《3.4二次函数y=ax2 bx c的图象与性质》解答题专题训练 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 《3.4二次函数y=ax2 bx c的图象与性质》解答题专题训练 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 817.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-28 10:50:52 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《3.4二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质》
解答题专题训练（附答案）
1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点M（1﹣m，n），点N（，n），交y轴于点A．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）若抛物线上始终存在不重合的P，Q两点（P在Q的左边）关于原点对称，求a的取值范围．
2．抛物线C1：y＝x2﹣2ax+a的顶点A在某一条抛物线C2上，将抛物线C1向右平移b（b＞0）个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线C2上．
（1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）求a与b的关系式；
（3）抛物线C2的顶点为F，其对称轴与x轴的交点为D，点E是抛物线C2上不同于顶点的任意一点，直线ED交抛物线C2于另一点M，直线EF交直线l：y＝于点N，求证：直线MN与x轴互相垂直．
3．已知，如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4），它与抛物线y＝ax2在第一象限内交于点P，又△AOP的面积为，求a的值．
4．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它们的相关函数为y＝．
（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y＝ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；
（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣．
①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；
②当﹣3≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值．
5．（1）解方程：x2+x＝8﹣x．
（2）已知（5，y1），（m，y2）是抛物线y＝x2﹣4x+1上不同的两点，且y1＝y2，求m的值．
6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1的顶点为P．
（1）直接写出点P的坐标（用含m的式子表示）；
（2）已知点A（m+1，m+3）关于直线x＝t的对称点为点B，抛物线C与线段AB有公共点．
①当t＝1时，若点B恰好在抛物线C上，求m的值；
②直接写出t﹣m的取值范围．
7．已知A（﹣1，y1）和B（﹣2，y2）是二次函数y＝（x+p）2﹣（x+2p）的图象上两点．
（1）当p＝1时，求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）若y1＞y2，求p的取值范围；
（3）当A、B两点到x轴的距离相等时，求p的值．
8．定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2﹣mn+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2﹣（﹣3）×2+2＝17．根据以上知识解决问题：
（1）若x☆3＝1，求x的值；
（2）求抛物线y＝（2﹣x）☆（﹣1）的顶点坐标；
（3）将（2）中的抛物线绕着原点旋转180°，写出得到的新的抛物线解析式．
9．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+a2x+c与y轴交于点（0，2）．
（1）求c的值；
（2）当a＝2时，求抛物线顶点的坐标；
（3）已知点A（﹣2，0），B（1，0），若抛物线y＝ax2+a2x+c与线段AB有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
11．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，且AB＝4．抛物线与y轴交于点C，将点C向上移动1个单位得到点D．
（1）求抛物线对称轴；
（2）求点D纵坐标（用含有a的代数式表示）；
（3）已知点P（﹣4，4），若抛物线与线段PD只有一个公共点，求a的取值范围．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（n，b），B（m，a）且m﹣n＝1．
（1）当b＝a时，直接写出函数图象的对称轴；
（2）求b和c（用只含字母a、n的代数式表示）；
（3）当a＜0时，函数有最大值﹣1，b+c≥a，n≤﹣，求a的取值范围．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，其中a＞0，过点A，B分别作y轴的平行线，交抛物线y＝x2﹣4x+8于点C，D．
（1）若AD＝BC，求a的值；
（2）点E是抛物线上的一点，求△ABE面积的最小值．
14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的顶点坐标；（用含a的式子表示）
（2）已知点B（3，4），将点B向左平移3个单位长度，得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
15．如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，求△MAN的面积的最小值．
16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与y轴交于点A．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）点A、B关于对称轴对称，求点B的坐标；
（3）已知点P（4，0），．若抛物线与线段PQ恰有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
17．已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象经过点A（﹣1，0）、B（0，2）．
（1）b＝ （用含有a的代数式表示），c＝ ；
（2）点O是坐标原点，点C是该函数图象的顶点，若△AOC的面积为1，则a＝ ；
（3）若x＞1时，y＜5．结合图象，直接写出a的取值范围．
18．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，点A在抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）上，将点B向右平移3个单位长度，得到点C．
（1）抛物线的顶点坐标为 （用含a的代数式表示）；
（2）若a＝﹣1，当t﹣1≤x≤t时，函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝2，求t的值；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．
（1）当m＝2时，
①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；
②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是 ；
（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．
20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣4（a≠0）的顶点为A．
（1）求顶点A的坐标；
（2）过点（0，5）且平行于x轴的直线l，与抛物线y＝ax2+4ax+4﹣4（a≠0）交于B、C两点．
①当a＝1时，求线段BC的长；
②当线段BC的长不小于8时，直接写出a的取值范围．
21．已知，如图，直线AB经过点B（0，6），点A（4，0），与抛物线y＝ax2+2在第一象限内相交于点P，又知△AOP的面积为6．
（1）求a的值；
（2）若将抛物线y＝ax2+2沿y轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经过点A．
22．对于给定的抛物线y＝x2+ax+b，使实数p、q适合于ap＝2（b+q）
（1）证明：抛物线y＝x2+px+q通过定点；
（2）证明：下列两个二次方程，x2+ax+b＝0与x2+px+q＝0中至少有一个方程有实数解．
23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8米，BC＝10米，动点P从点A开始沿边AB向B以1米/秒的速度运动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC向C以2米/秒的速度运动（不与点C重合）．如果P，Q分别从A，B同时出发，设运动时间为x秒，△BPQ的面积为y平方米．
（1）填空：BQ＝ 米，BP＝ 米（用含x的代数式表示）
（2）求y与x之间的函数关系式，并求出当x为多少时，y有最大值，最大值是多少？
24．已知min{a，b}表示a、b两数中的最小值，若y＝min{x2﹣4x，﹣x2+4x}，解答下列问题：
（1）当y有最大值时，求此时x的值；
（2）若直线y＝h与y＝min{x2﹣4，﹣x2+4x}的图象恰有4个公共点，求h的取值范围
．
25．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移4个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
26．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在抛物线y＝x2+bx+c（b＞0）上，且A（1，﹣1），
（1）若b﹣c＝4，求b，c的值；
（2）若该抛物线与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，试求出OB，OC的数量关系；
（3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过（1，﹣1），点A的对应点A1（1﹣m，2b﹣1），当m≥﹣时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标．
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝nx2﹣2nx+n+2（n＜0）的顶点为D．
（1）求D点坐标；
（2）已知直线y＝kx+b经过点D和点C（0，1），求直线CD的解析式；
（3）过T（0，t）（﹣1＜t＜1）作y轴垂线，交直线CD于点P（x1，y1），交抛物线在对称轴右侧的部分与Q（x2，y2），若存在t使得x1+x2＝3成立，结合图象，求出n的取值范围．
28．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
29．如图，点A为抛物线上第一象限内的一点．
（1）若点A的横、纵坐标相等，求点A的坐标；
（2）如图1，点M（0，1），过点A的直线l与抛物线只有唯一的公共点，且直线l与y轴不平行，直线l与x轴交于点N，连接AM，若，求点A的坐标．
30．已知抛物线y＝x2+（2m+1）x+m（m﹣3），（m为常数，﹣1≤m≤4），A（﹣m﹣1，y1），是该抛物线上不同的两点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点O逆时针旋转90°得到直线a，过抛物线顶点P作PH⊥a于H．
（Ⅰ）当m＝1时，求出这条抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若无论m取何值，抛物线与直线y＝x﹣km（k为常数）有且仅有一个公共点，求k的值； （Ⅲ）当1＜PH≤6时，试比较y1，y2之间的大小．
31．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝45°，边长为1的正方形的一个顶点D在边AC上，与△ADC另两边分别交于点E、F，DE∥AB，将正方形平移，使点D保持在AC上（D不与A重合），设AF＝x，正方形与△ABC重叠部分的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）x为何值时y的值最大？
32．已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，一次函数y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B．
（1）c＝ ，点A的坐标为 ；
（2）若二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，求a的值；
（3）若二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．
参考答案
1．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点M（1﹣m，n），点N（，n），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝，
∴﹣＝，
∴b＝﹣a﹣3；
（2）设P（x，y）则点Q（﹣x，﹣y），将P、Q点的坐标代入y＝ax2+bx+3得：
，
①+②得：2ax2+6＝0③，
∵抛物线上始终存在不重合的P，Q两点，
∴方程③始终有解，
∴，
解得：a＜0，
a的取值范围为a＜0．
2．（1）解：∵y＝x2﹣2ax+a＝（x﹣a）2﹣a2+a，
∴顶点A的坐标为（a，﹣a2+a）；
（2）解：∵顶点A（a，﹣a2+a）在抛物线C2上，
令x＝a，则抛物线C2的解析式为：：y＝﹣x2+x，
∵将抛物线C1向右平移b（b＞0）个单位，
∴所得抛物线顶点B的坐标为（a+b，﹣a2+a），
∵点B仍在抛物线C2上，
∴﹣a2+a＝﹣（a+b）2+（a+b）整理得b2+2ab﹣b＝0，
即b（b+2a﹣1）＝0，
又∵b＞0，
∴b+2a﹣1＝0；
（3）证明：∵抛物线C2：y＝﹣x2+x①的顶点式为y＝﹣（x﹣）2+，
∴顶点为F（），
∴抛物线C2的对称轴与x轴的交点D的坐标为（，0），
又∵点E是抛物线C2上不同于顶点F的任意一点，
∴设点E的坐标为（m，﹣m2+m），其中m≠，
把D（，0），E（m，﹣m2+m）代入y＝kx+b，得：
，
解得：，
∴直线ED解析式为y＝x+②，
联立①②，整理得（x﹣m）（x﹣）＝0，
解得x＝m或，
∵点E与点M不重合，
∴点M的横坐标为x＝，
∵E（m，﹣m2+m），F（），
∴直线EF解析式为y＝（﹣m）x+m，
∵直线EF与直线y＝的交点为N，
∴点N横坐标为x＝，
∵点M的横坐标与点N横坐标相同，
∴直线MN与x轴互相垂直．
3．解：设点P（x，y），直线AB的解析式为y＝kx+b，
将A（4，0）、B（0，4）分别代入y＝kx+b，
得k＝﹣1，b＝4，
故y＝﹣x+4，
∵△AOP的面积为，
∴×4×yP＝，
∴yP＝，
再把yP＝代入y＝﹣x+4，得x＝，
所以P（，）．
把P（，）代入到y＝ax2中得：a＝．
故a的值为．
4．解：（1）y＝ax﹣3的相关函数y＝，
将A（﹣5，8）代入y＝﹣ax+3得：5a+3＝8，
解得a＝1；
（2）二次函数y＝﹣x2+4x﹣的相关函数为y＝，
①当m＜0时，将B（m，）代入y＝x2﹣4x+
得m2﹣4m+＝，
解得：m＝2+（舍去），或m＝2﹣，
当m≥0时，将B（m，）代入y＝﹣x2+4x﹣得：
﹣m2+4m﹣＝，
解得：m＝2+或m＝2﹣．
综上所述：m＝2﹣或m＝2+或m＝2﹣；
②当﹣3≤x＜0时，y＝x2﹣4x+，抛物线的对称轴为x＝2，
此时y随x的增大而减小，
∴此时y的最大值为，
当0≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x﹣，抛物线的对称轴为x＝2，
当x＝0有最小值，最小值为﹣，当x＝2时，有最大值，最大值y＝，
综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值为，最小值为﹣．
5．（1）解：化简整理原方程得：x2+2x﹣8＝0，
由因式分解可知：（x﹣2）（x+4）＝0，
则x﹣2＝0或x+4＝0，
解得：x1＝2或x2＝﹣4；
（2）（5，y1），（m，y2）是抛物线y＝x2﹣4x+1上不同的两点，
把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，
把x＝m代入y＝m2﹣4m+1得，，
∵y1＝y2，
∴m2﹣4m+1＝6，
∴m＝﹣1或m＝5（舍），
∴m＝﹣1．
6．解：（1）∵抛物线C：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1，
∴，，
∴点P的坐标是（m，m﹣1），
（2）①∵点A（m+1，m+3）与点B关于直线x＝1对称，
∴点B（1﹣m，m+3），
∵点B在抛物线C上，
∴（1﹣m）2﹣2m（1﹣m）+m2+m﹣1＝m+3，
解得：m1＝﹣0.5，m2＝1.5，
②∵点A（m+1，m+3）与点B关于直线x＝t对称，
∴点B（2t﹣m﹣1，m+3），
当y＝m+3时，x2﹣2mx+m2+m﹣1＝m+3，
解得：x1＝m+2，x2＝m﹣2，
∴C（m+2，m+3），D（m﹣2，m+3），
∵抛物线C与线段AB有公共点，如图，
∴2t﹣m﹣1≥m+2或2t﹣m﹣1≤m﹣2，
解得：t﹣m≥1.5或t﹣m≤﹣0.5．
7．解：（1）当p＝1时，y＝（x+1）2﹣（x+2），
整理得：y＝x2+x﹣1．
∴．
∴顶点坐标为：，；
（2）把x＝﹣1代入，得，
整理，得．
把x＝﹣2代入，得，
整理得．
∵y1＞y2，
∴p2﹣4p+2＞p2﹣6p+6，
解得：p＞2；
（3）∵A、B两点到x轴的距离相等，
∴y1＝y2或y1+y2＝0．
①当y1＝y2时，p2﹣4p+2＝p2﹣6p+6，
解得p1＝2，
②当y1+y2＝0时，p2﹣4p+2+p2﹣6p+6＝0，
整理，得p2﹣5p+4＝0，
解得p2＝1，p3＝4．
综上所述，当A、B两点到x轴的距离相等时，p的值为1或2或4．
8．解：（1）根据题意，得x2﹣3x+3＝1，
移项、合并同类项，得x2﹣3x+2＝0，
整理，得（x，﹣1）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝1，x2＝2；
（2）根据题意知，y＝（2﹣x）2﹣（2﹣x）（﹣1）+（﹣1）＝x2﹣5x+5＝（x﹣）2﹣．
所以，顶点坐标（）；
（3）根据题意知，新的抛物线解析式为y＝﹣（x+）2+．
9．解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：
∵直线y＝x+m经过点A（1，2），
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）∵直线y＝x+1经过点B（2，3），直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），点（0，1），A（1，2），B（2，3）在直线上，点（0，1），A（1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点，
∵B（2，3），C（2，1）两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得，
解得a＝﹣1，b＝2；
（3）由（2）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，+q），
∵顶点仍在直线y＝x+1上，
∴+q＝+1，
∴q＝﹣++1，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q＝﹣++1＝﹣（p﹣1）2+，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+a2x+c与y轴交于点（0，2），
∴c的值为2；
（2）当a＝2时，抛物线为y＝2x2+4x+2＝2（x+1）2，
∴抛物线顶点的坐标为（﹣1，0）；
（3）当a＞0时，
①当a＝2时，如图1，抛物线与AB只有一个交点；
②当a＝1+时，如图2，
抛物线与线段AB有两个交点，
结合函数图象可知：2＜a≤1+；
当a＜0时，
如图3，
如图4，
抛物线与线段AB只有一个交点或没有交点，
综上所述，a的取值范围为2＜a≤1+．
11．解：（1）抛物线对称轴x＝﹣＝﹣1；
（2）∵抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，且AB＝4，抛物线对称轴x＝﹣1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
把（1，0）代入y＝ax2+2ax+c得：
a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴C（0，﹣3a），
∴D（0，﹣3a+1），
∴点D纵坐标为：﹣3a+1；
（3）①当a＞0时，将点P（﹣4，4）代入抛物线y＝ax2+2ax﹣3a得：
4＝16a﹣8a﹣3a，
∴a＝．
此时点D坐标为：（0，﹣），点C的坐标为：（0，﹣），
∴当a≥时，抛物线与线段PD只有一个公共点，如图所示：
②当a＜0时，抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4a），
当﹣4a＝4时，a＝﹣1，
则当a＝﹣1时，抛物线与线段PD只有一个公共点，即抛物线的顶点，如图所示：
③当a＜﹣1时，抛物线与线段PD只有两个公共点，如图所示：
④当﹣1＜a＜0时，抛物线与线段PD没有公共点，如图所示：
综上所述，当a≥或a＝﹣1时，抛物线与线段PD只有一个公共点．
12．解：（1）函数的对称轴为直线x＝﹣＝﹣；
（2）∵二次函数经过A（n，b），B（m，a），则①，
整理得：（m﹣n）[a（m+n）+b]＝a﹣b，
∵m﹣n＝1，
∴a（m+n）+b＝a﹣b，
∴b＝﹣na，
将b＝﹣na代入①得：c＝﹣na；
（3）∵b+c≥a，
∴﹣2na≥a，
当a＜0时，n≥；
而n≤﹣，故﹣n≤﹣；
∵y＝a（x+）2+（a＜0），
∴＝﹣1，
∴4ac﹣b2＝﹣4a，且b＝c＝﹣na，
∴4a（﹣na）﹣（﹣na）2＝﹣4a，
化简得：4na+n2a＝4，
∴＝n2+n＝（n+2）2﹣1，
∵﹣n≤﹣时，随n的增大而增大，
当n＝﹣时，＝﹣，当n＝﹣时，＝﹣，
∴﹣≤a≤﹣．
13．解：（1）∵点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，
∴A（a，a），B（a+3，a+3）．
y＝x2﹣4x+8
＝（x﹣2）2+4，
将x＝a代入得：y＝（a﹣2）2+4；
将x＝a+3代入得：y＝（a+1）2+4．
∴D（a，（a﹣2）2+4），C（a+3，（a+1）2+4），
∴AD＝（a﹣2）2+4﹣a，CB＝（a+1）2+4﹣（a+3）．
由AD＝BC得：（a﹣2）2+4﹣a＝（a+1）2+4﹣（a+3），
∴a＝1．
（2）设点E（m，m2﹣4m+8），过E作EM垂直于x轴交AB于点M，作BF⊥EM，AG⊥EM，垂足分别为F，G，
由题意得：M（m，m），
∴EM＝m2﹣4m+8﹣m＝m2﹣5m+8＝，
∴S△ABE＝S△AEM+S△EMB＝＝，
由，得S△ABE有最小值．
∴当m＝时，S△ABE的最小值为．
14．解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）上，
∴a﹣b﹣3a＝0，
即b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4a）；
（2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x+1）（x﹣3），
∴抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），D（3，0），与y轴交于点E（0，﹣3a）．
由题意得，点C（0，4），
又∵B（3，4），
如图，当a＞0时，显然，抛物线与线段BC无公共点，
当a＜0时，
若抛物线的顶点在线段BC上，则顶点坐标为（1，4），
∴﹣4a＝4，
∴a＝﹣1．
若抛物线的顶点不在线段BC上，由抛物线与线段BC恰有一个公共点，
得﹣3a＞4，
∴，
综上，a的取值范围是，或a＝﹣1．
15．解：设DN＝x，BM＝y，
∴NC＝1﹣x，MC＝1﹣y，C△NCM＝NC+CM+NM＝2，
∴NM＝x+y．
将△DNA绕点A顺时针旋转90°至△ABF，
则NM＝MF，AM＝MA，AN＝AF，
∴△ANM≌△AFM（SSS）．
∴∠NAM＝45°，∠DNA＝∠AFB＝∠ANE．
过点A作AE⊥NM，垂足为E，
∵∠AEN＝∠D，∠DNA＝∠ANE，AN为公共边，
∴△DAN≌△EAN（AAS），
∴AE＝AD＝1，
∵在Rt△CNM中，由勾股定理得：CN2+CM2＝NM2，
∴（1﹣x）2+（1﹣y）2＝（x+y）2，
∴化简得：xy+x+y﹣1＝0，①
∴S△ANM＝（x+y）②．
∵（x﹣y）2≥0，
∴（x+y）2≥4xy，
∴xy≤，③
∴将②③代入①并整理可得S2+2S﹣1≥0，④
∴（S+1）2≥2．
∵S＞0，
∴S≥﹣1，
∴△MAN的面积的最小值为﹣1．
16．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与y轴交于点A，
∴A的坐标为（0，﹣3）；
（2）∵；
∴B（2，﹣3）．
（3）当抛物线过点P（4，0）时，，
∴．
此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．
当抛物线过点时，a＝1，
此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．．
∵抛物线与线段PQ恰有两个公共点，
∴．
∵△＝4a2+12a＞0
∴a＞0或a＜﹣3，
当抛物线开口向下时，
a＜﹣3．
综上所述，当或a＜﹣3时，抛物线与线段PQ恰有两个公共点．
17．解：（1）把点A（﹣1，0）、B（0，2）代入函数y＝ax2+bx+c，
a﹣b+c＝0，
c＝2，
∴b＝a+2；c＝2．
故答案为a+2，2；
（2）∵点O是坐标原点，点C是该函数图象的顶点，
∴y＝ax2+（a+2）x+2的顶点C的坐标为：（﹣，），
∵△AOC的面积为1，
即×1×||＝1
解得：a＝﹣2或6﹣4或6+4．
故答案为：a＝﹣2或6﹣4或6+4．
（3）∵函数解析式为：y＝ax2+（a+2）x+2
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∵经过点A（﹣1，0）、B（0，2）且x＞1时，y＜5，
∴a＜0．
当对称轴在直线x＝1左侧时，如图1，
解得a≤
当对称轴在直线x＝1右侧时，如图2，
解得﹣＜a＜﹣8+2，
综上所述，a的取值范围是：a＜﹣8+2．
18．解：（1）直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（﹣1，0），B（0，4），
点A在抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）上，
∴b＝﹣2a，
∴抛物线y＝ax2+bx﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4a）．
故答案为（1，﹣4a）．
（2）∵a＝﹣1，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．
①当t＜1时，
y1﹣y2＝﹣t2+2t+3﹣[﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+3]
＝﹣2t+3
＝2
∴t＝．
②当t﹣1＞1时，即t＞2时，
y1﹣y2＝﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+3﹣（﹣t2+2t+3）
＝2t﹣3
＝2
∴t＝．
③当1≤t≤时，
y1﹣y2＝4﹣[﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+3]
＝t2﹣4t+4
＝2
∴t＝2±（舍去）．
④当＜t＜2时，
y1﹣y2＝4﹣（﹣t2+2t+3）
＝t2﹣2t+1
＝2
∴t＝1±（舍去）．
答：t的值为或．
（3）①把x＝0代入抛物线，得y＝﹣3a，
当抛物线的顶点不在线段BC上时，
抛物线与线段BC只有一个交点，
∴﹣3a＞4，
∴a＜﹣，
②当抛物线的顶点在线段BC上时，
则顶点坐标为（1，4），
∴a﹣2a﹣3a＝4
∴a＝﹣1，
答：a的取值范围是a＜﹣或a＝﹣1．
19．解：（1）①∵m＝2，
∴抛物线为y＝x2﹣2x+n．
∵x＝﹣＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵当线x＝1时，y＝1﹣2+n＝n﹣1，
∴顶点的纵坐标为：n﹣1．
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，
x＝﹣2到x＝1的距离为3，
∴点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2或x2＞4，
故答案为：x2＜﹣2或x2＞4．
（2）∵点P（﹣1，2），向右平移4个单位长度，得到点Q．
∴点Q的坐标为（3，2），
∵n＝3，
抛物线为y＝x2﹣mx+3．
当抛物线经过点Q（3，2）时，2＝32﹣3m+3，解得；
当抛物线经过点P（﹣1，2）时，2＝（﹣1）2+m+3，解得m＝﹣2；
当抛物线的顶点在线段PQ上时，＝2，解得m＝±2．
结合图象可知，m的取值范围是m≤﹣2或m＝2或．
故答案为：m≤﹣2或m＝2或．
20．解：（1）∵y＝ax2+4ax+4a﹣4＝a（x+2）2﹣4，
∴顶点A（﹣2，﹣4）．
（2）①a＝1时，抛物线的解析式为：y＝x2+4x，
令y＝5，x2+4x＝5，解得x＝﹣5或1，
∴BC的长为6．
②∵抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣4（a≠0）的顶点为（﹣2，﹣4）且抛物线过点（0，5），
∴抛物线开口向上，即a＞0；
令y＝5，得ax2+4ax+4a﹣4＝5，
解得，x1＝，x2＝，
∴线段BC的长为，
∵线段BC的长不小于8，
∴≥8，
∴0＜a≤．
21．解：设点P（x，y），直线AB的解析式为y＝kx+b，
将A（4，0）、B（0，6）分别代入y＝kx+b，
得k＝﹣，b＝6，
故y＝﹣x+6，
∵△AOP的面积＝×4×y＝6
∴y＝3，
再把y＝3代入y＝﹣x+6，得x＝2，
所以P（2，3），
把P（2，3）代入到y＝ax2+2中得：a＝；
（2）设向下平移m个单位才能使得平移后的抛物线经过点A，
则平移后的抛物线为y＝x2+2﹣m，
把A（4，0）代入y＝x2+2﹣m得m＝6，
∴向下平移6个单位才能使得平移后的抛物线经过点A．
22．证明：（1）由ap＝2（b+q），得q＝﹣b，代入抛物线y＝x2+px+q，
得：﹣y+x2﹣b+p（x+）＝0，
得，
解得：，
故抛物线y＝x2+px+q通过定点（﹣，）．
（2）由2q＝ap﹣2b得p2﹣4q＝p2﹣2 2q＝p2﹣2（ap﹣2b）＝（p﹣a）2﹣（a2﹣4b），
∴（p2﹣4q）+（a2﹣4b）＝（p﹣a）2≥0，
∴p2﹣4q，a2﹣4b中至少有一个非负，
∴x2+ax+b＝0与x2+px+q＝0中至少有一个方程有实数解．
23．解：（1）根据题意得：AP＝x米，BQ＝2x米，
所以BP＝（8﹣x）米，
故答案为：2x，（8﹣x）；
（2）y＝
＝×2x×（8﹣x）
＝﹣x2+8x
＝﹣（x﹣4）2+16，
∵﹣1＜0，
∴函数的图象开口向下，有最大值，
当x＝4时，y的最大值是16，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣x2+8x，当x为4时，y有最大值，最大值是16．
24．解：（1）函数的大致图象如下：
y有最大值，则在点O、A处取得，
y＝x2﹣4x＝0，解得：x＝0或4；
（2）y＝x2﹣4x的顶点为：（2，﹣4），
若直线y＝h与y＝min{x2﹣4，﹣x2+4x}的图象恰有4个公共点，
则y＝h在x轴和下方抛物线顶点之间，
故h的取值范围为：﹣4＜h＜0，
故答案为：﹣4＜h＜0．
25．解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝2x+2得y＝2，
∴B（0，2），
∵点B向右平移4个单位长度，得到点C，
∴C（4，2）；
（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝2x+2得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；
（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），
①a＞0时，如图1，
将x＝0代入y＝ax2+bx﹣3a得y＝﹣3a，
将x＝4代入y＝ax2+bx﹣3a得：y＝5a
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴，
∴a≥；
②a＜0时，如图2，抛物线的顶点在BC的上方时，
，
∴a＜﹣；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，2），如图3，
将点（1，2）代入抛物线得2＝a﹣2a﹣3a，
解得a＝﹣．
综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣．
26．解：（1）把（1，﹣1）代入y＝x2+bx+c，可得b+c＝﹣2，
解，可得b＝1，c＝﹣3；
（2）由b+c＝﹣2，得c＝﹣2﹣b．
对于y＝x2+bx+c，
当x＝0时，y＝c＝﹣2﹣b．
抛物线的对称轴为直线x＝﹣．
所以B（0，﹣2﹣b），C（﹣，0）．
因为b＞0，
所以OC＝，OB＝2+b，
∴OB＝2（OC+1）；
（3）由平移前的抛物线y＝x2+bx+c，可得
y＝（x+）2﹣+c，即y＝（x+）2﹣﹣2﹣b．
因为平移后A（1，﹣1）的对应点为A1（1﹣m，2b﹣1）
可知，抛物线向左平移m个单位长度，向上平移2b个单位长度．
则平移后的抛物线解析式为y＝（x++m）2﹣﹣2﹣b+2b，
即y＝（x++m）2﹣﹣2+b．
把（1，﹣1）代入，得（1++m）2﹣﹣2+b＝﹣1．
（1++m）2＝﹣b+1．
（1++m）2＝（﹣1）2，
所以1++m＝±（﹣1）．
当1++m＝﹣1时，m＝﹣2（不合题意，舍去）；
当1++m＝﹣（﹣1）时，m＝﹣b，
因为m≥﹣，所以b≤．
所以0＜b≤，
所以平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣）2﹣﹣2+b．
即顶点为（，﹣﹣2+b），
设p＝﹣﹣2+b，即p＝﹣（b﹣2）2﹣1．
因为﹣＜0，所以当b＜2时，p随b的增大而增大．
因为0＜b≤，
所以当b＝时，p取最大值为﹣，
此时，平移后抛物线的顶点所能达到的最高点坐标为（，﹣）．
27．解：（1）根据顶点坐标公式得：
x＝＝＝1，y＝n﹣2n+n+2＝2；
∴顶点D（1，2）；
答：D点坐标为（1，2）．
（2）直线y＝kx+b经过点D（1，2）和点C（0，1），
∴，解得：k＝1，b＝1；
∴直线的解析式为y＝x+1．
答：直线CD的解析式为y＝x+1．
（3）如图所示，∵x1+x2＝3，
∴P、Q关于直线x＝对称，
当t＝1时，P在C处，即x1＝0，
∵x1+x2＝3，
∴x2＝3，
∴Q（3，1），
代入抛物线y＝nx2﹣2nx+n+2中得：9n﹣6n+n+2＝1，n＝﹣，
当t＝﹣1时，y＝﹣1＝x+1，即x1＝﹣2，
∵x1+x2＝3，
∴x2＝5，
∴Q（5，﹣1），
代入抛物线y＝nx2﹣2nx+n+2中得：25n﹣10n+n+2＝﹣1，n＝﹣，
∵抛物线的顶点不变，且开口向下，随Q的移动开口大小不改变，
答：n的取值范围是：﹣＜n＜﹣．
28．解：（1）A（0，﹣）
点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；
（2）A与B关于对称轴x＝1对称，
∴抛物线对称轴x＝1；
（3）∵对称轴x＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣，
①a＞0时，
当x＝2时，y＝﹣＜2，
当y＝﹣时，x＝0或x＝2，
∴函数与PQ无交点；
②a＜0时，
观察图象可知，﹣≤2，
解得，a≤﹣，
∴当a≤﹣时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．
29．解：（1）设A点坐标为（a，a），代入y＝x2中，解得a1＝0（舍），a2＝4．
所以A点坐标为（4，4）；
（2）连接MN，过点A作AH⊥x轴于点H．
设点，联立得，
依题，，∴，
令，∴．
∵，∴，
∴△MON∽△NHA，可得∠ANM＝90°，
∴，∴a＝4，
∴A（4，4）．
30．解：（Ⅰ）∵m＝1，
∴y＝x2+3x﹣2＝（x+）2﹣，
∴顶点坐标（﹣，﹣）．
（Ⅱ）由消去y得x2+2mx+（m2+km﹣3m）＝0，
∵抛物线与直线y＝x﹣km有且仅有一个公共点，
∴Δ＝0，即（k﹣3）m＝0，
∵无论m取何值，方程总是成立，
∴k﹣3＝0，
∴k＝3．
（Ⅲ）∵﹣＝﹣，＝＝﹣，
抛物线y＝x2+（2m+1）x+m（m﹣3）的顶点为（﹣，﹣），
PH＝|﹣﹣（﹣）|＝||，
∵1＜PH≤6，
∴当＞0时，有1＜≤6，又﹣1≤m≤4，
∴＜m≤，
当＜0时，1＜﹣≤6，又∵﹣1≤m≤4，
∴﹣1≤m＜﹣，
∴﹣1≤m＜﹣或＜m≤，
∵A（﹣m﹣1，y1）在抛物线上，
∴y1＝（﹣m﹣1）2+（2m+1）（﹣m﹣1）+m（m+3）＝﹣4m，
∵C（﹣m，y3）在抛物线上，
∴y3＝（﹣m）2+（2m+1）（﹣m）+m（m﹣3）＝﹣4m，
∴y1＝y3，
①令＜﹣m﹣1，则有m＜﹣，结合﹣1≤m＜﹣，
∴﹣1≤m＜﹣，
此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，如图1，
∴y2＞y1＝y3，
即当﹣1≤m＜﹣时，有y2＞y1＝y3．
②令＝﹣m﹣1，则A与B重合，此情形不合题意，舍弃．
③令＞﹣m﹣1，且≤﹣时，有﹣＜m≤﹣，结合﹣1≤m＜﹣，
∴﹣＜m≤﹣，
此时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，如图2，
∴y1＝y3＞y2，
即当﹣＜m≤﹣时，有y1＝y3＞y2，
④令﹣≤＜﹣m，有﹣≤m＜0，结合﹣1≤m＜﹣，
∴﹣≤m＜﹣，
此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，如图3，
∴y2＜y3＝y1．
⑤令＝﹣m，B，C重合，不合题意舍弃．
⑥令＞﹣m，有m＞0，结合＜m≤，
∴＜m≤，
此时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，如图4，
∴y2＞y3＝y1，
即当＜m≤时，有y2＞y3＝y1，
综上所述，﹣1≤m＜﹣或＜m≤时，有y2＞y1＝y3，
﹣＜m＜﹣时，有y2＜y1＝y3．
31．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠CED，∠AFD＝∠FDE＝90°，
∴∠C＝∠CED，
∴DC＝DE．
在Rt△ADF中，∵∠A＝45°，
∴∠ADF＝45°＝∠A，
∴AF＝DF＝x，
∴AD＝＝x，
∴DC＝DE＝1﹣x，
∴y＝（DE+FB）×DF＝（1﹣x+1﹣x）x＝﹣（+1）x2+x．
∵点D保持在AC上，且D不与A重合，
∴0＜AD≤1，
∴0＜x≤1，
∴0＜x≤．
故y＝﹣（+1）x2+x，自变量x的取值范围是0＜x≤；
（2）∵y＝﹣（+1）x2+x，
∴当x＝﹣＝﹣1时，y有最大值．
32．解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，
∴当x＝0时，c＝0，
将y＝0代入y＝﹣x+4，得x＝4，即点A的坐标为（4，0），
故答案为：0，（4，0）；
（2）∵二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，点A的坐标为（4，0），
∴0＝a×42﹣（2a+1）×4，
解得，a＝0.5；
（3）∵y＝ax2﹣（2a+1）x＝x[ax﹣（2a+1）]，
∴函数y＝ax2﹣（2a+1）x过点（0，0）和（，0），
∵点A（4，0），点O的坐标为（0，0），二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x（a＞0）的图象与△AOB只有一个公共点，
∴＞，a＞0，
解得，0＜a＜，
即a的取值范围是0＜a＜．
解答题专题训练（附答案）
1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点M（1﹣m，n），点N（，n），交y轴于点A．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）若抛物线上始终存在不重合的P，Q两点（P在Q的左边）关于原点对称，求a的取值范围．
2．抛物线C1：y＝x2﹣2ax+a的顶点A在某一条抛物线C2上，将抛物线C1向右平移b（b＞0）个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线C2上．
（1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）求a与b的关系式；
（3）抛物线C2的顶点为F，其对称轴与x轴的交点为D，点E是抛物线C2上不同于顶点的任意一点，直线ED交抛物线C2于另一点M，直线EF交直线l：y＝于点N，求证：直线MN与x轴互相垂直．
3．已知，如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4），它与抛物线y＝ax2在第一象限内交于点P，又△AOP的面积为，求a的值．
4．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它们的相关函数为y＝．
（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y＝ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；
（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣．
①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；
②当﹣3≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值．
5．（1）解方程：x2+x＝8﹣x．
（2）已知（5，y1），（m，y2）是抛物线y＝x2﹣4x+1上不同的两点，且y1＝y2，求m的值．
6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1的顶点为P．
（1）直接写出点P的坐标（用含m的式子表示）；
（2）已知点A（m+1，m+3）关于直线x＝t的对称点为点B，抛物线C与线段AB有公共点．
①当t＝1时，若点B恰好在抛物线C上，求m的值；
②直接写出t﹣m的取值范围．
7．已知A（﹣1，y1）和B（﹣2，y2）是二次函数y＝（x+p）2﹣（x+2p）的图象上两点．
（1）当p＝1时，求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）若y1＞y2，求p的取值范围；
（3）当A、B两点到x轴的距离相等时，求p的值．
8．定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2﹣mn+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2﹣（﹣3）×2+2＝17．根据以上知识解决问题：
（1）若x☆3＝1，求x的值；
（2）求抛物线y＝（2﹣x）☆（﹣1）的顶点坐标；
（3）将（2）中的抛物线绕着原点旋转180°，写出得到的新的抛物线解析式．
9．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+a2x+c与y轴交于点（0，2）．
（1）求c的值；
（2）当a＝2时，求抛物线顶点的坐标；
（3）已知点A（﹣2，0），B（1，0），若抛物线y＝ax2+a2x+c与线段AB有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
11．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，且AB＝4．抛物线与y轴交于点C，将点C向上移动1个单位得到点D．
（1）求抛物线对称轴；
（2）求点D纵坐标（用含有a的代数式表示）；
（3）已知点P（﹣4，4），若抛物线与线段PD只有一个公共点，求a的取值范围．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（n，b），B（m，a）且m﹣n＝1．
（1）当b＝a时，直接写出函数图象的对称轴；
（2）求b和c（用只含字母a、n的代数式表示）；
（3）当a＜0时，函数有最大值﹣1，b+c≥a，n≤﹣，求a的取值范围．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，其中a＞0，过点A，B分别作y轴的平行线，交抛物线y＝x2﹣4x+8于点C，D．
（1）若AD＝BC，求a的值；
（2）点E是抛物线上的一点，求△ABE面积的最小值．
14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的顶点坐标；（用含a的式子表示）
（2）已知点B（3，4），将点B向左平移3个单位长度，得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
15．如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，求△MAN的面积的最小值．
16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与y轴交于点A．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）点A、B关于对称轴对称，求点B的坐标；
（3）已知点P（4，0），．若抛物线与线段PQ恰有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
17．已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象经过点A（﹣1，0）、B（0，2）．
（1）b＝ （用含有a的代数式表示），c＝ ；
（2）点O是坐标原点，点C是该函数图象的顶点，若△AOC的面积为1，则a＝ ；
（3）若x＞1时，y＜5．结合图象，直接写出a的取值范围．
18．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，点A在抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）上，将点B向右平移3个单位长度，得到点C．
（1）抛物线的顶点坐标为 （用含a的代数式表示）；
（2）若a＝﹣1，当t﹣1≤x≤t时，函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝2，求t的值；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．
（1）当m＝2时，
①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；
②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是 ；
（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．
20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣4（a≠0）的顶点为A．
（1）求顶点A的坐标；
（2）过点（0，5）且平行于x轴的直线l，与抛物线y＝ax2+4ax+4﹣4（a≠0）交于B、C两点．
①当a＝1时，求线段BC的长；
②当线段BC的长不小于8时，直接写出a的取值范围．
21．已知，如图，直线AB经过点B（0，6），点A（4，0），与抛物线y＝ax2+2在第一象限内相交于点P，又知△AOP的面积为6．
（1）求a的值；
（2）若将抛物线y＝ax2+2沿y轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经过点A．
22．对于给定的抛物线y＝x2+ax+b，使实数p、q适合于ap＝2（b+q）
（1）证明：抛物线y＝x2+px+q通过定点；
（2）证明：下列两个二次方程，x2+ax+b＝0与x2+px+q＝0中至少有一个方程有实数解．
23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8米，BC＝10米，动点P从点A开始沿边AB向B以1米/秒的速度运动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC向C以2米/秒的速度运动（不与点C重合）．如果P，Q分别从A，B同时出发，设运动时间为x秒，△BPQ的面积为y平方米．
（1）填空：BQ＝ 米，BP＝ 米（用含x的代数式表示）
（2）求y与x之间的函数关系式，并求出当x为多少时，y有最大值，最大值是多少？
24．已知min{a，b}表示a、b两数中的最小值，若y＝min{x2﹣4x，﹣x2+4x}，解答下列问题：
（1）当y有最大值时，求此时x的值；
（2）若直线y＝h与y＝min{x2﹣4，﹣x2+4x}的图象恰有4个公共点，求h的取值范围
．
25．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移4个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
26．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在抛物线y＝x2+bx+c（b＞0）上，且A（1，﹣1），
（1）若b﹣c＝4，求b，c的值；
（2）若该抛物线与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，试求出OB，OC的数量关系；
（3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过（1，﹣1），点A的对应点A1（1﹣m，2b﹣1），当m≥﹣时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标．
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝nx2﹣2nx+n+2（n＜0）的顶点为D．
（1）求D点坐标；
（2）已知直线y＝kx+b经过点D和点C（0，1），求直线CD的解析式；
（3）过T（0，t）（﹣1＜t＜1）作y轴垂线，交直线CD于点P（x1，y1），交抛物线在对称轴右侧的部分与Q（x2，y2），若存在t使得x1+x2＝3成立，结合图象，求出n的取值范围．
28．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
29．如图，点A为抛物线上第一象限内的一点．
（1）若点A的横、纵坐标相等，求点A的坐标；
（2）如图1，点M（0，1），过点A的直线l与抛物线只有唯一的公共点，且直线l与y轴不平行，直线l与x轴交于点N，连接AM，若，求点A的坐标．
30．已知抛物线y＝x2+（2m+1）x+m（m﹣3），（m为常数，﹣1≤m≤4），A（﹣m﹣1，y1），是该抛物线上不同的两点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点O逆时针旋转90°得到直线a，过抛物线顶点P作PH⊥a于H．
（Ⅰ）当m＝1时，求出这条抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若无论m取何值，抛物线与直线y＝x﹣km（k为常数）有且仅有一个公共点，求k的值； （Ⅲ）当1＜PH≤6时，试比较y1，y2之间的大小．
31．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝45°，边长为1的正方形的一个顶点D在边AC上，与△ADC另两边分别交于点E、F，DE∥AB，将正方形平移，使点D保持在AC上（D不与A重合），设AF＝x，正方形与△ABC重叠部分的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）x为何值时y的值最大？
32．已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，一次函数y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B．
（1）c＝ ，点A的坐标为 ；
（2）若二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，求a的值；
（3）若二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．
参考答案
1．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点M（1﹣m，n），点N（，n），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝，
∴﹣＝，
∴b＝﹣a﹣3；
（2）设P（x，y）则点Q（﹣x，﹣y），将P、Q点的坐标代入y＝ax2+bx+3得：
，
①+②得：2ax2+6＝0③，
∵抛物线上始终存在不重合的P，Q两点，
∴方程③始终有解，
∴，
解得：a＜0，
a的取值范围为a＜0．
2．（1）解：∵y＝x2﹣2ax+a＝（x﹣a）2﹣a2+a，
∴顶点A的坐标为（a，﹣a2+a）；
（2）解：∵顶点A（a，﹣a2+a）在抛物线C2上，
令x＝a，则抛物线C2的解析式为：：y＝﹣x2+x，
∵将抛物线C1向右平移b（b＞0）个单位，
∴所得抛物线顶点B的坐标为（a+b，﹣a2+a），
∵点B仍在抛物线C2上，
∴﹣a2+a＝﹣（a+b）2+（a+b）整理得b2+2ab﹣b＝0，
即b（b+2a﹣1）＝0，
又∵b＞0，
∴b+2a﹣1＝0；
（3）证明：∵抛物线C2：y＝﹣x2+x①的顶点式为y＝﹣（x﹣）2+，
∴顶点为F（），
∴抛物线C2的对称轴与x轴的交点D的坐标为（，0），
又∵点E是抛物线C2上不同于顶点F的任意一点，
∴设点E的坐标为（m，﹣m2+m），其中m≠，
把D（，0），E（m，﹣m2+m）代入y＝kx+b，得：
，
解得：，
∴直线ED解析式为y＝x+②，
联立①②，整理得（x﹣m）（x﹣）＝0，
解得x＝m或，
∵点E与点M不重合，
∴点M的横坐标为x＝，
∵E（m，﹣m2+m），F（），
∴直线EF解析式为y＝（﹣m）x+m，
∵直线EF与直线y＝的交点为N，
∴点N横坐标为x＝，
∵点M的横坐标与点N横坐标相同，
∴直线MN与x轴互相垂直．
3．解：设点P（x，y），直线AB的解析式为y＝kx+b，
将A（4，0）、B（0，4）分别代入y＝kx+b，
得k＝﹣1，b＝4，
故y＝﹣x+4，
∵△AOP的面积为，
∴×4×yP＝，
∴yP＝，
再把yP＝代入y＝﹣x+4，得x＝，
所以P（，）．
把P（，）代入到y＝ax2中得：a＝．
故a的值为．
4．解：（1）y＝ax﹣3的相关函数y＝，
将A（﹣5，8）代入y＝﹣ax+3得：5a+3＝8，
解得a＝1；
（2）二次函数y＝﹣x2+4x﹣的相关函数为y＝，
①当m＜0时，将B（m，）代入y＝x2﹣4x+
得m2﹣4m+＝，
解得：m＝2+（舍去），或m＝2﹣，
当m≥0时，将B（m，）代入y＝﹣x2+4x﹣得：
﹣m2+4m﹣＝，
解得：m＝2+或m＝2﹣．
综上所述：m＝2﹣或m＝2+或m＝2﹣；
②当﹣3≤x＜0时，y＝x2﹣4x+，抛物线的对称轴为x＝2，
此时y随x的增大而减小，
∴此时y的最大值为，
当0≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x﹣，抛物线的对称轴为x＝2，
当x＝0有最小值，最小值为﹣，当x＝2时，有最大值，最大值y＝，
综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值为，最小值为﹣．
5．（1）解：化简整理原方程得：x2+2x﹣8＝0，
由因式分解可知：（x﹣2）（x+4）＝0，
则x﹣2＝0或x+4＝0，
解得：x1＝2或x2＝﹣4；
（2）（5，y1），（m，y2）是抛物线y＝x2﹣4x+1上不同的两点，
把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，
把x＝m代入y＝m2﹣4m+1得，，
∵y1＝y2，
∴m2﹣4m+1＝6，
∴m＝﹣1或m＝5（舍），
∴m＝﹣1．
6．解：（1）∵抛物线C：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1，
∴，，
∴点P的坐标是（m，m﹣1），
（2）①∵点A（m+1，m+3）与点B关于直线x＝1对称，
∴点B（1﹣m，m+3），
∵点B在抛物线C上，
∴（1﹣m）2﹣2m（1﹣m）+m2+m﹣1＝m+3，
解得：m1＝﹣0.5，m2＝1.5，
②∵点A（m+1，m+3）与点B关于直线x＝t对称，
∴点B（2t﹣m﹣1，m+3），
当y＝m+3时，x2﹣2mx+m2+m﹣1＝m+3，
解得：x1＝m+2，x2＝m﹣2，
∴C（m+2，m+3），D（m﹣2，m+3），
∵抛物线C与线段AB有公共点，如图，
∴2t﹣m﹣1≥m+2或2t﹣m﹣1≤m﹣2，
解得：t﹣m≥1.5或t﹣m≤﹣0.5．
7．解：（1）当p＝1时，y＝（x+1）2﹣（x+2），
整理得：y＝x2+x﹣1．
∴．
∴顶点坐标为：，；
（2）把x＝﹣1代入，得，
整理，得．
把x＝﹣2代入，得，
整理得．
∵y1＞y2，
∴p2﹣4p+2＞p2﹣6p+6，
解得：p＞2；
（3）∵A、B两点到x轴的距离相等，
∴y1＝y2或y1+y2＝0．
①当y1＝y2时，p2﹣4p+2＝p2﹣6p+6，
解得p1＝2，
②当y1+y2＝0时，p2﹣4p+2+p2﹣6p+6＝0，
整理，得p2﹣5p+4＝0，
解得p2＝1，p3＝4．
综上所述，当A、B两点到x轴的距离相等时，p的值为1或2或4．
8．解：（1）根据题意，得x2﹣3x+3＝1，
移项、合并同类项，得x2﹣3x+2＝0，
整理，得（x，﹣1）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝1，x2＝2；
（2）根据题意知，y＝（2﹣x）2﹣（2﹣x）（﹣1）+（﹣1）＝x2﹣5x+5＝（x﹣）2﹣．
所以，顶点坐标（）；
（3）根据题意知，新的抛物线解析式为y＝﹣（x+）2+．
9．解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：
∵直线y＝x+m经过点A（1，2），
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）∵直线y＝x+1经过点B（2，3），直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），点（0，1），A（1，2），B（2，3）在直线上，点（0，1），A（1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点，
∵B（2，3），C（2，1）两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得，
解得a＝﹣1，b＝2；
（3）由（2）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，+q），
∵顶点仍在直线y＝x+1上，
∴+q＝+1，
∴q＝﹣++1，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q＝﹣++1＝﹣（p﹣1）2+，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+a2x+c与y轴交于点（0，2），
∴c的值为2；
（2）当a＝2时，抛物线为y＝2x2+4x+2＝2（x+1）2，
∴抛物线顶点的坐标为（﹣1，0）；
（3）当a＞0时，
①当a＝2时，如图1，抛物线与AB只有一个交点；
②当a＝1+时，如图2，
抛物线与线段AB有两个交点，
结合函数图象可知：2＜a≤1+；
当a＜0时，
如图3，
如图4，
抛物线与线段AB只有一个交点或没有交点，
综上所述，a的取值范围为2＜a≤1+．
11．解：（1）抛物线对称轴x＝﹣＝﹣1；
（2）∵抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，且AB＝4，抛物线对称轴x＝﹣1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
把（1，0）代入y＝ax2+2ax+c得：
a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴C（0，﹣3a），
∴D（0，﹣3a+1），
∴点D纵坐标为：﹣3a+1；
（3）①当a＞0时，将点P（﹣4，4）代入抛物线y＝ax2+2ax﹣3a得：
4＝16a﹣8a﹣3a，
∴a＝．
此时点D坐标为：（0，﹣），点C的坐标为：（0，﹣），
∴当a≥时，抛物线与线段PD只有一个公共点，如图所示：
②当a＜0时，抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4a），
当﹣4a＝4时，a＝﹣1，
则当a＝﹣1时，抛物线与线段PD只有一个公共点，即抛物线的顶点，如图所示：
③当a＜﹣1时，抛物线与线段PD只有两个公共点，如图所示：
④当﹣1＜a＜0时，抛物线与线段PD没有公共点，如图所示：
综上所述，当a≥或a＝﹣1时，抛物线与线段PD只有一个公共点．
12．解：（1）函数的对称轴为直线x＝﹣＝﹣；
（2）∵二次函数经过A（n，b），B（m，a），则①，
整理得：（m﹣n）[a（m+n）+b]＝a﹣b，
∵m﹣n＝1，
∴a（m+n）+b＝a﹣b，
∴b＝﹣na，
将b＝﹣na代入①得：c＝﹣na；
（3）∵b+c≥a，
∴﹣2na≥a，
当a＜0时，n≥；
而n≤﹣，故﹣n≤﹣；
∵y＝a（x+）2+（a＜0），
∴＝﹣1，
∴4ac﹣b2＝﹣4a，且b＝c＝﹣na，
∴4a（﹣na）﹣（﹣na）2＝﹣4a，
化简得：4na+n2a＝4，
∴＝n2+n＝（n+2）2﹣1，
∵﹣n≤﹣时，随n的增大而增大，
当n＝﹣时，＝﹣，当n＝﹣时，＝﹣，
∴﹣≤a≤﹣．
13．解：（1）∵点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，
∴A（a，a），B（a+3，a+3）．
y＝x2﹣4x+8
＝（x﹣2）2+4，
将x＝a代入得：y＝（a﹣2）2+4；
将x＝a+3代入得：y＝（a+1）2+4．
∴D（a，（a﹣2）2+4），C（a+3，（a+1）2+4），
∴AD＝（a﹣2）2+4﹣a，CB＝（a+1）2+4﹣（a+3）．
由AD＝BC得：（a﹣2）2+4﹣a＝（a+1）2+4﹣（a+3），
∴a＝1．
（2）设点E（m，m2﹣4m+8），过E作EM垂直于x轴交AB于点M，作BF⊥EM，AG⊥EM，垂足分别为F，G，
由题意得：M（m，m），
∴EM＝m2﹣4m+8﹣m＝m2﹣5m+8＝，
∴S△ABE＝S△AEM+S△EMB＝＝，
由，得S△ABE有最小值．
∴当m＝时，S△ABE的最小值为．
14．解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）上，
∴a﹣b﹣3a＝0，
即b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4a）；
（2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x+1）（x﹣3），
∴抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），D（3，0），与y轴交于点E（0，﹣3a）．
由题意得，点C（0，4），
又∵B（3，4），
如图，当a＞0时，显然，抛物线与线段BC无公共点，
当a＜0时，
若抛物线的顶点在线段BC上，则顶点坐标为（1，4），
∴﹣4a＝4，
∴a＝﹣1．
若抛物线的顶点不在线段BC上，由抛物线与线段BC恰有一个公共点，
得﹣3a＞4，
∴，
综上，a的取值范围是，或a＝﹣1．
15．解：设DN＝x，BM＝y，
∴NC＝1﹣x，MC＝1﹣y，C△NCM＝NC+CM+NM＝2，
∴NM＝x+y．
将△DNA绕点A顺时针旋转90°至△ABF，
则NM＝MF，AM＝MA，AN＝AF，
∴△ANM≌△AFM（SSS）．
∴∠NAM＝45°，∠DNA＝∠AFB＝∠ANE．
过点A作AE⊥NM，垂足为E，
∵∠AEN＝∠D，∠DNA＝∠ANE，AN为公共边，
∴△DAN≌△EAN（AAS），
∴AE＝AD＝1，
∵在Rt△CNM中，由勾股定理得：CN2+CM2＝NM2，
∴（1﹣x）2+（1﹣y）2＝（x+y）2，
∴化简得：xy+x+y﹣1＝0，①
∴S△ANM＝（x+y）②．
∵（x﹣y）2≥0，
∴（x+y）2≥4xy，
∴xy≤，③
∴将②③代入①并整理可得S2+2S﹣1≥0，④
∴（S+1）2≥2．
∵S＞0，
∴S≥﹣1，
∴△MAN的面积的最小值为﹣1．
16．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与y轴交于点A，
∴A的坐标为（0，﹣3）；
（2）∵；
∴B（2，﹣3）．
（3）当抛物线过点P（4，0）时，，
∴．
此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．
当抛物线过点时，a＝1，
此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．．
∵抛物线与线段PQ恰有两个公共点，
∴．
∵△＝4a2+12a＞0
∴a＞0或a＜﹣3，
当抛物线开口向下时，
a＜﹣3．
综上所述，当或a＜﹣3时，抛物线与线段PQ恰有两个公共点．
17．解：（1）把点A（﹣1，0）、B（0，2）代入函数y＝ax2+bx+c，
a﹣b+c＝0，
c＝2，
∴b＝a+2；c＝2．
故答案为a+2，2；
（2）∵点O是坐标原点，点C是该函数图象的顶点，
∴y＝ax2+（a+2）x+2的顶点C的坐标为：（﹣，），
∵△AOC的面积为1，
即×1×||＝1
解得：a＝﹣2或6﹣4或6+4．
故答案为：a＝﹣2或6﹣4或6+4．
（3）∵函数解析式为：y＝ax2+（a+2）x+2
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∵经过点A（﹣1，0）、B（0，2）且x＞1时，y＜5，
∴a＜0．
当对称轴在直线x＝1左侧时，如图1，
解得a≤
当对称轴在直线x＝1右侧时，如图2，
解得﹣＜a＜﹣8+2，
综上所述，a的取值范围是：a＜﹣8+2．
18．解：（1）直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（﹣1，0），B（0，4），
点A在抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）上，
∴b＝﹣2a，
∴抛物线y＝ax2+bx﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4a）．
故答案为（1，﹣4a）．
（2）∵a＝﹣1，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．
①当t＜1时，
y1﹣y2＝﹣t2+2t+3﹣[﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+3]
＝﹣2t+3
＝2
∴t＝．
②当t﹣1＞1时，即t＞2时，
y1﹣y2＝﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+3﹣（﹣t2+2t+3）
＝2t﹣3
＝2
∴t＝．
③当1≤t≤时，
y1﹣y2＝4﹣[﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+3]
＝t2﹣4t+4
＝2
∴t＝2±（舍去）．
④当＜t＜2时，
y1﹣y2＝4﹣（﹣t2+2t+3）
＝t2﹣2t+1
＝2
∴t＝1±（舍去）．
答：t的值为或．
（3）①把x＝0代入抛物线，得y＝﹣3a，
当抛物线的顶点不在线段BC上时，
抛物线与线段BC只有一个交点，
∴﹣3a＞4，
∴a＜﹣，
②当抛物线的顶点在线段BC上时，
则顶点坐标为（1，4），
∴a﹣2a﹣3a＝4
∴a＝﹣1，
答：a的取值范围是a＜﹣或a＝﹣1．
19．解：（1）①∵m＝2，
∴抛物线为y＝x2﹣2x+n．
∵x＝﹣＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵当线x＝1时，y＝1﹣2+n＝n﹣1，
∴顶点的纵坐标为：n﹣1．
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，
x＝﹣2到x＝1的距离为3，
∴点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2或x2＞4，
故答案为：x2＜﹣2或x2＞4．
（2）∵点P（﹣1，2），向右平移4个单位长度，得到点Q．
∴点Q的坐标为（3，2），
∵n＝3，
抛物线为y＝x2﹣mx+3．
当抛物线经过点Q（3，2）时，2＝32﹣3m+3，解得；
当抛物线经过点P（﹣1，2）时，2＝（﹣1）2+m+3，解得m＝﹣2；
当抛物线的顶点在线段PQ上时，＝2，解得m＝±2．
结合图象可知，m的取值范围是m≤﹣2或m＝2或．
故答案为：m≤﹣2或m＝2或．
20．解：（1）∵y＝ax2+4ax+4a﹣4＝a（x+2）2﹣4，
∴顶点A（﹣2，﹣4）．
（2）①a＝1时，抛物线的解析式为：y＝x2+4x，
令y＝5，x2+4x＝5，解得x＝﹣5或1，
∴BC的长为6．
②∵抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣4（a≠0）的顶点为（﹣2，﹣4）且抛物线过点（0，5），
∴抛物线开口向上，即a＞0；
令y＝5，得ax2+4ax+4a﹣4＝5，
解得，x1＝，x2＝，
∴线段BC的长为，
∵线段BC的长不小于8，
∴≥8，
∴0＜a≤．
21．解：设点P（x，y），直线AB的解析式为y＝kx+b，
将A（4，0）、B（0，6）分别代入y＝kx+b，
得k＝﹣，b＝6，
故y＝﹣x+6，
∵△AOP的面积＝×4×y＝6
∴y＝3，
再把y＝3代入y＝﹣x+6，得x＝2，
所以P（2，3），
把P（2，3）代入到y＝ax2+2中得：a＝；
（2）设向下平移m个单位才能使得平移后的抛物线经过点A，
则平移后的抛物线为y＝x2+2﹣m，
把A（4，0）代入y＝x2+2﹣m得m＝6，
∴向下平移6个单位才能使得平移后的抛物线经过点A．
22．证明：（1）由ap＝2（b+q），得q＝﹣b，代入抛物线y＝x2+px+q，
得：﹣y+x2﹣b+p（x+）＝0，
得，
解得：，
故抛物线y＝x2+px+q通过定点（﹣，）．
（2）由2q＝ap﹣2b得p2﹣4q＝p2﹣2 2q＝p2﹣2（ap﹣2b）＝（p﹣a）2﹣（a2﹣4b），
∴（p2﹣4q）+（a2﹣4b）＝（p﹣a）2≥0，
∴p2﹣4q，a2﹣4b中至少有一个非负，
∴x2+ax+b＝0与x2+px+q＝0中至少有一个方程有实数解．
23．解：（1）根据题意得：AP＝x米，BQ＝2x米，
所以BP＝（8﹣x）米，
故答案为：2x，（8﹣x）；
（2）y＝
＝×2x×（8﹣x）
＝﹣x2+8x
＝﹣（x﹣4）2+16，
∵﹣1＜0，
∴函数的图象开口向下，有最大值，
当x＝4时，y的最大值是16，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣x2+8x，当x为4时，y有最大值，最大值是16．
24．解：（1）函数的大致图象如下：
y有最大值，则在点O、A处取得，
y＝x2﹣4x＝0，解得：x＝0或4；
（2）y＝x2﹣4x的顶点为：（2，﹣4），
若直线y＝h与y＝min{x2﹣4，﹣x2+4x}的图象恰有4个公共点，
则y＝h在x轴和下方抛物线顶点之间，
故h的取值范围为：﹣4＜h＜0，
故答案为：﹣4＜h＜0．
25．解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝2x+2得y＝2，
∴B（0，2），
∵点B向右平移4个单位长度，得到点C，
∴C（4，2）；
（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝2x+2得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；
（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），
①a＞0时，如图1，
将x＝0代入y＝ax2+bx﹣3a得y＝﹣3a，
将x＝4代入y＝ax2+bx﹣3a得：y＝5a
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴，
∴a≥；
②a＜0时，如图2，抛物线的顶点在BC的上方时，
，
∴a＜﹣；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，2），如图3，
将点（1，2）代入抛物线得2＝a﹣2a﹣3a，
解得a＝﹣．
综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣．
26．解：（1）把（1，﹣1）代入y＝x2+bx+c，可得b+c＝﹣2，
解，可得b＝1，c＝﹣3；
（2）由b+c＝﹣2，得c＝﹣2﹣b．
对于y＝x2+bx+c，
当x＝0时，y＝c＝﹣2﹣b．
抛物线的对称轴为直线x＝﹣．
所以B（0，﹣2﹣b），C（﹣，0）．
因为b＞0，
所以OC＝，OB＝2+b，
∴OB＝2（OC+1）；
（3）由平移前的抛物线y＝x2+bx+c，可得
y＝（x+）2﹣+c，即y＝（x+）2﹣﹣2﹣b．
因为平移后A（1，﹣1）的对应点为A1（1﹣m，2b﹣1）
可知，抛物线向左平移m个单位长度，向上平移2b个单位长度．
则平移后的抛物线解析式为y＝（x++m）2﹣﹣2﹣b+2b，
即y＝（x++m）2﹣﹣2+b．
把（1，﹣1）代入，得（1++m）2﹣﹣2+b＝﹣1．
（1++m）2＝﹣b+1．
（1++m）2＝（﹣1）2，
所以1++m＝±（﹣1）．
当1++m＝﹣1时，m＝﹣2（不合题意，舍去）；
当1++m＝﹣（﹣1）时，m＝﹣b，
因为m≥﹣，所以b≤．
所以0＜b≤，
所以平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣）2﹣﹣2+b．
即顶点为（，﹣﹣2+b），
设p＝﹣﹣2+b，即p＝﹣（b﹣2）2﹣1．
因为﹣＜0，所以当b＜2时，p随b的增大而增大．
因为0＜b≤，
所以当b＝时，p取最大值为﹣，
此时，平移后抛物线的顶点所能达到的最高点坐标为（，﹣）．
27．解：（1）根据顶点坐标公式得：
x＝＝＝1，y＝n﹣2n+n+2＝2；
∴顶点D（1，2）；
答：D点坐标为（1，2）．
（2）直线y＝kx+b经过点D（1，2）和点C（0，1），
∴，解得：k＝1，b＝1；
∴直线的解析式为y＝x+1．
答：直线CD的解析式为y＝x+1．
（3）如图所示，∵x1+x2＝3，
∴P、Q关于直线x＝对称，
当t＝1时，P在C处，即x1＝0，
∵x1+x2＝3，
∴x2＝3，
∴Q（3，1），
代入抛物线y＝nx2﹣2nx+n+2中得：9n﹣6n+n+2＝1，n＝﹣，
当t＝﹣1时，y＝﹣1＝x+1，即x1＝﹣2，
∵x1+x2＝3，
∴x2＝5，
∴Q（5，﹣1），
代入抛物线y＝nx2﹣2nx+n+2中得：25n﹣10n+n+2＝﹣1，n＝﹣，
∵抛物线的顶点不变，且开口向下，随Q的移动开口大小不改变，
答：n的取值范围是：﹣＜n＜﹣．
28．解：（1）A（0，﹣）
点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；
（2）A与B关于对称轴x＝1对称，
∴抛物线对称轴x＝1；
（3）∵对称轴x＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣，
①a＞0时，
当x＝2时，y＝﹣＜2，
当y＝﹣时，x＝0或x＝2，
∴函数与PQ无交点；
②a＜0时，
观察图象可知，﹣≤2，
解得，a≤﹣，
∴当a≤﹣时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．
29．解：（1）设A点坐标为（a，a），代入y＝x2中，解得a1＝0（舍），a2＝4．
所以A点坐标为（4，4）；
（2）连接MN，过点A作AH⊥x轴于点H．
设点，联立得，
依题，，∴，
令，∴．
∵，∴，
∴△MON∽△NHA，可得∠ANM＝90°，
∴，∴a＝4，
∴A（4，4）．
30．解：（Ⅰ）∵m＝1，
∴y＝x2+3x﹣2＝（x+）2﹣，
∴顶点坐标（﹣，﹣）．
（Ⅱ）由消去y得x2+2mx+（m2+km﹣3m）＝0，
∵抛物线与直线y＝x﹣km有且仅有一个公共点，
∴Δ＝0，即（k﹣3）m＝0，
∵无论m取何值，方程总是成立，
∴k﹣3＝0，
∴k＝3．
（Ⅲ）∵﹣＝﹣，＝＝﹣，
抛物线y＝x2+（2m+1）x+m（m﹣3）的顶点为（﹣，﹣），
PH＝|﹣﹣（﹣）|＝||，
∵1＜PH≤6，
∴当＞0时，有1＜≤6，又﹣1≤m≤4，
∴＜m≤，
当＜0时，1＜﹣≤6，又∵﹣1≤m≤4，
∴﹣1≤m＜﹣，
∴﹣1≤m＜﹣或＜m≤，
∵A（﹣m﹣1，y1）在抛物线上，
∴y1＝（﹣m﹣1）2+（2m+1）（﹣m﹣1）+m（m+3）＝﹣4m，
∵C（﹣m，y3）在抛物线上，
∴y3＝（﹣m）2+（2m+1）（﹣m）+m（m﹣3）＝﹣4m，
∴y1＝y3，
①令＜﹣m﹣1，则有m＜﹣，结合﹣1≤m＜﹣，
∴﹣1≤m＜﹣，
此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，如图1，
∴y2＞y1＝y3，
即当﹣1≤m＜﹣时，有y2＞y1＝y3．
②令＝﹣m﹣1，则A与B重合，此情形不合题意，舍弃．
③令＞﹣m﹣1，且≤﹣时，有﹣＜m≤﹣，结合﹣1≤m＜﹣，
∴﹣＜m≤﹣，
此时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，如图2，
∴y1＝y3＞y2，
即当﹣＜m≤﹣时，有y1＝y3＞y2，
④令﹣≤＜﹣m，有﹣≤m＜0，结合﹣1≤m＜﹣，
∴﹣≤m＜﹣，
此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，如图3，
∴y2＜y3＝y1．
⑤令＝﹣m，B，C重合，不合题意舍弃．
⑥令＞﹣m，有m＞0，结合＜m≤，
∴＜m≤，
此时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，如图4，
∴y2＞y3＝y1，
即当＜m≤时，有y2＞y3＝y1，
综上所述，﹣1≤m＜﹣或＜m≤时，有y2＞y1＝y3，
﹣＜m＜﹣时，有y2＜y1＝y3．
31．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠CED，∠AFD＝∠FDE＝90°，
∴∠C＝∠CED，
∴DC＝DE．
在Rt△ADF中，∵∠A＝45°，
∴∠ADF＝45°＝∠A，
∴AF＝DF＝x，
∴AD＝＝x，
∴DC＝DE＝1﹣x，
∴y＝（DE+FB）×DF＝（1﹣x+1﹣x）x＝﹣（+1）x2+x．
∵点D保持在AC上，且D不与A重合，
∴0＜AD≤1，
∴0＜x≤1，
∴0＜x≤．
故y＝﹣（+1）x2+x，自变量x的取值范围是0＜x≤；
（2）∵y＝﹣（+1）x2+x，
∴当x＝﹣＝﹣1时，y有最大值．
32．解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，
∴当x＝0时，c＝0，
将y＝0代入y＝﹣x+4，得x＝4，即点A的坐标为（4，0），
故答案为：0，（4，0）；
（2）∵二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，点A的坐标为（4，0），
∴0＝a×42﹣（2a+1）×4，
解得，a＝0.5；
（3）∵y＝ax2﹣（2a+1）x＝x[ax﹣（2a+1）]，
∴函数y＝ax2﹣（2a+1）x过点（0，0）和（，0），
∵点A（4，0），点O的坐标为（0，0），二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x（a＞0）的图象与△AOB只有一个公共点，
∴＞，a＞0，
解得，0＜a＜，
即a的取值范围是0＜a＜．