3.3幂函数同步测试卷-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

3.3幂函数同步测试卷
一、单选题
1．下列函数为幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是奇函数，当时，，则的值是（ ）
A．8 B．8 C．4 D．4
3．如图是幂函数的部分图象，已知取，2，，这四个值，则与曲线，，，相应的依次为（ ）
A．2，，， B．，，，2
C．，2，， D．2，，，
4．若幂函数的图像经过点，则在定义域内（ ）
A．为增函数 B．为减函数 C．有最小值 D．有最大值
5．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B．2 C．1 D．4
6．幂函数的图象过点(-2,)，则它的单调递增区间是（ ）
A．(0,+∞) B．[0,+∞) C．(-∞,+∞) D．(-∞,0)
7．已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范国为（ ）
A． B． C． D．
8．已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为( )
A． B．
C． D．
二、多选题
9．有如下命题，其中真命题的标号为（ ）
A．若幂函数的图象过点，则
B．函数且的图象恒过定点
C．函数在上单调递减
D．若函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是
10．已知幂函数的图像经过，则幂函数具有的性质是（ ）
A．在其定义域上为增函数 B．在上单调递减
C．奇函数 D．定义域为
11．设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值有（ ）
A． B． C． D．
12．下列说法中错误的是（ ）
A．幂函数的图象不经过第四象限
B．的图象是一条直线
C．若函数的定义域为，则它的值域为
D．若函数的值域为是，则它的定义域一定是
三、填空题
13．幂函数经过点，则_________.
14．函数是幂函数，且在上是减函数，则实数__________.
15．关于的不等式的解集为__________.
16．已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：
①；②；③；④．
其中正确结论的序号是______
四、解答题
17．比较下列各组中两个数的大小，并说明理由．
（1），；
（2），．
18．已知函数，当m为何值时，：
（1）是幂函数；
（2）是幂函数，且是上的增函数；
（3）是正比例函数；
（4）是反比例函数；
（5）是二次函数.
19．已知幂函数为偶函数.一次函数满足，.
（1）求和的解析式；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
20．已知幂函数在区间上单调递增.
（1）求的解析式；
（2）用定义法证明函数在区间上单调递减.
21．已知幂函数的图象经过点，对于偶函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）求当时，函数的解析式；
22．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若实数，（，）满足，求的最小值．
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3.3幂函数同步测试卷答案
1．D
【详解】
幂函数是形如的函数，
故ABC不符合，D符合，
故选：D
2．D
【详解】
由奇函数知：.
故选：D
3．A
【详解】
因为在直线右侧，指数越大，幂函数的图象越靠上，
所以曲线，，，相应的依次为2，，，.
故选：A.
4．C
【详解】
解：设幂函数，因为幂函数的图像经过点，
所以，解得，所以幂函数，
所以在单调递减，在上单调递增，
所以在定义域内有最小值，
故选：C.
5．D
【详解】
由题意设，
因为幂函数的图象过点，
所以，得，
所以，
所以，
故选：D
6．D
【详解】
令幂函数为，由题意知：，
∴，则，易知：在上递增，上递减.
故选：D
7．D
【详解】
由题意，解得或，
又在上单调递增，所以，，
所以，，易知是偶函数，
所以由得，解得或.
故选：D.
8．C
【详解】
由题意可知，，解得，，
故，易知，为偶函数且在上单调递减，
又因为，
所以，解得，或.
故的取值范围为.
故选：C.
9．BD
【详解】
对于A，令，则，解得：，，，A错误；
对于B，令，即时，，恒过定点，B正确；
对于C，为开口方向向上，对称轴为的二次函数，在上单调递增，C错误；
对于D，令，解得：或；又，实数的取值范围为，D正确.
故选：BD.
10．BC
【详解】
设幂函数，
幂函数图象过点，
，
，
定义域为，满足，是奇函数，值域为，在定义域内不单调，在上单调递减.
故选：BC
11．BC
【详解】
时，的定义域是，不正确；
时，函数的定义域是，且是奇函数，故正确；
是，函数的定义域是，且是奇函数，故正确；
时，函数的定义域是，不正确.
故选：BC
12．BCD
【详解】
解：对于A，由幂函数的图象知，它不经过第四象限，所以A对；
对于B，因为当时，无意，即在无定义，所以B错；
对于C，函数的定义域为，则它的值域为，不是，所以C错；
对于D，定义域不一定是，如，所以D错.
故选：BCD.
13．
【详解】
由题意，设，因为经过点，
所以，解得，
所以.
故答案为：
14．2
【详解】
由题设，，即，解得或，
当时，，此时函数在上递增，不合题意；
当时，，此时函数在上递减，符合题设.
综上，.
故答案为：2
15．
【详解】
因为函数的定义域为，
由，可得为奇函数，
因为，所以在和上单调递减，
当即时，
由可得，解得，
所以，
当，即或时，
由可得，解得，
所以，
综上所述：原不等式的解集为，
故答案为：.
16．②③
【详解】
因为是幂函数，可设，
因为幂函数的图象经过点，
所以，即,解得：，所以，定义域为，
设，定义域为，因为，
所以在上单调递增，
若，则有，即，故①不正确，②正确；
设，定义域为，因为，
所以在上单调递减，
若，则有，即故③正确，④不正确；
因此正确结论的序号是②③，
故答案为：②③.
17．（1），理由见解析；（2），理由见解析.
【详解】
（1）根据题意，幂函数在定义域上是增函数，而，所以．
（2）幂函数在定义域上是增函数，而，所以．
18．（1）或（2）（3）（4）（5）.
【详解】
（1）因为函数是幂函数，所以，解得：或；
（2）当时，，函数在上是减函数，
当时，，函数在上是增函数，
综上可知：时，满足条件；
（3）若函数是正比例函数，则，解得：；
（4）若函数是反比例函数，则，解得：；
（5）若函数是二次函数，则，解得：.
19．（1），；（2）最小值为0，最大值为.
【详解】
（1）因为函数为幂函数，所以，
即，解得：或.
当时，为偶函数，满足题意；
当时，为奇函数，不满足题意；
所以，.
因为为一次函数，所以，设，由，，
得：，解得：.所以..
（2），令，
因为，所以，
而在上单调递增，
所以，当，即时，取得最小值0.
当，即时，取得最大值.
所以，函数在区间上的最小值为0，最大值为.
20．（1）；（2）证明见解析.
【详解】
（1）解：由题可知：，解得或.
若，则在区间上单调递增，符合条件；
若，则在区间上单调递减，不符合条件.
故.
（2）证明：由（1）可知，.
任取，，且，
则.
因为，
所以，，，
所以，
即，故在区间上单调递减.
21．（1）；（2）当时，．
【详解】
（1）设，代入点，得，，；
，当时，设，则，
是R上的偶函数，
，即当时，；
22．（1）；（2）；（3）2．
【详解】
解析：（1）．，
，
（）
即或
在上单调递增，为偶函数
即
（2）
，，，
∴
（3）由题可知，
，
当且仅当，即，时等号成立．
所以的最小值是2．
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