3.2.2双曲线简单的几何性质同步练习-2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 3.2.2双曲线简单的几何性质同步练习-2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 798.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-29 21:57:33 | ||
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文档简介
3.2.1双曲线及标准方程
一、单选题
1．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的焦距为（ ）
A．6 B．12
C．36 D．
4．已知双曲线的右支上恰好有两点到O（坐标原点） F（右焦点）的距离相等，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C．（1，2） D．
5．若双曲线：（，）的一条渐近线与直线：平行，则直线，间的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．双曲线的右焦点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B．2
C． D．3
7．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C．或2 D．
8．已知焦点为，的双曲线的离心率为，点为上一点，且满足，若的面积为，则双曲线的实轴长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．已知双曲线的上下焦点分别为，，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
10．P为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
二、多选题
11（多选）．已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（ ）
A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4
C．离心率为 D．渐近线方程为
12（多选）．已知双曲线（，），则不因改变而变化的是（ ）
A．焦距 B．离心率 C．顶点坐标 D．渐近线方程
13．（多选）对于方程和（且）所表示的双曲线，下列说法正确的是（ ）
A．有相同的顶点 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线
14（多选）．已知双曲线的左焦点，过且与轴垂直的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，的面积为，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线的方程为
B．双曲线的两条渐近线所成的锐角为
C．到双曲线渐近线的距离为
D．双曲线的离心率为
15（多选）．已知曲线(其中为参数)，下列说法正确的有（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其长轴长为
B．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
C．曲线C可表示的所有曲线类型为椭圆、圆、双曲线
D．若，则曲线C的离心率的取值范围为
三、填空题
16．若双曲线的右焦点与圆的圆心重合，则___________.
17．过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|＝________.
18．已知双曲线的一个焦点为．若已知点，点是双曲线上的任意一点，则的最小值是______．
19．已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则该双曲线的离心率为______.
四、解答题
20．求适合下列条件的双曲线的标准方程.
（1）焦点在x轴上，，经过点A；
（2）焦点在y轴上，焦距是16，离心率；
（3）离心率，经过点M ．
21．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点
，点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：·＝0；
22．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积．
23．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线的右支上一点．
（1）求，的最小值；
（2）若右支上存在点P，满足，求双曲线的离心率的取值范围．
24．已知双曲线：的两条渐近线所成的锐角为且点是上一点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若过点的直线与交于，两点，点能否为线段的中点？并说明理由．
参考答案
1．C
【分析】
把双曲线方程中右边的常数改为0，化简即得．
【详解】
双曲线的渐近线方程为，即．
故选：C．
2．D
【分析】
根据题意可知双曲线焦点在x轴上，列出方程，从而可得答案.
【详解】
解析：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.
∴ m2＝1，即m＝±1.
故选：D.
3．B
【分析】
判断双曲线的焦点在轴上，求得，，再由，，的关系，求得，再由焦距即可得到．
【详解】
解：双曲线的焦点在轴上，
即有，，
，
则焦距．
故选：．
4．D
【分析】
由题意只需线段的垂直平分线与双曲线的右支有两个交点即可，可得，从而得出离心率的取值范围.
【详解】
双曲线的右焦点，
若双曲线的右支上恰好有两点到O（坐标原点）
F（右焦点）的距离相等，
则线段的垂直平分线与双曲线的右支有两个交点，
所以，所以，
所以双曲线的离心率e的取值范围是.
故选：D
5．D
【分析】
由题可得渐近线方程，利用直线平行可得，再利用平行线间距离公式即得.
【详解】
根据题意，双曲线的渐近线的方程为，该直线与直线平行，
所以，所以，
此时直线的方程为，直线的方程为，
所以直线，之间的距离为.
故选：.
6．C
【分析】
根据双曲线的方程可求出，即得右焦点的坐标，直线过定点，右焦点到直线的距离的最大值即为
【详解】
由题意，双曲线的
故右焦点为，
直线经过定点，
故到直线的距离的最大值为.
故选：C
7．A
【分析】
利用两条渐近线的夹角求出渐近线的倾斜角，再根据条件验证即可得解.
【详解】
依题意，双曲线的渐近线方程为，因两条渐近线的夹角为，
于是得直线的倾斜角是或，即或，解得或，而，则，
又，则有，所以双曲线的离心率.
故选：A
8．B
【分析】
由和可得，再结合余弦定理和可得，利用面积公式可解得，即得解
【详解】
由题意，
由双曲线定义可知，
又
又
又
故双曲线的实轴长为
故选：B
9．D
【分析】
由题知在直角三角形中，，，进而根据面积得，再结合离心率公式即可得答案.
【详解】
解：由题知，双曲线渐近线的方程为，
所以到渐近线的距离为，
所以在直角三角形中，，
所以的面积为，即
所以双曲线的离心率为
故选：D
10．C
【分析】
画出图形，将转化为，进而化简，结合图形得到答案.
【详解】
如图，圆C的圆心C为（2,0），半径r=2，
，则当点P位于双曲线左支的顶点时，最小，即最小.
此时的最小值为：.
故选：C.
11．BD
【分析】
根据双曲线的标准方程求出a、b、c，可以求出实轴长、虚轴长、焦距、离心率、渐近线方程，对四个选项一一验证即可.
【详解】
∵双曲线C：∴..∴∴.∴双曲线的实轴长是，虚轴长是，A错误；焦距为.B正确；离心率为，C错误：渐近线方程为，D正确.
故选：BD
12．BD
【分析】
将双曲线方程整理为标准方程，写出焦距，离心率，顶点坐标和渐近线方程，判断是否因改变而变化，即可得解.
【详解】
整理双曲线方程可得，
该双曲线焦距为：，
离心率为：，
顶点坐标为和，
渐近线方程为，
不因改变而变化的是离心率与渐近线方程.
故选：BD.
【点睛】
本题考查了双曲线的简单性质的应用，属于基础题.
13．CD
【分析】
根据方程，分别求得两方程的a，b，c和，，的值，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
对于双曲线，，，；
对于双曲线，，，，
显然，，分别是，，的倍，
所以两双曲线的顶点、焦点坐标均不同，故A、B错误；
，，所以有相同的离心率，故C正确；
，，所以有相同的渐近线，故D正确.
故选：CD
14．ABD
【分析】
由左焦点，得，再根据的面积为，由，求得双曲线的方程，再逐项判断.
【详解】
因为双曲线的左焦点为，
所以，
又因为过与轴垂直的直线与双曲线交于，
所以的面积为，即，
又，
所以，
所以双曲线的方程为，故正确;
则双曲线的渐近线方程为，所以两渐近线的夹角为，故B正确;
到双曲线渐近线的距离为,故C错误﹔
双曲线的离心率为.故D正确;
故选：ABD
15．BD
【分析】
由给定的曲线方程结合各选项中的条件，逐一推理计算并判断作答.
【详解】
在曲线中，
当m>n>0时，方程化为：，显然，则C是焦点在y轴上的椭圆，其长轴长为，A不正确；
当mn<0时，若，方程化为：，令，渐近线方程为，
若，方程化为：，令，渐近线方程为，
综上得：若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为，B正确；
显然m，n不全为0，当m=0时，方程化为：，即，则曲线C是两条平行直线，C不正确；
当mn<0时，若，方程化为：，令，而，即，则，
若，方程化为：，令，而，即，则，
综上得：若，则曲线C的离心率的取值范围为，D正确.
故选：BD
16．
【分析】
分别求出双曲线的右焦点坐标以及圆的圆心坐标，列方程即可求解.
【详解】
由可得，所以，
所以双曲线的右焦点坐标为，
由可得，
所以圆心坐标为，
由题意可得：，解得或（舍）
故答案为：.
17．3
【详解】
解析 易得双曲线的左焦点F1(－2，0)，
∴直线AB的方程为y＝ (x＋2)，
与双曲线方程联立，得8x2－4x－13＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝·
＝×＝3.
18．3
【分析】
根据焦点求得双曲线方程，得，再由点点距表示距离即可得最值.
【详解】
由题意，可知，∴，∴双曲线的方程为．
由，得，
∴．
又或，
∴当时，取得最小值，为3．
故答案为：3.
19．
【分析】
利用点到直线距离公式可求得，根据可得，利用可构造方程组求得，进而推导得到离心率.
【详解】
由双曲线方程可得渐近线方程为，
设在上，在上，，
，又，，
，，
又，，，解得：，
.
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：
（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；
（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.
20．（1），（2），（3），
【分析】
（1）由题意设双曲线方程为，而，再将点A的坐标代入双曲线方程中可求出的值，从而可求出双曲线方程，
（2）由题意设双曲线方程为，而，求出，再结合，可求出的值，从而可求出双曲线方程，
（3）根据离心率可知双曲线为等轴双曲线，设出方程，利用点在曲线上，点的坐标满足曲线方程，从而可求得结果
【详解】
（1）由题意设双曲线方程为，
因为，所以，
因为双曲线经过点A，
所以，解得，
所以双曲线方程为，
（2）由题意设双曲线方程为，
因为焦距是16，离心率，所以，解得，
所以，
所以双曲线方程为，
（3）因为离心率，所以，即，
所以，
所以双曲线为等轴双曲线，
所以设双曲线方程为，
因为双曲线经过点M ，
所以，得，
所以双曲线方程为
21．（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据离心率设出方程，代入点的坐标可得解.
（2）将点代入所求方程可得，再用向量的坐标形式求数量积即可，
【详解】
（1）∵，
∴双曲线的实轴、虚轴相等.
则可设双曲线方程为
∵双曲线过点，
∴，即.
∴双曲线方程为..
（2）证明：不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则，.
∴，
∵M点在双曲线上，
∴，即，
∴·.
22．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据共渐近线，设出双曲线方程，代入点的坐标可得结论；
（2）写出直线的方程为．设，，直线方程与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理得，由弦长公式求得弦长，求出到直线距离后可得三角形面积．
【详解】
（1）设所求双曲线方程为，代入点得：，即，
双曲线方程为，即．
（2）由（1）知：，，即直线的方程为．
设，，联立，得，
满足且，，
由弦长公式得，
点到直线的距离．
所以．
23．（1）；（2）.
【分析】
（1）结合图象以及双曲线的定义求得，的最小值.
（2）结合余弦定理来求得双曲线离心率的取值范围.
【详解】
（1）设双曲线的左右顶点为，
由图可知：当在右顶点时，最小，即.
而，所以当最小时，取得最小值，即.
（2）设，
依题意，
由余弦定理得，
即.
24．（1）；（2）点不能为线段的中点，理由见解析.
【分析】
（1）由渐近线夹角求得一个斜率，再代入点的坐标，然后可解得得双曲线方程；
（2）设直线方程为（斜率不存在时另说明），与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理，结合中点坐标公式求得，然后难验证直线与双曲线是否相交即可得．
【详解】
解：（1）由题意知，双曲线的渐近线的倾斜角为30°或60°，即或．
当时，的标准方程为，代入，无解．
当时，的标准方程为，代入，解得．
故的标准方程为．
（2）不能是线段的中点
设交点，，
当直线的斜率不存在时，直线与双曲线只有一个交点，不符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立方程组
，整理得，
则，由得，
将代入判别式，
所以满足题意的直线也不存在．
所以点不能为线段的中点．
一、单选题
1．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的焦距为（ ）
A．6 B．12
C．36 D．
4．已知双曲线的右支上恰好有两点到O（坐标原点） F（右焦点）的距离相等，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C．（1，2） D．
5．若双曲线：（，）的一条渐近线与直线：平行，则直线，间的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．双曲线的右焦点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B．2
C． D．3
7．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C．或2 D．
8．已知焦点为，的双曲线的离心率为，点为上一点，且满足，若的面积为，则双曲线的实轴长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．已知双曲线的上下焦点分别为，，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
10．P为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
二、多选题
11（多选）．已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（ ）
A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4
C．离心率为 D．渐近线方程为
12（多选）．已知双曲线（，），则不因改变而变化的是（ ）
A．焦距 B．离心率 C．顶点坐标 D．渐近线方程
13．（多选）对于方程和（且）所表示的双曲线，下列说法正确的是（ ）
A．有相同的顶点 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线
14（多选）．已知双曲线的左焦点，过且与轴垂直的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，的面积为，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线的方程为
B．双曲线的两条渐近线所成的锐角为
C．到双曲线渐近线的距离为
D．双曲线的离心率为
15（多选）．已知曲线(其中为参数)，下列说法正确的有（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其长轴长为
B．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
C．曲线C可表示的所有曲线类型为椭圆、圆、双曲线
D．若，则曲线C的离心率的取值范围为
三、填空题
16．若双曲线的右焦点与圆的圆心重合，则___________.
17．过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|＝________.
18．已知双曲线的一个焦点为．若已知点，点是双曲线上的任意一点，则的最小值是______．
19．已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则该双曲线的离心率为______.
四、解答题
20．求适合下列条件的双曲线的标准方程.
（1）焦点在x轴上，，经过点A；
（2）焦点在y轴上，焦距是16，离心率；
（3）离心率，经过点M ．
21．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点
，点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：·＝0；
22．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积．
23．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线的右支上一点．
（1）求，的最小值；
（2）若右支上存在点P，满足，求双曲线的离心率的取值范围．
24．已知双曲线：的两条渐近线所成的锐角为且点是上一点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若过点的直线与交于，两点，点能否为线段的中点？并说明理由．
参考答案
1．C
【分析】
把双曲线方程中右边的常数改为0，化简即得．
【详解】
双曲线的渐近线方程为，即．
故选：C．
2．D
【分析】
根据题意可知双曲线焦点在x轴上，列出方程，从而可得答案.
【详解】
解析：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.
∴ m2＝1，即m＝±1.
故选：D.
3．B
【分析】
判断双曲线的焦点在轴上，求得，，再由，，的关系，求得，再由焦距即可得到．
【详解】
解：双曲线的焦点在轴上，
即有，，
，
则焦距．
故选：．
4．D
【分析】
由题意只需线段的垂直平分线与双曲线的右支有两个交点即可，可得，从而得出离心率的取值范围.
【详解】
双曲线的右焦点，
若双曲线的右支上恰好有两点到O（坐标原点）
F（右焦点）的距离相等，
则线段的垂直平分线与双曲线的右支有两个交点，
所以，所以，
所以双曲线的离心率e的取值范围是.
故选：D
5．D
【分析】
由题可得渐近线方程，利用直线平行可得，再利用平行线间距离公式即得.
【详解】
根据题意，双曲线的渐近线的方程为，该直线与直线平行，
所以，所以，
此时直线的方程为，直线的方程为，
所以直线，之间的距离为.
故选：.
6．C
【分析】
根据双曲线的方程可求出，即得右焦点的坐标，直线过定点，右焦点到直线的距离的最大值即为
【详解】
由题意，双曲线的
故右焦点为，
直线经过定点，
故到直线的距离的最大值为.
故选：C
7．A
【分析】
利用两条渐近线的夹角求出渐近线的倾斜角，再根据条件验证即可得解.
【详解】
依题意，双曲线的渐近线方程为，因两条渐近线的夹角为，
于是得直线的倾斜角是或，即或，解得或，而，则，
又，则有，所以双曲线的离心率.
故选：A
8．B
【分析】
由和可得，再结合余弦定理和可得，利用面积公式可解得，即得解
【详解】
由题意，
由双曲线定义可知，
又
又
又
故双曲线的实轴长为
故选：B
9．D
【分析】
由题知在直角三角形中，，，进而根据面积得，再结合离心率公式即可得答案.
【详解】
解：由题知，双曲线渐近线的方程为，
所以到渐近线的距离为，
所以在直角三角形中，，
所以的面积为，即
所以双曲线的离心率为
故选：D
10．C
【分析】
画出图形，将转化为，进而化简，结合图形得到答案.
【详解】
如图，圆C的圆心C为（2,0），半径r=2，
，则当点P位于双曲线左支的顶点时，最小，即最小.
此时的最小值为：.
故选：C.
11．BD
【分析】
根据双曲线的标准方程求出a、b、c，可以求出实轴长、虚轴长、焦距、离心率、渐近线方程，对四个选项一一验证即可.
【详解】
∵双曲线C：∴..∴∴.∴双曲线的实轴长是，虚轴长是，A错误；焦距为.B正确；离心率为，C错误：渐近线方程为，D正确.
故选：BD
12．BD
【分析】
将双曲线方程整理为标准方程，写出焦距，离心率，顶点坐标和渐近线方程，判断是否因改变而变化，即可得解.
【详解】
整理双曲线方程可得，
该双曲线焦距为：，
离心率为：，
顶点坐标为和，
渐近线方程为，
不因改变而变化的是离心率与渐近线方程.
故选：BD.
【点睛】
本题考查了双曲线的简单性质的应用，属于基础题.
13．CD
【分析】
根据方程，分别求得两方程的a，b，c和，，的值，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
对于双曲线，，，；
对于双曲线，，，，
显然，，分别是，，的倍，
所以两双曲线的顶点、焦点坐标均不同，故A、B错误；
，，所以有相同的离心率，故C正确；
，，所以有相同的渐近线，故D正确.
故选：CD
14．ABD
【分析】
由左焦点，得，再根据的面积为，由，求得双曲线的方程，再逐项判断.
【详解】
因为双曲线的左焦点为，
所以，
又因为过与轴垂直的直线与双曲线交于，
所以的面积为，即，
又，
所以，
所以双曲线的方程为，故正确;
则双曲线的渐近线方程为，所以两渐近线的夹角为，故B正确;
到双曲线渐近线的距离为,故C错误﹔
双曲线的离心率为.故D正确;
故选：ABD
15．BD
【分析】
由给定的曲线方程结合各选项中的条件，逐一推理计算并判断作答.
【详解】
在曲线中，
当m>n>0时，方程化为：，显然，则C是焦点在y轴上的椭圆，其长轴长为，A不正确；
当mn<0时，若，方程化为：，令，渐近线方程为，
若，方程化为：，令，渐近线方程为，
综上得：若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为，B正确；
显然m，n不全为0，当m=0时，方程化为：，即，则曲线C是两条平行直线，C不正确；
当mn<0时，若，方程化为：，令，而，即，则，
若，方程化为：，令，而，即，则，
综上得：若，则曲线C的离心率的取值范围为，D正确.
故选：BD
16．
【分析】
分别求出双曲线的右焦点坐标以及圆的圆心坐标，列方程即可求解.
【详解】
由可得，所以，
所以双曲线的右焦点坐标为，
由可得，
所以圆心坐标为，
由题意可得：，解得或（舍）
故答案为：.
17．3
【详解】
解析 易得双曲线的左焦点F1(－2，0)，
∴直线AB的方程为y＝ (x＋2)，
与双曲线方程联立，得8x2－4x－13＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝·
＝×＝3.
18．3
【分析】
根据焦点求得双曲线方程，得，再由点点距表示距离即可得最值.
【详解】
由题意，可知，∴，∴双曲线的方程为．
由，得，
∴．
又或，
∴当时，取得最小值，为3．
故答案为：3.
19．
【分析】
利用点到直线距离公式可求得，根据可得，利用可构造方程组求得，进而推导得到离心率.
【详解】
由双曲线方程可得渐近线方程为，
设在上，在上，，
，又，，
，，
又，，，解得：，
.
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：
（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；
（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.
20．（1），（2），（3），
【分析】
（1）由题意设双曲线方程为，而，再将点A的坐标代入双曲线方程中可求出的值，从而可求出双曲线方程，
（2）由题意设双曲线方程为，而，求出，再结合，可求出的值，从而可求出双曲线方程，
（3）根据离心率可知双曲线为等轴双曲线，设出方程，利用点在曲线上，点的坐标满足曲线方程，从而可求得结果
【详解】
（1）由题意设双曲线方程为，
因为，所以，
因为双曲线经过点A，
所以，解得，
所以双曲线方程为，
（2）由题意设双曲线方程为，
因为焦距是16，离心率，所以，解得，
所以，
所以双曲线方程为，
（3）因为离心率，所以，即，
所以，
所以双曲线为等轴双曲线，
所以设双曲线方程为，
因为双曲线经过点M ，
所以，得，
所以双曲线方程为
21．（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据离心率设出方程，代入点的坐标可得解.
（2）将点代入所求方程可得，再用向量的坐标形式求数量积即可，
【详解】
（1）∵，
∴双曲线的实轴、虚轴相等.
则可设双曲线方程为
∵双曲线过点，
∴，即.
∴双曲线方程为..
（2）证明：不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则，.
∴，
∵M点在双曲线上，
∴，即，
∴·.
22．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据共渐近线，设出双曲线方程，代入点的坐标可得结论；
（2）写出直线的方程为．设，，直线方程与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理得，由弦长公式求得弦长，求出到直线距离后可得三角形面积．
【详解】
（1）设所求双曲线方程为，代入点得：，即，
双曲线方程为，即．
（2）由（1）知：，，即直线的方程为．
设，，联立，得，
满足且，，
由弦长公式得，
点到直线的距离．
所以．
23．（1）；（2）.
【分析】
（1）结合图象以及双曲线的定义求得，的最小值.
（2）结合余弦定理来求得双曲线离心率的取值范围.
【详解】
（1）设双曲线的左右顶点为，
由图可知：当在右顶点时，最小，即.
而，所以当最小时，取得最小值，即.
（2）设，
依题意，
由余弦定理得，
即.
24．（1）；（2）点不能为线段的中点，理由见解析.
【分析】
（1）由渐近线夹角求得一个斜率，再代入点的坐标，然后可解得得双曲线方程；
（2）设直线方程为（斜率不存在时另说明），与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理，结合中点坐标公式求得，然后难验证直线与双曲线是否相交即可得．
【详解】
解：（1）由题意知，双曲线的渐近线的倾斜角为30°或60°，即或．
当时，的标准方程为，代入，无解．
当时，的标准方程为，代入，解得．
故的标准方程为．
（2）不能是线段的中点
设交点，，
当直线的斜率不存在时，直线与双曲线只有一个交点，不符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立方程组
，整理得，
则，由得，
将代入判别式，
所以满足题意的直线也不存在．
所以点不能为线段的中点．