苏科版九年级数学上册 第1章一元二次方程小结与思考课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
小结与思考
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2. 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解带有数字系数的一元二次方程．
3. 会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根和两个实根是否相等．
4. 了解一元二次方程的根与系数的关系(不要求运用这个关系解决其他问题)．
学习重点：熟练掌握一元二次方程的基本概念及其灵活选用解法.
学习难点：灵活选用恰当方法解一元二次方程.
1. 了解一元二次方程的定义及一般形式．
学习目标
1. 一元二次方程的定义：
只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的
________式方程叫做一元二次方程．
2.一元二次方程的一般形式是 (a____0)，其中ax2叫
做________项，a是____________，bx叫做________项，b是______________，
c叫做________项．
一
2
整式
ax2＋bx＋c＝0
≠
二次
二次项系数
一次
一次项系数
常数
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3. 一元二次方程的解法：
(1) 直接开平方法：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程的根为
__________．
(2) 配方法的步骤：移项，二次项系数化为1(该步有时可省略)，配方，
直接开平方．
(3) 求根公式法：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac________0时，
x＝______________．
(4) 因式分解法：如果一元二次方程可化为a(x－x1)(x－x2)＝0(a≠0)的
形式，那么方程的解为___________________．
≥
x＝
x＝x1，x＝x2　
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4.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝________．
(1) 当Δ>0时，方程有两个________的实数根．
(2) 当Δ＝0时，方程有两个________的实数根．
(3) 当Δ<0时，方程没有实数根．
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，
则x1＋x2＝________，x1·x2＝________．
5.一元二次方程根与系数的关系：
b2－4ac
不相等
相等
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考点一 一元二次方程根的意义
例1 (包头中考题)若关于x的方程x2＋(m＋1)x＋ ＝0的一个实数
根的倒数恰好是它本身，则m的值为(　　)
A. B. C. 或 D.1
根据“方程的一个实数根的倒数恰好是它本身”求出这个实数根，再根据方程根的定义代回方程求解．
思路点拨
C
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对于这类问题可根据方程根的定义直接代入方程，得到一个关于参数的新方程，
从而确定参数值，但要注意问题中的隐含条件，如一元二次方程二次项系数不能为0.
方法归纳
解：设这个实数根是x，则 ＝x，解得x1＝±1.
将x＝1代入原方程，得1＋(m＋1)＋ ＝0，解得m＝－ .
将x＝－1代入原方程，得1－(m＋1)＋ ＝0，解得m＝ .故选C.
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考点二 一元二次方程的解法
例2 解方程：
(1) (安徽中考题)x2－2x＝4； (2) (兰州中考题)2y2＋4y＝y＋2.
(1)二次项系数为1，一次项系数为－2，可用配方法解方程，也可
以用公式法解方程．
(2) 方程左边可化为2y(y＋2)，右边是y＋2，比较适合用因式分解
法解方程．

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思路点拨
考点二 一元二次方程的解法
解：(1) 解法1：x2－2x＋1＝4＋1，
∴ (x－1)2＝5.
∴ x＝1± .
∴ x1＝1＋ ，x2＝1－ .
例2 解方程：
(1) (安徽中考题)x2－2x＝4； (2) (兰州中考题)2y2＋4y＝y＋2.
解法2：∵ x2－2x－4＝0，
∴ a＝1，b＝－2，c＝－4.
∴ Δ＝(-2)2－4×1×(－4)＝20.
∴ x＝ .
∴ x1＝1＋ ，x2＝1－ .
(2) 2y(y＋2)＝y＋2， 2y(y＋2)－(y＋2)＝0， (y＋2)(2y－1)＝0，
∴ y＋2＝0或2y－1＝0，
解得y1＝ ，y2＝－2.
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考点二 一元二次方程的解法
1.若一次项系数为0(ax2＋c＝0)，则应选用直接开平方法；
若常数项为0(ax2＋bx＝0)或方程两边有共同的因式时，则应选用因式分解法；
若一次项系数和常数项都不为0(ax2＋bx＋c＝0)且不宜因式分解时，则应考虑公式法；
若此方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数，则用配方法较为简便．
2.需要注意的是，用公式法需先将方程化为一般形式，然后确定b2－4ac的值；
用配方法需注意两边要同时加上相同的数．另外，解一元二次方程时，在没有指定方法的
情况下，一般按以下顺序选择：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，具体题目
还要看方程的特点．
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课堂探究
方法归纳
考点三 一元二次方程根的判别式
例3 (桂林中考题)若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有
两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)
A. k<5　　 B. k<5且k≠1 C. k≤5且k≠1　　　D. k>5
解题时需要从以下两方面综合考虑：一是由“一元二次方程”知k－1≠0，二是由根的判别式得出k的限制条件．
B
解：∵ 关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴ 即 ，解得k<5且k≠1.故选B.
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思路点拨
考点三 一元二次方程根的判别式
一元二次方程有实数根的条件是Δ＝b2－4ac≥0，从而列出与未知系数有关的不等式，还要注意一元二次方程存在的前提是二次项系数不为0.
误区警示
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考点四 一元二次方程根与系数的关系
例4 (恩施州中考题)已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两根为m、n，
则m2＋n2＝________．
根据根与系数的关系及完全平方公式变形求解．
解：由题意，得Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×2×1＝17>0，
∴ m＋n＝ ，mn＝ .
∴ m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝ －2× ＝ .
故填 .
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思路点拨
考点四 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1、x2，则x1＋x2＝－ ，
x1x2＝ ，解题时需先把代数式变形成两根和与积的形式．
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方法归纳
考点四 一元二次方程根与系数的关系
例5 (孝感中考题)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个实数根x1、x2.
(1) 求m的取值范围；
(2) 当 ＝6x1x2时，求m的值．
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考点四 一元二次方程根与系数的关系
(1)根据一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个实数根，可得Δ≥0，据此求出m的取值范围．
(2) 根据根与系数的关系求出x1＋x2和x1x2的值，代入 ＝6x1x2求解即可．

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思路点拨
考点四 一元二次方程根与系数的关系
解：(1) ∵ 原方程有两个实数根，
∴ Δ＝(－2)2－4(m－1)≥0.
整理，得4－4m＋4≥0，
解得m≤2.
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考点四 一元二次方程根与系数的关系
(2) ∵ x1＋x2＝2，x1x2＝m－1，
＝6x1x2，
∴ (x1＋x2)2－2x1x2＝6x1x2，即4＝8(m－1)，
解得m＝ .∵ <2，
∴ m的值为 .
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考点四 一元二次方程根与系数的关系
在解决根的判别式和根与系数的综合题时，必须注意以下两个方面：
(1) 一元二次方程的二次项系数不为0.
(2) 用根与系数的关系的前提是根的判别式是非负数，这往往是最容易被忽略的．

误区警示
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实战练习
D
D
C
1.(攀枝花中考题)若x＝－2是关于x的一元二次方程x2＋ ax－a2＝0的一个根，
则a的值为(　　)
A. －1或4 　　B. －1或－4 　　C. 1或－4 　　D. 1或4
2. (福州中考题)下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax2－4x＋c＝0一定有
实数根的是(　　)
A. a>0　　B. a＝0　　C. c>0　　D. c＝0
3. (烟台中考题)若x1、x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根，则 －x1＋x2的值为(　　)
A. －1　　　B. 0　　　C. 2　　　D. 3

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4. (鄂州中考题)方程x2－3＝0的根是 ．
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实战练习
5.解方程：
(1) (徐州中考题)2x2－x-1=0； (2) (兰州中考题)3x2-2x-2＝0.
(1)解： ∵ x2＋4x-1=0
∴ (2x+1)(x-1)=0
∴2x+1＝1或x-1=0
∴ x1＝-1/2，x2＝1.
解法2：∵ 3x2－2x－2＝0，
∴ a＝3，b＝－2，c＝－2.
∴ Δ＝(-2)2－4×3×(－2)＝28.
∴ x＝ .
∴ x1＝ ，x2＝ .
6.(北京中考题)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．
(1) 求m的取值范围；
(2) 写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．

解： (1) ∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ Δ＝(2m＋1)2－4(m2－1)＝4m＋5>0，解得m>－
　(2) 答案不唯一，如若m＝1，则原方程为x2＋3x＝0，
即x(x＋3)＝0，∴ x1＝0，x2＝－3
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实战练习
课堂再思考
1.结合课堂中的考点内容的复习，当我们遇到有关一元二次方程问题时，解题的一般思路怎样？应注意什么问题？
2.在确定一元二次方程中的待定字母的取值时，应如何破解？又应注意什么问题？
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作 业
《课时作业》第1章复习题.
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自主探究
已知x1，x2 是关于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的两个实数根．
（1）求x1，x2 的值；
（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．
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谢 谢