第3章二次函数 单元练习题 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 第3章二次函数 单元练习题 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 426.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-28 11:03:51 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《第3章二次函数》单元同步练习题（附答案）
1．下列各式中表示二次函数的是（ ）
A．y＝x2+ B．y＝2﹣x2
C．y＝ D．y＝（x﹣1）2﹣x2
2．下列四个函数图象中，当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
3．对于二次函数y＝4（x+1）（x﹣3）下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．与x轴交点坐标是（1，0）和（﹣3，0）
C．x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x＝﹣1
4．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象．下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＜0；③ax2+bx+c＝1有两个实数根．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．若当x＝1和x＝3时，代数式ax2+bx+5的值相等，则当x＝4时，代数式ax2+bx+5的值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．0 D．2
6．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2
7．函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
8．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
9．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1或x＞2 D．x≤﹣1
10．长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（ ）
A．y＝x2 B．y＝12﹣x2 C．y＝（12﹣x） x D．y＝2（12﹣x）
11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为﹣
其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．函数y＝（m+1）x|m|+1+5x﹣5是二次函数，则m＝ ．
13．如图，已知函数y＝﹣与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+＝0的解是 ．
14．已知抛物线y＝（x﹣m）2+3，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
15．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝﹣2x2向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的新抛物线解析式为 ．
16．有这样一个问题：探究函数y＝x2+的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数y＝x2+的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 …
y … ﹣ m …
函数y＝x2+的自变量x的取值范围是 ，m的值为 ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并画出该函数的大致图象；
（3）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 个交点，所以对应方程x2+＝0有 个实数根；
②方程x2+＝2有 个实数根；
③结合函数的图象，写出该函数的一条性质 ．
17．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 …
其中，m＝ ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有 个不相等的实数根；
②方程x2﹣2|x|＝2有 个不相等的实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个不相等的实数根时，a的取值范围是 ．
18．有这样一个问题：探究函数y＝x2+的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝x2+的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2+的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ 1 2 3 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ m …
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） ．
19．在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）若抛物线过A、B两点，且与y轴交于点（0，﹣3），求此抛物线的顶点坐标；
（2）如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值．
20．有这样一个问题：探究函数y＝﹣2x的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝﹣2x的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：
x .. ﹣4 ﹣3.5 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 3.5 4 …
y … ﹣ ﹣ 0 ﹣ ﹣ m
（1）求m的值为 ；
（2）如图，在平面直角坐标xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
（3）方程﹣2x＝﹣2实数根的个数为 ；
（4）观察图象，写出该函数的一条性质 ；
（5）在第（2）问的平面直角坐标系中画出直线y＝x，根据图象写出方程x3﹣2x＝x的一个正数根约为 （精确到0.1）．
21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0），B（﹣4，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交抛物线及x轴于C、D两点．请问是否存在这样的点P，使PD＝2CD？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．某商店原来平均每天可销售某种水果100千克，每千克可盈利7元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．
（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；
（2）若要平均每天盈利400元，则每千克应降价多少元？
（3）每千克降价多少元时，每天的盈利最多？最多盈利多少元？
23．某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，对往年的市场行情和生产情况进行了调查，提供了两个信息图，如甲、乙两图．（注：甲、乙两图中的A，B，C，D，E，F，G，H所对应的纵坐标分别指相应月份每千克该种蔬菜的售价和成本．生产成本6月份最低，甲图的图象是线段，乙图的图象是抛物线的一部分）．请你根据图象提供的信息说明：
（1）在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？（收益＝售价﹣成本）
（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由．
24．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．
①过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；
②若△CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标．
25．如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x﹣2经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．
①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）
参考答案
1．解：A、y＝x2+，含有分式，故不是二次函数，故此选项错误；
B、y＝2﹣x2，是二次函数，故此选项正确；
C、y＝含有分式，故不是二次函数，故此选项错误；
D、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1，是一次函数，故此选项错误．
故选：B．
2．解：A、根据函数的图象可知y随x的增大而增大，故本选项错误；
B、根据函数的图象可知在第二象限内y随x的增大而增大，故本选项错误；
C、根据函数的图象可知，当x＜0时，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，故本选项错误；
D、根据函数的图象可知，当x＜0时，y随x的增大而减小；故本选项正确．
故选：D．
3．解：∵y＝4（x+1）（x﹣3）＝4（x﹣1）2﹣16，
∴a＝4＞0，该抛物线的开口向上，故选项A错误，
与x轴的交点坐标是（﹣1，0）、（3，0），故选项B错误，
当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项C正确，
图象的对称轴是直线x＝1，故选项D错误，
故选：C．
4．解：①∵抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，①正确；
②x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，②正确；
③抛物线与直线y＝1有两个交点，
∴ax2+bx+c＝1有两个实数根，③正确；
故选：D．
5．解：设y＝ax2+bx+5，
当x＝1和x＝3时，代数式ax2+bx+5的值相等，即当x＝1和x＝3时，函数值相等，
∴当x＝0与x＝4时，函数值相等，
∵当x＝0时，y＝5，
∴当x＝4时，y＝5，
故选：A．
6．解：将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y＝（x﹣1）2+2，
故选：A．
7．解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值是﹣2．
故选：D．
8．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），
∴对称轴为x＝1，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，
∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．
故选：C．
9．解：根据图象可知：
当x＜﹣1时，y1＜y2，
当x＝﹣1时，y1＝y2，
当﹣1＜x＜2时，y1＞y2，
当x＝2时，y1＝y2，
当x＞2时，y1＜y2，
故选：A．
10．解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），
∴长方形的另一边长为12﹣x，
∴y＝（12﹣x） x．
故选：C．
11．解：
由图象开口向下，可知a＜0，
与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，
又对称轴方程为x＝2，所以﹣＞0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
由图象可知当x＝3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②错误；
由图象可知OA＜1，
∵OA＝OC，
∴OC＜1，即﹣c＜1，
∴c＞﹣1，故③正确；
假设方程的一个根为x＝﹣，把x＝﹣代入方程可得﹣+c＝0，
整理可得ac﹣b+1＝0，
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c＝0，
即方程有一个根为x＝﹣c，
由②可知﹣c＝OA，而当x＝OA是方程的根，
∴x＝﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；
综上可知正确的结论有三个，
故选：C．
12．解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数
∴
∴m＝1
故答案为：1．
13．解：∵点P在函数y＝﹣上，点P的纵坐标为1，
∴1＝，
解得x＝﹣3，
∴函数y＝﹣与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P的坐标为（﹣3，1），
∴
可得，，
∴，
解得x＝﹣3．
故答案为：x＝﹣3．
14．解：∵y＝（x﹣m）2+3，
∴对称轴为x＝m，
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∵当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
15．解：将抛物线y＝﹣2x2向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是：y＝﹣2x2﹣2，
再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是：y＝﹣2（x+1）2﹣2．
故答案是：y＝﹣2（x+1）2﹣2．
16．解：（1）由题意x≠0，m＝，
故答案为x≠0，．
（2）函数图象如图所示．
（3）①由图象可知与x轴有一个交点，对应方程x2+＝0有一个实数根．
故答案为1，1．
②观察图象可知，方程x2+＝2有3个实数根，
故答案为3．
③在函数没有最大值或这个函数没有最小值，函数图象没有经过第四象限等，答案不唯一．
故答案为函数没有最大值或这个函数没有最小值，函数图象没有经过第四象限
17．解：（1）把x＝﹣2代入y＝x2﹣2|x|得y＝0，
即m＝0，
故答案为：0；
（2）如图所示；
（3）由函数图象知：①函数y＝x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有3个不相等的实数根；
②如图，∵y＝x2﹣2|x|的图象与直线y＝2有两个交点，
∴x2﹣2|x|＝2有2个不相等的实数根；
③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个不相等的实数根，
∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，
故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．
18．解：（1）x≠0，
（2）令x＝3，
∴y＝×32+
＝+＝；
∴m＝；
（3）如图
（4）该函数的其它性质：
①该函数没有最大值；
②该函数在x＝0处断开；
③该函数没有最小值；
④该函数图象没有经过第四象限．
故答案为该函数没有最大值．
19．解：（1）设过抛物线A，B两点，且与y轴交于点（0，﹣3），的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，0），B（3，0），点（0，﹣3）代入
得，
解得，
故此抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）由题意，设y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），M（1，﹣4a），
∴S△ACB＝×4×|﹣3a|＝6|a|，
而a＞0，
∴S△ACB＝6a．
作MD⊥x轴于D，
又S△ACM＝S△ACO+SOCMD﹣S△AMD＝ 1 3a+（3a+4a）﹣ 2 4a＝a，
∴S△ACM：S△ACB＝1：6；
20．解：（1）当x＝3时，y＝﹣2x＝×27﹣2×3＝﹣，即m＝﹣；
（2）如图所示；
（3）方程﹣2x＝﹣2实数根的个数为3个；
（4）图象关于原点中心对称或x＞2时，y随x的增大而增大等（答案不唯一）
（5）如图，直线y＝x与函数y＝﹣2x的图象在第一象限内的交点的横坐标约为3.9，
所以方程x3﹣2x＝x的一个正数根约为3.9．
故答案为﹣；3；x＞2时，y随x的增大而增大等；3.9．
21．解：（1）由题意，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
（2）∵A（4，0），B（﹣4，﹣4），
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，
设P（m，m﹣2），其中﹣4＜m＜4，则C（m，﹣m2+m+2），PD＝2﹣m，CD＝|﹣m2+m+2|，
①当点C在x轴上方时，CD＝﹣m2+m+2，由PD＝2CD，
得2﹣m＝2（﹣m2+m+2），解得m＝﹣1或4（舍弃），
∴P（﹣1，﹣）．
②当点C在x轴下方时，CD＝m2﹣m﹣2，由PD＝2CD，得2﹣m＝2（m2﹣m﹣2），解得m＝﹣3或4（舍弃），
∴P（﹣3，﹣），
综上所述，点P的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣3，﹣）．
22．解：（1）根据题意得：
y＝（100+20x）×（7﹣x）
＝﹣20x2+40x+700；
（2）令y＝﹣20x2+40x+700中y＝400，则有：400＝﹣20x2+40x+700，
即x2﹣2x﹣15＝0，
解得：x1＝﹣3（舍去），x2＝5．
所以若要平均每天盈利400元，则每千克应降价5元．
（3）y＝﹣20x2+40x+700＝﹣20（x﹣1）2+720，
所以每千克降价1元时，每天的盈利最多，最多盈利720元．
23．解：（1）从甲图知：3月份出售这种蔬菜，每千克售价为5元；
从乙图知，3月份购买这种蔬菜的成本为每千克4元，
根据收益＝售价﹣成本，易知，
在3月份出售这种蔬菜每千克的收益是1元；
（2）设图甲中图象的函数关系为y甲＝kx+b，图乙中图象的函数关系式为y乙＝a（x﹣h）2+k，
则每千克收益为y＝y甲﹣y乙（元），
∴，
解得：，
∴y甲＝﹣x+7，
∴抛物线y乙＝a（x﹣h）2+k．的顶点坐标为（6，1），又过点（3，4），
∴y乙＝a（x﹣6）2+1，
∴4＝a（3﹣6）2+1，∴a＝，
∴y乙＝（x﹣6）2+1，
∴y＝y甲﹣y乙＝﹣x+7﹣（x﹣6）2﹣1，
y＝﹣（x﹣5）2+，
∴当x＝5时，y有最大值．即当5月份出售时，每千克收益最大．
24．解（1）由直线y＝x﹣2得
B（4，0）、C（0，﹣2），
将B（4，0）、C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c，
，
解得b＝，c＝﹣2，
∴二次函数的解析式y＝x2﹣x﹣2；
（2）①过点DH∥AB，交直线y＝x﹣2于点H．
∴∠H＝∠OBC，
∵B（4，0）、C（0，﹣2），
∴OC＝2，OB＝4，BC＝2
∴sin∠H＝sin∠OBC＝＝＝，
即＝，
设D（m，m2﹣m﹣2），则H（m2﹣3m，m2﹣m﹣2），
∴DH＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m，
∴DM＝（﹣m2+4m）＝﹣，
当m＝2时，DM的最大值为；
②Ⅰ．当CM⊥DM时，过点M作ME⊥y轴于点E，点D作DF∥y轴，交EM的延长线于点F，
∵△CDM为等腰直角三角形，易证△EMC≌△FDM，
∴EM＝DF，EC＝MF，
设M（t，t﹣2），则EM＝t，OE＝﹣t+2，
∴CE＝OC﹣OE＝2﹣（﹣t+2）＝t，MF＝t，DF＝t，
EF＝EM+MF＝t+t＝，OE+DF＝﹣t+2+t＝t+2，
∴D（t，﹣t﹣2）
将D（t，﹣t﹣2）代入二次函数的解析式y＝x2﹣x﹣2，
，
解得t＝0（舍去）或t＝，
∴M1（）；
Ⅱ．当CD⊥DM时，过点D作DE⊥y轴于点E，点M作MF∥y轴，交ED的延长线于点F，
∵△CDM为等腰直角三角形，易证△CED≌△DFM，
∴DE＝MF，EC＝DF，
设M（t，t﹣2），则EF＝t，DF＝CE＝，DE＝t，MF＝t，OE＝t+2
∴D（t，﹣t﹣2），
将D（t，﹣t﹣2）代入二次函数的解析式y＝x2﹣x﹣2，
，
解得t＝0（舍去）或t＝，
∴M2（，﹣）
综上，△CDM为等腰直角三角形，点M的坐标为M1（）或M2（，﹣）
25．解：（1）当x＝0时，y＝﹣x﹣2＝﹣2，
∴点C的坐标为（0，﹣2）；
当y＝0时，﹣x﹣2＝0，
解得：x＝﹣4，
∴点A的坐标为（﹣4，0）．
将A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+x+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2．
（2）①∵PM⊥x轴，
∴∠PMC≠90°，
∴分两种情况考虑，如图1所示．
（i）当∠MPC＝90°时，PC∥x轴，
∴点P的纵坐标为﹣2．
当y＝﹣2时，x2+x﹣2＝﹣2，
解得：x1＝﹣2，x2＝0，
∴点P的坐标为（﹣2，﹣2）；
（ii）当∠PCM＝90°时，设PC与x轴交于点D．
∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠OCA+∠OCD＝90°，
∴∠OAC＝∠OCD．
又∵∠AOC＝∠COD＝90°，
∴△AOC∽△COD，
∴＝，即＝，
∴OD＝1，
∴点D的坐标为（1，0）．
设直线PC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将C（0，﹣2），D（1，0）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴直线PC的解析式为y＝2x﹣2．
联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
点P的坐标为（6，10）．
综上所述：当△PCM是直角三角形时，点P的坐标为（﹣2，﹣2）或（6，10）．
②当y＝0时，x2+x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴点B的坐标为（2，0）．
∵点C的坐标为（0，﹣2），点B，B′关于点C对称，
∴点B′的坐标为（﹣2，﹣4）．
∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠2），
∴点M的坐标为（m，﹣m﹣2）．
利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为y＝﹣x+，直线B′M的解析式为y＝x﹣，直线BB′的解析式为y＝x﹣2．
分三种情况考虑，如图2所示：
当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为y＝﹣x﹣2；
当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为y＝x﹣2；
当直线l∥BB′且过线段CM的中点N（m，﹣m﹣2）时，直线l的解析式为y＝x﹣m﹣2．
综上所述：直线l的解析式为y＝﹣x﹣2，y＝x﹣2或y＝x﹣m﹣2．
1．下列各式中表示二次函数的是（ ）
A．y＝x2+ B．y＝2﹣x2
C．y＝ D．y＝（x﹣1）2﹣x2
2．下列四个函数图象中，当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
3．对于二次函数y＝4（x+1）（x﹣3）下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．与x轴交点坐标是（1，0）和（﹣3，0）
C．x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x＝﹣1
4．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象．下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＜0；③ax2+bx+c＝1有两个实数根．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．若当x＝1和x＝3时，代数式ax2+bx+5的值相等，则当x＝4时，代数式ax2+bx+5的值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．0 D．2
6．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2
7．函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
8．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
9．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1或x＞2 D．x≤﹣1
10．长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（ ）
A．y＝x2 B．y＝12﹣x2 C．y＝（12﹣x） x D．y＝2（12﹣x）
11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为﹣
其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．函数y＝（m+1）x|m|+1+5x﹣5是二次函数，则m＝ ．
13．如图，已知函数y＝﹣与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+＝0的解是 ．
14．已知抛物线y＝（x﹣m）2+3，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
15．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝﹣2x2向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的新抛物线解析式为 ．
16．有这样一个问题：探究函数y＝x2+的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数y＝x2+的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 …
y … ﹣ m …
函数y＝x2+的自变量x的取值范围是 ，m的值为 ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并画出该函数的大致图象；
（3）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 个交点，所以对应方程x2+＝0有 个实数根；
②方程x2+＝2有 个实数根；
③结合函数的图象，写出该函数的一条性质 ．
17．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 …
其中，m＝ ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有 个不相等的实数根；
②方程x2﹣2|x|＝2有 个不相等的实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个不相等的实数根时，a的取值范围是 ．
18．有这样一个问题：探究函数y＝x2+的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝x2+的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2+的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ 1 2 3 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ m …
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） ．
19．在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）若抛物线过A、B两点，且与y轴交于点（0，﹣3），求此抛物线的顶点坐标；
（2）如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值．
20．有这样一个问题：探究函数y＝﹣2x的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝﹣2x的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：
x .. ﹣4 ﹣3.5 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 3.5 4 …
y … ﹣ ﹣ 0 ﹣ ﹣ m
（1）求m的值为 ；
（2）如图，在平面直角坐标xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
（3）方程﹣2x＝﹣2实数根的个数为 ；
（4）观察图象，写出该函数的一条性质 ；
（5）在第（2）问的平面直角坐标系中画出直线y＝x，根据图象写出方程x3﹣2x＝x的一个正数根约为 （精确到0.1）．
21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0），B（﹣4，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交抛物线及x轴于C、D两点．请问是否存在这样的点P，使PD＝2CD？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．某商店原来平均每天可销售某种水果100千克，每千克可盈利7元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．
（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；
（2）若要平均每天盈利400元，则每千克应降价多少元？
（3）每千克降价多少元时，每天的盈利最多？最多盈利多少元？
23．某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，对往年的市场行情和生产情况进行了调查，提供了两个信息图，如甲、乙两图．（注：甲、乙两图中的A，B，C，D，E，F，G，H所对应的纵坐标分别指相应月份每千克该种蔬菜的售价和成本．生产成本6月份最低，甲图的图象是线段，乙图的图象是抛物线的一部分）．请你根据图象提供的信息说明：
（1）在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？（收益＝售价﹣成本）
（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由．
24．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．
①过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；
②若△CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标．
25．如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x﹣2经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．
①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）
参考答案
1．解：A、y＝x2+，含有分式，故不是二次函数，故此选项错误；
B、y＝2﹣x2，是二次函数，故此选项正确；
C、y＝含有分式，故不是二次函数，故此选项错误；
D、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1，是一次函数，故此选项错误．
故选：B．
2．解：A、根据函数的图象可知y随x的增大而增大，故本选项错误；
B、根据函数的图象可知在第二象限内y随x的增大而增大，故本选项错误；
C、根据函数的图象可知，当x＜0时，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，故本选项错误；
D、根据函数的图象可知，当x＜0时，y随x的增大而减小；故本选项正确．
故选：D．
3．解：∵y＝4（x+1）（x﹣3）＝4（x﹣1）2﹣16，
∴a＝4＞0，该抛物线的开口向上，故选项A错误，
与x轴的交点坐标是（﹣1，0）、（3，0），故选项B错误，
当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项C正确，
图象的对称轴是直线x＝1，故选项D错误，
故选：C．
4．解：①∵抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，①正确；
②x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，②正确；
③抛物线与直线y＝1有两个交点，
∴ax2+bx+c＝1有两个实数根，③正确；
故选：D．
5．解：设y＝ax2+bx+5，
当x＝1和x＝3时，代数式ax2+bx+5的值相等，即当x＝1和x＝3时，函数值相等，
∴当x＝0与x＝4时，函数值相等，
∵当x＝0时，y＝5，
∴当x＝4时，y＝5，
故选：A．
6．解：将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y＝（x﹣1）2+2，
故选：A．
7．解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值是﹣2．
故选：D．
8．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），
∴对称轴为x＝1，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，
∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．
故选：C．
9．解：根据图象可知：
当x＜﹣1时，y1＜y2，
当x＝﹣1时，y1＝y2，
当﹣1＜x＜2时，y1＞y2，
当x＝2时，y1＝y2，
当x＞2时，y1＜y2，
故选：A．
10．解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），
∴长方形的另一边长为12﹣x，
∴y＝（12﹣x） x．
故选：C．
11．解：
由图象开口向下，可知a＜0，
与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，
又对称轴方程为x＝2，所以﹣＞0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
由图象可知当x＝3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②错误；
由图象可知OA＜1，
∵OA＝OC，
∴OC＜1，即﹣c＜1，
∴c＞﹣1，故③正确；
假设方程的一个根为x＝﹣，把x＝﹣代入方程可得﹣+c＝0，
整理可得ac﹣b+1＝0，
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c＝0，
即方程有一个根为x＝﹣c，
由②可知﹣c＝OA，而当x＝OA是方程的根，
∴x＝﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；
综上可知正确的结论有三个，
故选：C．
12．解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数
∴
∴m＝1
故答案为：1．
13．解：∵点P在函数y＝﹣上，点P的纵坐标为1，
∴1＝，
解得x＝﹣3，
∴函数y＝﹣与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P的坐标为（﹣3，1），
∴
可得，，
∴，
解得x＝﹣3．
故答案为：x＝﹣3．
14．解：∵y＝（x﹣m）2+3，
∴对称轴为x＝m，
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∵当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
15．解：将抛物线y＝﹣2x2向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是：y＝﹣2x2﹣2，
再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是：y＝﹣2（x+1）2﹣2．
故答案是：y＝﹣2（x+1）2﹣2．
16．解：（1）由题意x≠0，m＝，
故答案为x≠0，．
（2）函数图象如图所示．
（3）①由图象可知与x轴有一个交点，对应方程x2+＝0有一个实数根．
故答案为1，1．
②观察图象可知，方程x2+＝2有3个实数根，
故答案为3．
③在函数没有最大值或这个函数没有最小值，函数图象没有经过第四象限等，答案不唯一．
故答案为函数没有最大值或这个函数没有最小值，函数图象没有经过第四象限
17．解：（1）把x＝﹣2代入y＝x2﹣2|x|得y＝0，
即m＝0，
故答案为：0；
（2）如图所示；
（3）由函数图象知：①函数y＝x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有3个不相等的实数根；
②如图，∵y＝x2﹣2|x|的图象与直线y＝2有两个交点，
∴x2﹣2|x|＝2有2个不相等的实数根；
③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个不相等的实数根，
∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，
故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．
18．解：（1）x≠0，
（2）令x＝3，
∴y＝×32+
＝+＝；
∴m＝；
（3）如图
（4）该函数的其它性质：
①该函数没有最大值；
②该函数在x＝0处断开；
③该函数没有最小值；
④该函数图象没有经过第四象限．
故答案为该函数没有最大值．
19．解：（1）设过抛物线A，B两点，且与y轴交于点（0，﹣3），的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，0），B（3，0），点（0，﹣3）代入
得，
解得，
故此抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）由题意，设y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），M（1，﹣4a），
∴S△ACB＝×4×|﹣3a|＝6|a|，
而a＞0，
∴S△ACB＝6a．
作MD⊥x轴于D，
又S△ACM＝S△ACO+SOCMD﹣S△AMD＝ 1 3a+（3a+4a）﹣ 2 4a＝a，
∴S△ACM：S△ACB＝1：6；
20．解：（1）当x＝3时，y＝﹣2x＝×27﹣2×3＝﹣，即m＝﹣；
（2）如图所示；
（3）方程﹣2x＝﹣2实数根的个数为3个；
（4）图象关于原点中心对称或x＞2时，y随x的增大而增大等（答案不唯一）
（5）如图，直线y＝x与函数y＝﹣2x的图象在第一象限内的交点的横坐标约为3.9，
所以方程x3﹣2x＝x的一个正数根约为3.9．
故答案为﹣；3；x＞2时，y随x的增大而增大等；3.9．
21．解：（1）由题意，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
（2）∵A（4，0），B（﹣4，﹣4），
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，
设P（m，m﹣2），其中﹣4＜m＜4，则C（m，﹣m2+m+2），PD＝2﹣m，CD＝|﹣m2+m+2|，
①当点C在x轴上方时，CD＝﹣m2+m+2，由PD＝2CD，
得2﹣m＝2（﹣m2+m+2），解得m＝﹣1或4（舍弃），
∴P（﹣1，﹣）．
②当点C在x轴下方时，CD＝m2﹣m﹣2，由PD＝2CD，得2﹣m＝2（m2﹣m﹣2），解得m＝﹣3或4（舍弃），
∴P（﹣3，﹣），
综上所述，点P的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣3，﹣）．
22．解：（1）根据题意得：
y＝（100+20x）×（7﹣x）
＝﹣20x2+40x+700；
（2）令y＝﹣20x2+40x+700中y＝400，则有：400＝﹣20x2+40x+700，
即x2﹣2x﹣15＝0，
解得：x1＝﹣3（舍去），x2＝5．
所以若要平均每天盈利400元，则每千克应降价5元．
（3）y＝﹣20x2+40x+700＝﹣20（x﹣1）2+720，
所以每千克降价1元时，每天的盈利最多，最多盈利720元．
23．解：（1）从甲图知：3月份出售这种蔬菜，每千克售价为5元；
从乙图知，3月份购买这种蔬菜的成本为每千克4元，
根据收益＝售价﹣成本，易知，
在3月份出售这种蔬菜每千克的收益是1元；
（2）设图甲中图象的函数关系为y甲＝kx+b，图乙中图象的函数关系式为y乙＝a（x﹣h）2+k，
则每千克收益为y＝y甲﹣y乙（元），
∴，
解得：，
∴y甲＝﹣x+7，
∴抛物线y乙＝a（x﹣h）2+k．的顶点坐标为（6，1），又过点（3，4），
∴y乙＝a（x﹣6）2+1，
∴4＝a（3﹣6）2+1，∴a＝，
∴y乙＝（x﹣6）2+1，
∴y＝y甲﹣y乙＝﹣x+7﹣（x﹣6）2﹣1，
y＝﹣（x﹣5）2+，
∴当x＝5时，y有最大值．即当5月份出售时，每千克收益最大．
24．解（1）由直线y＝x﹣2得
B（4，0）、C（0，﹣2），
将B（4，0）、C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c，
，
解得b＝，c＝﹣2，
∴二次函数的解析式y＝x2﹣x﹣2；
（2）①过点DH∥AB，交直线y＝x﹣2于点H．
∴∠H＝∠OBC，
∵B（4，0）、C（0，﹣2），
∴OC＝2，OB＝4，BC＝2
∴sin∠H＝sin∠OBC＝＝＝，
即＝，
设D（m，m2﹣m﹣2），则H（m2﹣3m，m2﹣m﹣2），
∴DH＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m，
∴DM＝（﹣m2+4m）＝﹣，
当m＝2时，DM的最大值为；
②Ⅰ．当CM⊥DM时，过点M作ME⊥y轴于点E，点D作DF∥y轴，交EM的延长线于点F，
∵△CDM为等腰直角三角形，易证△EMC≌△FDM，
∴EM＝DF，EC＝MF，
设M（t，t﹣2），则EM＝t，OE＝﹣t+2，
∴CE＝OC﹣OE＝2﹣（﹣t+2）＝t，MF＝t，DF＝t，
EF＝EM+MF＝t+t＝，OE+DF＝﹣t+2+t＝t+2，
∴D（t，﹣t﹣2）
将D（t，﹣t﹣2）代入二次函数的解析式y＝x2﹣x﹣2，
，
解得t＝0（舍去）或t＝，
∴M1（）；
Ⅱ．当CD⊥DM时，过点D作DE⊥y轴于点E，点M作MF∥y轴，交ED的延长线于点F，
∵△CDM为等腰直角三角形，易证△CED≌△DFM，
∴DE＝MF，EC＝DF，
设M（t，t﹣2），则EF＝t，DF＝CE＝，DE＝t，MF＝t，OE＝t+2
∴D（t，﹣t﹣2），
将D（t，﹣t﹣2）代入二次函数的解析式y＝x2﹣x﹣2，
，
解得t＝0（舍去）或t＝，
∴M2（，﹣）
综上，△CDM为等腰直角三角形，点M的坐标为M1（）或M2（，﹣）
25．解：（1）当x＝0时，y＝﹣x﹣2＝﹣2，
∴点C的坐标为（0，﹣2）；
当y＝0时，﹣x﹣2＝0，
解得：x＝﹣4，
∴点A的坐标为（﹣4，0）．
将A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+x+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2．
（2）①∵PM⊥x轴，
∴∠PMC≠90°，
∴分两种情况考虑，如图1所示．
（i）当∠MPC＝90°时，PC∥x轴，
∴点P的纵坐标为﹣2．
当y＝﹣2时，x2+x﹣2＝﹣2，
解得：x1＝﹣2，x2＝0，
∴点P的坐标为（﹣2，﹣2）；
（ii）当∠PCM＝90°时，设PC与x轴交于点D．
∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠OCA+∠OCD＝90°，
∴∠OAC＝∠OCD．
又∵∠AOC＝∠COD＝90°，
∴△AOC∽△COD，
∴＝，即＝，
∴OD＝1，
∴点D的坐标为（1，0）．
设直线PC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将C（0，﹣2），D（1，0）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴直线PC的解析式为y＝2x﹣2．
联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
点P的坐标为（6，10）．
综上所述：当△PCM是直角三角形时，点P的坐标为（﹣2，﹣2）或（6，10）．
②当y＝0时，x2+x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴点B的坐标为（2，0）．
∵点C的坐标为（0，﹣2），点B，B′关于点C对称，
∴点B′的坐标为（﹣2，﹣4）．
∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠2），
∴点M的坐标为（m，﹣m﹣2）．
利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为y＝﹣x+，直线B′M的解析式为y＝x﹣，直线BB′的解析式为y＝x﹣2．
分三种情况考虑，如图2所示：
当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为y＝﹣x﹣2；
当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为y＝x﹣2；
当直线l∥BB′且过线段CM的中点N（m，﹣m﹣2）时，直线l的解析式为y＝x﹣m﹣2．
综上所述：直线l的解析式为y＝﹣x﹣2，y＝x﹣2或y＝x﹣m﹣2．