3.4二次函数y=ax2 bx c的图象与性质 同步达标测评 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册 （Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 3.4二次函数y=ax2 bx c的图象与性质 同步达标测评 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册 （Word版 含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 315.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-28 10:50:42 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《3.4二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质》
同步达标测评（附答案）
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2
2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象可得a，b，c与0的大小关系是（ ）
A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0
3．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图，OA＝OC，则（ ）
A．ac+1＝b B．ab+1＝c C．bc+1＝a D．以上都不是
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（ ）
A．20cm B．18cm C．2cm D．3cm
5．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1．
其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且∠OBC＝45°，则下列各式成立的是（ ）
b﹣c﹣1＝0 B．b+c﹣1＝0
C．b﹣c+1＝0 D．b+c+1＝0
7．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤（a+c）2＜b2．其中结论正确的为（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②③④
8．已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2
9．已知点（﹣9，y1），（4，y2），（﹣2，y3）都在抛物线y＝ax2+m（a＞0）上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣4，0），B（2，0），C（﹣5，y1），D（﹣2，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
11．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2（x≥0）与y2＝x2（x≥0）的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1＝x2（x≥0）的图象于点D，直线DE∥AC，交y2＝x2（x≥0）的图象于点E，则＝（ ）
A． B． C． D．3﹣
12．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．把二次函数y＝x2+3x+的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得函数图象的顶点是 ．
14．如图，正方形OABC的边长为，OC与y轴的正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，则a的值为 ．
15．将二次函数y＝1+的图象沿x轴对折后得到的图象解析式
16．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为 ．
17．已知点A（a，m）、B（b，m）、P（a+b，n）为抛物线y＝x2﹣2x﹣2上的点，则n＝ ．
18．如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标，纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…An，…．将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y＝x上；
②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．则顶点M1的坐标为 ，顶点M2的坐标为 ，顶点M2018的坐标为 ．
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，
（1）AP＝ ，BP＝ ，BQ＝ ；
（2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？
（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D．
（1）求b、c的值；
（2）当t为何值时，点D落在抛物线上．
21．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，顶点与抛物线y＝（x+2）2相同．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）将上面的抛物线向右平移4个单位会得到怎样的抛物线解析式？
（3）若（2）中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，求符合此条件的抛物线解析式．
22．先阅读以下材料，然后解答问题：
材料：将直线y＝2x﹣3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式．
解：在直线y＝2x﹣3上任取一点A（0，﹣3），由题意知A向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到
A′（3，﹣2），
设平移后的解析式为y＝2x+b，则A′（3，﹣2）在y＝2x+b的解析式上，﹣2＝2×3+b，解得：b＝﹣8，
所以平移后的直线的解析式为y＝2x﹣8．
根据以上信息解答下列问题：将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝45°，边长为1的正方形的一个顶点D在边AC上，与△ADC另两边分别交于点E、F，DE∥AB，将正方形平移，使点D保持在AC上（D不与A重合），设AF＝x，正方形与△ABC重叠部分的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）x为何值时y的值最大？
24．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值是多少？
参考答案
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．解：将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y＝（x﹣1）2+2，
故选：A．
2．解：由抛物线的开口向下知a＜0，
与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵对称轴为x＝＞0，
∴a、b异号，即b＞0．
故选：D．
3．解：∵OA＝OC，
∴点A、C的坐标为（﹣c，0），（0，c），
∴把点A的坐标代入y＝ax2+bx+c得，
ac2﹣bc+c＝0，
∴c（ac﹣b+1）＝0，
∵c≠0
∴ac﹣b+1＝0，
∴ac+1＝b．
故选：A．
4．解：∵AP＝CQ＝t，
∴CP＝6﹣t，
∴PQ＝＝＝，
∵0≤t≤2，
∴当t＝2时，PQ的值最小，
∴线段PQ的最小值是2，
故选：C．
5．解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x＝1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；
∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选：C．
6．解：∵∠OBC＝45°，
∴OB＝OC，
∴点C，B的坐标为（0，c），（c，0）；
把点B（c，0）代入二次函数y＝x2+bx+c，得c2+bc+c＝0，
即c（c+b+1）＝0，
∵c≠0，
∴b+c+1＝0．
故选：D．
7．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝﹣1时，y＞0，即：a﹣b+c＞0．
当x＝1时，y＜0，即：a+b+c＜0
两式相乘得（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2．故⑤正确．
故选：C．
8．解：由二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∵当0≤x≤m时，y最大值为3，最小值为2，
∴1≤m≤2．
故选：C．
9．解：∵抛物线y＝ax2+m（a＞0），
∴该抛物线开口向上，对称轴是y轴，
∵点（﹣9，y1），（4，y2），（﹣2，y3）都在抛物线y＝ax2+m（a＞0）上，0﹣（﹣9）＝9，4﹣0＝4，0﹣（﹣2）＝2，
∴y3＜y2＜y1，
故选：C．
10．解：∵抛物线过A（﹣4，0）、B（2，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∵a＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
比较可知C点离对称轴远，对应的纵坐标值小，
即y1＜y2．
故选：C．
11．解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则x2＝a，解得x＝，
∴点B（，a），
把y＝a代入y2＝x2（x≥0）得x2＝a，
则x＝，
∴点C（，a），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，
∴y1＝（）2＝3a，
∴点D的坐标为（，3a），
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为3a，
∴x2＝3a，
∴x＝3，
∴点E的坐标为（3，3a），
∴DE＝3﹣，
＝＝﹣1．
故选：B．
12．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，
⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．解：∵y＝x2+3x+＝（x2+6x）+＝（x+3）2﹣2；
∴图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位后，得出：y＝（x+1）2+1；
得到顶点坐标为（﹣1，1）．
故答案为（﹣1，1）．
14．解：如图，连接OB，
∵四边形OABC是边长为的正方形，
∴∠BOC＝45°，OB＝2，
过点B作BD⊥y轴于D，
∵OC与y轴正半轴的夹角为15°，
∴∠BOD＝45°+15°＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝OB＝1，
∴BD＝＝，
∴点B的坐标为（，1），
∵点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，
∴a（）2＝1，
解得a＝．
故答案为：．
15．解：∵关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴将二次函数y＝1+的图象沿x轴对折后得到的图象解析式为﹣y＝1+，即y＝﹣﹣1．
故答案为：y＝﹣﹣1．
16．解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），
∵A1A2∥OA，
∴直线A1A2为y＝x+2，
解得或，
∴A2（2，4），
∴A3（﹣2，4），
∵A3A4∥OA，
∴直线A3A4为y＝x+6，
解得或，
∴A4（3，9），
∴A5（﹣3，9）
…，
∴A2019（﹣1010，10102），
故答案为（﹣1010，10102）．
17．解：∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
又∵点A（a，m）和B（b，m）关于直线x＝1对称，
∴＝1，
∴a+b＝2，
把（2，n）代入抛物线的解析式得，n＝22﹣2×2﹣2＝﹣2．
故答案是：﹣2．
18．解：∵抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…，An，…，
∴点An的坐标为（n，n2）．
设点Mn的坐标为（a，a），则以点Mn为顶点的抛物线解析式为y＝（x﹣a）2+a，
∵点An（n，n2）在抛物线y＝（x﹣a）2+a上，
∴n2＝（n﹣a）2+a，解得：a＝2n﹣1或a＝0（舍去），
∴Mn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1），
∴顶点M1的坐标为（1，1），顶点M2的坐标为（3，3），顶点M2018的坐标为（4035，4035），
故答案为：（1，1），（3，3），（4035，4035）．
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
所以BP＝（12﹣2t）cm，
故答案为：2tcm，（12﹣2t）cm，4tcm；
（2）△PBQ的面积S＝
＝（12﹣2t）×4t
＝﹣4t2+24t＝32，
解得：t＝2或4，
即当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；
（3）S＝﹣4t2+24t
＝﹣4（t﹣3）2+36，
所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．
20．解：（1）把A（0，4）和C（8，0）代入y＝﹣+bx+c得，
解得b＝，c＝4；
（2）作MN⊥x轴于点N，如图，
∵M是线段AP的中点，
∴MN＝2，
∵AD⊥BE，BE⊥x轴，
∴DE＝OA＝4，
∵线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，
∴PM＝PB，∠MPB＝90°，
∵∠MPN+∠BPE＝90°，∠MPN+∠PMN＝90°，
∴∠PMN＝∠BPE，
在△PMN和△BPE中
，
∴△PMN≌△BPE，
∴PE＝MN＝2，
∴OE＝2+t，
∴D（2+t，4），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
而点A、点D为对称点，
∴D点坐标为（5，4），
∴2+t＝5，解得t＝3，
即当t为3时，点D落在抛物线上．
21．解：（1）∵一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，顶点与抛物线y＝（x+2）2相同，
∴这条抛物线的解析式为：y＝3（x+2）2；
（2）将抛物线向右平移4个单位会得到的抛物线解析式为：y＝3（x﹣2）2；
（3）若（2）中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，
则符合此条件的抛物线解析式为：y＝﹣3（x﹣2）2．
22．解：在抛物线y＝﹣x2+2x+3图象上任取两点A（0，3）、B（1，4），
由题意知：点A向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到A′（﹣1，1）；点B向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到B′（0，2）．
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+bx+c．
由点A′（﹣1，1），B′（0，2）在抛物线上，
可得，解得：，
所以平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2．
23．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠CED，∠AFD＝∠FDE＝90°，
∴∠C＝∠CED，
∴DC＝DE．
在Rt△ADF中，∵∠A＝45°，
∴∠ADF＝45°＝∠A，
∴AF＝DF＝x，
∴AD＝x，
∴DC＝DE＝1﹣x，
∴y＝（DE+FB）×DF＝（1﹣x+1﹣x）x＝﹣（+1）x2+x．
∵点D保持在AC上，且D不与A重合，
∴0＜AD≤1，
∴0＜x≤1，
∴0＜x≤．
故y＝﹣（+1）x2+x，自变量x的取值范围是0＜x≤；
（2）∵y＝﹣（+1）x2+x，
∴当x＝﹣＝﹣1时，y有最大值．
24．解：∵D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，
∴设D（x，﹣x2+6x），
∵顶点C的坐标为（4，3），
∴OC＝＝5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC＝OC＝5，BC∥x轴，
∴S△BCD＝×5×（﹣x2+6x﹣3）＝﹣（x﹣3）2+15，
∵﹣＜0，
∴S△BCD有最大值，最大值为15，
同步达标测评（附答案）
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2
2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象可得a，b，c与0的大小关系是（ ）
A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0
3．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图，OA＝OC，则（ ）
A．ac+1＝b B．ab+1＝c C．bc+1＝a D．以上都不是
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（ ）
A．20cm B．18cm C．2cm D．3cm
5．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1．
其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且∠OBC＝45°，则下列各式成立的是（ ）
b﹣c﹣1＝0 B．b+c﹣1＝0
C．b﹣c+1＝0 D．b+c+1＝0
7．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤（a+c）2＜b2．其中结论正确的为（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②③④
8．已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2
9．已知点（﹣9，y1），（4，y2），（﹣2，y3）都在抛物线y＝ax2+m（a＞0）上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣4，0），B（2，0），C（﹣5，y1），D（﹣2，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
11．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2（x≥0）与y2＝x2（x≥0）的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1＝x2（x≥0）的图象于点D，直线DE∥AC，交y2＝x2（x≥0）的图象于点E，则＝（ ）
A． B． C． D．3﹣
12．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．把二次函数y＝x2+3x+的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得函数图象的顶点是 ．
14．如图，正方形OABC的边长为，OC与y轴的正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，则a的值为 ．
15．将二次函数y＝1+的图象沿x轴对折后得到的图象解析式
16．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为 ．
17．已知点A（a，m）、B（b，m）、P（a+b，n）为抛物线y＝x2﹣2x﹣2上的点，则n＝ ．
18．如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标，纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…An，…．将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y＝x上；
②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．则顶点M1的坐标为 ，顶点M2的坐标为 ，顶点M2018的坐标为 ．
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，
（1）AP＝ ，BP＝ ，BQ＝ ；
（2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？
（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D．
（1）求b、c的值；
（2）当t为何值时，点D落在抛物线上．
21．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，顶点与抛物线y＝（x+2）2相同．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）将上面的抛物线向右平移4个单位会得到怎样的抛物线解析式？
（3）若（2）中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，求符合此条件的抛物线解析式．
22．先阅读以下材料，然后解答问题：
材料：将直线y＝2x﹣3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式．
解：在直线y＝2x﹣3上任取一点A（0，﹣3），由题意知A向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到
A′（3，﹣2），
设平移后的解析式为y＝2x+b，则A′（3，﹣2）在y＝2x+b的解析式上，﹣2＝2×3+b，解得：b＝﹣8，
所以平移后的直线的解析式为y＝2x﹣8．
根据以上信息解答下列问题：将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝45°，边长为1的正方形的一个顶点D在边AC上，与△ADC另两边分别交于点E、F，DE∥AB，将正方形平移，使点D保持在AC上（D不与A重合），设AF＝x，正方形与△ABC重叠部分的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）x为何值时y的值最大？
24．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值是多少？
参考答案
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．解：将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y＝（x﹣1）2+2，
故选：A．
2．解：由抛物线的开口向下知a＜0，
与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵对称轴为x＝＞0，
∴a、b异号，即b＞0．
故选：D．
3．解：∵OA＝OC，
∴点A、C的坐标为（﹣c，0），（0，c），
∴把点A的坐标代入y＝ax2+bx+c得，
ac2﹣bc+c＝0，
∴c（ac﹣b+1）＝0，
∵c≠0
∴ac﹣b+1＝0，
∴ac+1＝b．
故选：A．
4．解：∵AP＝CQ＝t，
∴CP＝6﹣t，
∴PQ＝＝＝，
∵0≤t≤2，
∴当t＝2时，PQ的值最小，
∴线段PQ的最小值是2，
故选：C．
5．解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x＝1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；
∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选：C．
6．解：∵∠OBC＝45°，
∴OB＝OC，
∴点C，B的坐标为（0，c），（c，0）；
把点B（c，0）代入二次函数y＝x2+bx+c，得c2+bc+c＝0，
即c（c+b+1）＝0，
∵c≠0，
∴b+c+1＝0．
故选：D．
7．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝﹣1时，y＞0，即：a﹣b+c＞0．
当x＝1时，y＜0，即：a+b+c＜0
两式相乘得（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2．故⑤正确．
故选：C．
8．解：由二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∵当0≤x≤m时，y最大值为3，最小值为2，
∴1≤m≤2．
故选：C．
9．解：∵抛物线y＝ax2+m（a＞0），
∴该抛物线开口向上，对称轴是y轴，
∵点（﹣9，y1），（4，y2），（﹣2，y3）都在抛物线y＝ax2+m（a＞0）上，0﹣（﹣9）＝9，4﹣0＝4，0﹣（﹣2）＝2，
∴y3＜y2＜y1，
故选：C．
10．解：∵抛物线过A（﹣4，0）、B（2，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∵a＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
比较可知C点离对称轴远，对应的纵坐标值小，
即y1＜y2．
故选：C．
11．解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则x2＝a，解得x＝，
∴点B（，a），
把y＝a代入y2＝x2（x≥0）得x2＝a，
则x＝，
∴点C（，a），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，
∴y1＝（）2＝3a，
∴点D的坐标为（，3a），
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为3a，
∴x2＝3a，
∴x＝3，
∴点E的坐标为（3，3a），
∴DE＝3﹣，
＝＝﹣1．
故选：B．
12．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，
⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．解：∵y＝x2+3x+＝（x2+6x）+＝（x+3）2﹣2；
∴图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位后，得出：y＝（x+1）2+1；
得到顶点坐标为（﹣1，1）．
故答案为（﹣1，1）．
14．解：如图，连接OB，
∵四边形OABC是边长为的正方形，
∴∠BOC＝45°，OB＝2，
过点B作BD⊥y轴于D，
∵OC与y轴正半轴的夹角为15°，
∴∠BOD＝45°+15°＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝OB＝1，
∴BD＝＝，
∴点B的坐标为（，1），
∵点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，
∴a（）2＝1，
解得a＝．
故答案为：．
15．解：∵关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴将二次函数y＝1+的图象沿x轴对折后得到的图象解析式为﹣y＝1+，即y＝﹣﹣1．
故答案为：y＝﹣﹣1．
16．解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），
∵A1A2∥OA，
∴直线A1A2为y＝x+2，
解得或，
∴A2（2，4），
∴A3（﹣2，4），
∵A3A4∥OA，
∴直线A3A4为y＝x+6，
解得或，
∴A4（3，9），
∴A5（﹣3，9）
…，
∴A2019（﹣1010，10102），
故答案为（﹣1010，10102）．
17．解：∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
又∵点A（a，m）和B（b，m）关于直线x＝1对称，
∴＝1，
∴a+b＝2，
把（2，n）代入抛物线的解析式得，n＝22﹣2×2﹣2＝﹣2．
故答案是：﹣2．
18．解：∵抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…，An，…，
∴点An的坐标为（n，n2）．
设点Mn的坐标为（a，a），则以点Mn为顶点的抛物线解析式为y＝（x﹣a）2+a，
∵点An（n，n2）在抛物线y＝（x﹣a）2+a上，
∴n2＝（n﹣a）2+a，解得：a＝2n﹣1或a＝0（舍去），
∴Mn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1），
∴顶点M1的坐标为（1，1），顶点M2的坐标为（3，3），顶点M2018的坐标为（4035，4035），
故答案为：（1，1），（3，3），（4035，4035）．
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
所以BP＝（12﹣2t）cm，
故答案为：2tcm，（12﹣2t）cm，4tcm；
（2）△PBQ的面积S＝
＝（12﹣2t）×4t
＝﹣4t2+24t＝32，
解得：t＝2或4，
即当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；
（3）S＝﹣4t2+24t
＝﹣4（t﹣3）2+36，
所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．
20．解：（1）把A（0，4）和C（8，0）代入y＝﹣+bx+c得，
解得b＝，c＝4；
（2）作MN⊥x轴于点N，如图，
∵M是线段AP的中点，
∴MN＝2，
∵AD⊥BE，BE⊥x轴，
∴DE＝OA＝4，
∵线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，
∴PM＝PB，∠MPB＝90°，
∵∠MPN+∠BPE＝90°，∠MPN+∠PMN＝90°，
∴∠PMN＝∠BPE，
在△PMN和△BPE中
，
∴△PMN≌△BPE，
∴PE＝MN＝2，
∴OE＝2+t，
∴D（2+t，4），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
而点A、点D为对称点，
∴D点坐标为（5，4），
∴2+t＝5，解得t＝3，
即当t为3时，点D落在抛物线上．
21．解：（1）∵一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，顶点与抛物线y＝（x+2）2相同，
∴这条抛物线的解析式为：y＝3（x+2）2；
（2）将抛物线向右平移4个单位会得到的抛物线解析式为：y＝3（x﹣2）2；
（3）若（2）中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，
则符合此条件的抛物线解析式为：y＝﹣3（x﹣2）2．
22．解：在抛物线y＝﹣x2+2x+3图象上任取两点A（0，3）、B（1，4），
由题意知：点A向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到A′（﹣1，1）；点B向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到B′（0，2）．
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+bx+c．
由点A′（﹣1，1），B′（0，2）在抛物线上，
可得，解得：，
所以平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2．
23．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠CED，∠AFD＝∠FDE＝90°，
∴∠C＝∠CED，
∴DC＝DE．
在Rt△ADF中，∵∠A＝45°，
∴∠ADF＝45°＝∠A，
∴AF＝DF＝x，
∴AD＝x，
∴DC＝DE＝1﹣x，
∴y＝（DE+FB）×DF＝（1﹣x+1﹣x）x＝﹣（+1）x2+x．
∵点D保持在AC上，且D不与A重合，
∴0＜AD≤1，
∴0＜x≤1，
∴0＜x≤．
故y＝﹣（+1）x2+x，自变量x的取值范围是0＜x≤；
（2）∵y＝﹣（+1）x2+x，
∴当x＝﹣＝﹣1时，y有最大值．
24．解：∵D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，
∴设D（x，﹣x2+6x），
∵顶点C的坐标为（4，3），
∴OC＝＝5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC＝OC＝5，BC∥x轴，
∴S△BCD＝×5×（﹣x2+6x﹣3）＝﹣（x﹣3）2+15，
∵﹣＜0，
∴S△BCD有最大值，最大值为15，