2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册2.2基本不等式题型归纳练习卷

基本不等式
基本不等式概念考察
① 不等式的几种形式；② 不等式等号成立的条件；
例：
（1）已知，，且，则下列结论恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
（2）对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．2
（3）（多选题）设a＞0，b＞0，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
利用基本不等式比较大小
例：
（4）设某人从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则（ ）
A． B． C． D．
（5）（多选题）已知关于，且.下列不等式正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
（6）（多选题）若a，，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
（7）（多选题）有下面四个不等式，其中恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
对勾函数型（标准型、复合型、带负号型、型）
例：
（8）对于，y取最小值时x的值为________．
（9）已知，且的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
（10）① 若实数，求的最小值，并求此时的值；
② 若，求的最大值，并求此时的值.
（11）下列各式中，最小值是的有（ ）
A． B． C． D．
（12）求解下列各题：
① 求的最大值；
② 求的最小值.
当时，求的最小值．
加法与乘法共存型（偷梁换柱法）
例：
（14）已知x，y均为正数，且满足，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
（15）已知两个正数满足，则的最小值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
（16）已知，，，则的最大值为______．
（17）已知，且满足，则的最小值为________.
（18）已知，，且，则的最小值等于______．
（19）已知实数，满足，则的取值范围是______．
整式与分式型（1的代换）
例：
（20）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．3
（21）已知实数，，则的最小值为（ ）
A．100 B．300 C．800 D．400
（22）设，，，存在实数m，使得成立，则实数m的取值范围________．
（23）已知x>0，y>0，且81x+y=xy，则x+y的最小值为____ ．
二次函数型
例：
（24）若，则当取得最大值时，x的值为（ ）
A．1 B． C． D．
（25）函数 （其中）的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
（26）① 已知，都是正实数，，求的最小值；
② 已知正实数 满足，求的最小值.
（27）已知，.
① 若，求的最大值；
② 若，求的最小值．
三字母型
例：
（28）已知 ，.证明：
（29）是不同时为0的实数，则的最大值为________．
（30）设且不等式恒成立，则实数t的最大值为（ ）
A．13 B．6 C．8 D．62.
（31）正实数a，b，c满足，当取最大值时，的最大值为_____.
实际应用题
例：
（32）某公司生产的某批产品的销售量（万件）（生产量与销售量相等）与促销费用（万元）满足（其中，为正常数）.已知生产该批产品还需投入成本万元（不包含促销费用）.产品的销售价格定为元/件.
① 将该产品的利润（万元）表示为促销费用（万元）的函数；
② 当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？
（33）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体的报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元，设屋子的左右两面墙的长度均为.
① 当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
② 现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求的取值范围.
（34）全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.连云港市黄海路社区响应号召，在全面开展“创文”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为4000 m2矩形市民休闲广场.全国文明城市是中国大陆所有城市品牌中含金量最高、创建难度最大的一个，是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，是目前国内城市综合类评比中的最高荣誉，也是最具有价值的城市品牌.为此社区党委开会讨论确定方针：既要占地最少，又要美观实用.初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为2m的草坪，南北边缘都留有5m的空地栽植花木.
① 设占用空地的面积为S（单位：m2）， 矩形休闲广场东西距离为x(单位：m，)，试用x表示为S的函数；
② 当x为多少时，用占用空地的面积最少？并求最小值.
参考答案
B
D
BCD
D
BD
BC
BC
D
① 的最小值是3，此时；②的最大值是-4，此时
AD
，8
5
B
B
8
A
D
100
D
D
16；19
2；
因为，所以，因为，，，
所以，
则，即，当且仅当时取等号.
C
4
① ,;
②当时，促销费用投入4万元时，该公司的利润最大；
当时，促销费用投入万元时，该公司的利润最大
① 当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．②
①
② 当休闲广场东西距离为40m时，用地最小值为4880 m2