4.3.2 对数的运算 同步练习 2021-2022学年高一上学期数学 人教A版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

4.3对数的运算
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知方程的两根为，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
3．若函数，则的值（ ）
A．3 B．2 C． D．
4．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则 （ ）
A．－4 B．4 C．－6 D．6
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．设2a＝5b＝m，且，则m等于（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，，则（ ）
A．3 B． C． D．4
二、多选题
11．方程的解为（ ）
A．10 B． C．1000 D．
12．（多选）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
13．已知，且，实数的值为（ ）
A．1 B．225 C．15 D．
14．已知，均为正实数，若，，则（ ）
A． B． C． D．2
三、填空题
15． ________．
16．__________.
17．函数则________________．
18．已知是定义在上的单调函数，且对任意的实数，都有，则的值为_________.
四、解答题
19．计算下列各式的值：
（1）； （2）；
（3）.
20．设，，均为正数，且，求证：．
21．已知函数为奇函数.
（1）函数的解析式；
（2）若，求x的范围；
（3）求函数的值域.
22．已知函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】
由对数恒等式求解即可
【详解】
对于A：由对数恒等式可知：错误，故A错误；
对于B：由对数恒等式可知：，故B错误；
对于C：由对数恒等式可知：，故C正确；
对于D：由对数恒等式可知：，故D错误；
故选：C
2．D
【分析】
根据韦达定理及对数的运算即可得到答案.
【详解】
∵方程的两根为，，
∴，
∴.
故选：D．
3．A
【分析】
先求出，再求出即可.
【详解】
由，得
，
故选：A
4．B
【分析】
结合对数运算和指数幂运算即可.
【详解】
原式.
故选：B.
5．D
【分析】
由分段函数的表达式，代入即可求解.
【详解】
由函数，
可得.
故选：D．
6．D
【分析】
根据对数的运算性质逐一计算各选项即可得出答案.
【详解】
解：对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
7．D
【分析】
去掉绝对值，得到具体的函数表达式，即可作出判断.
【详解】
当时，，排除C；
当时，，排除AB选项.
故选：D.
8．D
【分析】
利用指数对数互化，再利用换底公式及对数的运算法则即得.
【详解】
由等式（）两边取对数，
可得，
所以
∴.
故选：D.
9．A
【分析】
利用指出函数的单调性，及对数的运算，即可求解.
【详解】
解：，
即，故选A.
10．A
【分析】
设，则且，
可求得，
则，即可求解.
【详解】
设，则且，
，所以，
，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是构造函数，则且
，利用可得，
且，即可取值.
11．BC
【分析】
对两边取以10为底的对数，根据对数的运算性质，计算化简，即可得答案.
【详解】
对两边取以10为底的对数，得，即，
解得或，所以或．
故选：BC．
12．ABD
【分析】
先求出，即可求出ab=1，再基本不等式判断A，D项先将原式化简即可；直接计算可判断C．
【详解】
由，得．
，故B正确；
由，，且得，故A正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选ABD．
13．AD
【分析】
根据指对互化得，，代入求解即可.
【详解】
由，得，．
若，则成立；
若，则即，
所以
即，得．
故选AD．
14．AD
【分析】
令，代入可求出，可得与的关系式，再代入即可求出，的值.
【详解】
令，则，
所以，即，
解得或，即或，所以或，
因为，代入得或，
所以，或，，
所以或.
故选：AD.
【点睛】
本题主要考查了对数的运算及性质，属于中档题.
15．
【分析】
由对数的运算性质即可求解.
【详解】
，
故答案为：.
16．1
【分析】
利用对数运算求得正确结果.
【详解】
原式
.
故答案为：
17．16
【分析】
直接利用分段函数化简求解函数值即可得结果.
【详解】
因为函数，
则，
故答案为：16.
18．
【分析】
根据题意，对于复合函数问题，利用换元法可设（为常数），得出，从而得出，再令，且根据一次函数和指数型函数的单调性得出函数的单调性，从而可知有唯一解，从而得出的解析式，最后结合对数函数的运算即可求出结果.
【详解】
解：是上的单调函数，且对任意的实数，都有，
则设（为常数），则，
，即，
令，
由于函数在上单调递增，且函数在上单调递减，
则在上单调递增，
所以有唯一解，解得：，
，
.
故答案为：.
19．（1）；（2） ；（3）.
【分析】
（1）利用对数的运算性质化简即可得解；
（2）利用对数的运算性质化简即可得解；
（3）利用对数的运算性质化简即可得解.
【详解】
（1）原式；
（2）原式；
（3）原式.
20．证明见解析
【分析】
设，两边取以为底的对数，可得，进而可得，再利用对数的运算性质计算和即可求证.
【详解】
设，由，，均为正数知，
在上式中取以 为底的对数，
可得，
即，
所以，，，
所以，
，
所以.
21．（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）先利用奇函数性质知，求出参数，再验证此时确实是奇函数；
（2）直接代入函数解不等式得，再利用指数函数性质解不等式即可.
（3）对函数分离常数，再利用，逐步计算的范围，即得值域.
【详解】
解：（1）易见，的定义域为R，故在原点处有定义，
又由是奇函数知，，即，故，此时，，
对，有，故是奇函数.
故函数的解析式为；
（2）由，得，解得，又，故，
x的范围为；
（3），因为，，则，即，
，故，
所以函数的值域为.
【点睛】
方法点睛：
已知函数奇偶性求参数常见方法：
（1）直接利用定义使（或）恒成立，系数对应相等解得参数即可；
（2）利用特殊值代入（或）计算参数，再将参数代入验证函数是奇（或偶）函数即可.
22．(1)；(2) .
【分析】
（1）利用配方法化简函数，根据函数的定义域，换元得到t＝∈[0,2]，由二次函数的性质，即可求出函数的值域；（2）先利用对数运算化简不等式，换元，再通过分离参数法，转化为最值问题，利用基本不等式求出最值，即可求出实数的取值范围．
【详解】
(1)h(x)＝(4－2)·＝－2(－1)2＋2，
因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，，
故函数h(x)的值域为[0,2]．
(2)由f(x2)·f()＞k·g(x)，
得(3－4)(3－)＞k·，
令，因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，
所以(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0,2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0,2]时，恒成立，
即，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为－3.所以k＜－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．
【点睛】
本题主要考查含有对数式的二次函数的值域的求法，利用分离参数法解决不等式恒成立问题，以及利用基本不等式求最值．意在考查学生的转化与化归思想和数学运算能力