝2，
∴原式＝，
∴向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为，故本选项错误；
故选：B．
27．解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c＞0，
∵对称轴是直线x＝，
∴﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0．
故①正确；
②∵由①中知b＝﹣a，
∴a+b＝0，
故②正确；
③把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c，
∵抛物线经过点（2，0），
∴当x＝2时，y＝0，即4a+2b+c＝0．
故③错误；
④∵（﹣2，y1）关于直线x＝的对称点的坐标是（3，y1），
又∵当x＞时，y随x的增大而减小，＜3，
∴y1＜y2．
故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：A．
28．解：∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，
∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y＝4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，∴②错误；
∵把x＝1代入抛物线得：y＝a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴3b+2c＜0，∴③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴y＝a﹣b+c的值最大，
即把x＝m（m≠﹣1）代入得：y＝am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm+b＜a，
即m（am+b）+b＜a，∴④正确；
即正确的有3个，
故选：B．
29．解：抛物线与y轴交于原点，
c＝0，（故①正确）；
该抛物线的对称轴是：，
直线x＝﹣1，（故②正确）；
当x＝1时，y＝a+b+c
∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣b/2a＝﹣1，b＝2a，
又∵c＝0，
∴y＝3a，（故③错误）；
x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c，
x＝﹣1对应的函数值为y＝a﹣b+c，
又∵x＝﹣1时函数取得最小值，
∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，
∵b＝2a，
∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．
故选：C．
一．选择题
1．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b＝0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，
其中正确结论是（ ）
A．②④ B．①④ C．①③ D．②③
2．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤
3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ）
A．a＜0 B．b＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．a+b+c＜0
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正确的个数是（ ）
①a＞0；②b＞0；③c＜0；④b2﹣4ac＞0．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，下面是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，则下列结论中，正确的个数是（ ）
①2（a+1）＞2
②4a﹣2b+c＞0
③方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根
④9a﹣3b+c＝0．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b＝0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x＝1．
①b2＞4ac；
②4a﹣2b+c＜0；
③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；
④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．
上述4个判断中，正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，记m＝|a﹣b+c|+|2a+b+c|，n＝|a+b+c|+|2a﹣b﹣c|．则下列选项正确的是（ ）
A．m＜n
B．m＞n
C．m＝n
D．m、n的大小关系不能确定
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＝0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a＝0；⑤方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（ ）
A．①③④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤
12．如图二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＞8a；其中正确的结论是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
13．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（ ）
A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0
14．如图，是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0）．有下列结论：
①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③4a+b＝0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．③④⑤
15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：
①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0
其中正确结论的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，则下列四个结论错误的是（ ）
A．c＞0 B．2a+b＝0 C．b2﹣4ac＞0 D．a﹣b+c＞0
17．二次函数y＝x2+bx+c，若b+c＝0，则它的图象一定过点（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，1）
18．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x＝﹣1是对称轴，有下列判断：
①b﹣2a＝0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：
①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：
①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为（ ）
①bc＞0；
②2a﹣3c＜0；
③2a+b＞0；
④ax2+bx+c＝0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0；
⑤a+b+c＞0；
⑥当x＞1时，y随x增大而减小．
A．2 B．3 C．4 D．5
22．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
23．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（﹣1，0）．下列结论：
①a﹣b+c＝0；
②b2＞4ac；
③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；
④抛物线的对称轴为x＝﹣．
其中结论正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤
25．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．c＞﹣1 B．b＞0 C．2a+b≠0 D．9a+c＞3b
26．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（ ）
A．abc＜0 B．﹣3a+c＜0
C．b2﹣4ac≥0
D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y＝ax2+c
27．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①②④ B．③④ C．①③④ D．①②
28．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），
其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
29．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：
①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；③当x＝1时，y＝2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案
1．解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，
故①正确
由图象可知：对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴2a﹣b＝0，
故②错误；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0
由图象可知：当x＝1时y＝0，
∴a+b+c＝0；
故③错误；
由图象可知：若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，
故④正确．
故选：B．
2．解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x＝1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；
∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选：C．
3．解：A、抛物线开口向下，则a＜0，所以A选项的关系式正确；
B、抛物线的对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0，所以B选项的关系式正确；
C、抛物线与x轴有2个交点，则Δ＝b2﹣4ac＞0，所以D选项的关系式正确；
D、当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0，所以D选项的关系式错误．
故选：D．
4．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，所以③错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以④正确．
故选：B．
5．解：∵二次函数的图象的开口向下，
∴a＜0，
∴2a＜0，
∴2a+2＜2，
即2（a+1）＜2，∴①错误；
∵二次函数的对称轴是直线x＝﹣1，和x轴一个交点是（1，0），则当x＝﹣2时，y＞0，
把x＝﹣2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a﹣2b+c＞0，∴②正确；
∵函数和x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，∴③正确；
∵二次函数的对称轴是直线x＝﹣1，和x轴一个交点是（1，0），
∴另一个交点坐标是（﹣3，0），
把x＝﹣3代入y＝ax2+bx+c得：y＝9a﹣3b+c＝0，∴④正确；
故选：C．
6．解：①图象开口向下，能得到a＜0；
②对称轴在y轴右侧，x＝＝1，则有﹣＝1，即2a+b＝0；
③当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0；
④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故选：C．
7．解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故①正确；
②x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，由图形可知4a﹣2b+c＞0，故②错误；
③如果设ax2+bx+c＝0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，故③错误；
④∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，
∴x＝﹣2与x＝4时的函数值相等，
∵4＜5，
∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，故④正确．
故选：B．
8．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右边，
∴b＞0，
∵抛物线经过原点，
∴c＝0，
∵当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0；
∵当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∵c＝0，
∴a+b＞0．
∵x＝﹣＞1，a＜0，
∴b＞﹣2a，
∴2a+b＞0，
m＝|a﹣b+c|+|2a+b+c|
＝b﹣a+（2a+b）
＝a+2b
n＝|a+b+c|+|2a﹣b﹣c|
＝a+b+（b﹣2a）
＝2b﹣a
m﹣n＝（a+2b）﹣（2b﹣a）
＝2a
∵a＜0，
∴2a＜0，
即m﹣n＜0，
∴m＜n．
故选：A．
9．解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴左边，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）的上方，
∴c+2＞2，
∴c＞0，
∴abc＞0，
∴结论①不正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ＝0，
即b2﹣4a（c+2）＝0，
∴b2﹣4ac＝8a≠0，
∴结论②错误；
∵对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵b2﹣4ac＝8a，
∴4a2﹣4ac＝8a，
∴a＝c+2，
∵c＞0，
∴a＞2，
∴结论③正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，而且x＝0时，y＞2，
∴x＝﹣2时，y＞2，
∴4a﹣2b+c+2＞2，
∴4a﹣2b+c＞0．
∴结论④正确．
综上，可得
正确结论的个数是2个：③④．
故选：B．
10．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过原点，
∴c＝0，
∴abc＝0
∴①正确；
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②不正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣，
∴﹣，b＜0，
∴b＝3a，
又∵a＜0，b＜0，
∴a＞b，
∴③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，
∴④正确；
综上，可得
正确结论有3个：①③④．
故选：C．
11．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＝﹣2，
∴b＝4a，ab＞0，
∴①错误，④正确，
∵抛物线与x轴交于﹣4，0处两点，
∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，
∴②⑤正确，
∵当x＝﹣3时y＞0，即9a﹣3b+c＞0，
∴③错误，
故正确的有②④⑤．
故选：B．
12．解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），当x＞3时，y＜0，故①正确；
②抛物线开口向下，故a＜0，
∵x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0．
∴3a+b＝0+a＝a＜0，故②正确；
③设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），则y＝ax2﹣2ax﹣3a，
令x＝0得：y＝﹣3a．
∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤﹣3a≤3．
解得：﹣1≤a≤﹣，故③正确；
④．∵抛物线y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤c≤3，
由4ac﹣b2＞8a得：4ac﹣8a＞b2，
∵a＜0，
∴c﹣2＜
∴c﹣2＜0
∴c＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．
故选：B．
13．解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以B选项错误；
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，∴2a+b＝0，所以C选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，所以D选项正确；
故选：D．
14．解：①∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，
∴c＜0，
∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a＜0，
∴abc＞0．
故①正确；
②把x＝﹣2代入y＝ax2+bx+c
得：y＝4a﹣2b+c，
由图象可知，当x＝﹣2时，y＞0，
即4a﹣2b+c＞0．
故②错误；
③∵b＝﹣4a，
∴4a+b＝0．
故③正确；
④∵抛物线的对称轴为x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）．
故④正确；
⑤∵（﹣3，y1）关于直线x＝2的对称点的坐标是（7，y1），
又∵当x＞2时，y随x的增大而增大，7＞6，
∴y1＞y2．
故⑤错误；
综上所述，正确的结论是①③④．
故选：C．
15．解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x＝2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；
把x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c得：y＝a﹣b+c，由函数图象可以看出当x＝﹣1时，二次函数的值为正，即a﹣b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；
把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c，由函数图象可以看出当x＝2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；
由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c＝0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；
故选：B．
16．解：A、因为二次函数的图象与y轴的交点在y轴的上方，所以c＞0，正确；
B、由已知抛物线对称轴是直线x＝﹣＝1，得2a+b＝0，正确；
C、由图知二次函数图象与x轴有两个交点，故有b2﹣4ac＞0，正确；
D、直线x＝﹣1与抛物线交于x轴的下方，即当x＝﹣1时，y＜0，即y＝ax2+bx+c＝a﹣b+c＜0，错误．
故选：D．
17．解：对二次函数y＝x2+bx+c，由题意b+c＝0，
∴c＝﹣b，把c＝﹣b代入可得：y＝x2+b（x﹣1），
则它的图象一定过点（1，1）．
故选：D．
18．解：∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
b＝2a，
∴b﹣2a＝0，
故①正确；
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），
∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），
∴把x＝﹣2代入得：y＝4a﹣2b+c＞0，
故②错误；
∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c＝0，
又∵b＝2a，
∴c＝﹣4a﹣2b＝﹣8a，
∴a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，
故③正确；
根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小，
∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（1，y1），
∵（，y2），1＜，
∴y1＞y2，
故④正确；
即正确的有①③④，
故选：B．
19．解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；
②由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故②正确；
③当x＝﹣3，y＜0时，即9a﹣3b+c＜0 （1）
当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2）
（1）+（2）×3得：12a+4c＜0，
即4（3a+c）＜0
又∵4＞0，
∴3a+c＜0．
故③错误；
④∵x＝1时，y＝a+b+c＜0，x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，
即[（a+c）+b][（a+c）﹣b]＝（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2，
故④正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
20．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，（故①正确）；
∵当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
即9a+c＜3b，（故②错误）；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣4a，
∴a+4a+c＝0，即c＝﹣5a，
∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）；
∵对称轴为直线x＝2，
∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，
当x＞2时，y随x的增大而减小，（故④错误）．
故选：B．
21．解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号即b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在负半轴，
∴c＜0，
∴bc＞0，故①正确；
②∵a＞0，c＜0，
∴2a﹣3c＞0，故②错误；
③∵对称轴x＝﹣＜1，a＞0，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，故③正确；
④由图形可知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点分别在原点的左右两侧，
即方程ax2+bx+c＝0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0，故④正确；
⑤由图形可知x＝1时，y＝a+b+c＜0，故⑤错误；
⑥∵a＞0，对称轴x＝1，
∴当x＞1时，y随x增大而增大，故⑥错误．
综上所述，正确的结论是①③④，共3个．
故选：B．
22．解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确；
②∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴x＝﹣＞0，
∴ab＜0，
∵a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故②正确；
③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，
∴y＝ax2+bx+c和y＝m没有交点，
由图可得，m＞2，故③正确．
故选：D．
23．解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，故①正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1），∴a+b+c＝1，又a﹣b+c＝0，
两式相加，得2（a+c）＝1，a+c＝，
两式相减，得2b＝1，b＝．
∵b2﹣4ac＝﹣4a（﹣a）＝﹣2a+4a2＝（2a﹣）2，
当2a﹣＝0，即a＝时，b2﹣4ac＝0，故②错误；
③当a＜0时，∵b2﹣4ac＝（2a﹣）2＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，
则﹣1 x＝＝＝﹣1，即x＝1﹣，
∵a＜0，∴﹣＞0，
∴x＝1﹣＞1，
即抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧，故③正确；
④抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣，故④正确．
故选：B．
24．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，所以⑤正确．
故选：D．
25．解：∵抛物线与y轴的交点在点（0，﹣1）的下方．
∴c＜﹣1；
故A错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴b＜0；
故B错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣，
∴若x＝1，即2a+b＝0；
故C错误；
∵当x＝﹣3时，y＞0，
∴9a﹣3b+c＞0，
即9a+c＞3b．
故选：D．
26．解：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0，故本选项错误；
B．根据图知对称轴为直线x＝2，即＝2，得b＝﹣4a，再根据图象知当x＝1时，y＝a+b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＜0，故本选项正确；
C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
D．y＝ax2+bx+c＝，
∵＝2，
∴原式＝，
∴向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为，故本选项错误；
故选：B．
27．解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c＞0，
∵对称轴是直线x＝，
∴﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0．
故①正确；
②∵由①中知b＝﹣a，
∴a+b＝0，
故②正确；
③把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c，
∵抛物线经过点（2，0），
∴当x＝2时，y＝0，即4a+2b+c＝0．
故③错误；
④∵（﹣2，y1）关于直线x＝的对称点的坐标是（3，y1），
又∵当x＞时，y随x的增大而减小，＜3，
∴y1＜y2．
故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：A．
28．解：∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，
∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y＝4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，∴②错误；
∵把x＝1代入抛物线得：y＝a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴3b+2c＜0，∴③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴y＝a﹣b+c的值最大，
即把x＝m（m≠﹣1）代入得：y＝am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm+b＜a，
即m（am+b）+b＜a，∴④正确；
即正确的有3个，
故选：B．
29．解：抛物线与y轴交于原点，
c＝0，（故①正确）；
该抛物线的对称轴是：，
直线x＝﹣1，（故②正确）；
当x＝1时，y＝a+b+c
∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣b/2a＝﹣1，b＝2a，
又∵c＝0，
∴y＝3a，（故③错误）；
x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c，
x＝﹣1对应的函数值为y＝a﹣b+c，
又∵x＝﹣1时函数取得最小值，
∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，
∵b＝2a，
∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．
故选：C．